escola contas XII

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Explicação: O montante é \( M = P + J = P + (P \cdot i \cdot t) \). Aqui, \( J = 40000 \cdot 0, 
Claro, aqui estão 150 problemas de cálculo 2 em formato de múltipla escolha, cada um com 
explicações detalhadas. 
 
1. Qual é o valor da integral indefinida \( \int (3x^2 - 4x + 1) \, dx \)? 
A) \( x^3 - 2x^2 + x + C \) 
B) \( x^3 - 2x^2 + C \) 
C) \( x^3 - 4x^2 + C \) 
D) \( x^3 - 4x^2 + x + C \) 
**Resposta: A) \( x^3 - 2x^2 + x + C \)** 
Explicação: Para resolver esta integral, aplicamos a regra da integral de potências, que diz que 
\( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \). Assim, a integral de \( 3x^2 \) resulta em \( x^3 \), a 
integral de \( -4x \) resulta em \( -2x^2 \), e a integral de \( 1 \) resulta em \( x \). Somando 
tudo, obtemos a resposta correta. 
 
2. Calcule a integral definida \( \int_0^1 (4x^3 - 2x + 1) \, dx \). 
A) \( 1 \) 
B) \( 2 \) 
C) \( \frac{5}{4} \) 
D) \( \frac{3}{4} \) 
**Resposta: D) \( \frac{3}{4} \)** 
Explicação: Primeiro, encontramos a integral indefinida \( \int (4x^3 - 2x + 1) \, dx = x^4 - x^2 + 
x + C \). Avaliando de \( 0 \) a \( 1 \), temos \( (1^4 - 1^2 + 1) - (0^4 - 0^2 + 0) = 1 - 1 + 1 = 1 \). 
Então, a resposta correta é \( 1 \). 
 
3. Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \). 
A) \( 0 \) 
B) \( 5 \) 
C) \( 1 \) 
D) \( \text{indeterminado} \) 
**Resposta: B) \( 5 \)** 
Explicação: Usamos a regra de limites que afirma que \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k \). 
Aqui, temos \( k = 5 \), portanto \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = 5 \). 
 
4. Qual é a derivada de \( f(x) = e^{3x} \)? 
A) \( 3e^{3x} \) 
B) \( e^{3x} \) 
C) \( 3xe^{3x} \) 
D) \( e^{3x} + C \) 
**Resposta: A) \( 3e^{3x} \)** 
Explicação: A derivada da função exponencial \( e^{kx} \) é dada por \( k e^{kx} \). Portanto, ao 
derivar \( e^{3x} \), obtemos \( 3e^{3x} \). 
 
5. Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = x^2 + 2x \) no ponto \( (1, 3) \). 
A) \( y = 2x + 1 \) 
B) \( y = 2x + 2 \) 
C) \( y = x + 2 \) 
D) \( y = 3x - 1 \) 
**Resposta: B) \( y = 2x + 2 \)** 
Explicação: Primeiro, encontramos a derivada \( y' = 2x + 2 \). Avaliando no ponto \( x=1 \), 
temos \( y'(1) = 4 \). A equação da reta tangente é dada por \( y - f(a) = f'(a)(x - a) \), ou seja, \( 
y - 3 = 4(x - 1) \), resultando em \( y = 4x - 1 \). 
 
6. Calcule a integral \( \int e^{2x} \, dx \). 
A) \( \frac{1}{2}e^{2x} + C \) 
B) \( 2e^{2x} + C \) 
C) \( e^{2x} + C \) 
D) \( e^{2x}/2 + C \) 
**Resposta: A) \( \frac{1}{2}e^{2x} + C \)** 
Explicação: A integral de \( e^{kx} \) é \( \frac{1}{k} e^{kx} + C \). Com \( k = 2 \), temos \( \int 
e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C \). 
 
7. Qual é o valor de \( \int_1^2 (x^3 + 2x) \, dx \)? 
A) \( 10 \) 
B) \( 8 \) 
C) \( 9 \) 
D) \( 5 \) 
**Resposta: A) \( 10 \)** 
Explicação: Integramos \( x^3 + 2x \) para obter \( \frac{x^4}{4} + x^2 + C \). Avaliando de \( 1 \) 
a \( 2 \), temos \( \left(\frac{16}{4} + 4\right) - \left(\frac{1}{4} + 1\right) = 4 + 4 - 
\left(\frac{1}{4} + 1\right) = 8 - 1.25 = 6.75 \). 
 
8. Determine a segunda derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
A) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
B) \( -\frac{2}{(x^2 + 1)^2} \) 
C) \( \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2} \) 
D) \( \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \) 
**Resposta: C) \( \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2} \)** 
Explicação: A primeira derivada é \( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \). Derivando novamente, usamos 
a regra do quociente para obter \( f''(x) = \frac{(x^2 + 1)(2) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 
2x^2}{(x^2 + 1)^2} \). 
 
9. Qual é o valor de \( \int (x^2 \sin(x)) \, dx \)? 
A) \( -x^2 \cos(x) + 2 \sin(x) + C \) 
B) \( x^2 \cos(x) + 2 \sin(x) + C \) 
C) \( -x^2 \cos(x) - 2 \sin(x) + C \) 
D) \( x^2 \cos(x) - 2 \sin(x) + C \) 
**Resposta: A) \( -x^2 \cos(x) + 2 \sin(x) + C \)** 
Explicação: Usamos integração por partes, onde \( u = x^2 \) e \( dv = \sin(x) \, dx \). Assim, \( 
du = 2x \, dx \) e \( v = -\cos(x) \). A fórmula é \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \). 
 
10. Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5x}{2x^2 - x + 1} \). 
A) \( \frac{3}{2} \) 
B) \( 0 \) 
C) \( \infty \) 
D) \( 1 \) 
**Resposta: A) \( \frac{3}{2} \)** 
Explicação: Dividimos todos os termos pelo maior grau de \( x \), que é \( x^2 \): \( \lim_{x \to 
\infty} \frac{3 + \frac{5}{x}}{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} \). À medida que \( x \to \infty \), os 
termos com \( x \) no denominador tendem a zero, resultando em \( \frac{3}{2} \). 
 
Continuarei com as próximas questões. 
 
11. Calcule a integral \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx \). 
A) \( \frac{\pi}{4} \) 
B) \( \frac{\pi}{2} \) 
C) \( \frac{1}{2} \) 
D) \( \frac{\pi}{8} \) 
**Resposta: A) \( \frac{\pi}{4} \)** 
Explicação: Usamos a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \). Assim, \( 
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = 
\frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{4} \). 
 
12. Encontre a derivada de \( f(x) = x^3 \ln(x) \). 
A) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \) 
B) \( 3x^2 \ln(x) + 3x^2 \) 
C) \( 3x^2 \ln(x) - x^2 \) 
D) \( 3x^2 \ln(x) + x \) 
**Resposta: A) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \)** 
Explicação: Aplicamos a regra do produto: \( u = x^3 \) e \( v = \ln(x) \). A derivada é dada por \( 
f'(x) = u'v + uv' = 3x^2 \ln(x) + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \ln(x) + x^2 \). 
 
13. Determine o valor de \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
A) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
B) \( -\tan^{-1}(x) + C \) 
C) \( \frac{1}{x} + C \) 
D) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \) 
**Resposta: A) \( \tan^{-1}(x) + C \)** 
Explicação: A integral \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \) é uma integral padrão que resulta na 
função arco tangente, \( \tan^{-1}(x) + C \). 
 
14. Calcule a integral \( \int e^{x} \cos(e^{x}) \, dx \).