Transformada - Lista 1 - Prof. José Mesquita

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Ca´lculo Diferencial e Integral III
Transformada de Laplace
5 de julho de 2013
1) A Func¸a˜o Gama. A func¸a˜o gama e´ denotada por Γ(p) e definida pela
integral
Γ (p+ 1) =
∫ ∞
0
e−xxpdx.
A integral converge quando x→∞ para todo p. Para p < 0, e´ uma inte-
gral impro´pria tambe´m em 0, ja´ que o integrando torna-se ilimitado quando
x → 0. No entanto, pode-se mostrar que a integral converge em x = 0 para
p > −1.
a) Mostre que, para p > 0
Γ (p+ 1) = pΓ(p)
b) Mostre que Γ(1) = 1.
c) Se p e´ um inteiro positivo, mostre que
Γ(n+ 1) = n!
Como Γ(p) tambe´m esta´ definida quando p na˜o e´ inteiro, esta func¸a˜o
fornece uma extensa˜o da func¸a˜o fatorial para valores na˜o inteiros da varia´vel
independente. Note que tambe´m e´ consistente definir 0! = 1.
Mostre que, para p > 0,
p(p+ 1)(p+ 2) · · · (p+ n− 1) = Γ(p+ n)/Γ(p).
1
Assim, Γ(p) pode ser determinado para todos os valores positivos de p se
Γ(p) for conhecido em um u´nico intervalo de comprimento 1, por exemplo,
em 0 < p ≤ 1. E´ poss´ıvel mostrar que Γ(1
2
) =
√
pi. Encontre Γ
(
3
2
)
e Γ
(
11
2
)
.
2) Considere a transformada de Laplace de tp, onde p > −1.
a) Usando o problema anterior, mostre que
L{tp} =
∫ ∞
0
e−sttpdt =
1
s+ 1
∫ ∞
0
e−xxpdx =
Γ(p+ 1)
sp+1
, s > 0.
b) Seja p igual a um inteiro positivo n em (a). Mostre que
L{tn} = n!
sn+1
, s > 0.
c) Mostre que
L
{
t−1/2
}
=
2√
s
∫ ∞
0
e−x
2
dx, s > 0.
E´ poss´ıvel mostrar que
∫ ∞
0
e−x
2
dx =
√
pi
2
;
portanto,
L
{
t−1/2
}
=
√
pi/s, s > 0.
d) Mostre que
L
{
t1/2
}
=
√
pi/2s3/2, s > 0.
2