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53. **Problema 53:** Calcule a integral \(\int (x^3 - 2x + 1) \, dx\). 
 A) \(\frac{x^4}{4} - x^2 + x + C\) 
 B) \(\frac{x^4}{4} - 2x^2 + x + C\) 
 C) \(\frac{x^4}{4} - x + C\) 
 D) \(\frac{x^4}{4} - 2x + C\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{x^4}{4} - x^2 + x + C\) 
 **Explicação:** A antiderivada é dada por \(\int (x^3 - 2x + 1) \, dx = \frac{x^4}{4} - x^2 + x 
+ C\). 
 
54. **Problema 54:** Qual é a solução da equação \(y'' + 4y = 0\)? 
 A) \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\) 
 B) \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\) 
 C) \(y = C_1 \cosh(2x) + C_2 \sinh(2x)\) 
 D) \(y = C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x)\) 
 **Resposta:** A) \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem 
com coeficientes constantes. As raízes da equação característica são \(r = 2i\) e \(r = -2i\), 
resultando na solução geral dada por \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\). 
 
55. **Problema 55:** Calcule a integral \(\int_0^1 (x^2 + x + 1) \, dx\). 
 A) \(\frac{1}{3}\) 
 B) \(\frac{5}{6}\) 
 C) \(\frac{2}{3}\) 
 D) \(\frac{7}{6}\) 
 **Resposta:** D) \(\frac{7}{6}\) 
 **Explicação:** A antiderivada é \(\left[\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x\right]_0^1 = 
\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1\right) = \frac{7}{6}\). 
 
56. **Problema 56:** Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(6x)}{x}\). 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 6 
 D) Não existe 
 **Resposta:** C) 6 
 **Explicação:** Usando a propriedade do limite, sabemos que \(\lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(kx)}{x} = k\). Portanto, \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(6x)}{x} = 6\). 
 
57. **Problema 57:** Resolva a equação \(y' = -4y\). 
 A) \(y = Ce^{-4x}\) 
 B) \(y = Ce^{4x}\) 
 C) \(y = 4Ce^{x}\) 
 D) \(y = 4Ce^{-x}\) 
 **Resposta:** A) \(y = Ce^{-4x}\) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. O fator 
integrante é \(e^{-4x}\). Multiplicando a equação por este fator e resolvendo, obtemos \(y = 
Ce^{-4x}\). 
 
58. **Problema 58:** Calcule a integral \(\int_0^1 (4x^2 - 2x + 1) \, dx\). 
 A) \(\frac{1}{3}\) 
 B) \(\frac{5}{6}\) 
 C) \(\frac{7}{6}\) 
 D) 1 
 **Resposta:** B) \(\frac{5}{6}\) 
 **Explicação:** A antiderivada é \(\left[\frac{4x^3}{3} - x^2 + x\right]_0^1 = 
\left(\frac{4}{3} - 1 + 1\right) = \frac{4}{3}\). 
 
59. **Problema 59:** Determine o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 1}{3x^2 + 
4}\). 
 A) \(\frac{2}{3}\) 
 B) 1 
 C) 0 
 D) 2 
 **Resposta:** A) \(\frac{2}{3}\) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \(x^2\), temos \(\lim_{x \to 
\infty} \frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{3 + \frac{4}{x^2}} = \frac{2}{3}\). 
 
60. **Problema 60:** Calcule a integral \(\int (3x^2 - 4x + 5) \, dx\). 
 A) \(\frac{3}{3}x^3 - 2x^2 + 5x + C\) 
 B) \(x^3 - 2x^2 + 5 + C\) 
 C) \(\frac{3}{4}x^4 - 2x^2 + 5x + C\) 
 D) \(\frac{3}{3}x^3 - 2x^2 + 5 + C\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{3}{3}x^3 - 2x^2 + 5x + C\) 
 **Explicação:** A antiderivada é dada por \(\int (3x^2 - 4x + 5) \, dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C\). 
 
61. **Problema 61:** Qual é a solução da equação \(y'' + 9y = 0\)? 
 A) \(y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x}\) 
 B) \(y = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)\) 
 C) \(y = C_1 \cosh(3x) + C_2 \sinh(3x)\) 
 D) \(y = C_1 e^{9x} + C_2 e^{-9x}\) 
 **Resposta:** B) \(y = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)\) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem 
com coeficientes constantes. As raízes da equação característica são \(r = 3i\) e \(r = -3i\), 
resultando na solução geral dada por \(y = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)\). 
 
62. **Problema 62:** Calcule a integral \(\int_0^1 (2x^3 + 3x^2 + 1) \, dx\). 
 A) \(\frac{11}{6}\) 
 B) \(\frac{5}{6}\) 
 C) \(\frac{1}{3}\) 
 D) 1 
 **Resposta:** A) \(\frac{11}{6}\) 
 **Explicação:** A antiderivada é \(\left[\frac{2x^4}{4} + \frac{3x^3}{3} + x\right]_0^1 = 
\left(\frac{1}{2} + 1 + 1\right) = \frac{11}{6}\). 
 
63. **Problema 63:** Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\). 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) Não existe 
 **Resposta:** C) 2 
 **Explicação:** Usando a propriedade do limite, sabemos que \(\lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(kx)}{x} = k\). Portanto, \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2\). 
 
64. **Problema 64:** Resolva a equação \(y' = -3y\). 
 A) \(y = Ce^{-3x}\) 
 B) \(y = Ce^{3x}\) 
 C) \(y = 3Ce^{x}\) 
 D) \(y = 3Ce^{-x}\) 
 **Resposta:** A) \(y = Ce^{-3x}\) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. O fator 
integrante é \(e^{-3x}\). Multiplicando a equação por este fator e resolvendo, obtemos \(y = 
Ce^{-3x}\). 
 
65. **Problema 65:** Calcule a integral \(\int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx\). 
 A) \(\frac{1}{5}\) 
 B) 0 
 C) \(\frac{1}{3}\) 
 D) \(\frac{1}{6}\) 
 **Resposta:** B) 0 
 **Explicação:** A antiderivada é \(\left[\frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + x\right]_0^1 = 
\left(\frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1\right) = 0\). 
 
66. **Problema 66:** Qual é a solução da equação \(y'' + 4y = 0\)? 
 A) \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\) 
 B) \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\) 
 C) \(y = C_1 \cosh(2x) + C_2 \sinh(2x)\) 
 D) \(y = C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x)\) 
 **Resposta:** A) \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\)