lista23

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Ciências e Tecnologia
Lista 23 - Prazo de entrega: 12/11/2019
1. Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções indicadas
(a) f(x, y, z) = ax+ by + cz.
(b) f(x, y, z) = cos(x+ y + z).
(c) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2.
(d) f(x, y, z) = 1√
x2+y2+z2
, (x, y, z) 6= (0, 0, 0).
(e) f(x, y) = arctan
(
y
x
)
, x > 0.
(f) f(x, y) = 1
2
log(x2 + y2), x > 0.
(g) f(x, y) = xy, x > 0.
2. Mostre que a função u(x, y) = ex cos(y) é solução da equação de Laplace em duas dimensões
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= 0 .
3. Mostre que a função u(x, y) = 1
2
log(x2 + y2) é solução da equação de Laplace em duas
dimensões
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= 0 .
4. Mostre que a função u(x, y, z) = 1√
x2+y2+z2
é solução da equação de Laplace em três dimensões
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
+
∂2u
∂z2
= 0 .
5. Mostre que a função u(x, t) = e−αk2t sen(kx) é solução da equação de difusão unidimensional
∂u
∂t
= α
∂2u
∂x2
.
1
6. Mostre que a função u(x, t) = sen(kx) sen(kvt) é solução da equação de onda unidimensional
1
v2
∂2u
∂t2
=
∂2u
∂x2
.
7. Mostre que a função u(x, t) = cos(kx− kvt) é solução da equação de onda unidimensional
1
v2
∂2u
∂t2
=
∂2u
∂x2
.
8. Seja f(s) uma função de uma variável duas vezes diferenciável em todo s real. Mostre que a
composição u(x, t) = f(x± vt) é solução da equação de onda unidimensional
1
v2
∂2u
∂t2
=
∂2u
∂x2
.
2