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LISTA DE EXERCI´CIOS DE GEOMETRIA ANALI´TICA - VETORES 27/03/12 Prof. Fa´bio A. Matos Exerc´ıcio 1) Sendo ABCDEF um hexa´gono regular de centro O, mostre que −−→ AB + −→ AC + −−→ AD+−→ AE + −→ AF = 6 −→ AO Exerc´ıcio 2) Seja A,B e C treˆs pontos quaisquer, com A 6= B. Mostre que X e´ um ponto do da reta que passa por AB se, e somente se, −−→ CX = α −→ CA+ β −−→ CB, com α+ β = 1. Exerc´ıcio 3) Decidir se a seguinte proposic¸a˜o e´ verdadeira ou falsa: Se um conjunto de vetores e´ l.d., enta˜o qualquer um dos vetores do conjunto e´ combinac¸a˜o linear dos demais. Exerc´ıcio 4) Os vetores −→x ,−→y e −→z sa˜o tais que {−→x ,−→y } e´ l.i., {−→x ,−→z } e {−→y ,−→z } sa˜o l.d. Mostre que −→z deve sero vetor nulo. Exerc´ıcio 5) Considere B = {−→u 1,−→u 2,−→u 3} uma base e −→u = (1,−1, 1)B,−→v = (2, 0, 1)B e −→w = (3, 1,−1)B vetores, com coordenadas em relac¸a˜o a` base B. Encontre um vetor −→x paralelo ao vetor −→v tal que −→u +−→x seja paralelo ao vetor −→w . Exerc´ıcio 6) Seja OABC um tetraedro, e M o ponto me´dio de BC. (a) explique por que {−→OA,−−→OB,−−→OC} e´ uma base. (b) determine as coordenadas de −−→ AM nesta base. Exerc´ıcio 7) Em relac¸a˜o a uma base B, as coordenadas de um vetor −→u sa˜o (a, b, a), com ab 6= 0. Analise cada uma das afirmac¸o˜es abaixo. Se for verdadeira, mostre-a, caso contra´rio deˆ um contra exemplo. (a) Qualquer que seja a base, as primeiras e u´ltimas coordenadas de −→u nesta base sera˜o iguais. (b) Qualquer que seja a base, nenhuma coordenada de −→u sera´ nula. Exerc´ıcio 8) Sejam −→u e −→v vetores tais que −→u +−→v e´ ortogonal a −→u −−→v . Mostre que −→u = −→v . Exerc´ıcio 9) Mostre que se −→u · −→v = 0 e −→u × −→v = −→0 , enta˜o −→u = −→0 ou −→v = −→0 . Interprete geometricamente. Bons Estudos!!! 1
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