Exercicios geometria analítica

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1) Ache o ângulo entre cada um dos seguintes pares de vetores: 
 
)2,1() =ua e )1,3(=v 
)5,3() =ub e )3,5(−=v 
)31,1() =uc e )61,21(=v 
)0,1() =ud e )1,3(=v 
 
 
2) Mostre que se v e w são dois vetores quaisquer então 
 
wvwvwv ,2
222
++=+ 
 
3) Sejam v e w dois vetores do plano. Mostre que 
 
wvwv ⋅≤, (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) 
 
 
4) Mostre que se v e w são dois vetores quaisquer então 
 
wvwv +≤+ (Desigualdade Triangular) 
 
 
5) Mostre que se v e w são dois vetores quaisquer então 
 
wvwv −≥− 
 
 
6) Calcule a área do triângulo de vértices )2,1(A , )1,2( −B e )8,6(C . 
 
 
7) Determine a área do paralelogramo que admite os vértices )1,1(A , )1,2( −B e 
)3,1(C . 
 
 
8) Calcule a projeção ortogonal do vetor )3,1(=u sobre o vetor )5,2(=v . 
 
 
9) Determine a projeção ortogonal do vetor )4,2(=u sobre o vetor )1,2(−=v 
 
 
10) Sejam )0,1(1 =e e )1,0(2 =e . Determine as projeções ortogonais de um vetor 
),( yxv = sobre 1e e sobre 2e .