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Moderna PLUS MATEMÁTICA
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Exercícios resolvidos
13 Lucas, Arnaldo e Celso fundaram uma empre-
sa. Lucas investiu R$ 120.000,00 no negócio, 
Arnaldo investiu R$ 100.000,00 e Celso investiu 
R$ 80.000,00. O lucro mensal é dividido em par-
tes diretamente proporcionais aos investimen-
tos dos sócios. No mês passado, o lucro da em-
presa foi de R$ 45.000,00. Que parte desse lucro 
coube a cada um dos sócios?
Resolução
Devemos determinar os números x, y e z tais 
que:
x 1 y 1 z 5 45.000 (I)
 x ________ 
120.000
 5 
y
 ________ 
100.000
 5 z _______ 
80.000
 (II)
Aplicando na equação (II) a propriedade P.6 das 
proporções, obtemos:
 
x 1 y 1 z
 ___________________________ 
120.000 1 100.000 1 80.000
 5 x ________ 
120.000
 5
5 
y
 ________ 
100.000
 5 z _______ 
80.000
 (III)
Substituindo (I) em (III), concluímos:
 45.000 ________ 
300.000
 5 x ________ 
120.000
 5 
y
 ________ 
100.000
 5 z _______ 
80.000
 
} x 5 18.000, y 5 15.000 e z 5 12.000
Logo, Lucas, Arnaldo e Celso devem receber 
R$ 18.000,00, R$ 15.000,00 e R$ 12.000,00, respec-
tivamente.
14 João e Pedro são sócios de uma empresa. Ambos 
investiram a mesma quantia, porém João é o fun-
dador da empresa e Pedro só entrou como sócio
3 anos depois. Hoje, quando a empresa completa 
5 anos de existência, haverá a primeira divisão do
lucro. Segundo a regra da sociedade, a divisão 
do lucro deve considerar apenas o capital que 
cada um investiu e o tempo de participação na 
empresa. Sendo R$ 28.000,00 o lucro a ser dividi-
do, calcular o valor que deve receber cada um.
Resolução
Como ambos investiram quantias iguais, mas 
João trabalhou durante 5 anos e Pedro durante 
2 anos, a divisão do lucro deve ser diretamente 
proporcional aos tempos de trabalho. Assim, 
sendo x e y as quantias que devem receber João 
e Pedro, respectivamente, temos:
x 1 y 5 28.000 (I)
 x __ 
5
 5 
y
 __ 
2
 (II)
Aplicando na equação (II) a propriedade P.6 das 
proporções, obtemos:
 
x 1 y
 ______ 
5 1 2
 5 x __ 
5
 5 
y
 __ 
2
 (III)
Substituindo (I) em (III), concluímos:
 28.000 _______ 
7
 5 x __ 
5
 5 
y
 __ 
2
 ] x 5 20.000 e y 5 8.000
Logo, João deve receber R$ 20.000,00 e Pedro, 
R$ 8.000,00.
Resolução
O total de diárias a serem pagas na fazenda A 
é dado pelo produto 20 3 25 5 500, e o total de 
diárias a serem pagas em B é dado pelo produto 
30 3 18 5 540. Assim, a quantia R$ 31.200,00 deve 
ser dividida em partes diretamente proporcionais 
aos produtos 20 3 5 e 30 3 18. Indicando por a e b 
as quantias que devem ser enviadas às fazendas 
A e B, respectivamente, temos:
a 1 b 5 31.200 (I)
 a ____ 
500
 5 b ____ 
540
 (II)
Aplicando na equação (II) a propriedade P.6 das 
proporções, obtemos:
 a 1 b __________ 
500 1 540
 5 a ____ 
500
 5 b ____ 
540
 (III)
Substituindo (I) em (III), concluímos:
 31.200 _______ 
1.040
 5 a ____ 
500
 5 b ____ 
540
 ] a 5 15.000 e b 5 16.200
Logo, devem ser enviados R$ 15.000,00 à fazenda 
A e R$ 16.200,00 à B.
D
EL
FI
M
 M
A
R
TI
N
S/
PU
LS
A
R
 IM
A
G
EN
S
15 Para a colheita de café em suas duas fazendas, A e 
B, o proprietário contratou duas turmas: uma com-
posta de 20 pessoas, que trabalharam juntas du-
rante 25 dias na fazenda A; e a outra, composta de 
30 pessoas, que trabalharam juntas durante 18 dias 
na fazenda B. No fim do trabalho, o fazendeiro ava-
liou em R$ 31.200,00 o valor que deveria ser pago 
aos trabalhadores e enviou a cada fazenda o valor 
correspondente ao salário das turmas. Que quan-
tia foi enviada a cada fazenda, considerando que 
todos os trabalhadores recebem a mesma diária?
Notas:
1. Esse problema trata de uma “divisão proporcional compos-
ta”, que obedece à seguinte propriedade, conhecida como 
propriedade da divisão proporcional composta: 
Dividir um número k em partes diretamente pro-
porcionais aos números p1 e p2, respectivamente, 
e diretamente proporcionais aos números q1 e q2, 
respectivamente, equivale a dividir o número k em 
partes diretamente proporcionais aos produtos 
p1 3 q1 e p2 3 q2, respectivamente.
 No exercício resolvido anterior, dividimos o número 
31.200 em partes diretamente proporcionais a 20 e 25, 
respectivamente, e diretamente proporcionais a 30 e
18, respectivamente.
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Exercícios propostos
104 Em cada um dos itens a seguir, verifique se as 
sequências são diretamente proporcionais.
a) (1, 5, 6) e (4, 20, 24)
b) (4, 8, 6, 1) e (10, 15, 20, 5)
c) @ 1 __ 
2
 , 1, 2 __ 
3
 # e @ 3 __ 
4
 , 3 __ 
2
 , 1 # 
105 Obtenha os valores de x, y e z de modo que as 
sequências (8, x, 12, z) e (4, 5, y, 3) sejam direta-
mente proporcionais. 
106 O comprimento, a largura e a altura de um pa-
ralelepípedo são diretamente proporcionais aos 
números 4, 2 e 1, respectivamente. Calcule o 
volume desse paralelepípedo, sabendo que seu 
comprimento é 6 cm. 
altura
largura
6 cm
107 As estaturas de José, Beto e Ricardo, jogadores 
de basquetebol do colégio, são diretamente pro-
porcionais aos números 6,9; 7 e 6,6, respectiva-
mente. Sabendo que a estatura de José é 2,07 m, 
calcule as estaturas de Beto e Ricardo.
108 Divida o número 30 em partes diretamente pro-
porcionais aos números 3, 2 e 1.
109 Divida o número 16,6 em partes diretamente 
proporcionais aos números 2,2; 1,3 e 4,8.
110 Para a confecção de uma argamassa, as quan-
tidades de água, areia e cimento devem ser di-
retamente proporcionais a 2, 6 e 1, respectiva-
mente. Qual é a quantidade, em quilograma, de 
cimento contida em 45 kg dessa argamassa?
111 Uma torneira com vazão constante despejou 
5.850 L de água em um tanque, em três etapas: 
na primeira abasteceu o tanque durante 2 h, na 
segunda durante 3 h e na terceira durante 1,5 h. 
Quantos litros de água essa torneira despejou 
no tanque em cada etapa?
112 Vicente, Cláudio e Álvaro trabalharam 3 h, 4 h 
e 6 h, respectivamente, para a conclusão de 
uma tarefa. Por essa tarefa, receberam juntos
R$ 520,00. Quanto recebeu cada um, sabendo 
que o salário/hora foi o mesmo para todos? 
113 Com certa quantidade de tinta, encheram-se 
1.200 recipientes de três tamanhos diferentes: 
pequeno, médio e grande. A capacidade de cada 
11 m
10 m
Hall
20 m2
II
I III
2. A propriedade da divisão proporcional composta pode ser 
generalizada do seguinte modo:
Dividir um número k em partes diretamente pro-
porcionais a duas ou mais sequências numéricas, 
simultaneamente, equivale a dividir o número k em 
partes diretamente proporcionais aos produtos dos 
elementos correspondentes nessas sequências.
recipiente médio é o dobro da capacidade de 
cada pequeno, e a capacidade de cada recipiente 
grande é o triplo da capacidade de cada pequeno. 
Sabendo que as quantidades usadas de recipien-
tes pequenos, médios e grandes foram diretamen-
te proporcionais às suas capacidades, calcule o 
número de recipientes de cada tamanho usados. 
114 O comprimento e a largura de um retângulo são 
diretamente proporcionais a 8 e 6, respectiva-
mente. Calcule a área desse retângulo, sabendo 
que seu perímetro é 42 cm.
115 O comprimento, a largura e a altura de um para-
lelepípedo são proporcionais a 1, 1 __ 
2
 e 1 __ 
3
 . Calcule 
o volume desse paralelepípedo, sabendo que a 
soma das medidas de suas 12 arestas é 44 dm.
116 Duas piscinas têm a forma de um paralelepípe-
do. A área da base (piso) de uma delas é 18 m2, 
e a área da base da outra é 24 m2. Sabendo que 
as duas têm a mesma profundidade, estão 
completamente cheias e juntas têm 63.000 L de 
água, calcule a capacidade de cada uma.
117 Três máquinas, A, B e C, trabalharam juntas du-
rante o mesmo tempo, produzindo 180 pratos 
iguais. A máquina A produz 12 pratos por minuto, 
a B produz 8 pratos por minuto e a C produz 10 
pratos por minuto. Quantos pratosproduziu cada 
máquina?
118 (Enem) Em uma empresa, existe um galpão que 
precisa ser dividido em três depósitos e um 
“hall” de entrada de 20 m2, conforme a figura a 
seguir. Os depósitos I, II e III serão construídos 
para o armazenamento de, respectivamente, 90, 
60 e 120 fardos de igual volume, e suas áreas 
devem ser proporcionais a essas capacidades.
A largura do depósito III deve ser, em metros, 
igual a:
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
119 Luísa, Márcia e Roberta são as sócias de uma 
loja que hoje completa 6 anos de existência. Luí-
sa investiu R$ 18.000,00 na loja e é a fundadora, 
Márcia investiu R$ 12.000,00 e é sócia há 4 anos, e 
Roberta investiu R$ 20.000,00 e é sócia há apenas 
2 anos. Hoje haverá a primeira divisão de lucro 
da empresa. Segundo a regra da sociedade, a divi-
são do lucro deve considerar apenas o capital que 
cada uma investiu e o tempo de participação na 
empresa. Sendo R$ 49.000,00 o lucro a ser dividi-
do, calcule o valor que deve receber cada uma. 
(Sugestão: Veja o exercício resolvido 13, sobre 
divisão proporcional composta.)
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Ao completar um ano de funcionamento, o lu-
cro de L reais foi dividido entre eles. A parte que 
coube a
a) Antônio correspondeu a 13 ___ 
29
 de L.
b) Carlos correspondeu a 11 ___ 
29
 de L.
c) Ernesto correspondeu a 9 ___ 
29
 de L.
Sócio
Tempo de 
participação
Capital inicial 
investido
Antônio 6 meses R$ 5.000,00
Carlos 12 meses R$ 2.500,00
Ernesto 9 meses R$ 3.000,00 Sócio
Tempo de 
participação
Capital 
investido
Eduardo 10 anos R$ 24.000,00
Armando 8 anos R$ 25.000,00
Renata 5 anos R$ 20.000,00
Segundo a regra da sociedade, a divisão do lucro 
ou prejuízo deve considerar apenas o capital 
que cada um investiu e o tempo de participação 
na empresa. Qual foi o prejuízo de cada sócio?
A tabela abaixo mostra a velocidade média de cada veículo e o tempo de du-
ração da viagem.
Carro 1 Carro 2 Carro 3
Velocidade média (km/h) 100 80 50
Tempo (h) 4 5 8
Note que o produto da velocidade pelo tempo correspondente é constante, ou 
seja, é sempre o mesmo:
100 3 4 5 80 3 5 5 50 3 8
Por isso, dizemos que a sequência (100, 80, 50) é inversamente proporcional 
à sequência (4, 5, 8).
Note, também, que a sentença 100 3 4 5 80 3 5 5 50 3 8 é equivalente a
 100 ____ 
 1 __ 
4
 
 5 80 ___ 
 1 __ 
5
 
 5 50 ___ 
 1 __ 
8
 
 
Isso significa que os números 100, 80 e 50 são diretamente proporcionais aos 
inversos dos números 4, 5 e 8, respectivamente.
Generalizando, definimos:
Duas sequências numéricas com o mesmo número de termos não nulos são 
inversamente proporcionais quando o produto de termos correspondentes é 
constante.
Consequência
Se duas sequências de números não nulos são inversamente proporcionais, 
então qualquer uma delas é diretamente proporcional à sequência formada pelos 
inversos dos números da outra.
Exemplo
A sequência (2, 4, 3) é inversamente proporcional à sequência (18, 9, 12), pois: 
2 3 18 5 4 3 9 5 3 3 12
Logo, a sequência (2, 4, 3) é diretamente proporcional à sequência @ 1 ___ 
18
 , 1 __ 
9
 , 1 ___ 
12
 # .
Sequências numéricas inversamente proporcionais
Três automóveis percorreram 400 km, indo de São Paulo ao Rio de Janeiro.
120 (Puccamp-SP) A tabela a seguir mostra a parti-
cipação em uma empresa, de seus três sócios, 
em tempo (a partir do início das atividades da 
empresa) e em capital inicial investido. 
d) Carlos correspondeu a 7 ___ 
29
 de L.
e) Antônio correspondeu a 5 ___ 
29
 de L.
121 Em determinado mês, uma empresa teve um 
prejuízo de R$ 162.000,00. A tabela a seguir mos-
tra o capital investido e o tempo de participação 
de cada um dos três sócios na empresa.
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 C
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A
G
ES
Divisão de um número em partes inversamente proporcionais a 
outros números
Um carro de corrida deu três voltas em uma pista: na primeira volta sua velocidade 
média foi 2 km/min; na segunda foi 3 km/min e na terceira foi 4 km/min. Se o tempo 
gasto nas três voltas foi 13 min, quanto tempo durou cada volta?
Para resolver esse problema, vamos indicar por a, b e c os tempos, em minuto, 
que duraram a 1a, a 2a e a 3a voltas, respectivamente, e por d o comprimento da 
pista, em quilômetro. Dividindo o comprimento da pista pelo tempo que durou 
cada volta, obtemos a velocidade média em cada volta:
 d __ 
a
 5 2
 d __ 
b
 5 3
 d __ 
c
 5 4
 ] 
d 5 2a
d 5 3b
d 5 4c
Logo: 2a 5 3b 5 4c
Perceba, portanto, que a sequência (a, b, c) é inversamente proporcional à sequência 
(2, 3, 4); logo, a sequência (a, b, c) é diretamente proporcional à sequência @ 1 __ 
2
 , 1 __ 
3
 , 1 __ 
4
 # . 
Assim, temos:
a 1 b 1 c 5 13 (I)
 a __ 
 1 __ 
2
 
 5 b __ 
 1 __ 
3
 
 5 c __ 
 1 __ 
4
 
 (II)
Aplicando na equação (II) a propriedade P.6 das proporções, obtemos:
 a 1 b 1 c ___________ 
 1 __ 
2
 1 1 __ 
3
 1 1 __ 
4
 
 5 a __ 
 1 __ 
2
 
 5 b __ 
 1 __ 
3
 
 5 c __ 
 1 __ 
4
 
 (III)
Substituindo (I) em (III), concluímos:
 13 ___ 
 13 ___ 
12
 
 5 a __ 
 1 __ 
2
 
 5 b __ 
 1 __ 
3
 
 5 c __ 
 1 __ 
4
 
 ] a 5 6, b 5 4 e c 5 3
Logo, os tempos que duraram a 1a, a 2a e a 3a voltas foram, respectivamente, 
6 min, 4 min e 3 min. 
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Dividir um número k em partes inversamente proporcionais aos números não nulos 
a1, a2, a3, ..., an significa determinar os números x1, x2, x3, ..., xn tais que:
x1 1 x2 1 x3 1 ... 1 xn 5 k
 
x1 __ 
 1 __ a1
 
 5 
x2 ___ 
 1 __ a2
 
 5 
x3 ___ 
 1 __ a3
 
 5 ... 5 
xn ___ 
 1 __ an
 
 
Exercício resolvido
16 Dividir o número 135 em partes inversamente 
proporcionais a 1, 3, 9 e 18.
Resolução
Dividir 135 em partes inversamente proporcio-
nais a 1, 3, 9 e 18 equivale a dividir 135 em partes 
diretamente proporcionais aos inversos de 1, 3, 
9 e 18. Assim, devemos determinar os números 
a, b, c e d tais que:
a 1 b 1 c 1 d 5 135 (I)
 a __ 
 1 __ 
1
 
 5 b __ 
 1 __ 
3
 
 5 c __ 
 1 __ 
9
 
 5 d ___ 
 1 ___ 
18
 
 (II)
Aplicando na equação (II) a propriedade P.6 das 
proporções, obtemos:
 a 1 b 1 c 1 d _______________ 
 1 __ 
1
 1 1 __ 
3
 1 1 __ 
9
 1 1 ___ 
18
 
 5 a __ 
 1 __ 
1
 
 5 b __ 
 1 __ 
3
 
 5 c __ 
 1 __ 
9
 
 5 d ___ 
 1 ___ 
18
 
 (III)
Substituindo (I) em (III), concluímos:
 135 ____ 
 27 ___ 
18
 
 5 a __ 
 1 __ 
1
 
 5 b __ 
 1 __ 
3
 
 5 c __ 
 1 __ 
9
 
 5 d ___ 
 1 ___ 
18
 
 ]
] a 5 90, b 5 30, c 5 10 e d 5 5
Logo, a divisão do número 135 em partes inver-
samente proporcionais a 1, 3, 9 e 18 resulta em 
90, 30, 10 e 5, respectivamente.
Nesse problema, observamos que, quanto maior a velocidade do carro, menor 
será o tempo gasto para dar uma volta na pista e, quanto menor a velocidade, maior 
será o tempo gasto, verificando-se que a velocidade e o tempo variam em razões 
inversas. Por exemplo:
• ao dobrar a velocidade, o tempo para dar uma volta na pista se reduz à me-
tade; 
• ao triplicar a velocidade, o tempo para dar uma volta na pista se reduz à terça 
parte; 
• ao reduzir à metade a velocidade, o tempo para dar uma volta na pista dobra;
• e assim por diante, ao multiplicar a velocidade por um número positivo k, o 
tempo para dar uma volta na pista será dividido por k. 
Essas observações mostram que o problema trata da divisão do número 13 em 
partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 4. 
Generalizando os procedimentos adotados na resolução desse problema, es-
tabelecemos que dividir um número em partes inversamente proporcionais aos 
termos de uma sequência numérica significa decompor essenúmero em parcelas 
diretamente proporcionais aos inversos dos termos da sequência. Em símbolos, 
temos:
Exercícios propostos
122 Em cada um dos itens a seguir, verifique se as 
sequências são inversamente proporcionais.
a) (2, 4, 1) e (14, 7, 28)
b) (12, 4, 6, 3) e (5, 15, 10, 30)
c) @ 1 __ 
4
 , 2, 3 __ 
5
 # e @ 3 __ 
2
 , 3 ___ 
16
 , 5 __ 
8
 # 
123 Obtenha os valores de x e y de modo que as 
sequências (9, x, y) e (20, 60, 45) sejam inversa-
mente proporcionais. 
124 Obtenha os valores de x, y e z de modo que as 
 sequências @ 1 __ 
3
 , x, 6, z # e @ 3 __ 
2
 , 12, y, 1 __ 
5
 # sejam inver-
 samente proporcionais. 
125 Divida o número 66 em partes inversamente 
proporcionais aos números 2, 4 e 6.
126 Divida o número 52 em partes inversamente 
 proporcionais a 2, 1 __ 
2
 e 1 __ 
4
 .
127 Em um movimento de conscientização da po-
pulação, a empresa responsável pelo abasteci-
mento de água de uma cidade promoveu uma 
campanha em que toda residência que dimi-