PROVA SELAS, INTERPOLAÇÃO E AJUSTE - CÁLCULO NUMÉRICO

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL – ÁREA DE CIÊNCIAS EXATAS E ENGENHARIAS 
DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO – MAT0363A (2829) 
2ª AVALIAÇÃO PARCIAL: SELAS, INTERPOLAÇÃO E AJUSTE (8,0 PONTOS) 
NOME: ______________________________________________ DATA: 28/05/2018 
Nº COMPUTADOR: _____________ HORÁRIO FINAL DA PROVA: ________________ 
 
Orientações: Resolva as questões propostas com auxílio do software MATLAB. Você pode utilizar as funções construídas nas aulas. Se 
necessário, modifique-as para atender às solicitações do exercício. Na prova, registre os resultados obtidos em format short. Todas as 
respostas devem estar à caneta. Não é necessário publicar o desenvolvimento das questões da prova. Durante o tempo de prova não será 
permitido o uso de: calculadoras, celulares, dispositivos de armazenamento (pen-drives ou HDs externos), notas de aula, outros softwares além 
do MATLAB (editores de texto, navegadores, etc...). A questão extra é opcional: se resolvida corretamente, acresce um ponto à nota final. 
 
(1,5 pts) Questão 1) Considere o sistema 
{
 
 
 
 
𝑥1 + 10𝑥2 + 𝑥3 = 10
2𝑥1 + 20𝑥3 + 𝑥4 = 10
3𝑥2 + 30𝑥5 + 3𝑥6 = 0
10𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥6 = 5
2𝑥4 − 2𝑥5 + 20𝑥6 = 5
𝑥3 + 10𝑥4 − 𝑥5 = 0
 
 
a) Resolva-o com o método de Gauss-Jacobi, utilizando 𝑡𝑜𝑙 = 0,5 × 10−9 como critério de parada. 
Solução: 
X = [ _____________________________ 
 _____________________________ 
 _____________________________ 
 _____________________________ 
 _____________________________ 
 _____________________________ ] 
 
Número de iterações realizadas: _______________________________________________________________________________________ 
 
b) Determine a solução do sistema, pelo método SOR, com 𝜔 = 1,25. 
Solução: 
X = [ _____________________________ 
 _____________________________ 
 _____________________________ 
 _____________________________ 
 _____________________________ 
 _____________________________ ] 
 
Número de iterações realizadas: _______________________________________________________________________________________ 
Resíduo relativo na última iteração: ___________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
(1,0 pt) Questão 2) Uma transportadora possui cinco tipos de caminhões, representados por (1), (2), (3), (4) 
e (5), que são equipados para transportar cinco tipos diferentes de máquinas (A, B, C, D, E). Na tabela, estão 
representadas as quantidades de cada tipo de máquina que cada caminhão pode transportar levando carga 
plena: 
 
Assim, o caminhão (1) pode transportar uma máquina A, uma máquina B, uma máquina C, nenhuma máquina 
D, duas máquinas E. Quantos caminhões de cada tipo devemos enviar para transportar exatamente: 
27 máquinas do tipo A, 
23 máquinas do tipo B, 
31 máquinas do tipo C, 
31 máquinas do tipo D. 
22 máquinas do tipo E? 
Supondo que cada caminhão saia com carga plena, resolva o problema com método à sua escolha. 
Método escolhido: _______________________________________________________________________________________________________ 
Dados de entrada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: (1) = ________________________________ 
(2) = ________________________________ 
 (3) = ________________________________ 
(4) = ________________________________ 
(5) = ________________________________ 
 
(1,0 pt) Questão 3) Determina-se empiricamente o alongamento de uma mola, em milímetros, em função da 
carga 𝑃 (kgf) que sobre ela atua, obtendo-se: 
𝑥 5 10 15 20 25 30 35 40 
𝑃 49 105 172 253 352 473 619 793 
 
Interpolando adequadamente por meio de polinômios de terceiro grau, encontre as cargas que produzem os 
seguintes alongamentos na mola: 
a) 12 mm 
Resposta: _________________________________________________________________________________________________________________ 
 
b) 22 mm 
Resposta: _________________________________________________________________________________________________________________ 
 
c) 31 mm 
Resposta: _________________________________________________________________________________________________________________ 
 
(1,5 pt) Questão 4) Valores de entalpia por unidade de massa ℎ de um plasma de Argônio em equilíbrio (íons 
Ar, Ar+, A++, A+++ e elétrons) versus temperatura são dados na seguinte tabela: 
 
𝑇 
(103 K) 
5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25 27,5 30 
ℎ 
(MJ/kg) 
3,3 7,5 41,8 51,8 61 101,1 132,9 145,5 171,4 225,8 260,9 
 
a) Utilizando interpolação por splines cúbicos, determine ℎ para uma temperatura de 18000 K. 
Resposta: _________________________________________________________________________________________________________________ 
 
b) Usando um polinômio interpolador que contém todos os nodos, calcule a temperatura para que a entalpia 
seja 150 MJ por quilograma desse plasma. 
Linhas de comando: _____________________________________________________________________________________________________ 
____________________________________________________________________________________________________________________________ 
____________________________________________________________________________________________________________________________ 
____________________________________________________________________________________________________________________________ 
____________________________________________________________________________________________________________________________ 
Resposta: _________________________________________________________________________________________________________________ 
 
 
(1,5 pt) Questão 5) A intensidade de uma fonte de radiação é dada pela expressão 𝐼 = 𝐼0𝑒
−𝛼𝑡. 
 
a) Encontre as constantes 𝐼0 e α usando os seguintes dados: 
 
𝑡 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 
𝐼 3,16 2,38 1,75 1,34 1,00 0,74 
 
𝑰𝟎 = _______________________________________________________________________________________________________________________ 
𝛂 = _______________________________________________________________________________________________________________________ 
 
b) Supondo que o modelo de ajuste obtido em (a) pode ser utilizado para 0 ≤ 𝑡 ≤ 1, utilize-o para calcular a 
intensidade da fonte quando 𝑡 = 1. 
 
Resposta: _________________________________________________________________________________________________________________ 
 
c) Determine o tempo necessário para que a intensidade da fonte se reduza à metade da intensidade inicial. 
 
Resposta: _________________________________________________________________________________________________________________ 
 
Explicite, rapidamente, os passos utilizados na resolução do item (c): 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1,5 pt) Questão 6) Placas de orifício com bordas em canto (ou faca) são muito utilizadas na medição da vazão 
de fluidos através de tubulações. A figura abaixo mostra uma placa de orifício que tem os seguintes parâmetros 
geométricos representativos: 
𝐴 = área da seção reta do orifício 
𝐴1 = área da seção reta da tubulação 
𝐴2 = 𝐶𝐴 (seção rata no ponto de maior contração 
após o orifício) 
 
 
O coeficiente 𝐶 é função da razão 
𝐴
𝐴1
 e valores experimentais deste coeficiente estão listados na tabela a se-
guir: 
𝐴
𝐴1
 
0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 
𝐶 0,62 0,63 0,64 0,66 0,68 0,71 0,76 0,81 0,89 1,00 
 
a) A teoria nos diz que a relação entre as variáveis da tabela é quadrática. Fazendo 𝑥 =
𝐴
𝐴1
, ajuste a função 
𝐶(𝑥) utilizando um modelo quadrático. 
Resposta: _________________________________________________________________________________________________________________ 
 
b) Para esse conjunto de dados, seria interessante propor um ajuste exponencial? Justifique. 
Resposta:Questão Extra) Mr. K. P. Lear (1609, Way of Astronomy) teve a ideia de que a Terra se move ao redor do Sol 
em órbita elíptica, com o Sol em um dos focos. Depois de muitas observações e cálculos, ele obteve a tabela a 
seguir, onde 𝑟 é a distância da Terra ao Sol (em milhões de km) e 𝑥 é o ângulo (em graus) entre a linha Terra-
Sol e o eixo principal da elipse. 
𝑥 0 45 90 135 180 
𝑟 147 148 150 151 152 
Mr. Lear sabe que uma elipse pode ser escrita pela fórmula: 
𝑟 =
𝜌
1 + 𝜖 cos 𝑥
 
 
Com os valores da tabela, ele agora pode estimar os valores de 𝜌 e 𝜖. Ajude Mr. Lear a estimar os valores de 𝜌 
e 𝜖 (depois de um rearranjo da fórmula anterior). 
Respostas: 
𝝆 =________________________________________________________________________________________________________________________ 
𝝐 =________________________________________________________________________________________________________________________ 
clc, close, clear 
%Exercício 01 - Prova 02 
A=[10 1 0 0 0 -1; 1 10 1 0 0 0; 2 0 20 1 0 0; 0 0 1 10 -1 0; 0 3 0 0 30 
3; 0 0 0 2 -2 20]; 
b=[5 10 10 0 0 5]'; 
tol=0.5*10^-9; 
kmax=1000; 
w=1.25; 
disp ('Letra a') 
[x,Erel,k] = Gauss_Jacobi(A, b, tol,kmax) 
 
disp ('Letra b') 
[x,ERel,k] = SOR(A,b,tol,kmax,w) 
 
Respostas: 
Letra a 
x = 
 
 0.4333 
 0.9107 
 0.4595 
 -0.0575 
 -0.1155 
 0.2442 
Erel = 
 
 4.9820e-10 
k = 
 13 
Letra b 
x = 
 0.4333 
 0.9107 
 0.4595 
 -0.0575 
 -0.1155 
 0.2442 
ERel = 
 1.9500e-10 
k = 
 24 
 
clc, clear, close 
%Exercício 02 - Prova 02 
A=[1 1 1 0 2; 0 1 2 1 1; 2 1 1 2 0; 3 2 1 2 1; 2 1 2 3 1]'; 
b=[27 23 31 31 22]'; 
x=SLGauss(A,b) 
 
Respostas: 
x = 
 
 4.0000 
 6.0000 
 2.0000 
 3.0000 
 5.0000 
 
clc, clear, close 
%Exercício 03 - Prova 02 
disp ('Letra a') 
x1=[5 10 15 20]; 
y1=[49 105 172 253]; 
u1=12; 
[ va ] = Lagrange( x1,y1,u1 ) 
disp ('Letra b') 
x2=[15 20 25 30]; 
y2=[172 253 352 473]; 
u2=22; 
[ vb ] = Lagrange( x2,y2,u2 ) 
disp ('Letra c') 
x3=[25 30 35 40]; 
y3=[352 473 619 793]; 
u3=31; 
[ vc ] = Lagrange( x3,y3,u3 ) 
 
Respostas: 
Letra a 
va = 
 130.3120 
 
Letra b 
vb = 
 290.2160 
 
Letra c 
vc = 
 500.1040 
clc, clear, close 
%Exercício 04 - Prova 02 
x=[5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25 27.5 30]'; 
y=[3.3 7.5 41.8 51.8 61 101.1 132.9 145.5 171.4 225.8 260.9]'; 
u=18; 
disp ('Letra a') 
v=ISpline3(x,y,u) 
disp('Letra b') 
[X] = MVander(x,10); 
[C] = Gauss(X,y); 
 
%p = @(t) C(1).*t.^10 + C(2).*t.^9 + C(3).*t.^8 + C(4).*t.^7 + C(5).*t.^6 
+ C(6).*t.^5 + C(7).*t.^4 + C(8).*t.^3 + C(9).*t.^2 + C(10).*t + C(11)-
150; 
C(11)=C(11)-150; 
f=matlabFunction(poly2sym(C)) 
 
a = 22.5; 
b = 25; 
tol = 0.5e-6; 
kmax = 1000; 
[x,ERel,k] = Bissecao(f,a,b,tol,kmax) 
 
Respostas: 
Letra a 
 
v = 
 109.2301 
 
Letra b 
 
x = 
 23.1771 
ERel = 
 4.1147e-07 
 
k = 
 18 
 
 
 
 
 
 
 
clc, clear, close 
%Exercício 05 - Prova 02 
x=[0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7]'; 
y=[3.16 2.38 1.75 1.34 1 0.74]'; 
disp ('Letra a') 
[a,b,SQE]=ajuste_exp(x,y) 
disp ('Letra b') 
f=@(x)a*exp(b*x); 
resp=f(1) 
disp('Letra c') 
I=@(x)a*exp(b*x)-a/2; 
a=0; 
b=1; 
tol=0.5e-9; 
kmax=1000; 
[x,ERel,k] = Bissecao(I,a,b,tol,kmax) 
 
Respostas: 
 
Letra a 
 
a = 
 5.6414 
b = 
 -2.8933 
SQE = 
 8.9062e-04 
 
Letra b 
 
resp = 
 0.3125 
 
Letra c 
 
x = 
 0.2396 
ERel = 
 4.8594e-10 
k = 
 33 
 
 
clc, clear, close 
%Exercício 06 - Prova 02 
x=[0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1]'; 
y=[0.62 0.63 0.64 0.66 0.68 0.71 0.76 0.81 0.89 1]'; 
disp('Letra a') 
m=2; 
[c,SQE] = ajuste_pol(x,y,m) 
disp ('Letra b') 
[a,b,SQE]=ajuste_exp(x,y) 
 
Respostas: 
Letra a 
 
c = 
 
 0.5644 
 -0.2317 
 0.6502 
 
 
SQE = 
 
 0.0011 
 
Letra b 
 
a = 
 
 0.5532 
 
 
b = 
 
 0.5070 
 
 
SQE = 
 
 0.0129