Apostila 02 - Programação Linear

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Pesquisa Operacional
Programação Linear
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Julio Loureiro
1ª Edição
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Sumário
Programação Linear
Para Início de Conversa... ............................................................................... 3
Objetivo ......................................................................................................... 3
1. Modelagens em PL ....................................................................................... 4
2. Manipulação de problemas de Programação Linear, 
método gráfico .............................................................................................. 6
Referências ......................................................................................................... 16
 3
muito útil para a identificação da solução ótima de maximização ou 
minimização.
Objetivo 
Aplicar os diferentes tipos de Programação Linear, conectando-os com 
as formas de representação geométrica. 
Para Início de Conversa...
A Pesquisa Operacional, ou simplesmente PO, é vista como uma 
ferramenta que utiliza a matemática para a resolução de problemas 
das empresas, tornando possível a solução de problemas reais, a 
partir da tomada de decisões baseadas em fatos, dados e correlações 
quantitativas. 
Viabiliza ainda planejar, analisar, implementar, conceber, simular, operar 
e até controlar sistemas por meio da tecnologia, bem como de métodos 
de outras áreas do conhecimento; entre as suas possibilidades, temos 
opções que permitem minimizar custos e maximizar o lucro ou, ainda, 
encontrar a melhor solução para um problema, também conhecida como 
solução ótima.
Neste capítulo, conheceremos um pouco mais sobre os problemas que 
podem ser apresentados e interpretados sob a forma gráfica e a partir 
daí serem tomadas as decisões ótimas para a busca da solução dos 
problemas apresentados.
O Método Gráfico que será visto é uma versão decorrente de uma 
ferramenta conhecida como Método Simplex, que veremos em maior 
profundidade futuramente.
Ainda que a aplicação do método gráfico na Programação Linear seja 
limitada a alguns tipos de problemas mais simples, ela poderá ser 
 4
1. Modelagens em PL
Na origem da PO, na Segunda Guerra Mundial, a disponibilidade de 
recursos bélicos era limitada, um cenário muito próximo daquilo que 
se observa na atualidade nas organizações. Perante tal realidade, a 
Pesquisa Operacional busca a melhor distribuição possível dos recursos 
existentes, visando a alcançar o melhor resultado possível com os 
recursos disponíveis.
Todos os dias os gestores se deparam com os mais variados problemas 
e desafios, que os levam a decidir ou escolher entre as alternativas que 
forem melhores e mais viáveis. Esses mesmos profissionais, mesmo que 
de forma inconsciente, definem o problema, estabelecem o objetivo a 
ser alcançado, ponderam as limitações que podem existir e por fim 
acabam analisando as possíveis alternativas, para poderem selecionar 
a melhor delas.
A pesquisa operacional se apresenta dentro do contexto atual e 
tem como principal função ser uma ferramenta capaz de auxiliar nos 
processos de tomada de decisão no ambiente empresarial e nos 
negócios, apta a solucionar diversos problemas, tais como: otimização 
de recursos, minimização de custos, maximização de lucro, minimização 
dos deslocamentos de uma frota, roteirização de veículos, localização 
de instalações, composição de carteiras de investimento, alocação 
de equipes e pessoal, alocação de verbas de mídia, determinação 
do portfólio ou mix de produtos, determinação do planejamento da 
produção, entre outros.
Para lidar com os problemas mais simples, aplica-se em maior escala 
a expertise e a própria experiência pessoal ou de algum membro da 
equipe, que normalmente são determinantes e suficientes para uma 
adequada tomada de decisão. Todavia, com a crescente complexidade 
imposta pelos desafios modernos, é necessário algo mais para subsidiar 
tais decisões, uma abordagem menos intuitiva e mais científica. Logo, 
precisamos conhecer as opções e ferramentas que utilizam recursos 
e cálculos, que vão desde as funções matemáticas mais simples até o 
uso de modelagem e simulações realizadas em computadores, que 
permitirão obter um melhor resultado, conforme cada caso.
Para os casos mais desafiadores, a Programação Linear se mostra 
promissora. Trata-se de um ramo da ciência que busca a solução de 
problemas reais, com foco na tomada de decisões, sejam elas observadas 
na administração de empresas, logística, marketing, finanças, recursos 
humanos, administração da produção, gestão em geral ou outras áreas 
como medicina, engenharias, arquitetura, entre outras. São na verdade 
um conjunto de métodos que tem como objetivo obter o maior proveito 
possível dos sistemas de gestão, finanças, produção, indústria e serviços.
 5
A seguir, listamos alguns problemas que podem ser resolvidos com a 
programação linear ou simplesmente PL:
 ▪ Gestão de empresas, como na determinação das quantidades a 
serem produzidas, do mix de produtos, de acordo com os recursos 
disponíveis, em função das condições tecnológicas existentes e das 
preferências do mercado.
 ▪ Problemas relacionados com os transportes, como definição dos 
custos de deslocamento de cada unidade do produto, considerando 
as origens e os destinos para formação de uma rede de distribuição.
 ▪ No sistema bancário, associado à estrutura financeira, com 
estabelecimento de ativos que maximizem o lucro versus a redução 
do risco, para formação de carteiras de investimentos.
 ▪ Concentração de componentes em uma fórmula de um produto 
alimentício, como na proposição de redução ou aumento da 
participação de determinados ingredientes, visando à maximização 
do lucro e redução dos custos, respeitando os requisitos técnicos para 
a colocação no mercado, como no mercado de rações para peixes.
 ▪ No planejamento da plantação de um canavial para a produção de 
etanol, considerando a produção esperada, superfície agricultável 
do terreno, mão de obra, quantidade de água que será consumida, 
entre outros.
De acordo com Andrade (2015), os problemas associados à alocação de 
recursos são caracterizados pela:
 ▪ Existência de um objetivo que possa ser expresso em termos das 
variáveis de decisão relacionadas ao problema em estudo.
 ▪ Presença de restrições aplicáveis à utilização dos recursos envolvidos, 
tanto em termos quantitativos quanto em relação à forma de se 
empregar esses recursos.
 ▪ Possibilidade de representação por meio de modelos de otimização, 
em que todas as relações matemáticas, envolvendo suas variáveis, 
são lineares, ou seja, onde a variável não excede o primeiro grau.
Entendida como uma das principais ferramentas da PO, a PL apresenta 
inúmeras aplicações, como já mencionado anteriormente, incluindo sua 
capacidade de apoiar decisões focadas em problemas de alocação de 
recursos. 
 6
2. Manipulação de problemas de Programação 
Linear, método gráfico
Além de possibilitar a identificação de uma solução ótima, segundo 
Longaray (2013), o método gráfico permite ao estudante e profissional 
que vier a utilizar a PO, entender como se operacionaliza a relação da 
matemática entre as restrições e a ligação destas com a função-objetivo 
do modelo de PL. O principal detalhe a ser observado é que existem 
apenas duas variáveis envolvidas. Em função da sua simplicidade, 
ele é considerado o ponto de partida no estudo e entendimento da 
Programação Linear.
Como o objetivo do nosso estudo é apresentar as noções e aplicações 
básicas de pesquisa operacional com foco nos cursos da gestão nas 
ciências sociais aplicadas, o estudo do método gráfico é muito importante, 
sendo uma excelente oportunidade de ter contato com o uso dos 
gráficos de forma aplicada, que sãoacionados para descrever situações 
enfrentadas na vida real, na esfera pessoal e da sua organização.
O método gráfico possui a sua base matemática na teoria dos conjuntos 
convexos. Um conjunto para ser chamado de convexo, precisa conter 
todos os segmentos que unem quaisquer dois pontos desse mesmo 
conjunto. Obeserve:
Figura 1: Exemplos de uma forma convexa e uma não convexa. Fonte: Adaptada de Caixeta-
Filho (2011).
Como pode ser observado, quaisquer retas traçadas dentro do polígono 
convexo ficam contidas no seu espaço. Ou seja, todos os pontos 
pertencentes ao segmento de reta AB contidos dentro dele. Já no 
segundo conjunto, que é um exemplo não convexo, parte do segmento 
de reta CD, não está totalmente contida nele.
Isso nos mostra que, em condições convexas, as respostas contidas 
neste espaço estão limitadas pelas restrições, condição necessária 
para a busca de uma resposta tecnicamente viável, aspecto que não 
pode ser garantido no caso não convexo, pois existem segmentos da 
reta que estão em regiões, que poderão conter restrições ou serem 
simplesmente inviáveis.
A
B
C
D
Convexo Não Convexo
 7
O vértice do polígono é identificado quando um determinado ponto 
estiver contido em um conjunto convexo, mas não puder ser expresso 
como uma combinação de outros pontos, ele será, então, um dos vértices 
do polígono.
Para Longaray (2013), o método gráfico se resolve a partir da 
determinação do conjunto convexo e pela detecção do vértice ótimo 
desse conjunto. Esse ponto representa o local que não pode ser expresso 
como uma combinação de outros dois pontos quaisquer que integrem o 
conjunto convexo.
Figura 2: Identificação de um dos quatro vértices do conjunto convexo
Fonte: Elaborada pelo autor.
A
B
Convexo
um dos vértices do polígono
Para solucionar problemas com o apoio do Método Gráfico, segundo 
Crócoli (2016), precisamos inicialmente estruturar o problema e 
determinar as restrições, realizando os cálculos numéricos necessários 
e determinar o polígono de viabilidade técnica, através da disposição 
gráfica das restrições lineares, como veremos logo abaixo. 
Em seguida, selecionar uma função-objetivo adequada, onde a medida 
da eficácia deve ser constante, alinhada com os objetivos de ordem 
superior e a função deve ser linear. 
Por fim, determinar a solução ótima, usando o método gráfico direto 
ou algébrico.
O gráfico abaixo ilustra um caso em que um problema foi representado 
graficamente por duas retas; a área em destaque mostra o chamado 
polígono de viabilidade técnica, ou seja, visualmente, qualquer ponto 
marcado dentro desta área seria tecnicamente viável e aceito, pontos 
fora da área poderiam ser descartados, pois não atendem aos requisitos 
limitantes dados pelas duas equações indicadas. 
Um analista que observe um determinado comportamento dentro do 
polígono de viabilidade técnica, conhecido também como conjunto de 
planos viáveis, polígono de pontos factíveis ou região Simplex, poderá 
decidir de forma mais segura e direta.
O encontro das duas retas forma um vértice, que pode ser o ponto ótimo 
da solução.
 8
A grande limitação do método gráfico se dá em função do emprego de 
modelos lineares em dois eixos (x e y), ou seja, apenas a problemas com 
duas variáveis.
Figura 3: Representação do polígono de viabilidade técnica
Fonte: Elaborada pelo autor.
A região em destaque no gráfico, além de ser conhecida como polígono 
de viabilidade técnica, conjunto de planos viáveis ou polígono de planos 
factíveis, também pode ser chamada de Região Simplex, espaço que 
contém as soluções possíveis para um determinado problema.
0
X2 2ª variável ou X2
Polígono de viabilidade técnica
1ªvariável ou X1
Vértice
X1
Representação geométrica de um problema de Programação Linear 
Vamos, agora, conhecer um problema associado à maximização, cuja 
resolução será dada pela PL.
Certo fabricante de equipamentos eletrônicos produz caixas amplificadas 
com portas USB. Na sua unidade fabril, existem duas linhas de produção, 
uma voltada para o modelo mais simples, chamada de padrão (P), e outra 
para uma caixa mais sofisticada, com maior quantidade de recursos, 
conhecida como especial (E). 
Com relação às caixas USB padrão, seguem algumas informações:
 ▪ A linha de produção comporta no máximo 24 profissionais voltados 
para a montagem;
 ▪ Cada caixa consome 1 homem/dia para ser produzida;
 ▪ Cada caixa padrão fornece um lucro de R$ 30,00. 
Para a caixa USB especial:
 ▪ A linha de produção comporta no máximo de 32 profissionais na 
montagem;
 ▪ Cada caixa demanda 2 homens/dia para ser produzida;
 ▪ Cada caixa especial fornece um lucro de R$ 50,00.
Na intenção de maximizar o lucro diário, que pode ser obtido pela 
produção das caixas, e considerando que a fábrica tem um total de 
 9
40 empregados a serem alocados nas duas linhas de produção, ajude 
o empresário a obter a melhor combinação, que maximize o lucro 
resultante das caixas produzidas. 
Com o concurso da Programação Linear para resolver este desafio, 
inicialmente precisamos transcrever as características do problema em 
um modelo matemático abstrato, que será composto por uma função-
objetivo e um conjunto de restrições. Consideraremos que as variáveis 
do problema serão as quantidades máximas a serem produzidas dos 
modelos de caixa USB padrão (P) e do modelo especial (E).
A função objetivo nos mostrará como o lucro se relaciona com as 
variáveis do problema e o conjunto de restrições, ela nos indicará os 
limites para as mesmas variáveis. 
Considerando que buscaremos maximizar o lucro, com base nos dados 
informados, que cada caixa padrão (P) fornece um lucro de R$ 30,00 
e as especiais (E) um lucro de R$ 50,00; logo a função-objetivo será 
dada por: 
Lucro = 30 x P + 50 x E ou
L = 30P + 50E
O próximo passo será organizar o conjunto de restrições do problema. 
Foi relatado que a linha de produção da caixa padrão comporta até o 
máximo de 24 operários e como cada caixa consome 1 homem/dia para 
ser produzida, a produção máxima diária desta linha é de 24 caixas, ou 
seja, que P deverá ser menor ou igual a 24 ou:
P ≤ 24
Figura 4: Restrição do número de operários na linha de caixas padrão (P)
Fonte: Elaborada pelo autor.
Observação: esta linha poderá admitir até 24 operários, considerando 
que cada empregado produzirá uma caixa por dia do modelo padrão (P).
Para a linha de fabricação do modelo especial, admite-se um máximo de 
32 profissionais. A produção de uma caixa consome 2 homens/dia, o que 
significa que a produção máxima diária desta linha será de 16 caixas por 
dia. Desta forma, esta restrição nos diz que a linha de caixas especiais 
deverá ter a capacidade de produção igual ou menor que 16:
0
P < 24
P24
E
 10
E ≤ 16
Figura 5: Restrição do número de operários na linha de caixas especiais (E). Fonte: Elaborada 
pelo autor.
Observação: esta linha poderá produzir qualquer quantidade entre 0 e 
16 caixas do modelo especial, pois conta com uma capacidade máxima 
de 32 operários e cada caixa exige a dedicação de um trabalhador por 
dois dias para ser feita; logo, ao converter para o dia de trabalho, seria 
possível fazer até 16 caixas com o efetivo máximo admitido no local.
Foi dito no enunciado que a fábrica tem um quadro de 40 trabalhadores 
no seu efetivo, que a linha dedicada às caixas padrão utiliza 1 homem/
dia e que a linha especial gasta 2 homens/dia, para produzir uma caixa 
conforme cada modelo.
Considerando que a linha padrão comporta 24 profissionais e que 
a especial comporta 32, a combinação de profissionais nas duas 
0
E < 16
P
E
16
deve ser igual ou menor que 40 empregados dedicados à montagem, 
preferencialmente com o uso pleno da força de trabalho, restando 
descobrir qual a combinação ideal para maximizar o lucro.
Dessa forma, a linha P (padrão) vai consumir 1xP ou 1P operários e a 
linha E (especial) vai consumir 2xE ou 2E operários, sendo a soma deles 
igual ou menos que 40 empregados. Logo, teremos que:
1P + 2E ≤ 40
Com esses dados organizados,temos o seguinte modelo matemático 
para o desafio de maximização de lucro:
 ▪ Função-objetivo para obtenção do lucro máximo possível, a partir 
da melhor combinação e uso das linhas de produção com o efetivo 
disponível
 Lucro = 30P + 50E
 ▪ Dadas as restrições
P ≤ 24
E ≤ 16
1P + 2E ≤ 40
 11
Na PL, as variáveis P e E nunca poderão ser negativas, dado que não temos 
como imaginar uma produção negativa. Essa é uma das características 
mais importantes nos modelos de PL. 
Em continuidade, vamos representar graficamente as restrições e a 
função-objetivo, para se determinar, então, a melhor solução. 
Ao lançarmos as restrições e a função-objetivo no plano cartesiano, 
passamos a ter a possibilidade de visualizar o polígono de viabilidade 
técnica, espaço que acomoda as possíveis soluções para o desafio, 
considerando a função-objetivo e as restrições.
A primeira restrição que iremos representar é a dada pela inequação:
1P + 2E ≤ 40
Que ao ser transformada em equação, pode ser reescrita como:
1P + 2E = 40
Para localizar os pontos onde a reta se encontra com os eixos, que 
representam a produção das caixas padrão (P) e especial (E), devemos 
igualar cada variável separadamente a zero. Desta forma, quando P for 
igual a zero, o valor resultante de E será 20; (0,20). 
1P + 2E = 40
(1x0) + 2E = 40
2E = 40
E = 40/2
E = 20
Da mesma forma, quando igualamos o E a zero, teremos o P igual a 
40; (40,0).
1P + 2E = 40
1P + (2x0) = 40
1P = 40
P = 40/1
P = 40
Com a marcação dos dois pontos no gráfico e a união deles, teremos a 
seguinte representação gráfica:
 12
Figura 6: Representação gráfica da inequação 1P + 2E ≤ 40. Fonte: Elaborada pelo autor.
Cada ponto do segmento da reta traçado representa um par de produção 
de caixas USB (Padrão, Especial), que utilizará exatamente 40 operários 
na produção. Como na nossa inequação prevê que podemos utilizar 
até 40 operários, podemos concluir que a região abaixo do segmento 
de reta traçado contém os pares possíveis de produção (P,E), os quais 
juntamente com os pontos do segmento de reta, atendem corretamente 
à inequação. 
Da mesma forma, devemos representar as duas restrições existentes que 
limitam a capacidade de atuação de profissionais em cada linha e da 
consequente produção destas.
Logo, a área sombreada na figura a seguir corresponde à inequação dada 
1P + 2E ≤ 40, representada pela equação 1P + 2E = 40 e pelas restrições 
P ≤ 24 e E ≤ 16, ou seja, P = 24 e E = 16.
0
P+2E = 40
40 P
E
20
Figura 7: Representação gráfica das restrições dadas no problema. Fonte: Elaborada pelo autor.
Agora, vamos cuidar da função-objetivo, que será também representada 
no gráfico, possibilitando identificar a condição que fornecerá o lucro 
máximo possível com o efetivo disponível e possível de ser acomodado 
em cada linha de produção.
Isso pode ser feito da seguinte maneira: 
 ▪ 1º traça-se uma reta qualquer da família de retas (por exemplo: Lucro 
= 1500).
 ▪ 2º traça-se uma reta paralela a ela que toque em pelo menos um dos 
pontos na região de soluções compatíveis. 
 ▪ 3º calcula-se o valor correspondente ao primeiro ponto tocado.
0
P+2E = 40
40 P
E
20
24
16
Polígono de 
viabilidade técnica
 13
Passo 1 – traçar a reta que representa a maximização do lucro, por 
exemplo um lucro arbitrado de R$ 1500,00. Dada por L = 30P + 50E. 
Todas as demais retas resultantes desta equação serão paralelas 
entre si.
Se o Lucro for igual a R$ 1.500,00 e o valor de P = 0, temos:
1500 = 0xP + 50xE
1500 = 0 + 50E
50E = 1500
E = 1500/50
E = 30
O que forma o par (P,E) = (0,30)
Igualando E a zero, E = 0, mantido o mesmo lucro projetado de R$ 
1.500,00, teremos:
1500 = 30xP + 0xE
1500 = 30P + 0
30P = 1500
P = 1500/30
P = 50
O que forma o par (P,E) = (50,0)
Em seguida, voltemos ao gráfico das restrições e vamos marcar as 
coordenadas obtidas (0,30) e (50,0), a união dos dois pontos mostra a 
reta resultante do lucro de R$ 1500,00, mas perceba que ele não cruza 
ou toca pelo menos em um ponto do polígono de viabilidade técnica, 
que está abaixo da reta, em direção ao vértice do gráfico.
Figura 8: Representação da reta de maximização do lucro
Fonte: Elaborada pelo autor.
Passo 2 – Como a reta obtida do lucro de R$ 1.500,00 encontra-se 
depois da área de viabilidade técnica, devemos traçar uma reta paralela 
até encontrar pelo menos um ponto comum nessa área.
0 40 50 P
E
20
30
24
16
 14
Figura 9: Reta paralela traçada em direção à área do polígono de viabilidade técnica. Fonte: 
Elaborada pelo autor.
Visualmente, observaremos que, quanto mais afastada da origem 
estiver uma destas retas, maior o valor de Lucro correspondente, 
desde que toquem em pelo menos um dos pontos do polígono de 
viabilidade técnica. Portanto, as análises gráficas nos permitem obter 
as características da solução ótima de tais problemas, de uma maneira 
visual e com a identificação da função-objetivo e das restrições, de 
forma intuitiva.
Para achar o lucro máximo no problema dado, temos de procurar qual 
o ponto da região de viabilidade técnica, fornecerá o maior valor para 
o lucro. 
0 40 50 P
E
20
30
24
16
Pelas considerações anteriores, por esse ponto vai passar uma única reta 
da família de retas paralelas obtidas, aquela onde P = 24, a mais afastada 
das retas paralelas do lucro, que toca o vértice que pertence à região 
de viabilidade técnica. Logo, essa será a combinação de lucro ótimo 
com a produção de caixas das linhas de produção P e E, obedecendo às 
restrições fornecidas pelo problema.
Passo 3 – Deve-se calcular o valor correspondente ao ponto identificado.
Figura 10: Representação gráfica da reta que maximiza o lucro na produção de caixas de som. 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Considerando que P + 2E = 40, que define o número máximo de 
combinações possíveis para a produção de caixas USB padrão e caixas 
especiais, faremos a substituição do valor obtido em P (P=24 caixas), 
para identificar o valor equivalente de E (E=?), que é o dado que falta. 
0 40 50 P
E
20
30
24
16
?
 15
Visualmente, o valor buscado é de aproximadamente a metade o valor 
quando P=0, ou seja, metade de 16, vamos conferir:
P + 2E = 40
24 + 2E = 40
2E = 40 – 24
2E = 16
E = 16/2 = 8 caixas
Fazendo a substituição na fórmula da maximização do lucro: L = 30P + 
50E, teremos:
L = 30x24 + 50x8
L = 720 + 400
L = 1120 = R$ 1.120,00
Ou seja, o ponto onde o lucro é máximo, será dado pelas coordenadas 
(24,8), que será de R$ 1.120,00.
No nosso exemplo teremos 24 operários na linha de caixas USB padrão, 
que produzirão um total de 24 caixas de som por dia e 16 operários na 
linha de caixas especiais, que produzirão 8 caixas de som por dia.
A soma do número de operários nas duas linhas será igual ao efetivo 
total da fábrica, ou seja, teremos os 40 operários trabalhando.
Como pode ser identificado, a solução de um dado problema pode 
obtida de forma intuitiva e em outros casos mais simples com até duas 
variáveis, com o uso de gráficos que possibilitam mostrar de forma 
visual a identificação de uma solução ótima ao problema apresentado, 
auxiliando o gestor a tomar a melhor decisão.
Nota-se que a função-objetivo sempre passará por pelo menos um dos 
pontos extremos do conjunto de soluções compatíveis e que a mesma 
estará em um vértice (solução única) ou, eventualmente, poderá 
coincidir com um dos segmentos de reta de alguma restrição, em que 
qualquer ponto do segmento passará a ser uma solução ótima (neste 
caso, muitas soluções). 
No nosso exemplo, ao arbitrar um valor de lucro máximo e traçar a sua 
reta equivalente, tornou possível traçar uma outra reta que passou pelo 
vértice do polígono de viabilidade técnica, o que fez com que a solução 
ótima pudesse ser calculada com a identificação do ponto estará no ponto 
que cruza as retas P = 24 e P + 2E = 40, pois é onde o ponto do polígono 
de viabilidade técnica ou Região Simplex encontra-se mais afastado da 
origem dos eixos coordenados, considerando o lucro máximo. 
Com a realizaçãodos cálculos necessários (resolução do sistema de 
equações lineares e a aplicação na função-objetivo), encontramos a 
 16
solução ótima para a combinação da produção dos modelos: padrão, P 
= 24 caixas, de especial, E = 8 caixas, obtendo-se, dessa forma, um lucro 
máximo de R$ 1.120,00 e empregando o efetivo total da fábrica. 
Referências
ANDRADE, E. L. de. Introdução à pesquisa operacional: métodos e 
modelos para análise de decisões. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015. 
CAIXETA-FILHO, J. V. Pesquisa operacional: técnicas de otimização 
aplicada a sistemas agroindustriais. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2011. 
CRÓCOLI, O. Programação linear: uma abordagem para o ensino médio. 
Maringá: UEM, 2016.
LONGARAY, A. A. Introdução à pesquisa operacional. São Paulo: Saraiva, 
2013.