Calcule a integral $\int_0^1 (x^2 + x + 1) \, dx$.

A) $\frac{1}{3}$
B) $\frac{5}{6}$
C) $\frac{2}{3}$
D) $\frac{7}{6}$

Question

Calcule a integral $\int_0^1 (x^2 + x + 1) \, dx$.

A) $\frac{1}{3}$
B) $\frac{5}{6}$
C) $\frac{2}{3}$
D) $\frac{7}{6}$

Ed · Answer

Para calcular a integral $\int_0^1 (x^2 + x + 1) \, dx$, vamos primeiro encontrar a antiderivada da função $x^2 + x + 1$.

1. A antiderivada de $x^2$ é $\frac{x^3}{3}$.
2. A antiderivada de $x$ é $\frac{x^2}{2}$.
3. A antiderivada de $1$ é $x$.

Assim, a antiderivada completa é:

$$
F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x
$$

Agora, vamos calcular $F(1)$ e $F(0)$:

$$
F(1) = \frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1
$$

Para somar, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 3 e 2 é 6:

$$
F(1) = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{6}{6} = \frac{2 + 3 + 6}{6} = \frac{11}{6}
$$

Agora, calculamos $F(0)$:

$$
F(0) = \frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2} + 0 = 0
$$

Portanto, a integral é:

$$
\int_0^1 (x^2 + x + 1) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{11}{6} - 0 = \frac{11}{6}
$$

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Tania Gonsalves · Answer

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Calcule a integral \(\int_0^1 (x^2 + x + 1) \, dx\). A) \(\frac{1}{3}\) B) \(\frac{5}{6}\) C) \(\frac{2}{3}\) D) \(\frac{7}{6}\)