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Descartes in Amsterdam (1629), de um desenho de Felix Philippoteaux. Coleção particular. 
A essência da ideia que uniu Fermat e Descartes na história da Matemática, quando 
aplicada ao plano, consiste em estabelecer uma correspondência que associe a uma reta 
ou curva do plano uma equação em duas variáveis que represente a figura e vice-versa. 
Para isso é preciso contar com um referencial no plano. Modernamente o referencial é 
formado por duas retas numeradas (eixos coordenados) perpendiculares e com a mesma 
origem. Numa carta de 1629 ao matemático francês Roberval (1602-1675), Fermat 
afirmou, por exemplo, que ax + by + c = 0, em que a, b, c são números reais dados, com 
a ? 0 ou b ? 0, é a equação de uma reta. (Lembrar que cada solução é um ponto (x0, y0) 
cujas coordenadas tornam verdadeira a equação.) 
Mas Fermat e Descartes não usavam o semieixo das ordenadas nem coordenadas 
negativas. A figura 1 mostra como a extremidade superior do segmento y (ordenada) 
levantado a partir da extremidade do segmento variável x (abscissa) representava o 
ponto P = (x, y). Fermat faria o mesmo só que com duas vogais maiúsculas, por 
exemplo (A, E). As ordenadas tinham uma inclinação constante em relação ao eixo 
horizontal — às vezes, de 90°. O referencial atualmente usado impôs-se com o tempo, 
vindo a ser adotado universalmente por volta do fim do século XVIII.