Cálculo III Lista 6 - Prof. José Mesquita

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Ca´lculo Diferencial e Integral III
Sexta Lista
1) Encontre o wronskiano do par de func¸o˜es dado.
a) e2x, e−3x/2 b) cos t, sin t c) e−2t, te−2t
d) x, xex e) et sin t, et cos t f) cos2 θ, 1 + cos 2θ
Respostas:
a)− 7
2
ex/2 b)1 c)e−4t d)x2ex e)− e−2t f)0
2) Ache uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o.
a) y′′ − 5y′ + 6y = 2et b) y′′ − y′ − 2y = 2e−t
c) y′′ + 2y′ + y = 3e−t d) 4y′′ − 4y′ + y = 16et/2
Respostas:
a)yp(t) = e
t b)yp(t) = −2
3
te−t c)yp(t) =
3
2
t2e−t d)yp(t) = 2t2et/2.
3) Encontre a soluc¸a˜o geral.
a) y′′ + y = tan t, 0 < t < pi/2
b) y′′ + 9y = 9 sec2 3t, 0 < t < pi/6
c) y′′ + 4y′ + 4y = t−2e−2t, t > 0
Respostas:
a) y = c1 cos t+ c2 sin t− (cos t) ln (tan t+ sec t)
b) y = c1 cos 3t+ c2 sin 3t+ (sin 3t) ln (tan 3t+ sec 3t)− 1
c) y = c1e
−2t + c2te−2t − e−2t ln t.
i
4) Expresse o nu´mero complexo dado na forma reiθ.
a) 1 + i, b)− 1 +
√
3i, c) − 3,
d) − i, e)
√
3− i, f) − 1− i.
Respostas:
a)
√
2ei(
pi
4
+2kpi), b) 2ei(
2pi
3
+2kpi), c) 3ei(pi+2kpi),
d) ei(
3pi
2
+2kpi), e) 2ei(
11pi
6
+2kpi), f)
√
2ei(
5pi
4
+2kpi).
5) Encontre a soluc¸a˜o geral.
a) y′′′ + y′ = tan t 0 < t < pi
b) y′′′ − y′ = t
c) y′′′ − 2y′′ − y′ + 2y = 4e4t
d) y′′′ + y′ = sec t −pi/2 < t < pi/2
e) y′′′ − y′′ + y′ − y + e−t sin t
f) y(4) + 2y′′ + y = sin t
ii