Aula 5 - Matemática Financeira

Prévia do material em texto

<p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>AULA 5</p><p>Prof. Nelson Pereira Castanheira</p><p>2</p><p>CONVERSA INICIAL</p><p>Você agora já conhece o juro simples e o juro composto, e já sabe qual é</p><p>a diferença entre eles. Já estudou que no juro composto podemos ter o juro</p><p>nominal, o juro efetivo, o juro aparente e o juro real. Aprendeu que, quando</p><p>pagamos uma dívida com atraso, pagamos juro de mora, e esse juro tem duas</p><p>formas de ser calculado: com juros simples ou com juro composto na parte</p><p>fracionária do tempo.</p><p>Mas suponhamos que você tem uma dívida e a pagou antecipadamente,</p><p>ou seja, antes do vencimento. Nesse caso, ao invés de uma penalidade, você</p><p>merece um prêmio: o chamado desconto.</p><p>A pergunta, então, é: como calcular o desconto que uma pessoa física ou</p><p>jurídica tem direito quando assumiu uma dívida em capitalização simples? E</p><p>quando a dívida foi assumida em capitalização composta?</p><p>TOP – DESCONTOS</p><p>Bom, vamos analisar as dívidas que alguém assume, seja em</p><p>capitalização simples, seja em capitalização composta.</p><p>Caso tenhamos assumido uma dívida com a utilização de uma taxa de</p><p>juro simples, ao pagarmos essa dívida antecipadamente, teremos direito a</p><p>ganhar um desconto simples. Ou seja, caso tenhamos assumido uma dívida com</p><p>a utilização de uma taxa de juro composto, ao antecipar o seu pagamento,</p><p>ganharemos um desconto composto.</p><p>Nos dois casos, há duas maneiras de se calcular um desconto: ou</p><p>aplicamos a chamada taxa de desconto sobre o valor da dívida no dia do seu</p><p>vencimento (sobre o montante ou valor futuro) e, nesse caso, o desconto se</p><p>denomina comercial, ou aplicamos a taxa de desconto sobre o valor da dívida</p><p>naquele momento em que estamos querendo nos livrar da dívida (sobre o valor</p><p>presente) e, nesse caso, o desconto se denomina racional.</p><p>Logo, teremos quatro tipos de desconto a analisar: o desconto comercial</p><p>simples, o desconto racional simples, o desconto comercial composto e o</p><p>desconto racional composto.</p><p>Vamos analisar cada um deles.</p><p>3</p><p>ROLÊ 1 – DESCONTO COMERCIAL SIMPLES (Dc)</p><p>Lembre-se que, ao contrairmos uma dívida, assinamos um documento</p><p>que pode ser uma duplicata (título emitido por uma pessoa jurídica) ou uma</p><p>promissória (comprovante emitido por uma pessoa física, normalmente). Esse</p><p>documento, o qual denominamos título, nada mais é do que uma confissão de</p><p>dívida e tem uma data de vencimento. O valor que consta do título é o valor</p><p>nominal ou valor futuro.</p><p>Portanto, ao pagarmos a dívida com atraso, teremos uma multa</p><p>denominada juro de mora, e ao anteciparmos o seu pagamento, temos um</p><p>prêmio denominado desconto.</p><p>Quando a dívida foi feita, no dia zero, considerando uma taxa de juro</p><p>simples, caso ela seja paga antecipadamente, o devedor terá direito a um</p><p>desconto simples.</p><p>Quando esse desconto é calculado aplicando-se uma taxa de desconto</p><p>sobre o valor da dívida no dia do seu vencimento, ele é chamado de desconto</p><p>comercial simples.</p><p>O desconto será tanto maior quanto maior for a taxa de desconto e será</p><p>tanto maior quanto maior for o tempo que falta para a dívida vencer.</p><p>São, então, grandezas diretamente proporcionais e deverão ser</p><p>multiplicadas. Logo, a fórmula para o cálculo do desconto comercial simples é:</p><p>Dc = M . i .n</p><p>em que:</p><p>M é o valor da dívida no dia do seu vencimento (valor futuro);</p><p>i é a taxa de desconto;</p><p>n é p tempo que falta para a dívida vencer.</p><p>Vamos analisar alguns exemplos.</p><p>Exemplo 1: uma pessoa tem uma dívida de R$ 895,00 que vencerá daqui</p><p>a três meses e resolveu antecipar o seu pagamento. Considerando que ela</p><p>assumiu a dívida com taxa de juro simples e que será utilizada uma taxa de</p><p>desconto simples igual a 2% ao mês, qual é o valor do desconto comercial que</p><p>essa pessoa receberá? Quanto ela pagará para quitar a dívida?</p><p>Solução: como o desconto é comercial, ele é calculado aplicando-se a</p><p>taxa de desconto sobre o valor da dívida no dia do seu vencimento, ou seja,</p><p>sobre o montante de R$ 895,00.</p><p>4</p><p>Temos então:</p><p>Dc = M . i . n</p><p>Dc = 895 . 0,02 . 3</p><p>Dc = 53,70</p><p>Qual é, então, o valor atual da dívida, ou seja, quanto o devedor deverá</p><p>desembolsar para se livrar da dívida?</p><p>O valor atual, o qual denominaremos Vc (valor atual com desconto</p><p>comercial), é calculado pela seguinte fórmula:</p><p>Vc = M – Dc</p><p>Parece lógico: o valor a ser pago é o quanto a pessoa devia no dia do</p><p>vencimento, menos o desconto que ganhou.</p><p>Como Dc = M . i . n, temos que:</p><p>Vc = M – M . i n</p><p>Vc = M . (1 – i . n)</p><p>Logo, no nosso exemplo, Vc = 895,00 – 53,70  Vc = 841,30</p><p>Exemplo 2: uma empresa tem uma duplicata no valor de R$ 32.500,00</p><p>que vencerá em 4 meses e 15 dias e já deseja efetuar o seu pagamento. Devido</p><p>ao adiantamento do pagamento, deseja obter um desconto. Foi concedido um</p><p>desconto comercial a uma taxa de juro simples de 1,5% ao mês. Quando foi pago</p><p>pela quitação da duplicata? Qual foi o valor do desconto comercial simples</p><p>concedido?</p><p>Solução: o valor pago é o valor atual da dívida, ou seja, Vc.</p><p>O tempo de antecipação no pagamento é de quatro meses e meio.</p><p>Temos então que:</p><p>Vc = M . (1 – i . n)</p><p>Vc = 32500 . (1 – 0,015 . 4,5)</p><p>Vc = 32500 . 0,9325</p><p>Vc = 30.306,25</p><p>Logo, o desconto concedido foi de:</p><p>Dc = M – Vc</p><p>Dc = 2.193,75</p><p>Chegou a hora de você praticar. Resolva os dois exercícios a seguir.</p><p>5</p><p>Exercício 1: uma dívida de R$ 13.450,00 será paga dois meses e 15 dias</p><p>antes do seu vencimento. Considerando que o devedor receberá um desconto</p><p>comercial simples a uma taxa de juro simples de 1,8% ao mês, qual será o valor</p><p>do desconto recebido e por quanto quitou a dívida?</p><p>Exercício 2: uma empresa tinha uma dívida de R$ 40.000,00 e pagou</p><p>essa dívida dois meses antes do vencimento por R$ 39.200,00. Qual foi a taxa</p><p>de juro simples utilizada na operação, supondo que ela recebeu um desconto</p><p>comercial simples?</p><p>ROLÊ 2 – DESCONTO RACIONAL SIMPLES (Dr)</p><p>O desconto racional simples também utiliza uma taxa de juros simples</p><p>para o cálculo do desconto. Entretanto, essa taxa é aplicada sobre o valor atual</p><p>da dívida.</p><p>Para diferenciar o valor atual com desconto comercial (Vc) do valor atual</p><p>com desconto racional, utilizaremos a notação Vr para representar o valor atual</p><p>com desconto racional.</p><p>Assim sendo, como o desconto será tanto maior quanto maior for a taxa</p><p>de desconto e será tanto maior quanto maior for o tempo que falta para a dívida</p><p>vencer, temos a fórmula:</p><p>Dr = Vr . i . n</p><p>em que:</p><p>Vr é o valor atual da dívida (valor presente), sobre o qual será concedido</p><p>o desconto;</p><p>i é a taxa de desconto;</p><p>n é o tempo que falta para a dívida vencer.</p><p>Caso não conheçamos o valor Vr, precisamos determiná-lo pela fórmula:</p><p>Vr =</p><p>𝑀</p><p>1 + 𝑖 . 𝑛</p><p>Vamos analisar alguns exemplos.</p><p>Exemplo 1: uma pessoa tem uma dívida de R$ 895,00 que vencerá daqui</p><p>a três meses e resolveu antecipar o seu pagamento. Considerando que ela</p><p>assumiu a dívida com taxa de juro simples e que será utilizada uma taxa de</p><p>desconto simples igual a 2% ao mês, qual o valor do desconto racional que essa</p><p>pessoa receberá? Quanto ela pagará para quitar a dívida?</p><p>6</p><p>Solução: como o desconto é racional, ele é calculado aplicando-se a taxa</p><p>de desconto sobre o valor atual da dívida (valor presente), ou seja, sobre o Vr.</p><p>Precisamos, então, calcular Vr como primeiro passo.</p><p>Vr =</p><p>𝑀</p><p>1 + 𝑖 . 𝑛</p><p>Vr =</p><p>895</p><p>1 + 0,02 . 3</p><p>Vr =</p><p>895</p><p>1,06</p><p>Vr = 844,34</p><p>Logo, o desconto recebido foi de:</p><p>Dr = M – Vr</p><p>Dr = 895,00 – 844,34</p><p>Dr = 50,66</p><p>Exemplo 2: uma empresa tem uma duplicata no valor de R$ 32.500,00</p><p>que vencerá em 4 meses e 15 dias e já deseja efetuar o seu pagamento. Devido</p><p>ao adiantamento do pagamento, deseja obter um desconto. Foi concedido um</p><p>desconto racional a uma taxa de juro simples de 1,5% ao mês. Quando foi pago</p><p>pela quitação da duplicata? Qual foi o valor do desconto racional simples</p><p>concedido?</p><p>Solução: o valor pago é o valor atual</p><p>da dívida, ou seja, Vr.</p><p>O tempo de antecipação no pagamento é de quatro meses e meio.</p><p>Temos então que:</p><p>Vr =</p><p>𝑀</p><p>1 + 𝑖 . 𝑛</p><p>Vr =</p><p>32500</p><p>1 + 0,015 . 4,5</p><p>Vr =</p><p>32500</p><p>1,0675</p><p>Vr = 30.444,96</p><p>Logo, o desconto recebido foi de:</p><p>Dr = 32500,00 – 30444,96</p><p>Dr = 2.055,04</p><p>Você deve ter observado que, nos dois exemplos, ao compararmos</p><p>desconto comercial com o desconto racional, o desconto racional é sempre</p><p>menor. Por quê?</p><p>7</p><p>A resposta é simples. Como o desconto comercial é calculado sobre o</p><p>valor da dívida no dia do vencimento, que é maior que o valor presente da dívida,</p><p>qualquer que seja o porcentual aplicado sobre M será sempre maior que o</p><p>mesmo porcentual aplicado sobre Vr. Agora é a sua vez.</p><p>Exercício 1: uma dívida de R$ 13.450,00 será paga dois meses e 15 dias</p><p>antes do seu vencimento. Considerando que o devedor receberá um desconto</p><p>racional simples a uma taxa de juro simples de 1,8% ao mês, qual será o valor</p><p>do desconto recebido e por quanto quitou a dívida?</p><p>Exercício 2: uma empresa tinha uma dívida de R$ 40.000,00 e pagou</p><p>dois meses antes do vencimento por R$ 39.200,00. Qual foi a taxa de juro</p><p>simples utilizada na operação, supondo que ela recebeu um desconto racional</p><p>simples?</p><p>TRILHA 1 – DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO (Dc)</p><p>O desconto comercial composto, assim como o desconto comercial</p><p>simples, é calculado mediante aplicação de uma taxa de desconto sobre o valor</p><p>nominal do título, ou seja, sobre o valor da dívida no dia do seu vencimento. A</p><p>esse valor nominal, denominamos montante ou valor futuro.</p><p>O valor que o devedor pagará para quitar a dívida, tendo recebido um</p><p>desconto comercial composto, é dado pela fórmula:</p><p>Vc = M . (1 – i)n</p><p>Logo, o desconto comercial composto será:</p><p>Dc = M – Vc</p><p>Como Vc = M . (1 – i)n, temos que:</p><p>Dc = M – M . (1 – i)n</p><p>Dc = M . [1 – (1 – i)n]</p><p>Vamos analisar alguns exemplos.</p><p>Exemplo 1: uma pessoa tem uma dívida de R$ 895,00 que vencerá daqui</p><p>a três meses e resolveu antecipar o seu pagamento. Considerando que ela</p><p>assumiu a dívida com taxa de juro composto e que será utilizada uma taxa de</p><p>desconto composto igual a 2% ao mês, qual o valor do desconto comercial</p><p>composto que essa pessoa receberá? Quanto ela pagará para quitar a dívida?</p><p>8</p><p>Solução: como o desconto é comercial, ele é calculado aplicando-se a</p><p>taxa de desconto sobre o valor da dívida no dia de seu vencimento, ou seja,</p><p>sobre M.</p><p>Vc = M . (1 – i)n</p><p>Vc = 895 . (1 – 0,02)3</p><p>Vc = 895 . 0,983</p><p>Vc = 895 . 0,941192</p><p>Vc = 842,37</p><p>Logo, o desconto que foi concedido foi de:</p><p>Dc = M – Vc</p><p>Dc = 895,00 – 842,37</p><p>Dc = 52,63</p><p>Exemplo 2: uma empresa tem uma duplicata no valor de R$ 32.500,00</p><p>que vencerá em 4 meses e já deseja efetuar o seu pagamento. Devido ao</p><p>adiantamento do pagamento, deseja obter um desconto. Foi concedido um</p><p>desconto comercial a uma taxa de juro composto de 1,5% ao mês. Quando foi</p><p>pago pela quitação da duplicata? Qual foi o valor do desconto comercial</p><p>composto concedido?</p><p>Solução:</p><p>Vc = M . (1 – i)n</p><p>Vc = 32500 . (1 – 0,015)4</p><p>Vc = 32500 . (0,985)4</p><p>Vc = 32500 . 0,94133655</p><p>Vc = 30.593,44</p><p>Logo, o desconto que foi concedido foi de:</p><p>Dc = M – Vc</p><p>Dc = 32500,00 – 30593,44</p><p>Dc = 1.906,56</p><p>Agora, você deverá exercitar, resolvendo os dois exercícios a seguir.</p><p>Exercício 1: uma dívida de R$ 13.450,00 será paga três meses antes do</p><p>seu vencimento. Considerando que o devedor receberá um desconto comercial</p><p>composto a uma taxa de juro composto de 1,8% ao mês, qual será o valor do</p><p>desconto recebido e por quanto quitou a dívida?</p><p>9</p><p>Exercício 2: uma empresa tinha uma dívida de R$ 40.000,00 e pagou</p><p>dois meses antes do vencimento por R$ 39.200,00. Qual foi a taxa de juro</p><p>composto utilizada na operação, supondo que ela recebeu um desconto</p><p>comercial composto?</p><p>TRILHA 2 – DESCONTO RACIONAL COMPOSTO (Dr)</p><p>O desconto racional composto, assim como o desconto racional simples,</p><p>é calculado mediante aplicação de uma taxa de desconto sobre o valor atual do</p><p>título, ou seja, sobre o valor presente da dívida.</p><p>O valor que o devedor pagará para quitar a dívida, tendo recebido um</p><p>desconto racional composto, é dado pela fórmula:</p><p>Vr =</p><p>𝑀</p><p>(1 + 𝑖)𝑛</p><p>O desconto racional composto, por sua vez, será calculado pela fórmula:</p><p>Dr = M – Vr</p><p>Logo:</p><p>Dr = M –</p><p>𝑀</p><p>(1 + 𝑖)𝑛</p><p>Dr = M . 1 –</p><p>1</p><p>(1 + 𝑖)𝑛</p><p>Vamos analisar alguns exemplos.</p><p>Exemplo 1: suponha que você deve um título de R$ 27.500,00 com</p><p>vencimento para daqui a três meses e deseja pagar ele hoje. Portanto, deverá</p><p>obter um desconto equivalente aos três meses de antecipação no pagamento da</p><p>dívida. Suponha agora que você ganhou um desconto racional composto a uma</p><p>taxa de desconto de 2% ao mês. Qual o valor do desconto recebido e qual o</p><p>valor da quantia paga?</p><p>Solução:</p><p>Vr =</p><p>𝑀</p><p>(1 + 𝑖)𝑛</p><p>Vr =</p><p>27500</p><p>(1 + 0,02)3</p><p>Vr =</p><p>27500</p><p>1,061208</p><p>Vr = 25.913,86</p><p>Logo, o desconto concedido foi de:</p><p>10</p><p>Dr = M – Vr</p><p>Dr = 1.586,14</p><p>Exemplo 2: uma empresa possui uma duplicata que vencerá daqui a 4</p><p>meses, no valor de R$ 78.900,00. Como a empresa decidiu quitar essa duplicata</p><p>hoje, quanto ela ganhará de desconto supondo que lhe será concedido desconto</p><p>racional composto a uma taxa de juro composto de 1,35% ao mês e por quanto</p><p>foi quitada a duplicata?</p><p>Vr =</p><p>𝑀</p><p>(1 + 𝑖)𝑛</p><p>Vr =</p><p>78900</p><p>(1 + 0,0135)4</p><p>Vr =</p><p>78900</p><p>1,05510337</p><p>Vr = 74.779,40</p><p>Logo, o desconto concedido foi de:</p><p>Dr = M – Vr</p><p>Dr = 78.900,00 – 74.779,40</p><p>Dr = 4.120,60</p><p>De novo, agora é a sua vez.</p><p>Exercício 1: uma dívida de R$ 13.450,00 será paga dois meses antes do</p><p>seu vencimento. Considerando que o devedor receberá um desconto racional</p><p>composto a uma taxa de juro composto de 1,8% ao mês, qual será o valor do</p><p>desconto recebido e por quanto quitou a dívida?</p><p>Exercício 2: uma empresa tinha uma dívida de R$ 40.000,00 e pagou</p><p>quatro meses antes do vencimento por R$ 39.200,00. Qual foi a taxa de juro</p><p>composto utilizada na operação, supondo que ela recebeu um desconto racional</p><p>composto?</p><p>ELO</p><p>Você deve estar se perguntando por que existe um desconto comercial e</p><p>um desconto racional.</p><p>Observe que, às vezes, é necessário substituir um título por outro e, nesse</p><p>caso, precisamos ter certeza de que eles são equivalentes. Por exemplo, uma</p><p>grande fábrica fez um empréstimo em um banco comercial para ampliar a sua</p><p>planta e a devolução do dinheiro está prevista para dois anos após o empréstimo.</p><p>11</p><p>Entretanto, choveu muito logo após o empréstimo ter sido feito, o que está</p><p>atrasando o andamento das obras. O diretor financeiro da fábrica se dirigiu ao</p><p>banco e propôs a substituição do título, que venceria dois anos após o</p><p>empréstimo por outro, que vencerá quatro meses adiante. Logo, terá um pouco</p><p>mais de juro.</p><p>Dois ou mais títulos só são equivalentes a uma mesma taxa de juro.</p><p>Como se procede para essa troca?</p><p>O primeiro passo é verificar qual foi o regime de capitalização utilizado no</p><p>dia do empréstimo. Se foi capitalização simples, vamos utilizar o desconto</p><p>comercial simples para a troca dos títulos. Se foi capitalização composta, vamos</p><p>utilizar o desconto racional composto.</p><p>Suponhamos inicialmente que foi utilizado a capitalização simples.</p><p>Suponhamos que a fábrica tem um título de R$ 500.000,00 cujo vencimento será</p><p>no dia 28/03/20XX e o este será substituído por outro título com vencimento em</p><p>28/07 do mesmo ano. Vamos supor, ainda, que a negociação para a troca dos</p><p>títulos está sendo feita hoje e está faltando exatamente 10 meses para o</p><p>vencimento da dívida.</p><p>Então o gerente do banco verificará, aplicando o desconto comercial,</p><p>quanto seria a dívida hoje (o momento presente). Será um valor dado pela</p><p>fórmula:</p><p>Vc = M . (1 – i . n)</p><p>em que:</p><p>M é o valor do título; no nosso exemplo, R$ 500.000,00;</p><p>i é a taxa de desconto comercial a ser utilizada na operação; vamos supor</p><p>1,2% ao mês;</p><p>n é o tempo</p><p>que falta para vencer a dívida; no nosso exemplo, faltam 10</p><p>meses.</p><p>O novo título terá o valor M1 e a nova data de vencimento será n1. No</p><p>nosso exemplo, n1 vale 14 meses.</p><p>Hoje, qualquer valor futuro vale Vc.</p><p>Então, Vc = M1 . (1 – i . n1)</p><p>Igualando as duas últimas equações, temos que:</p><p>M1 . (1 – i . n1) = M . (1 – i . n)</p><p>M1 =</p><p>𝑀 . (1 − 𝑖 . 𝑛)</p><p>(1 − 𝑖 . 𝑛1)</p><p>12</p><p>No nosso exemplo, o novo título valerá:</p><p>M1 =</p><p>500000 . (1 − 0,012 . 10)</p><p>(1 − 0,012 . 14)</p><p>M1 = 528.846,15</p><p>Ou seja, como o título de R$ 500.000,00 só será pago quatro meses após</p><p>o prazo que havia sido combinado, ele ficará por R$ 528.846,15.</p><p>Você verificou que o desconto comercial simples foi utilizado para o</p><p>cálculo anterior. Ou seja, ele é utilizado quando se deseja “rolar” uma dívida.</p><p>O desconto racional simples será utilizado quando alguém vai pagar uma</p><p>dívida antecipadamente e, por isso, merece o desconto.</p><p>Vamos, agora, supor o mesmo exemplo, mas com capitalização</p><p>composta. Nesse caso, para verificarmos o quanto o título vale hoje, 10 meses</p><p>antes do vencimento, utiliza-se o desconto racional composto. O valor será,</p><p>então, dado pela fórmula:</p><p>Vr =</p><p>𝑀</p><p>(1 + 𝑖)𝑛</p><p>Hoje, qualquer valor futuro vale Vr.</p><p>Então, Vr =</p><p>𝑀1</p><p>(1 + 𝑖)𝑛1</p><p>Igualando as duas últimas equações, temos que:</p><p>𝑀1</p><p>(1 + 𝑖)𝑛1</p><p>=</p><p>𝑀</p><p>(1 + 𝑖)𝑛</p><p>M1 =</p><p>𝑀 . (1 + 𝑖)𝑛1</p><p>(1 + 𝑖)𝑛</p><p>M1 =</p><p>500000 . (1 + 0,012)14</p><p>(1 + 0,012)10</p><p>M1 =</p><p>590877,128</p><p>1,126691778</p><p>M1 = 524.435,51</p><p>No caso da capitalização composta, o desconto racional é utilizado para</p><p>a rolagem de uma dívida, já o desconto comercial é utilizado para beneficiar</p><p>quem pagou uma dívida antes do seu vencimento.</p><p>Ok. Agora você irá testar os seus conhecimentos, resolvendo os dois</p><p>exercícios a seguir.</p><p>Exercício 1: uma pessoa tinha um título de R$ 4.800,00 que venceria</p><p>daqui a 8 meses e pediu para substituir esse título por outro cujo vencimento</p><p>13</p><p>será daqui a 13 meses. Qual será o valor do novo título a uma taxa de juro</p><p>simples de 1,8% ao mês?</p><p>Exemplo 2: uma pessoa tinha um título de R$ 4.800,00 que venceria</p><p>daqui a 8 meses e pediu para substituir esse título por outro cujo vencimento</p><p>será daqui a 13 meses. Qual será o valor do novo título a uma taxa de juro</p><p>composto de 1,8% ao mês?</p><p>Respostas:</p><p>ROLÊ 1</p><p>1. Dc = 605,25 ; Vc = 12.844,75</p><p>2. i = 0,01 a.m. ou i = 1% a.m.</p><p>ROLÊ 2</p><p>1. Dr = 579,19 ; Vr = 12.870,81</p><p>2. i = 0,0102 a.m. ou i = 1,02% a.m.</p><p>TRILHA 1</p><p>1. Dc = 713,31 ; Vc = 12.736,69</p><p>2. i = 0,01005 a.m. ou i = 1,005% a.m.</p><p>TRILHA 2</p><p>1. Dr = 471,43 ; Vr = 12.978,57</p><p>2. i = 0,00506 a.m. ou i = 0,506% a.m.</p><p>ELO</p><p>1. M1 = 5.363,97</p><p>2. M1 = 5.247,59</p><p>14</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>CASTANHEIRA, N. P. Noções básicas de matemática comercial e financeira.</p><p>2. ed. Curitiba: Editora Ibpex, 2008.</p><p>CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. de. Matemática financeira aplicada.</p><p>2. ed. Curitiba: InterSaberes, 2020.</p><p>CASTANHEIRA, N. P.; SERENATO, V. S. Matemática financeira & análise</p><p>financeira para todos os níveis. 3. ed. Curitiba; Editora Juruá, 2014.</p>