Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Universidade do Estado do Rio de Janeiro Centro de Tecnologia e Ciências Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Geometria e Representação Gráfica Profa. Msc. Paula de Oliveira Ribeiro Lista 3 de Geometria Analítica e Cálculo Vetorial I - 2013.2 Plano 1. Determine a equação geral do plano para os casos onde: (a) o plano passa pelo ponto A(1,−3, 4) e é paralelo aos vetores ~v1 = (3, 1,−2) e ~v2 = (1,−1, 1); (b) o plano contém os pontos A(1,−2, 2) e B(−3, 1,−2) e é perpendicular ao plano pi: 2x+ y− z + 8 = 0; (c) o plano passe por A(2, 1,−1), B(0,−1, 1) e C(1, 2, 1); (d) o plano que contém as retas: r: x = 1 + 2t y = -2 + 3t z = 3 - t e s: x = 1 - 2t y = -2 - t, z = 3 + 2t onde t ∈ R. (e) o plano que contém as retas: r: x = -2 + t y = -t z = -3 e s: { y = -x - 1 z = 3, onde t ∈ R. (f) o plano contém a reta: r: { x = 4 y = 3 e o ponto B(−3, 2, 1). 2. Seja o plano pi que passa pelo ponto A(2, 2,−1) e é paralelo aos vetores ~u = (2,−3, 1) e ~v = (−1, 5,−3). Obter uma equação vetorial, um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de pi. 3. Dado o plano pi de equação 2x − y − z + 4 = 0, determine um sistema de equações paramétricas de pi. Dica: encontre três pontos A, B e C, não alinhados e pertencentes ao plano, e através deles encontre dois vetores de base. 4. Estabeleça equações paramétricas do plano determinado pelos pontos A(1, 1, 0), B(2, 1, 3) e C(−1,−2, 4). 1 5. Determinar o ângulo entre os seguintes planos: (a) pi1 : x + 2y + z − 10 = 0 e pi2 : 2x + y − z + 1 = 0; (b) pi1 : 2x − 2y + 1 = 0 e pi2 : 2x − y − z = 0; (c) pi1 : 3x + 2y − 6 = 0 e pi2 : plano xz; (d) pi1 : 3x + 2y − 6 = 0 e pi2 : plano yz. 6. Determine o valor de n para que seja de 30◦ o ângulo entre os planos: pi1 : x + my + 2z − 7 = 0 e pi2 : 4x + 5y + 3z − 2 = 0. 7. Dada a reta r e o plano pi, determine o valor de m para que se tenha: (I) r//pi; (II) r ⊥ pi. para os casos: (a) r: x = −3 + t y = −1 + 2t z = 4t e pi: mx − y − 2z − 3 = 0; (b) r: (x, y, z) = (1, 2, 0) + t(2,m,−1) e pi: 3x + 2y + mz = 0. 8. Determine o ângulo que a reta r : x−23 = y −4 = z+1 5 forma com o plano pi : 2x − y + 7z − 1 = 0. 9. Determine os valores de m e n para que a reta: r: x = 3 + t y = −1 − t z = −2 − t, esteja contida no plano pi : 2x + my + nz − 5 = 0. 10. Estabeleça as equações reduzidas, sendo x a variável independente, da reta de interseção entre os planos: (a) pi1 : 3x − y + z − 3 = 0 e pi2 : x + 3y + 2z + 4 = 0; (b) pi1 : 3x − 2y − z − 1 = 0 e pi2 : x + 2y − z − 7 = 0. 11. Determine o ponto de interseção I(x, y, z) da reta r com o plano pi sendo: (a) r: x = 2y − 3 = 2z−33 e pi : 2x − y + 3z − 9 = 0; (b) r: x = 1 + t y = 2t z = 5 e pi: x = 3. 2 (c) r: x = t y = 1 − 2t z = −t e pi: 2x + y − z − 4 = 0. onde t ∈ R. 12. Calcule a distância do ponto P0(4, 2,−3) ao plano pi: 2x + 3y − 6z + 3 = 0. 13. Calcule a distância d entre os planos paralelos (a) pi1 : 2x + 2y + 2z − 5 = 0 e pi2 : x + y + z − 3 = 0; (b) pi1 : x − 2z + 1 = 0 e pi2 : 3x − 6z − 8 = 0. 14. Determine a distância da reta r: r: { x = 3 y = 4 (a) ao plano xz; (b) ao plano yz; (c) ao eixo dos z; (d) ao plano pi : x + y − 12 = 0. 3
Compartilhar