Matematica (87)

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Moderna PLUS MATEMÁTICA
20
Parte II 
Capítulo 6 Função modular 
Resolução dos exercícios
PAIVA
 
w
w
w
.m
o
d
e
rn
a
p
lu
s
.c
o
m
.b
r
1 MANOEL 
PAIVA
 Como f (x) 5 OxO 2 1 [ f (x) 5 h(x) 2 1, temos 
que o gráfico de f é obtido pela translação ver-
tical de uma unidade para baixo do gráfico de 
h, isto é:
 O gráfico de f intercepta o eixo Ox nos pontos 
(1, 0) e (21, 0) e o eixo Oy no ponto (0, 21).
b) Sendo g(x) 5 f ( f (x)), temos:
 g(x) 5 OOxO 21 O 2 1
 Inicialmente construímos o gráfico da função 
t(x) 5 OOxO 2 1 O, que é obtido do gráfico de f 
do item a, conservando-se os pontos de orde-
nadas não negativas e transformando os de 
ordenadas negativas em seus simétricos em 
relação ao eixo Ox:
 Como g(x) 5 OOxO 2 1O 2 1 [ g(x) 5 t(x) 2 1, 
temos que o gráfico de g é obtido pela trans-
lação vertical de uma unidade para baixo do 
gráfico de t, isto é:
 O gráfico de g intercepta o eixo Ox nos pontos 
(22, 0), (0, 0) e (2, 0) e o eixo Oy no ponto (0, 0).
 Assim:
x 2 6, se x 2
 h(x) 5
c) OOxO 2 1 O 2 1 5 5 ] OOxO 2 1O 5 6
 } OxO 2 1 5 6 ou OxO 2 1 5 26
 } OxO 5 7 ou OxO 5 25 (não convêm)
 Logo, x 5 7 ou x 5 27.
17 a) f (x) 5 g(x) ] Ox 1 2O 5 2Ox 2 2O
 } Ox 1 2O 5 O2x 2 4O ] x 1 2 5 2x 2 4 ou 
 x 1 2 5 22x 1 4
 } x 5 6 ou x 5 2 __ 
3
 
 Logo, S 5  6, 2 __ 
3
  .
b) A função h é equivalente a 
 h(x) 5 Ox 1 2O 2 O2x 2 4O. 
 Eliminando os módulos de h, temos:
 Portanto, o gráfico da função h é:
18 Condição de existência: x 2 1 > 0, ou seja, x > 1
 O 2 2 x ______ 
4
 O 5 x 2 1 ] 
O2 2 xO
 _______ 
4
 5 x 2 1
} O2 2 xO 5 4x 2 4 ] 2 2 x 5 4x 2 4 ou
2 2 x 5 24x 1 4
} x 5 6 __ 
5
 ou x 5 2 __ 
3
 
 Como 2 __ 
3
 , 1, a equação modular admite apenas 
uma equação positiva, x 5 6 __ 
5
 .
Alternativa d.
19 Para obter as coordenadas dos pontos comuns 
aos gráficos das funções f (x) e g(x), temos:
f (x) 5 g(x)
y
x1�1 0
�1
y
x10�1
�1
1
y
x
�1
�1
�2
0 1
2
x � 2�x � 2
2x � 4�2x � 4
�x � 6x � 6
x � 2
�2x � 4
3x � 2
| x � 2 |
| 2x � 4 |
�2 2
x
x
x
x
�
�
Gráfico de f
Gráfico de t
Gráfico de g
4
62
y
x
h
�4 �2
�8
�10
2
3
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Parte II 
Capítulo 6 Função modular 
Resolução dos exercícios
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1 MANOEL 
PAIVA
»2x � 6» � x2 � 3 
»2x � 6»
 x2 � 3
�
 3
�x2 � 2x � 9�x2 � 2x � 3
�2x � 6 2x � 6
x2 � 3 x2 � 3
x
Assim:
h(x) 5 2x2 2 2x 1 3, se x 3
h(x) 5 0 [
2x2 2 2x 1 3 5 0, se x 3
Logo:
x 5 1 ou x 5 23, se x 3 ] 2x 2 1 3
} x 2
Logo: S 5 {x 9 Vox 2}
Alternativa a.
25 1 , Ox 2 3O , 4 ] Ox 2 3O , 4 e Ox 2 3O . 1,
Resolução da inequação (I):
24 , x 2 3 , 4 ] x 2 3 , 4 e x 2 3 . 24
} 21 , x , 7
Assim: SI 5 {x 9 Vo21 , x , 7}
Resolução da inequação (II):
x 2 3 , 21 ou x 2 3 . 1
} x , 2 ou x . 4
ou seja, Ox 2 3O , 4 (I)
Ox 2 3O . 1 (II)
�4 �1 0 2 x
B
Logo, qualquer solução da inequação está asso-
ciada a um ponto do eixo real cuja distância ao 
ponto B, de abscissa 21, é menor que 3.
Alternativa c.
Assim: SII 5 {x 9 Vox , 2 ou x . 4}
O conjunto solução S do sistema é dado por SI ) SII, 
ou seja:
S 5 {x 9 Vo21 , x , 2 ou 4 , x , 7}
Alternativa a.
26 Ox 1 1O , 3
Pela propriedade P9, temos:
23 , x 1 1 , 3
Assim:
Ox 1 1O , 3 [ 24 , x , 2
Representando as soluções em um eixo real, 
temos:
27 A inequação é equivalente a:
O2x 2 1O 1 x 2 5 , 0
Eliminando o módulo da função 
h(x) 5 O2x 2 1O 1 x 2 5, temos:
Assim:
2x 2 4, se x6, se x > 1 __ 
2
 
h(x) 5
Portanto:
h(x) , 0 [
2x 2 4 , 0, se x 1 __ 
2
 
• A primeira sentença exige que:
1
2
2x � 1�2x � 1
xx
55
| 2x � 1 |
x
x
x
x
x
�
�x � 4 3x � 6
5
�
�
(�)
(��)
�4
(��) U (�)
�4
x
x
1
2
1
2
x
x . 24 e x 1
 h(x) 5
28x 2 2 . 0, se x 1
 h(x) . 0 [
x , 2 1 __ 
4
 , se x 1
 }
 A 1a sentença exige que:
 x , 2 1 __ 
4
 (I) e x 1 (VI)
(V)
(VI)
(V) � (VI)
x
x
x
1
1
�
1
3
 O conjunto solução S da inequação proposta é 
o conjunto dos valores que satisfazem a 1a ou 
a 2a ou a 3a sentença.
 Logo, S 5 V.
b) O8x 2 16O 1 O5x 1 15O , 10 ]
 ] O8x 2 16O 1 O5x 1 15O 2 10 , 0
 Eliminando os módulos da função
 h(x) 5 O8x 2 16O 1 O5x 1 15O 2 10, temos:
2
h(x)
10
»8x � 16»
»5x � 15»
�
�
�3x � 21�13x � 9 13x � 11
x
 10 10 10
�8x � 16 �8x � 16 8x � 16
5x � 15 5x � 15
�3
�5x � 15
 Logo:
 h(x) 5
213x 2 9, se x 2
(���)
(�
�
)
2
(��) U (���)
2
x
x
1
2
x
1
2
x , 2 e x > 1 __ 
2
 
(III)
(IV)
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Parte II 
Capítulo 6 Função modular 
Resolução dos exercícios
PAIVA
 
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1 MANOEL 
PAIVA
 h(x) , 0 [
213x 2 9 , 0, se x 2
 Então:
x . 9 ___ 
13
 , se x 2
}
 A 1a sentença exige que:
 x . 9 ___ 
13
 (I) e x 2 (VI)
(V)
(VI)
(V) � (VI)
x
x
x
2
11
13
 O conjunto solução S da inequação proposta 
é o conjunto solução dos valores que satisfa-
zem a 1a ou a 2a ou a 3a sentença.
 Logo, S 5 ~.
30 Resolvendo O6 2 3xO , 3Ox 2 1O ] O6 2 3xO , O3(x 2 1)O
} O6 2 3xO 2 O3x 2 3O , 0
Eliminando os módulos da função
h(x) 5 O6 2 3xO 2 O3x 2 3O, temos:
2
h(x) 
1
»6 � 3x»
»3x � 3»
�
�6x � 93 �3
x
6 � 3x 6 � 3x �6 � 3x
�3x � 3 3x � 3 3x � 3
Assim:
h(x) 5
3, se x 2
O gráfico de h é a reunião dos gráficos obtidos das 
sentenças acima:
1
�3
2
x
y
3
2
Pelo gráfico de h(x), podemos concluir que h(x) , 0 
quando x . 3 __ 
2
 .
Logo, o conjunto solução S da inequação pro-
posta é
S 5  x 9 Vox . 3 __ 
2
  .
Alternativa c.
31 a) Para obter o gráfico de f (x) 5 O2x 2 3O 1 2, te-
mos:
• gráfico de y 5 2x 2 3
�3
y
x3
2
• No gráfico anterior, conservamos os pontos 
de ordenadas não negativas e transforma-
mos os de ordenadas negativas em seus si-
métricos em relação ao eixo das abscissas, 
obtendo assim o gráfico de y 5 O2x 2 3O:
y
x3
2
2
1
3