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Ca´lculo Diferencial e Integral III Sexta Lista 1) Encontre o wronskiano do par de func¸o˜es dado. a) e2x, e−3x/2 b) cos t, sin t c) e−2t, te−2t d) x, xex e) et sin t, et cos t f) cos2 θ, 1 + cos 2θ Respostas: a)− 7 2 ex/2 b)1 c)e−4t d)x2ex e)− e−2t f)0 2) Ache uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o. a) y′′ − 5y′ + 6y = 2et b) y′′ − y′ − 2y = 2e−t c) y′′ + 2y′ + y = 3e−t d) 4y′′ − 4y′ + y = 16et/2 Respostas: a)yp(t) = e t b)yp(t) = −2 3 te−t c)yp(t) = 3 2 t2e−t d)yp(t) = 2t2et/2. 3) Encontre a soluc¸a˜o geral. a) y′′ + y = tan t, 0 < t < pi/2 b) y′′ + 9y = 9 sec2 3t, 0 < t < pi/6 c) y′′ + 4y′ + 4y = t−2e−2t, t > 0 Respostas: a) y = c1 cos t+ c2 sin t− (cos t) ln (tan t+ sec t) b) y = c1 cos 3t+ c2 sin 3t+ (sin 3t) ln (tan 3t+ sec 3t)− 1 c) y = c1e −2t + c2te−2t − e−2t ln t. i 4) Expresse o nu´mero complexo dado na forma reiθ. a) 1 + i, b)− 1 + √ 3i, c) − 3, d) − i, e) √ 3− i, f) − 1− i. Respostas: a) √ 2ei( pi 4 +2kpi), b) 2ei( 2pi 3 +2kpi), c) 3ei(pi+2kpi), d) ei( 3pi 2 +2kpi), e) 2ei( 11pi 6 +2kpi), f) √ 2ei( 5pi 4 +2kpi). 5) Encontre a soluc¸a˜o geral. a) y′′′ + y′ = tan t 0 < t < pi b) y′′′ − y′ = t c) y′′′ − 2y′′ − y′ + 2y = 4e4t d) y′′′ + y′ = sec t −pi/2 < t < pi/2 e) y′′′ − y′′ + y′ − y + e−t sin t f) y(4) + 2y′′ + y = sin t ii
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