02_Matematica

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Prefeitura de Osasco - SP
Inspetor de Alunos
Matemática
Resolução de situações-problema, envolvendo: adição, subtração, multiplicação, di-
visão, potenciação ou radiciação com números racionais, nas suas representações 
fracionária ou decimal ................................................................................................... 1
Mínimo múltiplo comum; Máximo divisor comum .......................................................... 3
Porcentagem ................................................................................................................. 6
Razão e proporção ........................................................................................................ 7
Regra de três simples ou composta .............................................................................. 10
Equações do 1º ou do 2º graus ..................................................................................... 12
Juros simples e compostos ........................................................................................... 18
Sistema de equações do 1º grau .................................................................................. 20
Grandezas e medidas – quantidade, tempo, comprimento, superfície, capacidade e 
massa ............................................................................................................................ 23
Relação entre grandezas – (tabelas e gráficos de funções polinomiais de 1º e 2º 
grau); ............................................................................................................................. 25
Tratamento da informação – medidas de tendência central (média, moda e media-
na); ............................................................................................................................... 31
Noções de Geometria – forma, ângulos, área, perímetro, volume, Teoremas de Pitágo-
ras e de Tales ................................................................................................................ 32
Exercícios ...................................................................................................................... 46
Gabarito ......................................................................................................................... 53
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Resolução de situações-problema, envolvendo: adição, subtração, multiplicação, di-
visão, potenciação ou radiciação com números racionais, nas suas representações fra-
cionária ou decimal 
A resolução de problemas matemáticos envolve a aplicação de uma variedade de recursos matemáticos, 
sendo que os princípios algébricos se destacam como uma parte fundamental desse processo. Esses princí-
pios são classificados de acordo com a complexidade e a abordagem dos conteúdos matemáticos. 
A prática constante na resolução de questões desse tipo é o que proporciona o desenvolvimento de habili-
dades cada vez maiores para enfrentar problemas dessa natureza.
Exemplos:
01. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer Gráfi-
co – VUNESP) Em um condomínio, a caixa d’água do bloco A contém 10 000 litros a mais de água do que a 
caixa d’água do bloco B. Foram transferidos 2 000 litros de água da caixa d’água do bloco A para a do bloco B, 
ficando o bloco A com o dobro de água armazenada em relação ao bloco B. Após a transferência, a diferença 
das reservas de água entre as caixas dos blocos A e B, em litros, vale
(A) 4 000.
(B) 4 500.
(C) 5 000.
(D) 5 500.
(E) 6 000.
Resolução:
A = B + 10000 ( I )
Transferidos: A – 2000 = 2.B , ou seja, A = 2.B + 2000 ( II )
Substituindo a equação ( II ) na equação ( I ), temos:
2.B + 2000 = B + 10000
2.B – B = 10000 – 2000
B = 8000 litros (no início)
Assim, A = 8000 + 10000 = 18000 litros (no início)
Portanto, após a transferência, fica:
A’ = 18000 – 2000 = 16000 litros
B’ = 8000 + 2000 = 10000 litros
Por fim, a diferença é de : 16000 – 10000 = 6000 litros
Resposta: E.
02. (IFNMG – Matemática - Gestão de Concursos) Uma linha de produção monta um equipamento em oito 
etapas bem definidas, sendo que cada etapa gasta exatamente 5 minutos em sua tarefa. O supervisor percebe, 
cinco horas e trinta e cinco minutos depois do início do funcionamento, que a linha parou de funcionar. Como 
a linha monta apenas um equipamento em cada processo de oito etapas, podemos afirmar que o problema foi 
na etapa:
(A) 2
(B) 3 
(C) 5 
(D) 7
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2
Resolução:
Um equipamento leva 8.5 = 40 minutos para ser montado.
5h30 = 60.5 + 30 = 330 minutos
330min : 40min = 8 equipamentos + 20 minutos (resto)
20min : 5min = 4 etapas
Como as alternativas não apresentam a etapa 4, provavelmente, o problema ocorreu na etapa 3.
Resposta: B.
03. (EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP) Joana pretende dividir um determinado nú-
mero de bombons entre seus 3 filhos. Sabendo que o número de bombons é maior que 24 e menor que 29, e 
que fazendo a divisão cada um dos seus 3 filhos receberá 9 bombons e sobrará 1 na caixa, quantos bombons 
ao todo Joana possui?
(A) 24.
(B) 25.
(C) 26.
(D) 27.
(E) 28
Resolução:
Sabemos que 9 . 3 = 27 e que, para sobrar 1, devemos fazer 27 + 1 = 28.
Resposta: E.
04. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer Grá-
fico – VUNESP) Na biblioteca de um instituto de física, para cada 2 livros de matemática, existem 3 de física. 
Se o total de livros dessas duas disciplinas na biblioteca é igual a 1 095, o número de livros de física excede o 
número de livros de matemática em
(A) 219.
(B) 405.
(C) 622.
(D) 812.
(E) 1 015.
Resolução:
 , ou seja, 3.M = 2.F ( I )
M + F = 1095 , ou seja, M = 1095 – F ( II )
Vamos substituir a equação ( II ) na equação ( I ):
3 . (1095 – F) = 2.F
3285 – 3.F = 2.F
5.F = 3285
F = 3285 / 5
F = 657 (física)
Assim: M = 1095 - 657 = 438 (matemática)
A diferença é: 657 – 438 = 219
Resposta: A.
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05. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) Caio é 15 cm mais alto do que Pedro. Pedro 
é 6 cm mais baixo que João. João é 7 cm mais alto do que Felipe. Qual é, em cm, a diferença entre as alturas 
de Caio e de Felipe?
(A) 1
(B) 2
(C) 9
(D) 14
(E) 16
Resolução:
Caio = Pedro + 15cm
Pedro = João – 6cm
João = Felipe + 7cm , ou seja: Felipe = João – 7
Caio – Felipe = ?
Pedro + 15 – (João – 7) = 
João – 6 + 15 – João + 7 = 16
Resposta: E.
Mínimo múltiplo comum; Máximo divisor comum
Múltiplos 
Um número é múltiplo de outro quando ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero.
Exemplo
O conjunto de múltiplos de um número natural não-nulo é infinito e podemos consegui-lo multiplicando-se o 
número dado por todos os números naturais.
M(3)={0,3,6,9,12,...}
Divisores
Os números 12 e 15 são múltiplos de 3, portanto 3 é divisor de 12 e 15.
D(12)={1,2,3,4,6,12}
D(15)={1,3,5,15}
Observações:
– Todo número natural é múltiplo de si mesmo.
– Todo número natural é múltiplo de 1.
– Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos múltiplos.
- O zero é múltiplo de qualquer número natural.
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Máximo Divisor Comum
O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais não-nulos é o maior dos divisores comuns des-
ses números.
Para calcular o m.d.c de dois ou mais números, devemos seguir as etapas:
• Decompor o número em fatores primos
• Tomar o fatores comuns com o menor expoente
• Multiplicar os fatores entre si.
Exemplo:
15 3 24 2
5 5 12 2
1 6 2
3 3
1
15 = 3.5 24 = 23.3
O fator comum é o 3 e o 1 é o menor expoente.
m.d.c
(15,24) = 3
Mínimo Múltiplo Comum
O mínimo múltiplo comum (m.m.c) de dois ou mais números é o menor número, diferente de zero.
Para calcular devemos seguir as etapas:
• Decompor os números em fatores primos
• Multiplicar os fatores entre si
Exemplo:15,24 2
15,12 2
15,6 2
15,3 3
5,1 5
1
Para o mmc, fica mais fácil decompor os dois juntos.
Basta começar sempre pelo menor primo e verificar a divisão com algum dos números, não é necessário que 
os dois sejam divisíveis ao mesmo tempo.
Observe que enquanto o 15 não pode ser dividido, continua aparecendo.
Assim, o mmc (15,24) = 23.3.5 = 120
Exemplo
O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, de mesma 
dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos 
de modo que tenham a maior dimensão possível.
Na situação apresentada, o lado do ladrilho deverá medir
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(A) mais de 30 cm.
(B) menos de 15 cm.
(C) mais de 15 cm e menos de 20 cm.
(D) mais de 20 cm e menos de 25 cm.
(E) mais de 25 cm e menos de 30 cm.
Resposta: A.
352 2 416 2
176 2 208 2
88 2 104 2
44 2 52 2
22 2 26 2
11 11 13 13
1 1
Devemos achar o mdc para achar a maior medida possível
E são os fatores que temos iguais:25=32
Exemplo
(MPE/SP – Oficial de Promotora I – VUNESP/2016) No aeroporto de uma pequena cidade chegam aviões 
de três companhias aéreas. Os aviões da companhia A chegam a cada 20 minutos, da companhia B a cada 30 
minutos e da companhia C a cada 44 minutos. Em um domingo, às 7 horas, chegaram aviões das três compa-
nhias ao mesmo tempo, situação que voltará a se repetir, nesse mesmo dia, às:
(A) 16h 30min.
(B) 17h 30min.
(C) 18h 30min.
(D) 17 horas.
(E) 18 horas.
Resposta: E.
20,30,44 2
10,15,22 2
5,15,11 3
5,5,11 5
1,1,11 11
1,1,1
Mmc(20,30,44)=2².3.5.11=660
1h---60minutos
x-----660
x=660/60=11
Então será depois de 11horas que se encontrarão
7+11=18h
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Porcentagem
Porcentagem é uma fração cujo denominador é 100, seu símbolo é (%). Sua utilização está tão disseminada 
que a encontramos nos meios de comunicação, nas estatísticas, em máquinas de calcular, etc. 
Os acréscimos e os descontos é importante saber porque ajuda muito na resolução do exercício.
Acréscimo
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas 
multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 
1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:
ACRÉSCIMO OU LUCRO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 
10 x 1,10 = R$ 11,00
Desconto
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação =1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
DESCONTO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 
10 X 0,90 = R$ 9,00
Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e 
o preço de custo.
Lucro=preço de venda -preço de custo
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:
Exemplo
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(DPE/RR – Analista de Sistemas – FCC/2015) Em sala de aula com 25 alunos e 20 alunas, 60% desse 
total está com gripe. Se x% das meninas dessa sala estão com gripe, o menor valor possível para x é igual a
(A) 8.
(B) 15.
(C) 10.
(D) 6.
(E) 12.
Resolução
45------100%
X-------60%
X=27
O menor número de meninas possíveis para ter gripe é se todos os meninos estiverem gripados, assim 
apenas 2 meninas estão.
Resposta: C.
Razão e proporção
Razão
Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b ≠ 0, ao quociente entre eles. Indica-se a 
razão de a para b por a/b ou a : b. 
Exemplo: 
Na sala do 1º ano de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e 
o número de moças. (lembrando que razão é divisão) 
Proporção
Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:
Propriedade fundamental das proporções
Numa proporção:
Os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a proprieda-
de: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:
A x D = B x C
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Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:
Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6.
Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:
Segunda propriedade das proporções
Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro, ou 
para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro, ou para 
o quarto termo. Então temos:
 
Ou 
Ou
Ou 
Terceira propriedade das proporções
Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença 
dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo consequente. Temos então:
Ou
Ou
Ou
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Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 
1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª, ou de uma maneira mais informal, se eu 
pergunto:
Quanto mais.....mais....
Exemplo
Distância percorrida e combustível gasto
DISTÂNCIA (KM) COMBUSTÍVEL (LITROS)
13 1
26 2
39 3
52 4
Quanto MAIS eu ando, MAIS combustível?
Diretamente proporcionais
Se eu dobro a distância, dobra o combustível
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 
1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª.
Quanto mais....menos...
Exemplo
Velocidade x Tempo a tabela abaixo:
VELOCIDADE (M/S) TEMPO (S)
5 200
8 125
10 100
16 62,5
20 50
Quanto MAIOR a velocidade MENOS tempo??
Inversamente proporcional
Se eu dobro a velocidade, eu faço o tempo pela metade.
Diretamente Proporcionais 
Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se mon-
tar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M e p1+p2+...+pn=P.
A solução segue das propriedades das proporções:
Exemplo 
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Carlos e João resolveram realizar um bolão da loteria. Carlos entrou com R$ 10,00 e João com R$ 15,00. 
Caso ganhem o prêmio de R$ 525.000,00, qual será a parte de cada um, se o combinado entre os dois foi de 
dividirem o prêmio de forma diretamente proporcional?
Carlos ganhará R$210000,00 e Carlos R$315000,00.
Inversamente Proporcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta 
decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn. A montagem 
do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2+...+ Xn=M e além disso
cuja solução segue das propriedades das proporções:
Regra de três simples ou composta
Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos 
quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma 
linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. 
Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
1) Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400 ----- 3
480 ----- X
2)Identificação do tipo de relação:
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VELOCIDADE Tempo
400 ↓ ----- 3 ↑
480 ↓ ----- X ↑
Obs.: como as setas estão invertidas temos que inverter os números mantendo a primeira coluna e inver-
tendo a segunda coluna ou seja o que está em cima vai para baixo e o que está em baixo na segunda coluna 
vai para cima
VELOCIDADE Tempo
400 ↓ ----- 3 ↓
480 ↓ ----- X ↓
480x=1200
X=25
Regra de três composta
Regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente 
proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessá-
rios para descarregar 125m³?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, 
as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ↑ ----- 20 ↓
---
-- 160 ↑
5 ↑ ----- X ↓
---
-- 125 ↑
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação 
é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é direta-
mente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o pro-
duto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ↑ ----- 20 ↓
---
-- 160 ↓
5 ↑ ----- X ↓
---
-- 125 ↓
Obs.: Assim devemos inverter a primeira coluna ficando:
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HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ----- 20 
---
-- 160 
5 ----- X 
---
-- 125 
Logo, serão necessários 25 caminhões
Equações do 1º ou do 2º graus
Equação do 1° Grau
Na Matemática, a equação é uma igualdade que envolve uma ou mais incógnitas1. Quem determina o “grau” 
dessa equação é o expoente dessa incógnita, ou seja, se o expoente for 1, temos a equação do 1º grau. Se o 
expoente for 2, a equação será do 2º grau; se o expoente for 3, a equação será de 3º grau. Exemplos:
4x + 2 = 16 (equação do 1º grau)
x² + 2x + 4 = 0 (equação do 2º grau)
x³ + 2x² + 5x – 2 = 0 (equação do 3º grau)
A equação do 1º grau é apresentada da seguinte forma:
É importante dizer que a e b representam qualquer número real e a é diferente de zero (a 0). A incógnita x 
pode ser representada por qualquer letra, contudo, usualmente, utilizamos x ou y como valor a ser encontrado 
para o resultado da equação. O primeiro membro da equação são os números do lado esquerdo da igualdade, 
e o segundo membro, o que estão do lado direito da igualdade.
Como resolver uma equação do primeiro grau
Para resolvermos uma equação do primeiro grau, devemos achar o valor da incógnita (que vamos chamar 
de x) e, para que isso seja possível, é só isolar o valor do x na igualdade, ou seja, o x deve ficar sozinho em 
um dos membros da equação.
O próximo passo é analisar qual operação está sendo feita no mesmo membro em que se encontra x e 
“jogar” para o outro lado da igualdade fazendo a operação oposta e isolando x.
1° exemplo:
Nesse caso, o número que aparece do mesmo lado de x é o 4 e ele está somando. Para isolar a incógnita, 
ele vai para o outro lado da igualdade fazendo a operação inversa (subtração):
1 https://escolakids.uol.com.br/matematica/equacao-primeiro-grau.htm#:~:text=Na%20Matem%C3%A-
1tica%2C%20a%20equa%C3%A7%C3%A3o%20%C3%A9,equa%C3%A7%C3%A3o%20ser%C3%A1%20
de%203%C2%BA%20grau.
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2° exemplo:
O número que está do mesmo lado de x é o 12 e ele está subtraindo. Nesse exemplo, ele vai para o outro 
lado da igualdade com a operação inversa, que é a soma:
3° exemplo:
Vamos analisar os números que estão no mesmo lado da incógnita, o 4 e o 2. O número 2 está somando 
e vai para o outro lado da igualdade subtraindo e o número 4, que está multiplicando, passa para o outro lado 
dividindo.
4° exemplo: 
Esse exemplo envolve números negativos e, antes de passar o número para o outro lado, devemos sempre 
deixar o lado da incógnita positivo, por isso vamos multiplicar toda a equação por -1.
Passando o número 3, que está multiplicando x, para o outro lado, teremos:
— Propriedade Fundamental das Equações
A propriedade fundamental das equações é também chamada de regra da balança. Não é muito utilizada 
no Brasil, mas tem a vantagem de ser uma única regra. A ideia é que tudo que for feito no primeiro membro 
da equação deve também ser feito no segundo membro com o objetivo de isolar a incógnita para se obter o 
resultado. Veja a demonstração nesse exemplo:
Começaremos com a eliminação do número 12. Como ele está somando, vamos subtrair o número 12 nos 
dois membros da equação:
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Para finalizar, o número 3 que está multiplicando a incógnita será dividido por 3 nos dois membros da 
equação:
Equação do 2° Grau
Toda equação que puder ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0 será chamada equação do segundo grau2. O 
único detalhe é que a, b e c devem ser números reais, e a não pode ser igual a zero em hipótese alguma.
Uma equação é uma expressão que relaciona números conhecidos (chamados coeficientes) a números 
desconhecidos (chamados incógnitas), por meio de uma igualdade. Resolver uma equação é usar as 
propriedades dessa igualdade para descobrir o valor numérico desses números desconhecidos. Como eles 
são representados pela letra x, podemos dizer que resolver uma equação é encontrar os valores que x pode 
assumir, fazendo com que a igualdade seja verdadeira.
— Como resolver equações do 2º grau?
Conhecemos como soluções ou raízes da equação ax² + bx + c = 0 os valores de x que fazem com que essa 
equação seja verdadeira3. Uma equação do 2º grau pode ter no máximo dois números reais que sejam raízes 
dela. Para resolver equações do 2º grau completas, existem dois métodos mais comuns:
- Fórmula de Bhaskara;
- Soma e produto.
O primeiro método é bastante mecânico, o que faz com que muitos o prefiram. Já para utilizar o segundo, é 
necessário o conhecimento de múltiplos e divisores. Além disso, quando as soluções da equação são números 
quebrados, soma e produto não é uma alternativa boa.
— Fórmula de Bhaskara
1) Determinar os coeficientes da equação
Os coeficientes de uma equação são todos os números que não são a incógnita dessa equação, sejam 
eles conhecidos ou não. Para isso, é mais fácil comparar a equação dada com a forma geral das equações do 
segundo grau, que é: ax2 + bx + c = 0. Observe que o coeficiente “a” multiplica x2, o coeficiente “b” multiplica 
x, e o coeficiente “c” é constante.
Por exemplo, na seguinte equação:
x² + 3x + 9 = 0
O coeficiente a = 1, o coeficiente b = 3 e o coeficiente c = 9.
Na equação:
– x² + x = 0
O coeficiente a = – 1, o coeficiente b = 1 e o coeficiente c = 0.
2) Encontrar o discriminante
O discriminante de uma equação do segundo grau é representado pela letra grega Δ e pode ser encontrado 
pela seguinte fórmula:
Δ = b² – 4·a·c
Nessa fórmula, a, b e c são os coeficientes da equação do segundo grau. Na equação: 4x² – 4x – 24 = 0, por 
exemplo, os coeficientes são: a = 4, b = – 4 e c = – 24. Substituindo esses números na fórmula do discriminante, 
teremos:
2 https://escolakids.uol.com.br/matematica/equacoes-segundo-grau.htm#:~:text=Toda%20equa%C3%A7%-
C3%A3o%20que%20puder%20ser,a%20zero%20em%20hip%C3%B3tese%20alguma.
3 https://www.preparaenem.com/matematica/equacao-do-2-grau.htm
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Δ = b² – 4 · a · c
Δ= (– 4)² – 4 · 4 · (– 24)
Δ = 16 – 16 · (– 24)
Δ = 16 + 384
Δ = 400
— Quantidade de soluções de uma equação
As equações do segundo grau podem ter até duas soluções reais4. Por meio do discriminante, é possível 
descobrir quantas soluções a equação terá. Muitas vezes, o exercício solicita isso em vezde perguntar quais 
as soluções de uma equação. Então, nesse caso, não é necessário resolvê-la, mas apenas fazer o seguinte:
Se Δ < 0, a equação não possui soluções reais.
Se Δ = 0, a equação possui apenas uma solução real.
Se Δ > 0, a equação possui duas soluções reais.
Isso acontece porque, na fórmula de Bhaskara, calcularemos a raiz de Δ. Se o discriminante é negativo, é 
impossível calcular essas raízes. 
3) Encontrar as soluções da equação
Para encontrar as soluções de uma equação do segundo grau usando fórmula de Bhaskara, basta substituir 
coeficientes e discriminante na seguinte expressão:
Observe a presença de um sinal ± na fórmula de Bhaskara. Esse sinal indica que deveremos fazer um 
cálculo para √Δ positivo e outro para √Δ negativo. Ainda no exemplo 4x2 – 4x – 24 = 0, substituiremos seus 
coeficientes e seu discriminante na fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções dessa equação são 3 e – 2, e seu conjunto de solução é: S = {3, – 2}.
— Soma e Produto
Nesse método é importante conhecer os divisores de um número. Ele se torna interessante quando as 
raízes da equação são números inteiros, porém, quando são um número decimal, esse método fica bastante 
complicado.
A soma e o produto é uma relação entre as raízes x1 e x2 da equação do segundo grau, logo devemos buscar 
quais são os possíveis valores para as raízes que satisfazem a seguinte relação:
4 https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/discriminante-uma-equacao-segundo-grau.htm
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Exemplo: Encontre as soluções para a equação x² – 5x + 6 = 0.
1º passo: encontrar a, b e c.
a = 1
b = -5
c = 6
2º passo: substituir os valores de a, b e c na fórmula.
3º passo: encontrar o valor de x1 e x2 analisando a equação.
Nesse caso, estamos procurando dois números cujo produto seja igual a 6 e a soma seja igual a 5.
Os números cuja multiplicação é igual a 6 são:
I. 6 x 1 = 6
II. 3 x 2 =6
III. (-6) x (-1) = 6
IV. (-3) x (-2) = 6
Dos possíveis resultados, vamos buscar aquele em que a soma seja igual a 5. Note que somente a II possui 
soma igual a 5, logo as raízes da equação são x1 = 3 e x2 = 2.
— Equação do 2º Grau Incompleta
Equação do 2º grau é incompleta quando ela possui b e/ou c iguais a zero4. Existem três tipos dessas 
equações, cada um com um método mais adequado para sua resolução.
Uma equação do 2º grau é conhecida como incompleta quando um dos seus coeficientes, b ou c, é igual a 
zero. Existem três casos possíveis de equações incompletas, que são:
- Equações que possuem b = 0, ou seja, ax² + c = 0;
- Equações que possuem c = 0, ou seja, ax² + bx = 0;
- Equações em que b = 0 e c = 0, então a equação será ax² = 0.
Em cada caso, é possível utilizar métodos diferentes para encontrar o conjunto de soluções da equação. Por 
mais que seja possível resolvê-la utilizando a fórmula de Bhaskara, os métodos específicos de cada equação 
incompleta acabam sendo menos trabalhosos. A diferença entre a equação completa e a equação incompleta 
é que naquela todos os coeficientes são diferentes de 0, já nesta pelo menos um dos seus coeficientes é zero.
Como Resolver Equações do 2º Grau Incompletas
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Para encontrar as soluções de uma equação do 2º grau, é bastante comum a utilização da fórmula de 
Bhaskara, porém existem métodos específicos para cada um dos casos de equações incompletas, a seguir 
veremos cada um deles.
Quando c = 0
Quando o c = 0, a equação do 2º grau é incompleta e é uma equação do tipo ax² + bx = 0. Para encontrar seu 
conjunto de soluções, colocamos a variável x em evidência, reescrevendo essa equação como uma equação 
produto. Vejamos um exemplo a seguir.
Exemplo: Encontre as soluções da equação 2x² + 5x = 0.
1º passo: colocar x em evidência.
Reescrevendo a equação colocando x em evidência, temos que:
2x² + 5x = 0
x · (2x + 5) = 0
2º passo: separar a equação produto em dois casos.
Para que a multiplicação entre dois números seja igual a zero, um deles tem que ser igual a zero, no caso, 
temos que:
x · (2x + 5) = 0
x = 0 ou 2x + 5 = 0
3º passo: encontrar as soluções.
Já encontramos a primeira solução, x = 0, agora falta encontrar o valor de x que faz com que 2x + 5 seja 
igual a zero, então, temos que:
2x + 5 = 0
2x = -5
x = -5/2
Então encontramos as duas soluções da equação, x = 0 ou x = -5/2.
Quando b = 0
Quando b = 0, encontramos uma equação incompleta do tipo ax² + c = 0. Nesse caso, vamos isolar a variável 
x até encontrar as possíveis soluções da equação. Vejamos um exemplo:
Exemplo: Encontre as soluções da equação 3x² – 12 = 0.
Para encontrar as soluções, vamos isolar a variável.
3x² – 12 = 0
3x² = 12
x² = 12 : 3
x² = 4
Ao extrair a raiz no segundo membro, é importante lembrar que existem sempre dois números e que, ao 
elevarmos ao quadrado, encontramos como solução o número 4 e, por isso, colocamos o símbolo de ±.
x = ±√4
x = ±2
Então as soluções possíveis são x = 2 e x = -2.
Quando b = 0 e c = 0
Quando tanto o coeficiente b quanto o coeficiente c são iguais a zero, a equação será do tipo ax² = 0 e terá 
sempre como única solução x = 0. Vejamos um exemplo a seguir.
Exemplo:
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3x² = 0
x² = 0 : 3
x² = 0
x = ±√0
x = ±0
x = 0
Juros simples e compostos
Matemática Financeira
A Matemática Financeira possui diversas aplicações no atual sistema econômico. Algumas situações es-
tão presentes no cotidiano das pessoas, como financiamentos de casa e carros, realizações de empréstimos, 
compras a crediário ou com cartão de crédito, aplicações financeiras, investimentos em bolsas de valores, 
entre outras situações. Todas as movimentações financeiras são baseadas na estipulação prévia de taxas de 
juros. Ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é feita através de prestações mensais acrescidas 
de juros, isto é, o valor de quitação do empréstimo é superior ao valor inicial do empréstimo. A essa diferença 
damos o nome de juros.
Capital
O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, 
Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas cal-
culadoras financeiras).
Taxa de juros e Tempo
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. 
Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que 
se refere:
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, 
sem o símbolo %:
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)
Montante
Também conhecido como valor acumulado é a soma do Capital Inicial com o juro produzido em determina-
do tempo.
Essa fórmula também será amplamente utilizada para resolver questões.
M = C + J
M = montante
C = capital inicial
J = juros
M=C+C.i.n
M=C(1+i.n)
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Juros Simples
Chama-se juros simples a compensação em dinheiro pelo empréstimo de um capital financeiro, a uma taxa 
combinada, por um prazo determinado, produzida exclusivamente pelo capital inicial.
Em Juros Simples a remuneração pelo capital inicial aplicado é diretamente proporcional ao seu valor e ao 
tempo de aplicação.
A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a seguinte:
J = C i n, onde:
J = juros
C = capital inicial
i = taxa de juros
n = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...)
Observação importante: a taxa de juros e o tempo de aplicação devem ser referentes a um mesmo período. 
Ou seja, os dois devem estar em meses, bimestres, trimestres, semestres, anos... O que não pode ocorrer é 
um estar em meses e outro em anos, ou qualquer outra combinação de períodos.
Dica: Essa fórmulaJ = C i n, lembra as letras das palavras “JUROS SIMPLES” e facilita a sua memorização.
Outro ponto importante é saber que essa fórmula pode ser trabalhada de várias maneiras para se obter cada 
um de seus valores, ou seja, se você souber três valores, poderá conseguir o quarto, ou seja, como exemplo 
se você souber o Juros (J), o Capital Inicial (C) e a Taxa (i), poderá obter o Tempo de aplicação (n). E isso vale 
para qualquer combinação.
Exemplo
Maria quer comprar uma bolsa que custa R$ 85,00 à vista. Como não tinha essa quantia no momento e não 
queria perder a oportunidade, aceitou a oferta da loja de pagar duas prestações de R$ 45,00, uma no ato da 
compra e outra um mês depois. A taxa de juros mensal que a loja estava cobrando nessa operação era de:
(A) 5,0%
(B) 5,9%
(C) 7,5%
(D) 10,0%
(E) 12,5%
Resposta Letra “e”. 
O juros incidiu somente sobre a segunda parcela, pois a primeira foi à vista. Sendo assim, o valor devido 
seria R$40 (85-45) e a parcela a ser paga de R$45.
Aplicando a fórmula M = C + J:
45 = 40 + J
J = 5
Aplicando a outra fórmula J = C i n:
5 = 40 X i X 1
i = 0,125 = 12,5%
Juros Compostos
o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: 
o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
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20
Quando usamos juros simples e juros compostos?
A maioria das operações envolvendo dinheiro utilizajuros compostos. Estão incluídas: compras a médio e 
longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como 
Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime 
de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplica-
tas.
O cálculo do montante é dado por:
M = C (1 + i)t
Exemplo
Calcule o juro composto que será obtido na aplicação de R$25000,00 a 25% ao ano, durante 72 meses
C = 25000
i = 25%aa = 0,25
i = 72 meses = 6 anos
M = C (1 + i)t
M = 25000 (1 + 0,25)6
M = 25000 (1,25)6
M = 95367,50
M = C + J
J = 95367,50 - 25000 = 70367,50
Sistema de equações do 1º grau
Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: duas equações de 1º grau com duas 
incógnitas diferentes em cada equação. Veja um exemplo:
• Resolução de sistemas
Existem dois métodos de resolução dos sistemas. Vejamos:
• Método da substituição
Consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das incógnitas e substituir na outra equação, veja 
como:
Dado o sistema , enumeramos as equações.
Escolhemos a equação 1 (pelo valor da incógnita de x ser 1) e isolamos x. Teremos: x = 20 – y e substituímos 
na equação 2.
3 (20 – y) + 4y = 72, com isso teremos apenas 1 incógnita. Resolvendo:
60 – 3y + 4y = 72 → -3y + 4y = 72 -60 → y = 12
Para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equação x = 20 – y. Logo:
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21
x = 20 – y → x = 20 – 12 →x = 8 
Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12)
Método da adição
Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das incógnitas seja 
zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equações ou apenas 
uma equação por números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero.
Dado o sistema
Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que multiplicar a 
primeira equação por – 3.
Teremos:
Adicionando as duas equações:
 
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o valor de y encontrado: 
x + y = 20 → x + 12 = 20 → x = 20 – 12 → x = 8 
Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12).
Exemplos:
(SABESP – APRENDIZ – FCC) Em uma gincana entre as três equipes de uma escola (amarela, vermelha 
e branca), foram arrecadados 1 040 quilogramas de alimentos. A equipe amarela arrecadou 50 quilogramas a 
mais que a equipe vermelha e esta arrecadou 30 quilogramas a menos que a equipe branca. A quantidade de 
alimentos arrecadada pela equipe vencedora foi, em quilogramas, igual a 
(A) 310 
(B) 320 
(C) 330 
(D) 350 
(E) 370
Resolução:
Amarela: x
Vermelha: y
Branca: z
x = y + 50
y = z - 30
z = y + 30
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Substituindo a II e a III equação na I:
Substituindo na equação II
x = 320 + 50 = 370
z=320+30=350
A equipe que mais arrecadou foi a amarela com 370kg
Resposta: E
(SABESP – ANALISTA DE GESTÃO I -CONTABILIDADE – FCC) Em um campeonato de futebol, as equi-
pes recebem, em cada jogo, três pontos por vitória, um ponto em caso de empate e nenhum ponto se forem 
derrotadas. Após disputar 30 partidas, uma das equipes desse campeonato havia perdido apenas dois jogos e 
acumulado 58 pontos. O número de vitórias que essa equipe conquistou, nessas 30 partidas, é igual a 
(A) 12 
(B) 14 
(C) 16 
(D) 13 
(E) 15 
Resolução:
Vitórias: x
Empate: y
Derrotas: 2
Pelo método da adição temos:
Resposta: E
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Grandezas e medidas – quantidade, tempo, comprimento, superfície, capacidade e 
massa
UNIDADES DE COMPRIMENTO
km hm dam m dm cm mm
Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro
1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para peque-
nas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:
mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m
Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):
Ano-luz = 9,5 · 1012 km
Exemplos de Transformação
1m=10dm=100cm=1000mm=0,1dam=0,01hm=0,001km
1km=10hm=100dam=1000m
Ou seja, para transformar as unidades, quando “ andamos” para direita multiplica por 10 e para a esquerda 
divide por 10.
Superfície
A medida de superfície é sua área e a unidade fundamental é o metro quadrado(m²).
Para transformar de uma unidade para outra inferior, devemos observar que cada unidade é cem vezes 
maior que a unidade imediatamente inferior. Assim, multiplicamos por cem para cada deslocamento de uma 
unidade até a desejada. 
UNIDADES DE ÁREA
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Quilômetro
Quadrado
Hectôme-
tro
Quadrado
Decâme-
tro
Quadrado
Metro
Quadra-
do
Decíme-
tro
Quadrado
Centíme-
tro
Quadrado
Milímetro
Quadrado
1000000m2 10000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2
Exemplos de Transformação
1m²=100dm²=10000cm²=1000000mm²
1km²=100hm²=10000dam²=1000000m²
Ou seja, para transformar as unidades, quando “ andamos” para direita multiplica por 100 e para a esquerda 
divide por 100.
Volume
Os sólidos geométricos são objetos tridimensionais que ocupam lugar no espaço. Por isso, eles possuem vo-
lume. Podemos encontrar sólidos de inúmeras formas, retangulares, circulares, quadrangulares, entre outras, 
mas todos irão possuir volume e capacidade.
UNIDADES DE VOLUME
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Quilômetro
Cúbico
Hectômetro
Cúbico
Decâmetro
Cúbico
Metro
Cúbico
Decímetro
Cúbico
Centímetro
Cúbico
Milímetro
Cúbico
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1000000000m3 1000000m3 1000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001m3
Capacidade
Para medirmos a quantidade de leite, sucos, água, óleo, gasolina, álcool entre outros utilizamos o litro e seus 
múltiplos e submúltiplos, unidade de medidas de produtos líquidos. 
Se um recipiente tem 1L de capacidade, então seu volume interno é de 1dm³
1L=1dm³
UNIDADES DE CAPACIDADE
kl hl dal l dl cl ml
Quilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l
Massa
Unidades de Massa
kg hg dag g dg cg mg
Quilogra-
ma
Hectograma Decagrama Grama Decigrama Centigra-
ma
Miligrama
1000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001
Toda vez que andar 1 casa para direita, multiplica por 10 e quando anda para esquerdadivide por 10.
E uma outra unidade de massa muito importante é a tonelada
1 tonelada=1000kg
Tempo
A unidade fundamental do tempo é o segundo(s).
É usual a medição do tempo em várias unidades, por exemplo: dias, horas, minutos
Transformação de unidades
Deve-se saber:
1 dia=24horas
1hora=60minutos
1 minuto=60segundos
1hora=3600s
Adição de tempo
Exemplo: Estela chegou ao 15h 35minutos. Lá, bateu seu recorde de nado livre e fez 1 minuto e 25 segun-
dos. Demorou 30 minutos para chegar em casa. Que horas ela chegou?
15h 35 minutos
1 minutos 25 segundos
30 minutos
---------------------------------------------
-----
15h 66 minutos 25 segundos
Não podemos ter 66 minutos, então temos que transferir para as horas, sempre que passamos de um para 
o outro tem que ser na mesma unidade, temos que passar 1 hora=60 minutos
Então fica: 16h6 minutos 25segundos
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25
Vamos utilizar o mesmo exemplo para fazer a operação inversa.
Subtração
Vamos dizer que sabemos que ela chegou em casa as 16h6 minutos 25 segundos e saiu de casa às 15h 35 
minutos. Quanto tempo ficou fora?
11h 60 minutos
16h 6 minutos 25 segundos
-15h 35 min
--------------------------------------------------
Não podemos tirar 6 de 35, então emprestamos, da mesma forma que conta de subtração.
1hora=60 minutos
15h 66 minutos 25 segundos
15h 35 minutos
--------------------------------------------------
0h 31 minutos 25 segundos
Multiplicação
Pedro pensou em estudar durante 2h 40 minutos, mas demorou o dobro disso. Quanto tempo durou o estu-
do?
2h 40 minutos
x2
-----------------------
-----
4h 80 minutos 
OU
5h 20 minutos
Divisão
5h 20 minutos : 2
5h 20 minutos 2
1h 20 minutos 2h 40 minutos
80 minutos
0
1h 20 minutos, transformamos para minutos :60+20=80minutos
Relação entre grandezas – (tabelas e gráficos de funções polinomiais de 1º e 2º grau)
A relação entre grandezas pode ser mais bem compreendida por meio do uso de tabelas e gráficos, que são 
ferramentas essenciais na representação e análise de dados. Tabelas e gráficos são amplamente utilizados em 
diversas áreas, como ciência, economia, estatística, educação e muitas outras, para apresentar informações de 
forma organizada e visualmente acessível.
As tabelas podem mostrar a relação entre duas ou mais grandezas de forma direta. Por exemplo, em uma 
tabela de vendas, as colunas podem representar o tempo (mês), a quantidade de produtos vendidos e a receita 
gerada. Ao analisar a tabela, é possível identificar como a quantidade de produtos vendidos e a receita estão 
relacionadas ao longo do tempo.
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26
Os gráficos são especialmente úteis para representar a relação entre grandezas. Gráficos de dispersão, por 
exemplo, mostram como duas grandezas estão relacionadas, geralmente exibindo pontos no plano cartesiano. 
Gráficos de barras e de linhas podem mostrar como as grandezas variam em relação a uma terceira variável, 
como o tempo.
As funções polinomiais de 1º e 2º graus são expressões algébricas que também relacionam duas gran-
dezas. Elas podem ser representadas por gráficos e tabelas, que mostram o comportamento e os valores da 
função. Os gráficos das funções de 1º grau são retas e os das funções de 2º grau são parábolas. Vejamos:
Funções de 1º grau
A função afim, também chamada de função do 1º grau, é uma função f: R→R, definida como f(x) = ax + b, 
sendo a e b números reais5. As funções f(x) = x + 5, g(x) = 3√3x - 8 e h(x) = 1/2 x são exemplos de funções afim.
Neste tipo de função, o número a é chamado de coeficiente de x e representa a taxa de crescimento ou taxa 
de variação da função. Já o número b é chamado de termo constante.
Gráfico de uma Função do 1º grau
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Desta forma, para 
construirmos seu gráfico basta encontrarmos pontos que satisfaçam a função.
Exemplo: Construa o gráfico da função f (x) = 2x + 3.
Para construir o gráfico desta função, vamos atribuir valores arbitrários para x, substituir na equação e 
calcular o valor correspondente para a f (x).
Sendo assim, iremos calcular a função para os valores de x iguais a: - 2, - 1, 0, 1 e 2. Substituindo esses 
valores na função, temos:
f (- 2) = 2. (- 2) + 3 = - 4 + 3 = - 1
f (- 1) = 2 . (- 1) + 3 = - 2 + 3 = 1
f (0) = 2 . 0 + 3 = 3
f (1) = 2 . 1 + 3 = 5
f (2) = 2 . 2 + 3 = 7
Os pontos escolhidos e o gráfico da f (x) são apresentados na imagem abaixo:
No exemplo, utilizamos vários pontos para construir o gráfico, entretanto, para definir uma reta bastam dois 
pontos.
Para facilitar os cálculos podemos, por exemplo, escolher os pontos (0,y) e (x,0). Nestes pontos, a reta da 
função corta o eixo Ox e Oy respectivamente.
5 https://www.todamateria.com.br/funcao-afim/
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27
Coeficiente Linear e Angular
Como o gráfico de uma função afim é uma reta, o coeficiente a de x é também chamado de coeficiente 
angular. Esse valor representa a inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante b é chamado de coeficiente linear e representa o ponto onde a reta corta o eixo Oy. Pois 
sendo x = 0, temos:
y = a.0 + b ⇒ y = b
Quando uma função afim apresentar o coeficiente angular igual a zero (a = 0) a função será chamada de 
constante. Neste caso, o seu gráfico será uma reta paralela ao eixo Ox.
Abaixo representamos o gráfico da função constante f (x) = 4:
Ao passo que, quando b = 0 e a = 1 a função é chamada de função identidade. O gráfico da função f (x) = x 
(função identidade) é uma reta que passa pela origem (0,0).
Além disso, essa reta é bissetriz do 1º e 3º quadrantes, ou seja, divide os quadrantes em dois ângulos iguais, 
conforme indicado na imagem abaixo:
Temos ainda que, quando o coeficiente linear é igual a zero (b = 0), a função afim é chamada de função 
linear. Por exemplo as funções f (x) = 2x e g (x) = - 3x são funções lineares.
O gráfico das funções lineares são retas inclinadas que passam pela origem (0,0).
Representamos abaixo o gráfico da função linear f (x) = - 3x:
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28
Função Crescente e Decrescente
Uma função é crescente quando ao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o resultado da f (x) será 
também cada vez maior.
Já a função decrescente é aquela que ao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o resultado da f (x) 
será cada vez menor.
Para identificar se uma função afim é crescente ou decrescente, basta verificar o valor do seu coeficiente 
angular.
Se o coeficiente angular for positivo, ou seja, a é maior que zero, a função será crescente. Ao contrário, se a 
for negativo, a função será decrescente.
Por exemplo, a função 2x - 4 é crescente, pois a = 2 (valor positivo). Entretanto, a função - 2x + - 4 é 
decrescente visto que a = - 2 (negativo). Essas funções estão representadas nos gráficos abaixo:
Funções de 2º grau
Chama-se função do 2º grau ou função quadrática, de domínio R e contradomínio R, a função:
Com a, b e c reais e a ≠ 0.
Onde:
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29
a é o coeficiente de x2
b é o coeficiente de x
c é o termo independente
Chama-se função completa aquela em que a, b e c não são nulos, e função incompleta aquela em que b ou 
c são nulos.
Raízes da função do 2ºgrau
Analogamente à função do 1º grau, para encontrar as raízes da função quadrática, devemos igualar f(x) a 
zero. Teremos então:
ax2 + bx + c = 0
A expressão assim obtida denomina-se equação do 2º grau. As raízes da equação são determinadas utili-
zando-se a fórmula de Bhaskara:
Δ (letra grega: delta) é chamado de discriminante da equação. Observe que o discriminante terá um valor 
numérico, do qual temos de extrair a raiz quadrada. Neste caso, temos três casos a considerar:
Δ > 0 ⇒ duas raízes reais e distintas;
Δ = 0 ⇒ duas raízes reais e iguais;
Δ < 0 ⇒ não existem raízes reais (∄ x ∈ R).
Gráfico da funçãodo 2º grau
• Concavidade da parábola
Graficamente, a função do 2º grau, de domínio r, é representada por uma curva denominada parábola. Dada 
a função y = ax2 + bx + c, cujo gráfico é uma parábola, se:
• O termo independente
Na função y = ax2 + bx + c, se x = 0 temos y = c. Os pontos em que x = 0 estão no eixo y, isto significa que 
o ponto (0, c) é onde a parábola “corta” o eixo y.
• Raízes da função
Considerando os sinais do discriminante (Δ) e do coeficiente de x2, teremos os gráficos que seguem para a 
função y = ax2 + bx + c.
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Vértice da parábola – Máximos e mínimos da função
Observe os vértices nos gráficos:
O vértice da parábola será:
– o ponto mínimo se a concavidade estiver voltada para cima (a > 0);
– o ponto máximo se a concavidade estiver voltada para baixo (a < 0).
A reta paralela ao eixo y que passa pelo vértice da parábola é chamada de eixo de simetria.
• Coordenadas do vértice
As coordenadas do vértice da parábola são dadas por:
• Estudo do sinal da função do 2º grau
Estudar o sinal da função quadrática é determinar os valores de x para que y seja: positivo, negativo ou zero. 
Dada a função f(x) = y = ax2 + bx + c, para saber os sinais de y, determinamos as raízes (se existirem) e anali-
samos o valor do discriminante.
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Tratamento da informação – medidas de tendência central (média, moda e mediana)
Média aritmética de um conjunto de números é o valor que se obtém dividindo a soma dos elementos pelo 
número de elementos do conjunto.
Representemos a média aritmética por .
A média pode ser calculada apenas se a variável envolvida na pesquisa for quantitativa. Não faz sentido 
calcular a média aritmética para variáveis quantitativas. 
Na realização de uma mesma pesquisa estatística entre diferentes grupos, se for possível calcular a média, 
ficará mais fácil estabelecer uma comparação entre esses grupos e perceber tendências.
Considerando uma equipe de basquete, a soma das alturas dos jogadores é:
1,85 + 1,85 + 1,95 + 1,98 + 1,98 + 1,98 + 2,01 + 2,01+2,07+2,07+2,07+2,07+2,10+2,13+2,18 = 30,0
Se dividirmos esse valor pelo número total de jogadores, obteremos a média aritmética das alturas:
A média aritmética das alturas dos jogadores é 2,02m.
Média Ponderada 
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição e na qual cada elemento tem um “determi-
nado peso” é chamada média aritmética ponderada.
Mediana (Md)
Sejam os valores escritos em rol: x1 , x2 , x3 , ... xn
Sendo n ímpar, chama-se mediana o termo xi tal que o número de termos da sequência que precedem xi é 
igual ao número de termos que o sucedem, isto é, xi é termo médio da sequência (xn) em rol.
Sendo n par, chama-se mediana o valor obtido pela média aritmética entre os termos xj e xj +1, tais que 
o número de termos que precedem xj é igual ao número de termos que sucedem xj +1, isto é, a mediana é a 
média aritmética entre os termos centrais da sequência (xn) em rol.
Exemplo 1:
Determinar a mediana do conjunto de dados:
{12, 3, 7, 10, 21, 18, 23}
Solução:
Escrevendo os elementos do conjunto em rol, tem-se: (3, 7, 10, 12, 18, 21, 23). A mediana é o termo médio 
desse rol. Logo: Md=12
Resposta: Md=12.
Exemplo 2:
Determinar a mediana do conjunto de dados:
{10, 12, 3, 7, 18, 23, 21, 25}.
Solução: 
Escrevendo-se os elementos do conjunto em rol, tem-se:
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(3, 7, 10, 12, 18, 21, 23, 25). A mediana é a média aritmética entre os dois termos centrais do rol. 
Logo: 
Resposta: Md=15 
Moda (Mo)
Num conjunto de números: x1 , x2 , x3 , ... xn, chama-se moda aquele valor que ocorre com maior frequência.
Observação:
A moda pode não existir e, se existir, pode não ser única.
Exemplo 1:
O conjunto de dados 3, 3, 8, 8, 8, 6, 9, 31 tem moda igual a 8, isto é, Mo=8.
Exemplo 2: 
O conjunto de dados 1, 2, 9, 6, 3, 5 não tem moda.
Noções de Geometria – forma, ângulos, área, perímetro, volume, Teoremas de Pitágo-
ras e de Tales
Ângulos
Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas rece-
bem o nome de lados do ângulo e a origem delas, de vértice do ângulo.
Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º. 
Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º. 
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Ângulo Raso:
- É o ângulo cuja medida é 180º; 
- É aquele, cujos lados são semi-retas opostas. 
Ângulo Reto:
- É o ângulo cuja medida é 90º; 
- É aquele cujos lados se apoiam em retas perpendiculares. 
QUADRILÁTEROS
Quadrilátero é todo polígono com as seguintes propriedades:
- Tem 4 lados.
- Tem 2 diagonais.
- A soma dos ângulos internos Si = 360º
- A soma dos ângulos externos Se = 360º
Trapézio: É todo quadrilátero tem dois paralelos.
- é paralelo a 
- Losango: 4 lados congruentes
- Retângulo: 4 ângulos retos (90 graus)
- Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos.
Observações:
- No retângulo e no quadrado as diagonais são congruentes (iguais)
- No losango e no quadrado as diagonais são perpendiculares entre si (formam ângulo de 90°) e são bisse-
trizes dos ângulos internos (dividem os ângulos ao meio).
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Polígono
Chama-se polígono a união de segmentos que são chamados lados do polígono, enquanto os pontos são 
chamados vértices do polígono.
Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não-consecutivos desse polígono.
Número de Diagonais
Ângulos Internos
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é (n-2).180
Unindo um dos vértices aos outros n-3, convenientemente escolhidos, obteremos n-2 triângulos. A soma das 
medidas dos ângulos internos do polígono é igual à soma das medidas dos ângulos internos dos n-2 triângulos.
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Ângulos Externos
A soma dos ângulos externos=360°
Teorema de Tales
Se um feixe de retas paralelas tem duas transversais, então a razão de dois segmentos quaisquer de uma 
transversal é igual à razão dos segmentos correspondentes da outra.
Dada a figura anterior, O Teorema de Tales afirma que são válidas as seguintes proporções:
Exemplo
Perímetros e áreas das figuras planas
Perímetro: é a soma de todos os lados de uma figura plana.
Exemplo: 
Perímetro = 10 + 10 + 9 + 9 = 38 cm 
Perímetros de algumas das figuras planas:
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Área: é a medida da superfície de uma figura plana.
A unidade básica de área é o m2 (metro quadrado), isto é, uma superfície correspondente a um quadrado 
que tem 1 m de lado.
Fórmulas de área das principais figuras planas:
1) Retângulo 
 - sendo b a base e h a altura:
2. Paralelogramo 
- sendo b a base e h a altura:
3. Trapézio 
- sendo B a base maior, b a base menor e h a altura:
 
4. Losango 
- sendo D a diagonal maior e d a diagonal menor:
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5. Quadrado
- sendo l o lado:
6. Triângulo: essa figura tem 6 fórmulas de área, dependendo dos dados do problema a ser resolvido.
I) sendo dados a base b e a altura h:
II) sendo dados as medidas dos três lados a, b e c:
III) sendo dados as medidas de dois lados e o ângulo formado entre eles:
IV) triângulo equilátero (tem os três lados iguais):
V) circunferência inscrita:
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VI) circunferência circunscrita:
Área do círculo e suas partes
I- Círculo:
Quem primeiro descreveu a área de um círculo foi o matemático grego Arquimedes (287/212 a.C.), de Sira-
cusa, mais ou menos por volta do século II antes de Cristo. Ele concluiu que quanto mais lados tem um polígo-
no regular mais ele se aproxima de uma circunferência e o apótema (a) deste polígono tende ao raio r. Assim, 
como a fórmula da área de um polígono regular é dada por A = p.a (ondep é semiperímetro e a é o apótema), 
temos para a área do círculo , então temos:
II- Coroa circular:
É uma região compreendida entre dois círculos concêntricos (tem o mesmo centro). A área da coroa circular 
é igual a diferença entre as áreas do círculo maior e do círculo menor. A = R2 – r2, como temos o como fator 
comum, podemos colocá-lo em evidência, então temos:
III- Setor circular:
É uma região compreendida entre dois raios distintos de um círculo. O setor circular tem como elementos 
principais o raio r, um ângulo central e o comprimento do arco l, então temos duas fórmulas:
IV- Segmento circular:
É uma região compreendida entre um círculo e uma corda (segmento que une dois pontos de uma circunfe-
rência) deste círculo. Para calcular a área de um segmento circular temos que subtrair a área de um triângulo 
da área de um setor circular, então temos:
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Área e Volume dos sólidos geométricos
PRISMA: é um sólido geométrico que possui duas bases iguais e paralelas.
Exemplo: 
(PREF. JUCÁS/CE – PROFESSOR DE MATEMÁTICA – INSTITUTO NEO EXITUS) O número de faces de 
um prisma, em que a base é um polígono de n lados é:
(A) n + 1.
(B) n + 2.
(C) n.
(D) n – 1.
(E) 2n + 1.
Resolução:
Se a base tem n lados, significa que de cada lado sairá uma face.
Assim, teremos n faces, mais a base inferior, e mais a base superior.
Portanto, n + 2
Resposta: B
PIRÂMIDE: é um sólido geométrico que tem uma base e um vértice superior.
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Exemplo: 
Uma pirâmide triangular regular tem aresta da base igual a 8 cm e altura 15 cm. O volume dessa pirâmide, 
em cm3, é igual a:
(A) 60
(B) 60
(C) 80
(D) 80
(E) 90
Resolução:
Do enunciado a base é um triângulo equilátero. E a fórmula da área do triângulo equilátero é . A aresta da 
base é a = 8 cm e h = 15 cm.
Cálculo da área da base:
Cálculo do volume:
Resposta: D
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CILINDRO: é um sólido geométrico que tem duas bases iguais, paralelas e circulares.
CONE: é um sólido geométrico que tem uma base circular e vértice superior.
Exemplo: 
Um cone equilátero tem raio igual a 8 cm. A altura desse cone, em cm, é:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 8
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42
Resolução: 
Em um cone equilátero temos que g = 2r. Do enunciado o raio é 8 cm, então a geratriz é g = 2.8 = 16 cm.
g2 = h2 + r2
162 = h2 + 82
256 = h2 + 64
256 – 64 = h2
h2 = 192
Resposta: D
ESFERA: superfície curva, possui formato de uma bola.
TRONCOS: são cortes feitos nas superfícies de alguns dos sólidos geométricos. São eles:
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Exemplo: 
(ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO – EXÉRCI-
TO BRASILEIRO) O volume de um tronco de pirâmide de 4 dm de altura e cujas áreas das bases são iguais a 
36 dm² e 144 dm² vale: 
(A) 330 cm³ 
(B) 720 dm³
(C) 330 m³
(D) 360 dm³
(E) 336 dm³
Resolução:
AB=144 dm²
Ab=36 dm²
Resposta: E
Teorema de Pitágoras
Em todo triângulo retângulo, o maior lado é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são os catetos. 
Deste triângulo tiramos a seguinte relação:
“Em todo triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”.
a2 = b2 + c2
Exemplo:
Um barco partiu de um ponto A e navegou 10 milhas para o oeste chegando a um ponto B, depois 5 milhas 
para o sul chegando a um ponto C, depois 13 milhas para o leste chagando a um ponto D e finalmente 9 milhas 
para o norte chegando a um ponto E. Onde o barco parou relativamente ao ponto de partida?
(A) 3 milhas a sudoeste.
(B) 3 milhas a sudeste.
(C) 4 milhas ao sul.
(D) 5 milhas ao norte.
(E) 5 milhas a nordeste.
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Resolução:
x2 = 32 + 42 
x2 = 9 + 16
x2 = 25
Resposta: E
Teorema de Tales
O Teorema de Tales é uma teoria aplicada na geometria acerca do conceito relacionado entre retas para-
lelas e transversais.
““Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos “de 
retas proporcionalmente correspondentes”.
Teorema da bissetriz interna: A bissetriz de um Ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto em 
segmentos proporcionais aos respectivos lados adjacentes.
Teorema da bissetriz externa: A bissetriz de um ângulo externo intercepta a reta suporte que contém o lado 
oposto, dividindo-o em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.
Exemplo:
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(PUC-RJ) Considere um triângulo ABC retângulo em A, onde . é a bissetriz do ângulo 
. Quanto mede ?
(A) 42/5
(B) 21/10
(C) 20/21
(D) 9
(E) 8
Resolução:
Do enunciado temos um triângulo retângulo em A, o vértice A é do ângulo reto. B e C pode ser em qualquer 
posição. E primeiro temos que determinar a hipotenusa.
Teorema de Pitágoras:
Pelo teorema da bissetriz interna:
Resposta: A
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Exercícios
1. CS-UFG - 2023 
Em um projeto de urbanização de uma região, pretende-se construir Q+2 prédios novos a cada 2 anos, em 
que Q é a quantidade de prédios existentes nos 2 anos anteriores. Cada prédio leva exatamente dois anos 
para ser construído, terá 28 andares e cada andar terá 8 apartamentos. No início do projeto, a região não tinha 
nenhum prédio e, após 2 anos, foram construídos os 2 primeiros prédios. Quantos apartamentos essa região 
terá após os 50 primeiros anos de desenvolvimento do projeto?
(A) 18.200
(B) 65.100
(C) 98.400
(D) 145.600
2. UNDATEC - 2023 
Sabendo que o dobro de x somado com o quádruplo de y é igual a 5 e que o triplo de x somado ao triplo de 
y é igual a 3, pode-se afirmar que o produto entre x e y é igual a: 
(A) 0,75
(B) 0,50
(C) – 0,75
(D) – 1
3. VUNESP - 2023 
Um cliente contratará três serviços de um mesmo arquiteto, com custo médio de R$ 7.300,00 por serviço. 
Se o custo do serviço de maior valor será R$ 4.000,00 acima do custo do serviço de menor valor, e o custo do 
terceiro serviço será R$ 1.700,00 abaixo do custo do serviço de maior valor, então o serviço de menor valor terá 
um custo de
(A) R$ 5.200,00. 
(B) R$ 5.300,00.
(C) R$ 5.400,00.
(D) R$ 5.500,00.
(E) R$ 5.600,00.
4. (CÂMARA DE SUMARÉ – ESCRITURÁRIO -VUNESP/2017) No depósito de uma loja de doces, há 
uma caixa contendo n bombons. Para serem vendidos, devem ser repartidos em pacotes iguais, todos com a 
mesma quantidade de bombons. Com os bombons dessa caixa, podem ser feitos pacotes com 5, ou com 6, ou 
com 7 unidades cada um, e, nesses casos, não faltará nem sobrará nenhum bombom. Nessas condições, o 
menor valor que pode ser atribuído a n é
(A) 280.
(B) 265.
(C) 245.
(D) 230.
(E) 210.
 
1816873 E-book gerado especialmente para GENILDA SANTOS
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5. (EMBASA – AGENTE ADMINISTRATIVO – IBFC/2017) Considerando A o MDC (maior divisor comum) 
entre os números 24 e 60 e B o MMC (menor múltiplo comum) entre os números 12 e 20, então o valor de 2A 
+ 3B é igual a:
(A) 72 
(B) 156 
(C) 144 
(D) 204
6. (MPE/GO – OFICIAL DE PROMOTORIA – MPEGO /2017) Em um determinado zoológico, a girafa 
deve comer a cada 4 horas, o leão a cada 5 horas e o macaco a cada 3 horas. Considerando que todos foram 
alimentados às 8 horas da manhã de domingo, é correto afirmar que o funcionário encarregado deverá servir a 
alimentação a todos concomitantemente às:
(A) 8 horas de segunda-feira.
(B) 14 horas de segunda-feira.
(C) 10 horas de terça-feira.
(D) 20 horas de terça-feira.
(E) 9 horas de quarta-feira.
7. (SAP/SP - AGENTE DE SEGURANÇA PENITENCIÁRIA - MSCONCURSOS/2017) Um aparelho de 
televisão que custa R$1600,00 estava sendo vendido, numa liquidação, com um desconto de 40%. Marta que-
ria comprar essa televisão, porém não tinha condições de pagar à vista, e o vendedor propôs que ela desse 
um cheque para 15 dias, pagando 10% de juros sobre o valor da venda na liquidação.Ela aceitou e pagou pela 
televisão o valor de:
(A) R$1120,00 
(B)R$1056,00
(C)R$960,00 
(D) R$864,00
8. (TST – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2017) A equipe de segurança de um Tribunal conseguia resolver 
mensalmente cerca de 35% das ocorrências de dano ao patrimônio nas cercanias desse prédio, identificando 
os criminosos e os encaminhando às autoridades competentes. Após uma reestruturação dos procedimentos 
de segurança, a mesma equipe conseguiu aumentar o percentual de resolução mensal de ocorrências desse 
tipo de crime para cerca de 63%. De acordo com esses dados, com tal reestruturação, a equipe de segurança 
aumentou sua eficácia no combate ao dano ao patrimônio em
(A) 35%. 
(B) 28%. 
(C) 63%. 
(D) 41%. 
(E) 80%.
9. (TST – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2017) Três irmãos, André, Beatriz e Clarice, receberam de uma 
tia herança constituída pelas seguintes joias: um bracelete de ouro, um colar de pérolas e um par de brincos 
de diamante. A tia especificou em testamento que as joias não deveriam ser vendidas antes da partilha e que 
cada um deveria ficar com uma delas, mas não especificou qual deveria ser dada a quem. O justo, pensaram 
os irmãos, seria que cada um recebesse cerca de 33,3% da herança, mas eles achavam que as joias tinham 
valores diferentes entre si e, além disso, tinham diferentes opiniões sobre seus valores. Então, decidiram fazer 
a partilha do seguinte modo:
− Inicialmente, sem que os demais vissem, cada um deveria escrever em um papel três porcentagens, indi-
cando sua avaliação sobre o valor de cada joia com relação ao valor total da herança.
1816873 E-book gerado especialmente para GENILDA SANTOS
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− A seguir, todos deveriam mostrar aos demais suas avaliações.
− Uma partilha seria considerada boa se cada um deles recebesse uma joia que avaliou como valendo 
33,3% da herança toda ou mais.
As avaliações de cada um dos irmãos a respeito das joias foi a seguinte:
ANDRÉ Bracelete: 40% Colar: 50% Brincos: 10%
BEATRIZ Bracelete: 30% Colar: 50% Brincos: 20%
CLARICE Bracelete: 30% Colar: 20% Brincos: 50%
Assim, uma partilha boa seria se André, Beatriz e Clarice recebessem, respectivamente, 
(A) o bracelete, os brincos e o colar. 
(B) os brincos, o colar e o bracelete.
(C) o colar, o bracelete e os brincos. 
(D) o bracelete, o colar e os brincos. 
(E) o colar, os brincos e o bracelete.
 
10. (DESENBAHIA – TÉCNICO ESCRITURÁRIO - INSTITUTO AOCP/2017) João e Marcos resolveram 
iniciar uma sociedade para fabricação e venda de cachorro quente. João iniciou com um capital de R$ 30,00 
e Marcos colaborou com R$ 70,00. No primeiro final de semana de trabalho, a arrecadação foi de R$ 240,00 
bruto e ambos reinvestiram R$ 100,00 do bruto na sociedade, restando a eles R$ 140,00 de lucro. De acordo 
com o que cada um investiu inicialmente, qual é o valor que João e Marcos devem receber desse lucro, res-
pectivamente? 
(A) 30 e 110 reais.
(B) 40 e 100 reais. 
(C)42 e 98 reais.
(D) 50 e 90 reais.
(E) 70 e 70 reais.
11. (TST – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2017) Em uma empresa, trabalham oito funcionários, na mes-
ma função, mas com cargas horárias diferentes: um deles trabalha 32 horas semanais, um trabalha 24 horas 
semanais, um trabalha 20 horas semanais, três trabalham 16 horas semanais e, por fim, dois deles trabalham 
12 horas semanais. No final do ano, a empresa distribuirá um bônus total de R$ 74.000,00 entre esses oito fun-
cionários, de forma que a parte de cada um seja diretamente proporcional à sua carga horária semanal. Dessa 
forma, nessa equipe de funcionários, a diferença entre o maior e o menor bônus individual será, em R$, de 
(A) 10.000,00. 
(B) 8.000,00. 
(C) 20.000,00. 
(D) 12.000,00. 
(E) 6.000,00.
12. (CÂMARA DE SUMARÉ – ESCRITURÁRIO – VUNESP/2017) Para uma pesquisa, foram realizadas 
entrevistas nos estados da Região Sudeste do Brasil. A amostra foi composta da seguinte maneira:
– 2500 entrevistas realizadas no estado de São Paulo;
– 1500 entrevistas realizadas nos outros três estados da Região Sudeste.
Desse modo, é correto afirmar que a razão entre o número de entrevistas realizadas em São Paulo e o nú-
mero total de entrevistas realizadas nos quatro estados é de
1816873 E-book gerado especialmente para GENILDA SANTOS
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(A) 8 para 5.
(B) 5 para 8.
(C) 5 para 7.
(D) 3 para 5.
(E) 3 para 8.
13. (IPRESB/SP - ANALISTA DE PROCESSOS PREVIDENCIÁRIOS- VUNESP/2017) Para imprimir 
300 apostilas destinadas a um curso, uma máquina de fotocópias precisa trabalhar 5 horas por dia durante 4 
dias. Por motivos administrativos, será necessário imprimir 360 apostilas em apenas 3 dias. O número de horas 
diárias que essa máquina terá que trabalhar para realizar a tarefa é
(A) 6.
(B) 7.
(C) 8.
(D) 9.
(E) 10.
14. (SEPOG – ANALISTA EM TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO – FGV/2017) Uma 
máquina copiadora A faz 20% mais cópias do que uma outra máquina B, no mesmo tempo.
A máquina B faz 100 cópias em uma hora.
A máquina A faz 100 cópias em 
(A) 44 minutos. 
(B) 46 minutos. 
(C) 48 minutos. 
(D) 50 minutos. 
(E) 52 minutos.
15. (SAP/SP - AGENTE DE SEGURANÇA PENITENCIÁRIA - MSCONCURSOS/2017) Para a constru-
ção de uma rodovia, 12 operários trabalham 8 horas por dia durante 14 dias e completam exatamente a metade 
da obra. Porém, a rodovia precisa ser terminada daqui a exatamente 8 dias, e então a empresa contrata mais 
6 operários de mesma capacidade dos primeiros. Juntos, eles deverão trabalhar quantas horas por dia para 
terminar o trabalho no tempo correto?
(A) 6h 8 min
(B)6h 50min 
(C) 9h 20 min 
(D) 9h 33min
16. COMUR DE NOVO HAMBURGO/RS - AGENTE DE ATENDIMENTO E VENDAS - FUNDATEC/2021 
Qual o resultado da equação de primeiro grau 2x - 7 = 28 - 5x?
(A) 3.
(B) 5.
(C) 7.
(D) -4,6.
(E) Não é possível resolver essa equação.
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17. PREFEITURA DE IRATI/SC - PROFESSOR DE EDUCAÇÃO FÍSICA - GS ASSESSORIA E 
CONCURSOS/2021 
Analisando a equação do segundo grau x2 − 5x − 6 = 0, podemos afirmar que ela possui:
(A) nenhuma solução.
(B) um número inteiro como solução.
(C) dois números inteiros como solução.
(D) três números inteiros com solução.
(E) nenhuma das respostas anterior.
18. PREFEITURA DE MARECHAL CÂNDIDO RONDON/PR - ARQUITETO - INSTITUTO UNIFIL/2021
Considerando a equação do segundo grau {2x2 – 9x + 7 = 0}, assinale a alternativa que representa o 
resultado do produto das raízes desta equação.
(A) 5,0
(B) 4,6
(C) 4,4
(D) 3,5
19. Considerando o sistema de equação de 1° grau a seguir, os valores de x e y são, respectivamente:
Alternativas
(A) X = 2 e y = 1 
(B) X = 1 e y = -2 
(C) X = -1 e y = 2 
(D) X = -1 e y = -2 
(E) X = -2 e y = -1
20. Assinale a alternativa incorreta, acerca de sistemas de equação.
Alternativas
(A) Um sistema de equações é constituído por um conjunto de equações que apresentam mais de uma 
incógnita.
(B) Para resolver um sistema de equações do 1º grau, com duas incógnitas, usando o método da substitui-
ção ou o da soma.
(C) No método da adição consiste em escolher uma das equações e isolar uma das incógnitas, para deter-
minar o seu valor em relação a outra incógnita.
(D) Um sistema é chamado do 1º grau, quando o maior expoente das incógnitas, que integram as equações, 
é igual a 1 e não existe multiplicação entre essas incógnitas.
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21. (IPRESB/SP - ANALISTA DE PROCESSOS PREVIDENCIÁRIOS- VUNESP/2017) Uma gráfica pre-
cisa imprimir um lote de 100000 folhetos e, para isso, utiliza a máquina A, que imprime 5000 folhetos em 40 
minutos. Após 3 horas e 20 minutos de funcionamento, a máquina A quebra e o serviço restante passa a ser 
feito pela máquina B, que imprime 4500 folhetos em 48 minutos. O tempo que a máquina B levará para imprimir 
o restante do lote de folhetos é
(A) 14 horas e 10 minutos.
(B) 14 horas e 05 minutos.
(C) 13 horas e 45 minutos.
(D) 13 horas e 30 minutos.
(E) 13 horas e 20 minutos.
22. (CÂMARA DE SUMARÉ – ESCRITURÁRIO – VUNESP/2017)Renata foi realizar exames médicos 
em uma clínica. Ela saiu de sua casa às 14h 45 min e voltou às 17h 15 min. Se ela ficou durante uma hora e 
meia na clínica, então o tempo gasto no trânsito, no trajeto de ida e volta, foi igual a
(A) 1/2h.
(B) 3/4h.
(C) 1h.
(D) 1h 15min.
(E) 1 1/2h.
23. (CÂMARA DE SUMARÉ – ESCRITURÁRIO – VUNESP/2017) Uma indústria produz regularmente 
4500 litros de suco por dia. Sabe-se que a terça parte da produção diária é distribuída em caixinhas P, que re-
cebem 300 mililitros de suco cada uma. Nessas condições, é correto afirmar que a cada cinco dias a indústria 
utiliza uma quantidade de caixinhas P igual a
(A) 25000.
(B) 24500.
(C) 23000.
(D) 22000.
(E) 20500.
24. (CRBIO – AUXILIAR ADMINISTRATIVO – VUNESP/2017) Uma empresa tem 120 funcionários no 
total: 70 possuem curso superior e 50 não possuem curso superior. Sabe-se que a média salarial de toda a 
empresa é de R$ 5.000,00, e que a média salarial somente dos funcionários que possuem curso superior é 
de R$ 6.000,00. Desse modo, é correto afirmar que a média salarial dos funcionários dessa empresa que não 
possuem curso superior é de
(A) R$ 4.000,00.
(B) R$ 3.900,00.
(C) R$ 3.800,00.
(D) R$ 3.700,00.
(E) R$ 3.600,00.
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25. (TJM-SP - Oficial de Justiça – VUNESP) Um grande terreno foi dividido em 6 lotes retangulares con-
gruentes, conforme mostra a figura, cujas dimensões indicadas estão em metros.
Sabendo-se que o perímetro do terreno original, delineado em negrito na figura, mede x + 285, conclui-se 
que a área total desse terreno é, em m2, igual a:
(A) 2 400.
(B) 2 600.
(C) 2 800.
(D) 3000.
(E) 3 200.
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Gabarito
1 D
2 C
3 A
4 E
5 E
6 D
7 B
8 E
9 D
10 C
11 A
12 B
13 C
14 D
15 C
16 B
17 C
18 D
19 D
20 C
21 E
22 C
23 A
24 E
25 D
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