matematica ao extremo DLXI

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56. **Qual é a integral de \( \sec^2(x) \)?** 
 - A) \( \tan(x) + C \) 
 - B) \( \sec(x) + C \) 
 - C) \( \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C \) 
 - D) \( -\cot(x) + C \) 
 - **Resposta: A) \( \tan(x) + C \)** 
 - **Explicação:** A integral de \( \sec^2(x) \) é uma integral padrão que resulta em \( 
\tan(x) + C \). 
 
57. **Qual é a solução da equação \( y' = 4y \)?** 
 - A) \( y = Ce^{4x} \) 
 - B) \( y = Ce^{-4x} \) 
 - C) \( y = 4Ce^{x} \) 
 - D) \( y = -Ce^{4x} \) 
 - **Resposta: A) \( y = Ce^{4x} \)** 
 - **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear. Separando as variáveis e 
integrando, obtemos a solução \( y = Ce^{4x} \). 
 
58. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x)}{x} \)?** 
 - A) 0 
 - B) \( -\infty \) 
 - C) \( \infty \) 
 - D) 1 
 - **Resposta: B) \( -\infty \)** 
 - **Explicação:** À medida que \( x \) se aproxima de 0, \( \ln(x) \) tende a \( -\infty \), 
então o limite é \( -\infty \). 
 
59. **Qual é a integral de \( \frac{1}{x^2} \)?** 
 - A) \( -\frac{1}{x} + C \) 
 - B) \( \frac{1}{x} + C \) 
 - C) \( \ln(x) + C \) 
 - D) \( e^x + C \) 
 - **Resposta: A) \( -\frac{1}{x} + C \)** 
 - **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x^2} \) é \( -\frac{1}{x} + C \). 
 
60. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^3 + 1) \)?** 
 - A) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
 - B) \( \frac{1}{x^3 + 1} \) 
 - C) \( \frac{3}{x^3 + 1} \) 
 - D) \( \frac{3x^2}{x^2 + 1} \) 
 - **Resposta: A) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \)** 
 - **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot 3x^2 = 
\frac{3x^2}{x^3 + 1} \). 
 
61. **Qual é a integral de \( \sin(x) \)?** 
 - A) \( -\cos(x) + C \) 
 - B) \( \cos(x) + C \) 
 - C) \( \tan(x) + C \) 
 - D) \( -\tan(x) + C \) 
 - **Resposta: A) \( -\cos(x) + C \)** 
 - **Explicação:** A integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) + C \). 
 
62. **Qual é a solução da equação \( y'' + 9y = 0 \)?** 
 - A) \( y = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x) \) 
 - B) \( y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x} \) 
 - C) \( y = C_1 \cos(9x) + C_2 \sin(9x) \) 
 - D) \( y = C_1 e^{9x} + C_2 e^{-9x} \) 
 - **Resposta: A) \( y = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x) \)** 
 - **Explicação:** As raízes da equação característica \( r^2 + 9 = 0 \) são complexas, 
resultando na solução \( y = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x) \). 
 
63. **Qual é a integral de \( \tan(x) \)?** 
 - A) \( -\ln|\cos(x)| + C \) 
 - B) \( \ln|\sin(x)| + C \) 
 - C) \( \ln|\tan(x)| + C \) 
 - D) \( \sec(x) + C \) 
 - **Resposta: A) \( -\ln|\cos(x)| + C \)** 
 - **Explicação:** A integral de \( \tan(x) \) é conhecida e resulta em \( -\ln|\cos(x)| + C \). 
 
64. **Qual é a derivada de \( f(x) = \sin(x^2) \)?** 
 - A) \( 2x \cos(x^2) \) 
 - B) \( \cos(x^2) \) 
 - C) \( 2 \sin(x^2) \) 
 - D) \( 2x \sin(x^2) \) 
 - **Resposta: A) \( 2x \cos(x^2) \)** 
 - **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x 
\cos(x^2) \). 
 
65. **Qual é a solução da equação \( y' = -y \)?** 
 - A) \( y = Ce^{-x} \) 
 - B) \( y = Ce^{x} \) 
 - C) \( y = -Ce^{-x} \) 
 - D) \( y = -Ce^{x} \) 
 - **Resposta: A) \( y = Ce^{-x} \)** 
 - **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear. Separando as variáveis e 
integrando, obtemos a solução \( y = Ce^{-x} \). 
 
66. **Qual é a integral de \( \frac{1}{x^3} \)?** 
 - A) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
 - B) \( -\frac{1}{x^2} + C \) 
 - C) \( \frac{1}{x^2} + C \) 
 - D) \( \frac{1}{2x^2} + C \) 
 - **Resposta: A) \( -\frac{1}{2x^2} + C \)** 
 - **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x^3} \) é \( -\frac{1}{2x^2} + C \). 
 
67. **Qual é a derivada de \( f(x) = e^{2x} \sin(x) \)?** 
 - A) \( e^{2x} (2\sin(x) + \cos(x)) \) 
 - B) \( 2e^{2x} \sin(x) \) 
 - C) \( e^{2x} \cos(x) \) 
 - D) \( e^{2x} \sin(x) + 2e^{2x} \cos(x) \) 
 - **Resposta: A) \( e^{2x} (2\sin(x) + \cos(x)) \)** 
 - **Explicação:** Usando a regra do produto, temos \( f'(x) = (e^{2x})' \sin(x) + e^{2x} 
(\sin(x))' = 2e^{2x} \sin(x) + e^{2x} \cos(x) = e^{2x} (2\sin(x) + \cos(x)) \). 
 
68. **Qual é a solução da equação \( y' + 3y = 0 \)?** 
 - A) \( y = Ce^{-3x} \) 
 - B) \( y = Ce^{3x} \) 
 - C) \( y = 3Ce^{-x} \) 
 - D) \( y = -Ce^{-3x} \) 
 - **Resposta: A) \( y = Ce^{-3x} \)** 
 - **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear. Separando as variáveis e 
integrando, obtemos a solução \( y = Ce^{-3x} \). 
 
69. **Qual é a integral de \( \frac{1}{1 + x^2} \)?** 
 - A) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 - B) \( \sec^{-1}(x) + C \) 
 - C) \( \frac{1}{x} + C \) 
 - D) \( -\cot^{-1}(x) + C \) 
 - **Resposta: A) \( \tan^{-1}(x) + C \)** 
 - **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{1 + x^2} \) é uma integral padrão que resulta em 
\( \tan^{-1}(x) + C \). 
 
70. **Qual é a solução da equação \( y'' + 4y = 0 \)?** 
 - A) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 - B) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 - C) \( y = C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x) \) 
 - D) \( y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-4x} \)