Matematica (98)

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Moderna PLUS MATEMÁTICA
25
Parte II 
Capítulo 9 Função logarítmica
Resolução dos exercícios
PAIVA
 
w
w
w
.m
o
d
e
rn
a
p
lu
s
.c
o
m
.b
r
1 MANOEL 
PAIVA
77 a) Para t 5 0, temos Q 5 1; logo:
 1 5 log 10k
 ______ 
0 1 1
 ] 10k 5 101
 } k 5 1
 Logo, k 5 1.
b) A experiência terminará quando a quantidade 
de água no recipiente for nula, ou seja, no 
tempo t tal que Q(t) 5 0.
 0 5 log 10 _____ 
t 1 1
 ] 100 5 10 _____ 
t 1 1
 
 } t 1 1 5 10 ] t 5 9
 Portanto, a experiência terminará decorridas 
9 horas.
78 f (t) 5 7 3 (1,04)t 2 90, para 90 , t , 130
Queremos determinar a temperatura t quando a 
pressão interna for f (t) 5 15,33. Ou seja:
15,33 5 7 3 (1,04)t 2 90 ] 2,19 5 1,04t 2 90
} log 2,19 5 (t 2 90) 3 log 1,04 ] 
] log 219 2 log 100 5 (t 2 90) 3 (log 104 2 log 100)
} 2,34 2 2 5 (t 2 90) 3 (2,02 2 2) ] 
] 0,34 5 (t 2 90) 3 (0,02)
} 17 5 t 2 90 ] t 5 107
Logo, a temperatura no interior da panela é 
107 wC.
Alternativa d.
79 Para t 5 50, temos:
m 5 2
50
 ____ 
1011
 
Logo, log m 5 log 250 2 log 1011 ] 
] log m 5 50 3 0,3 2 11 5 4
} m 5 104 5 10.000
Portanto, a massa da população de fungos, em 
50 horas, é 10.000 g.
Alternativa c.
80 a) O tempo, em século, em que a substância A 
perde 0,12 g é dado por f (0,12). Assim:
 f (0,12) 5 log0,99 
11,88
 ______ 
12
 5 log0,99 0,99 5 1
 Logo, a substância perde 0,12 g de sua massa 
em 1 século.
b) O valor da massa perdida em 4 séculos é dado 
pelo valor de x tal que g (x) 5 4.
 Assim:
 4 5 1 __ 
2
 3 log0,99 
8 2 x ______ 
8
 ] 8 5 log0,99 
8 2 x ______ 
8
 
 } (0,99)8 5 8 2 x ______ 
8
 ] 0,92 5 8 2 x ______ 
8
 
 } 7,36 2 8 5 2x ] x 5 0,64
 Logo, a massa perdida será 0,64 g.
c) Condição de existência:
 12 2 x _______ 
12
 . 0 ] x , 12 (I)
 8 2 x ______ 
8
 . 0 ] x , 8 (II)
 Subtraindo, membro a membro, I e II, obtemos:
 log E2 2 log E1 5 1,5(log A2 2 log A1) ] 
 ] log @ E2 ___ 
E1
 # 5 3 __ 
2
 3 log @ A2 ___ 
A1
 # 
 } log @ A2 ___ 
A1
 # 5 2 __ 
3
 3 log @ E2 ___ 
E1
 # ] 
 ] log @ A2 ___ 
A1
 # 5 log @ E2 ___ 
E1
 # 2 __ 
3
 
 
 } 
A2 ___ 
A1
 5 @ E2 ___ 
E1
 # 2 __ 
3
 
 
 Logo, K 5 2 __ 
3
 .
83 a) O capital pode ser calculado pela equação
 C 5 12.000 (1 1 0,08)t para t 5 2, isto é:
 C 5 12.000 3 1,082 ] C 5 13.996,80
 Assim, em 2 anos o capital acumulado será 
R$ 13.996,80.
log E2 5 11,8 1 1,5(log A2 2 log A0) (I)
log E1 5 11,8 1 1,5(log A1 2 log A0) (II)
b) 
 De (I) ) (II), temos que a condição de existência 
é x , 8.
 f (x) 5 g(x) ] log0,99 
12 2 x _______ 
12
 5 1 __ 
2
 3 log0,99 
8 2 x ______ 
8
 
 } log0,99 
12 2 x _______ 
12
 5 log0,99 @ 8 2 x ______ 
8
 # 
1 __ 
2
 
 
 Pela P1 da função logarítmica:
 12 2 x _______ 
12
 5 @ 8 2 x ______ 
8
 # 
1 __ 
2
 
 ] 144 2 24x 1 x2
 _______________ 
144
 5 8 2 x ______ 
8
 
 } 1.152 2 192x 1 8x2 5 1.152 2 144x ] 
 ] 8x2 2 48x 5 0
 x 5 0 (não convém) ou x 5 6
 Logo, f (x) 5 g(x) para x 5 6g.
81 As cidades A e B terão o mesmo número de ha-
bitantes quando A(t) 5 B(t). Assim:
A(t) 5 B(t) ] log4 (2 1 t)5 5 log2 (2t 1 4)2
} 
log2 (2 1 t)5
 ___________ 
2
 5 log2 (2t 1 4)2 ] 
] log2 (2 1 t)5 5 log2 (2t 1 4)4
} (2 1 t)5 5 (2t 1 4)4 ] (2 1 t)5 2 24(2 1 t)4 5 0
} (2 1 t)4(2 1 t 2 16) 5 0 ] t 5 22 (não convém) 
ou t 5 14
Alternativa e.
82 a) Sendo EI e EB as energias liberadas nos terre-
motos da Indonésia e do Brasil, respectiva-
mente, temos:
 log EI 5 11,8 1 1,5 3 9,3 ] EI 5 1025,75
 log EB 5 11,8 1 1,5 3 6,3 ] EB 5 1021,25
 Logo:
 
EI ___ 
EB
 5 1025,75
 ______ 
1021,25
 5 104,5
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Parte II 
Capítulo 9 Função logarítmica
Resolução dos exercícios
PAIVA
 
w
w
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r
1 MANOEL 
PAIVA
b) Devemos ter 12.000 3 1,08t . 24.000 ] 1,08t . 2
 } log (1,08)t . log 2 ] t log 1,08 . log 2 
 } t log 2
2 3 33
 ______ 
100
 . log 2 ] 
 ] t (2 log 2 1 3 log 3 2 2) . 0,301
 } t(0,602 1 1,431 2 2) . 0,301 ] t 3 0,033 . 0,301
 } t . 9,12
 Logo, o tempo mínimo, em número inteiro de 
anos, para que o capital acumulado seja maior 
que o dobro do capital inicial é 10 anos.
84 Sejam A(t) 5 284,5 (1,2)t e B(t) 5 728,32 (1,1)t as 
equações que calculam o número de usuários 
dos países A e B, respectivamente, daqui a t 
anos. De acordo com o enunciado, devemos ter:
284,5 (1,2)t . 728,32 3 (1,1)t ] @ 1,2
 ___ 
1,1
 # t . 2,56
} t log @ 22 3 3 _____ 
11
 # . log 2
8
 ____ 
102
 ] 
] t (2 log 2 1 log 3 2 log 11) . 8 log 2 2 2 log 10
} t (0,6 1 0,48 2 1,04) . 2,4 2 2 ] 0,04t . 0,4
} t . 10
Assim, o número mínimo de anos necessários 
é 11.
85 Sendo P a população mundial, em bilhão de ha-
bitantes, após t anos, temos:
P 5 6 (1 1 0,016)t. Para que a população ultrapasse 
7 bilhões de habitantes, devemos ter:
6 (1,016)t . 7 ] (1,016)t . 7 __ 
6
 
} t log (1,016) . log 7 2 log 6 ] 
] t (log 1,016 2 3) . 0,8450 2 0,7781
} t (3,0068 2 3) . 0,0669 ] t . 
0,0669
 _______ 
0,0068
 
} t . 9,83
A população ultrapassa 7 bilhões de habitantes 
9,83 anos depois do ano 2000, ou seja, no decorrer 
de 2009.
86 a) V, pois 1 ________ 
1 1 9e2x
 > 1 ___ 
10
 ] 1 1 9e2x 0
b) F, pois 1 ________ 
1 1 9e2x
 . 11 ___ 
10
 ] 1 1 9e2x 0
2x2 1 2x, se f(x) , 0
x2 2 2x, se x 2
2x2 1 2x, se 0 , x , 2
2 3
3
10�1
1
x
y
 Ox2 2 2xO 5 ] 
 ] f (x) 5 
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Capítulo 9 Função logarítmica
Resolução dos exercícios
PAIVA
 
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.m
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.c
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m
.b
r
1 MANOEL 
PAIVA
d) t(x) 5 Ox 24O 1 O2 2 xO
b) g(x) 5 2 1 Ox 2 3O
x 2 3, se x > 3
2x 1 3, se x , 3
 Deslocando o gráfico de Ox 2 3O verticalmente 2 
unidades para cima, obtemos o gráfico de g.
2
3
5
x
y
c) h(x) 5 3x 1 O2x 2 6O
2x 2 6, se x > 3
22x 1 6, se x , 3
 Logo:
2x 2 6 1 3x, se x > 3
22x 1 6 1 3x, se x , 3
5x 2 6, se x > 3
x 1 6, se x , 3
6
3 4
9
14
x
y
�6
x 2 4, se x > 4
2x 1 4, se x , 4
2 2 x, se x 0, x % 3
Estudando a variação de sinal da função 
g (x) 5 2x 2 1, temos:
2x 2 1 5 0 ] x 5 1 __ 
2
 
4»x � 4» � »2 � x» 
2
»x � 4»
»2 � x»
2x � 6
x
x
x
x
x � 4
�2x � 6
�x � 4
2 � x
2
�x � 4
�2 � x �2 � x
2
42 6
6
x
y
�
�
1
2
Estudando o sinal da função h(x) 5 x 2 3, temos:
x 2 3 5 0 ] x 5 3
�
�
3
Assim, a variação de sinal de 
g
 __ 
h
 é dada por:
� ��
� ��
� ��
g
x
x
h
g
h
3
1
2
31
2
Logo, o domínio da função f é:
D( f ) 5  x 9 V O x