Estudos da matematica -57

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**Resposta:** A) \( \frac{6}{5}x^5 - \frac{4}{3}x^3 + 3x + C \) 
**Explicação:** A integral é \( \int (6x^4 - 4x^2 + 3) \, dx = \frac{6}{5}x^5 - \frac{4}{3}x^3 + 3x 
+ C \). 
 
78. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - 1}{x^2} \)? 
A) 0 
B) \( -2 \) 
C) 1 
D) \( -1 \) 
**Resposta:** B) \( -2 \) 
**Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital, pois a forma é \( \frac{0}{0} \). Derivando o 
numerador e o denominador, temos: 
\( \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin(2x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin(2x)}{x} = -2 \). 
 
79. Determine a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^3 + 1} \). 
A) \( \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
B) \( \frac{1}{\sqrt{x^3 + 1}} \) 
C) \( \frac{3}{\sqrt{x^3 + 1}} \) 
D) \( \frac{3x^2 + 1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
**Resposta:** A) \( \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
\( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \cdot (3x^2) = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \). 
 
80. Calcule a integral \( \int (4x^3 + 2x^2 - 5) \, dx \). 
A) \( x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 5x + C \) 
B) \( x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 5 + C \) 
C) \( x^4 + \frac{2}{3}x^3 + C \) 
D) \( x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 5x + C \) 
**Resposta:** A) \( x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 5x + C \) 
**Explicação:** A integral é \( \int (4x^3 + 2x^2 - 5) \, dx = x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 5x + C \). 
 
81. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \)? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
**Resposta:** D) 3 
**Explicação:** Fatoramos \( x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \). Assim, 
\( \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 1^2 + 1 + 1 = 3 \). 
 
82. Determine a equação da reta tangente à função \( y = 2x^2 - 4x + 3 \) no ponto \( (1, 1) 
\). 
A) \( y = 2x - 1 \) 
B) \( y = 4x - 3 \) 
C) \( y = 2x + 1 \) 
D) \( y = 4x + 1 \) 
**Resposta:** B) \( y = 4x - 3 \) 
**Explicação:** A derivada é \( f'(x) = 4x - 4 \). Avaliando em \( x = 1 \), temos \( f'(1) = 4(1) - 
4 = 0 \). A equação da reta tangente é \( y - 1 = 0(x - 1) \) ou \( y = 1 \). 
 
83. Calcule a integral \( \int (7x^4 - 2x^3 + 5) \, dx \). 
A) \( \frac{7}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + 5x + C \) 
B) \( \frac{7}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + 5 + C \) 
C) \( \frac{7}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + C \) 
D) \( \frac{7}{5}x^5 - 2x + 5 + C \) 
**Resposta:** A) \( \frac{7}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + 5x + C \) 
**Explicação:** A integral é \( \int (7x^4 - 2x^3 + 5) \, dx = \frac{7}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + 5x 
+ C \). 
 
84. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \)? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) \( -2 \) 
**Resposta:** C) 2 
**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k 
\). Assim, 
\( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{2x} = 2 \cdot 1 = 2 \). 
 
85. Determine a derivada de \( f(x) = \ln(x^5 + 1) \). 
A) \( \frac{5x^4}{x^5 + 1} \) 
B) \( \frac{1}{x^5 + 1} \) 
C) \( \frac{5}{x^5 + 1} \) 
D) \( \frac{5x^4 + 1}{x^5 + 1} \) 
**Resposta:** A) \( \frac{5x^4}{x^5 + 1} \) 
**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
\( f'(x) = \frac{1}{x^5 + 1} \cdot (5x^4) = \frac{5x^4}{x^5 + 1} \). 
 
86. Calcule a integral \( \int (8x^3 - 3x + 2) \, dx \). 
A) \( 2x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \) 
B) \( 2x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2 + C \) 
C) \( 2x^4 - \frac{3}{2}x^2 + C \) 
D) \( 2x^4 - 3x + 2 + C \) 
**Resposta:** A) \( 2x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \) 
**Explicação:** A integral é \( \int (8x^3 - 3x + 2) \, dx = 2x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \). 
 
87. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x - 1} \)? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 4 
**Resposta:** D) 4 
**Explicação:** Fatoramos \( x^4 - 1 = (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1) \). Assim, 
\( \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x^3 + x^2 + x + 1) = 1 + 1 + 
1 + 1 = 4 \). 
 
88. Determine a equação da reta tangente à função \( y = x^2 - 2x + 1 \) no ponto \( (1, 0) \). 
A) \( y = 2x - 2 \) 
B) \( y = 2x - 1 \) 
C) \( y = 2x + 1 \) 
D) \( y = 2x + 2 \) 
**Resposta:** A) \( y = 2x - 2 \) 
**Explicação:** A derivada é \( f'(x) = 2x - 2 \). Avaliando em \( x = 1 \), temos \( f'(1) = 2(1) - 
2 = 0 \). A equação da reta tangente é \( y - 0 = 0(x - 1) \) ou \( y = 0 \). 
 
89. Calcule a integral \( \int (3x^2 + 4x – 
Claro! Aqui estão 100 problemas de matemática de múltipla escolha, cada um com uma 
explicação detalhada. 
 
1. **Qual é a solução da equação \(2x^2 - 8x + 6 = 0\)?** 
 A) 1 
 B) 3 
 C) 2 
 D) 4 
 **Resposta:** B) 3 
 **Explicação:** Para resolver a equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara: \(x 
= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), onde \(a = 2\), \(b = -8\), e \(c = 6\). Calculando o 
discriminante: \((-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 64 - 48 = 16\). Portanto, temos \(x = \frac{8 \pm 
4}{4}\), resultando em \(x = 3\) ou \(x = 1\). A resposta correta é 3. 
 
2. **Qual é o valor de \(x\) na equação \(3^{2x} = 81\)?** 
 A) 1 
 B) 2 
 C) 3 
 D) 4 
 **Resposta:** B) 2 
 **Explicação:** Sabemos que \(81 = 3^4\). Assim, podemos reescrever a equação como 
\(3^{2x} = 3^4\). Como as bases são iguais, igualamos os expoentes: \(2x = 4\). Dividindo 
ambos os lados por 2, obtemos \(x = 2\).