LISTA 2 - álgebra

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Departamento Acadêmico de Matemática - DAMAT
Introdução à Álgebra Linear
Lista de Exerćıcios 02: Espaços Vetoriais
1. Analise se u é combinação linear dos vetores v1 = (5,−3, 1), v2 = (0, 4, 3) e v3 = (−10, 18, 7)?
a) u = (10,−2, 5) b) u = (10, 2, 8) c) u = (−2,−1, 1) d) u = (−1, 2, 3)
2. Para quais valores de λ o conjunto de vetores {(3, 1, 0), (λ2 + 2, 2, 0)} é LD?
3. Dê exemplos de:
a) Três vetores tais que {v1} LI, {v2, v3} LI, v2 e v3 não são múltiplos de v1 e {v1, v2, v3} LD.
b) Quatro vetores tais que {v1, v2} LI, {v3, v4} LI, v3 e v4 não são combinação linear de v1 e v2
e {v1, v2, v3, v4} LD.
4. Seja S o subespaço do R4 gerado pelo conjunto {(1, 1,−2, 4), (1, 1,−1, 2), (1, 4,−4, 8)}.
a) O vetor (2, 1,−1, 2) pertence a S? b) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S?
5. Prove que um plano é um subespaço vetorial de R3 se, e somente se, o plano passa pela origem.
6. Verifique se W é subespaço vetorial de Rn (n está indicado em cada item).
a) n = 2, W = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0}
b) n = 2, W = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0, y ≥ 0}
c) n = 2, W = {(x, y) ∈ R2|x = 0}
d) n = 3, W = {(x, y) ∈ R2|y = 0}
e) n = 3, W = {(x1, x2, x3) ∈ R3|x1 + x3 = 1}
f) n = 3, W = {(x1, x2, x3) ∈ R3|x3 = x1 + x2}
g) n = 3, W = {(x1, x2, x3) ∈ R3|x3 = x1 ou x3 = x2}
7. Considere os conjuntos W1 = {u ∈ R3;u = (0, 0, 0) + t(1, 2, 3),∀t ∈ R} e W2 = {u ∈ R3;u =
(1, 1, 1) + t(1, 1, 1),∀t ∈ R}. O conjunto W = W1 + W2 é subespaço vetorial de R3? Interprete
o conjunto W geometricamente.
8. Em cada item, determine se o espaço gerados pelos vetores indicados é o espaço vetorial R3.
a) v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (1, 0, 1)
b) v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 0, 1) e v4 = (1, 2, 3)
c) v1 = (2, 1,−2), v2 = (3, 2,−2) e v3 = (2, 2, 0)
9. Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo AX = 0̄.
a) A =
1 0 00 0 3
0 2 0
 b) A =
1 0 2 00 1 0 5
0 0 0 0
 c) A =
1 0 1 01 2 3 1
2 1 3 1

10. Considere os subespaços de R4, W1 = {(x, y, z, w) ∈ R4 | x + y = 0 e z − w = 0} e W2 =
{(x, y, z, w) ∈ R4 | x− y − z + w = 0} .
1
a) Determine W1 ∩W2.
b) Exiba uma base para W1 ∩W2.
c) Determine W1 +W2.
d) W1 +W2 = R4? Justifique.
11. Considere a matriz A =
0 0 11 0 −3
0 1 3
 . Encontre os valores de λ tais que o sistema linear homogêneo
(A − λIn)X = 0 tem solução não trivial e, para estes valores de λ, encontre uma base para o
espaço solução.
12. Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo. Se for verdadeira, justifique
porque, se for falsa, dê um exemplo em que a afirmação não é válida.
a) ( ) Se os vetores não nulos u, v e w são LD, então w é uma combinação linear de u e v.
b) ( ) Uma reta r é um subespaço vetorial de R3 se, e somente se, r passa pela origem.
c) ( ) O vetor (2, 6, 6) pertence ao espaço gerado pelos vetores (−1, 2, 3) e (3, 4, 2).
d) ( ) Se {u, v, w} é LI, então {u, v} também é LI.
e) ( ) Se {u, v, w} é LD, então {u, v} também é LD.
f) ( ) Se {u, v, w} é LI, então {u, v, w, z} também é LI.
g) ( ) Se {u, v, w} é LD, então {u, v, w, z} também é LD.
h) ( ) Sejam vi ∈ R5 vetores não nulos e não paralelos entre si. Então {v1, v2, v3, v4, v5, v6} é LI.
i) ( ) Sejam u, v ∈ R3. Então span{u, v} será um plano.
j) ( ) Dados π1 : 107x+ 53y−
√
75z = 0 e π2 : 3x+ 5y+ 37z = 0 temos que π1 ∩ π2 é subespaço
vetorial de R3.
13. Sejam a, b e c são números reais. Encontre uma base para o subespaço de R4 formado por todos
os vetores da forma (a+ b, a− b+ 2c, b, c). Determine a dimensão deste subespaço.
14. Sejam v1 = (4, 2,−3) , v2 = (2, 1,−2) e v3 = (−2,−1, 0)
a) Os vetores v1 , v2 e v3 são LI ou LD?
b) Os vetores v1 e v2 são LI ou LD?.
c) Qual a dimensão de span{v1, v2, v3}?
d) Descreva geometricamente o span{v1, v2, v3}.
15. Dados v1 = (2, 1, 3) e v2 = (2, 6, 4):
a) Os vetores v1 e v2 geram o R3? Justifique.
b) Quais as condições sobre um v3 ∈ R3 para que {v1, v2, v3} seja uma base de R3?
c) Encontre um vetor v3 que complete junto com v1 e v2 uma base do R3.
16. Sejam u e v vetores de R3 linearmente independentes.
a) Descreva geometricamente span{u, v}.
b) Se w = u+ v, então qual a dimensão de span{u, v, w}?
c) Se w ∈ (R3 − span{u, v}), então qual a dimensão de span{u, v, w}?
17. Se posśıvel, encontre uma base para o espaço solução do sistema homogêneo AX = 0̄ e diga sua
dimensão.
2
a) A =
1 0 00 0 3
0 2 0
. b) A =
1 0 2 00 1 0 5
0 0 0 0
.
18. Quais são as coordenadas de x = (1, 0, 0) em relação à base B = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)}?
19. Para cada um dos espaços vetoriais abaixo, com operações usuais, descreva o vetor nulo.
a) R5 b) M3×2 c) P3 d) C[a, b]
20. Mostre que o espaço P3 = {a0 +a1x+a2x2 +a3x3|a0, a1, a2, a3 ∈ R} dos polinômios reais de grau
menor ou igual a 3 é um espaço vetorial real, com as operações usuais de soma e multiplicação
por escalar.
21. Determine se o conjunto S =
{[
1 1
1 0
]
,
[
0 1
1 1
]
,
[
1 0
0 1
]}
é LI ou LD.
22. Determine se os polinômios p(x) = x3 − 5x2 + 1, q(x) = 2x4 + 5x− 6 e r(x) = x2 − 5x+ 2 do P4
formam um conjunto linearmente independente.
23. Mostre que os polinômios 1, x− 1 e x2 − 3x+ 1 formam uma base de P2. Exprima o polinômio
2x2 − 5x+ 6 como combinação linear dos elementos dessa base.
24. Obtenha uma base e determine a dimensão de cada um dos subespaços de M3×3 abaixo descritos:
a) matrizes com traço1 igual a zero.
b) matrizes que têm a primeira e a última linhas iguais.
c) matrizes cuja soma dos elementos da primeira linha é igual à soma dos elementos da segunda
coluna.
25. Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo. Se for verdadeira, justifique
porque, se for falsa, dê um exemplo em que a afirmação não é válida.
a) ( ) {(1, 2, 3), (4, 3, 5), (
√
2, 9, 1), (0, 1, 0)} é uma base de R3.
b) ( ) {t2, 5t3, 4t+ 1} é uma base de P4.
c) ( ) Se B é uma base de R5, então B é LI.
d) ( ) Qualquer subespaço vetorial admite base.
e) ( ) Se B é uma base de R5, então span(B) = R5.
f) ( ) Se {v1, v2, v3, v4, v5} é uma base de R5, então {v1, v2, v3, v4, v5, v6} é LD.
g) ( ) Em qualquer base de R4, o vetor nulo terá coordenadas (0, 0, 0, 0).
26. (Desafio) Considere o conjunto V = {x ∈ R;x > 0}. Verifique se V é um espaço vetorial com
as operações de adição (⊕) e a multiplicação por escalar (�) dadas abaixo. Em caso positivo,
encontre o vetor nulo (neutro aditivo) e o inverso aditivo.
a) x⊕ y = xy
α� x = xα
b) x⊕ y = 2xy
α� x = 2α−1xα
1O traço de uma matriz A, denotado por tr(A), é a soma dos elementos de sua diagonal principal.
3
RESPOSTAS
1a. Sim 1b. Sim 1c. Não 1d. Não
2. λ = ±2
4. S = {(x, y, z,−2z)|x, y, z ∈ R}, (a) Sim, (b) Não.
5. Dica: escreva o plano como um subconjunto de R3: W = {(x, y, z) ∈ R3; ax+ by + cz + d = 0} e
mostre que as operações usuais de R3 só estarão bem definidas se d = 0.
6a. Não 6b. Não 6c. Sim 6d. Não 6e. Não 6f. Sim 6g. Não
7. Sim pois é soma de subespaços vetoriais: W = W1 + W2 onde W1 e W2 são retas que passam
pela origem (portanto são subespaços vetoriais de R3). Geometricamente, W será um plano.
8a. Sim 8b. Sim 8c. Não
9a. W = {[0, 0, 0]T}. 9b. W = {[−2, 0, 1, 0]T , [0,−5, 0, 1]T} 9c. W = {[−1,−1, 1, 0]T}
10a. W1 ∩W2 = {(0, 0, z, z)|z ∈ R}. 10b. B = {(0, 0, 1, 1)}. 10c.
W1 ∩W2 = {(0, 0, z, z)|z ∈ R}. 10d. Sim.
11. λ = 1, solução geral do SLH: {(α,−2α, α)|α ∈ R}, base B = {(1,−2, 1)}
12a. F (pode ser que não seja o w) 12b. V (prova análoga a 5). 12c. F (os 3 vetores são LI)
12d. V 12e. F (Pode ser LI ou LD) 12f. F (Pode ser LI ou LD) 12g. V 12h. F (Qualquer
subconjunto de R5 com mais de 5 vetores será LD) 12i. F (Só podemos garantir que será um
plano se os vetores forem LI) 12j. V (π1 e π2 são planos que passam pela origem, logo são
subespaços vetoriais de R3. Como Intersecção de subespaços vetoriais também é subespaço vetorial,
segue a afirmação.)
13. {(1, 1, 0, 0),(1,−1, 1, 0), (0, 2, 0, 1)}
14. a) LD b) LI c) 2 d) Plano que passa pela origem e é paralelo aos vetores v1 e v2, isto é,
plano dado por x− 2y = 0.
15. a) Não b) {v1, v2, v3} LI c) Por exemplo, v3 = (0, 0, 1)
16. a) Será um plano que passa pela origem e tem u e v como vetores diretores. b) 2 c) 3
17a. O espaço solução terá apenas o vetor nulo, logo não admite base. Netse caso, sua dimensão é 0.
17b. Como (−2, 0, 1, 0) e (0,−5, 0, 1) geram o espaço solução e são LI, formarão uma base para este
espaço solução. Logo a dimensão será 2.
18. [x]B = [
1
3
,−1
3
, 1
3
]T .
19. a) (0, 0, 0, 0, 0) b)
0 00 0
0 0
 c) p(t) = 0 + 0t+ 0t2 + 0t3 = 0 d) f(x) = 0
21. LI
22. Sim.
23. 2x2 − 5x+ 6 = 5 · 1 + 1 · (x− 1) + 2 · (x2 − 3x+ 1).
24. (a) dim S = 8, (b) dim S = 6, (c) dim S = 8.
25a. Falso. Qualquer base de R3 terá exatamente 3 vetores.
25b. Falso. Como dim(P4) = 5, qualquer base deste espaço deverá ter exatamente 5 vetores.
25c. Verdadeiro, pela definição de base.
25d. Falso. O espaço vetorial que contém apenas o nulo não terá base.
25e. Verdadeiro, pela definição de base.
25f. Verdadeiro. Qualquer conjunto com mais de 5 vetores em R5 será LD.
25g. Verdadeiro. Para qualquer base {v1, v2, v3, v4} de R4 temos (0, 0, 0, 0) = 0.v1 + 0.v2 + 0.v3 + 0.v4
26. Em ambos os casos será Espaço Vetorial. No item (a) o vetor nulo será 0̄ = 1 e o inverso aditivo
de x será 1
x
. No item (b) o vetor nulo será 0̄ = 1
2
e o inverso aditivo de x será 1
4x
.
4