Distribuições discretas

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1
MODELOS PROBABILÍSTICOS DISCRETOS 
 
a) Modelo (distribuição) de Bernoulli – Experimento ou ensaio de Bernoulli 
 
Vamos considerar experimentos aleatórios que apresentam apenas dois resultados possíveis: Sucesso (S) ou 
Fracasso (F). 

Exemplos: 
1) a inspeção de um artigo de uma linha de produção, na qual o artigo pode ser considerado defeituoso ou perfeito; 
2) um paciente submetido a um tratamento durante um período de tempo fixo, cura-se ou não da doença; 
3) um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita; 
4) no lançamento de um dado ocorre ou não a face 5. 
 
Situações com alternativas dicotômicas podem ser representadas, genericamente, por respostas do tipo sucesso(S) 
ou fracasso (F). 
Para experimentos desse tipo, o espaço amostral é Ω = {S, F}. 
Chamaremos de sucesso o evento de interesse. No exemplo 1, se o interesse é em artigo defeituoso, diremos que 
temos um sucesso quando ocorrer artigo defeituoso e fracasso quando ocorrer artigo perfeito. 
 
Esses experimentos (se forem independentes e com a mesma probabilidade de ocorrência de “sucesso”) recebem o 
nome de Ensaios de Bernoulli(Experimento de Bernoulli) e originam uma v.a. com distribuição de Bernoulli. 
 
Variável aleatória de Bernoulli: 
Seja a v. a. X definida como o número de sucessos num ensaio de Bernoulli. X assume apenas dois valores: 
 
 1, se ocorrer “sucesso” 
 X = 
 0, se ocorrer “fracasso” 
 
Isto é, X(S) = 1 se o resultado do ensaio é sucesso e X(F) = 0 se o resultado é fracasso. 
Seja P(S) = p a probabilidade de sucesso e P(F) = 1 – p a probabilidade de fracasso. 
 
“X ~ Bernoulli (p)” indica uma v.a. com distribuição de Bernoulli com parâmetro p. 
 
A função (distribuição) de probabilidade de X pode ser representada por: 
 
X 0 1 
f (x) = P (X = x) 1 - p p 
 
 
Isto é, a função de probabilidade da distribuição de Bernoulli é dada por: 
 
f( x ) = P( X = x ) = px ( 1 – p )1 – x , x = 0 , 1. 
 
f( 0 ) = P(X=0) = p0 (1 – p)1 – 0 = 0 . (1 – p)1 = 1 – p  probabilidade de ocorrer fracasso 
 
f( 1 ) = P(X=1) = p1 (1 – p)1 – 1 = p1 . (1 – p)0 = p  probabilidade de ocorrer sucesso 
 
Valor esperado (média) e variância da variável aleatória de Bernoulli 
 
~X Bernoulli  p 
 
        ppppppxpxxfXE
x
xx
x
 



 111
1
0
0101
1
0
11101)( , 
 2
    
 
   pppppppppXVar
pxpppxXVar
xxfxfxXEXEXVar
x
xx
x
xx
xx




 












111)1(0)(
1)1()(
)()()(
2211120102
21
0
11
0
12
21
0
1
0
222
 
 
 
Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli dão origem ao modelo binomial. 
 
 
b) MODELO (DISTRIBUIÇÃO) BINOMIAL 
 
Uma seqüência de ensaios (provas) de Bernoulli da origem ao modelo binomial quando: 
1. Cada ensaio (prova) tem dois resultados possíveis, mutuamente excludentes, designados por sucesso (S) ou 
fracasso (F). 
2. A probabilidade de sucesso p = P(S), permanece constante de ensaio para ensaio, logo, a probabilidade de 
fracasso 1 – p = P(F), também permanece constante. 
3. Os ensaios (provas) são independentes uns dos outros. O conhecimento do sucesso ou do fracasso de um 
deles não modifica a probabilidade de sucesso ou de fracasso nos ensaios (provas) subseqüentes. Isto é, o 
resultado (sucesso ou fracasso) de qualquer ensaio é independente do resultado de qualquer outro ensaio. 
Exemplo: Suponha um experimento aleatório avaliar 3 artigos, sorteados de uma linha de produção, quanto ao 
seu estado (se defeituoso ou perfeito). 
 
O espaço amostral será:  DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD ,,,,,,, , sendo D = 
artigo perfeito e D = artigo defeituoso. 
 
Seja X a variável aleatória que representa o número de artigos defeituosos entre os 3 artigos avaliados. Então, 
.321 XXXX  
 
 0 , se ocorrer fracasso (o 1o artigo é perfeito) 
1X  )(~1 pBernoulliX 
 1 , se ocorrer sucesso (o 1o artigo é defeituoso) 
 
 
 0 , se ocorrer fracasso (o 2o artigo é perfeito) 
2X  )(~2 pBernoulliX 
 1 , se ocorrer sucesso (o 2o artigo é defeituoso) 
 
 
 
 0 , se ocorrer fracasso (o 3o artigo é perfeito) 
3X  )(~3 pBernoulliX 
 1 , se ocorrer sucesso (o 3o artigo é defeituoso) 
 
 
 
 
 
 
 3
wi 1X 2X 3X .321 XXXX  
DDD 0 0 0 0 
DDD 0 0 1 1 
DDD 0 1 0 1 
DDD 1 0 0 1 
DDD 0 1 1 2 
DDD 1 0 1 2 
DDD 1 1 0 2 
DDD 1 1 1 3 
 
O conjunto dos possíveis valores de X será: Rx = {0, 1, 2, 3}. 
 
Probabilidade de sucesso = P(Xi =1) = p, 0 < p < 1 
 
Os eventos D = artigo perfeito e D = artigo defeituoso são independentes, isto é, o resultado obtido para um dos 
artigos (ser perfeito ou ser defeituoso) não afeta o resultado dos outros artigos (não serem ou serem defeituosos), 
logo, 
 
           
              
                   
   
              
                   
         
      3
2
2
3
3
131112
2
2
13)1)(1()1()1()1)(1(1
1
1
11110
ppppDDDPDDDPXP
pppppppppppXP
DPDPDPDPDPDPDPDPDPXP
DDDPDDDPDDDPDDDDDDDDDPXP
pppppppppppXP
DPDPDPDPDPDPDPDPDPXP
DDDPDDDPDDDPDDDDDDDDDPXP
ppppDDDPDDDPXP








 
A função (distribuição) de probabilidade da variável aleatória X = número de artigos defeituosos entre os 3 avaliados 
é dada por: 
x 0 1 2 3 
   xXPxf   31 p  213 pp   pp 13 2 3p 
 
O comportamento de X fica determinado pela função: 
 
   
 













contrário caso 
 
,0
3,2,1,0,1
3
xpp
xxXPxf
xnx
 
 
 
onde 
 !3!
!33
 
 
xxx 






= número de possibilidades de x artigos serem classificados como defeituosos entre os 3 
avaliados. 
 
Definição: Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade de 
sucesso p. A variável aleatória que conta o número total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli é denominada de 
variável aleatória Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dada por: 
 4
 
   
 













contrário caso , 0 
 ..., ,3 ,2 ,1 ,0 , 1 nxpp
x
n
xXPxf
xnx
 
 
onde 
 !!
!
 
 
xnx
n
x
n







= número de possibilidades de ocorrerem x sucessos nos n ensaios de Bernoulli realizados. 
 
Usaremos a notação  pnBX ,~ , para indicar que a variável aleatória X tem distribuição Binomial com 
parâmetros n e .p 
 
Média (valor esperado) e variância da variável aleatória Binomial 
 
Se  pnBX ,~ , então: 
    nppp
x
n
xxxfXE
n
x
xnx
n
x











00
 1)( 
 
      















n
x
xnx
n
x
n
x
pnpnppp
x
n
xxxfxfxXEXEXVar
0
22
2
00
222 )1(1)()()()(
 
Ou, 
 
~iX Bernoulli  p , i 1, 2, 3, ..., .n 
 
        pppppppxxXPxXE
i
ii
i x
xx
i
x
iii 




 111
1
0
0101
1
0
11101)( , 
para todo i 1, 2, 3, ..., .n 
    
 
   pppppppppXVar
ppxppxXVar
xXPxxXPxXEXEXVar
i
x
xx
i
x
xx
ii
x
iii
x
iiii
i
ii
i
ii
ii



























111)1(0)(
1)1()(
)()()(
2211120102
2
1
0
1
1
0
12
2
1
0
1
0
222
 
 
 
para todo i 1, 2, 3, ..., .n 
 
Se  pnBX ,~ então: 
 
nXXXXX  ...321nXXXX ..., ,,, 321 são variáveis aleatórias de Bernoulli. 
 
 5
A média de X será: 
           
npppppXE
XEXEXEXEXXXXEXE nn


...)(
...... 321321 
 
npXE  )( 
 
E a variância de X será: 
 
           
)1()1(...)1()1()1()(
...... 321321
pnpppppppppXVar
XVarXVarXVarXVarXXXXVarXVar nn


 
 
)1()(2 pnpXVar  
 
Exemplo 1: Feito em sala 
 
Exemplo 2: Suponha que o nascimento de menino e de menina seja igualmente provável e que o nascimento de 
qualquer criança não afeta a probabilidade do sexo do próximo nascimento. Determine a probabilidade de: 
a) Exatamente 4 meninos em 10 nascimentos 
b) Ao menos 4 meninos em 10 nascimentos 
c) No máximo 1 menino em 10 nascimentos 
d) Mais de 8 meninas em 10 nascimentos 
Solução: 
O evento de interesse é nascimento de menino. Então, define-se: 
Sucesso (S): nascimento de menino 
Fracasso (F): nascimento de menina 
P(S) = p = 1/2 e P(F) = 1- p = 1/2 
A variável aleatória X = número de meninos em 10 nascimentos (número de sucessos) 
Rx = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
Do enunciado do problema tem-se que a variável aleatória X segue uma distribuição Binomial com parâmetros n = 
10 e p = 1/2 pois, 
1. Cada nascimento é um ensaio (prova) de Bernoulli com dois resultados possíveis, mutuamente excludentes, 
nascimento de menino (Sucesso = S) ou nascimento de menina (Fracasso = F). 
2. A probabilidade de sucesso p = P(S), permanece constante e igual a 1/2 de ensaio (nascimento) para ensaio 
(nascimento), logo, a probabilidade de fracasso 1 – p = P(F), também permanece constante e igual a 1/2. 
3. Os ensaios (nascimentos) são independentes uns dos outros. O conhecimento do sucesso (nascimento de 
menino) ou do fracasso (nascimento de menina) de um deles não modifica a probabilidade de sucesso ou de 
fracasso nos ensaios (nascimentos) subseqüentes. Isto é, o resultado (sucesso ou fracasso) de qualquer 
ensaio é independente do resultado de qualquer outro ensaio. 
Como X ~ B( 10, 1/2 ), sua função de probabilidade será: 
 
   
 













contrário caso 
 
,0
10,...,3,2,1,0,1
10
xpp
xxXPxf
xnx
 
 
 
a) 
 
2051,0
2
1
!6!0.1.2.3.4
!6.7.8.9.10
!410!4
!10
2
1
2
1
4
10
)4(
104104



























 
 
 
 XP 
 
 6
b)  
9453,00547,01
2
1
2
1101)4(
)3()2()1()0(1)4(1)4(
2
1
2
110)4(
)10()9()8()7()6()5()4()4(
3
0
10
1010
4























































x
xx
xx
x
x
XP
XPXPXPXPXPXP
x
XP
XPXPXPXPXPXPXPXP
 
c) 0107,0
2
1
2
110)1()0()1(
101
0






















xx
x x
XPXPXP 
 
d) Mais de 8 meninas em 10 nascimentos equivale a menos de 2 meninos em 10 nascimentos. Isto é: 
 
X = sucesso = nascimento de menino 
X’ = fracasso = nascimento de menina 
 
P( X’ > 8) = P( X < 2) = P( X ≤ 1 ) = 0,0107 
 
Exemplo 2: 30% das pacientes picadas com uma agulha infectada com hepatite B desenvolvem a doença. Suponha 
que selecionamos cinco indivíduos da população de pacientes que foram picados com uma agulha infectada com 
hepatite B. 
a) Qual a de que pelo menos três indivíduos, entre os cinco, desenvolvam a hepatite B? 
Resp.: P(X ≥ 3) = 0,1630 
b) Qual a probabilidade de que no máximo um paciente desenvolva a doença? 
Resp.: P(X ≤ 1) = 0,5282. 
c) Qual o número esperado de pessoas que desenvolveriam a doença? E a variância? 
Resp.: E(X) = 1,5 e Var(X) = 1,05 
 
Exemplo 3: Considere uma prova com 10 questões, cada uma com 4 alternativas. Suponha que o aluno escolha a 
resposta ao acaso (“chuta”). Para o aluno ser aprovado, tem que acertar pelo menos 6 questões. 
Se 100 alunos irão fazer a prova, espera-se quantos aprovados? Resp.: 1,97 ≈ 2 alunos. 
 
 
c) MODELO (DISTRIBUIÇÃO) HIPERGEOMÉTRICA 
 
Enquanto a distribuição binomial se aplica aos casos de amostragem com reposição, a distribuição hipergeométrica 
se aplica aos casos de amostragem sem reposição de n itens de uma população de N itens, em os itens possuem ou 
não uma característica de interesse. Como a amostragem é sem reposição, as tentativas não são independentes. 
Um modelo teórico para essa situação é descrito a seguir: 
Uma urna contém N bolas, das quais K bolas são brancas e N – K são vermelhas. Se retirarmos uma amostra 
aleatória de n bolas, sem reposição, podemos determinar a probabilidade de termos x bolas brancas na amostra. 
Nesse caso, a população de N bolas é dividida em dois grupos pela característica de interesse, bola ser branca 
(sucesso); o grupo de K bolas brancas e o grupo de N – K bolas vermelhas (fracasso). 
Existem 





x
k
 maneiras de escolhermos x bolas brancas entre as K bolas brancas existentes na população de bolas 
e para cada uma dessas maneiras, podemos selecionar n – x bolas vermelhas de 







xn
kN
 maneiras. Como o 
número total de amostras aleatórias de tamanho n, selecionadas de uma população de N bolas é 





n
N
, a 
probabilidade de obtermos x bolas brancas (sucessos) e n – x bolas vermelhas (fracassos) na amostra de n bolas é 
dada por: 
 
 7





















n
N
xn
KN
x
K
xXP )( , 
 
onde X é a variável aleatória que indica o número de bolas brancas (número de sucessos) no experimento. 
 
Em resumo, a distribuição de probabilidade hipergeométrica descreve os experimentos que têm as seguintes 
propriedades: 
1) Uma população com N itens é dividida em dois grupos: K itens são classificados como sucesso e N – K 
como fracasso. 
2) Uma amostra aleatória de tamanho n é selecionada entre os N itens, sem reposição. 
 
Em consequência, resulta que: 
a) as tentativas (retiradas dos itens) são dependentes; 
b) a probabilidade de sucesso (de retirar um item classificado como sucesso) varia de tentativa para tentativa, 
isto é, a probabilidade de sucesso não permanece constante. 
 
Definição: Uma variável aleatória X tem distribuição hipergeométrica, se sua distribuição de probabilidade, f(x), é 
dada por: 
 






























contrário caso ,0
 e ,,,1,0 para ,)()( KNxnKxnx
n
N
xn
KN
x
K
xXPxf  
 
Notação: X ~ Hip (N, K, n) X segue distribuição hipergeométrica com parâmetros N, K, n. 
 
Exemplo: Numa pesquisa sobre a poluição do ar, um inspetor decide examinar, sem reposição, o cano de descarga 
de 6 dos 24 caminhões de uma companhia. Se 4 dos 24 caminhões emitem quantidades excessivas de gases 
poluentes, qual é a probabilidade de que nenhum deles seja incluído na amostra do inspetor? Resp.: 0,2880 (feito 
em sala). 
 
Valor esperado (média, esperança): 
 
N
nK
n
N
xn
KN
x
K
xxxfXE 


































  )()( 
 
 
Variância: 
 
  .1
1
)()()(
2
222 




 










































   N
K
N
nK
N
nN
N
nK
n
N
xn
KN
x
K
xxxfxfxXVar 
Exemplo: O valor esperado e a variância da variável aleatória X: número de caminhões que emitem 
quantidades excessivas de gases poluentes são iguais a: 
 8
1
24
46)( 
N
nKXE caminhão. 
 
23
15
24
41
24
46
124
6241
1
)( 




 









 



N
K
N
nK
N
nNXVar caminhão2. 
 
Aproximação da distribuição hipergeométrica pela distribuição binomial 
Em muitas aplicações práticas, o tamanho n da amostra é pequeno em comparação ao tamanho N da população. 
Quando isso acontece, a distribuição binomial dá uma boa aproximação para a distribuição hipergeométrica. De fato, 
pode ser mostrado formalmente que a distribuição hipergeométrica se aproxima de uma distribuição binomial com 
N
Kp  ,quando N e 
N
Kp  permanece constante. É só tomar o limite da fdp da hipergeométrica com 
N . 
Uma regra prática é usar a distribuição binomial como aproximação para a distribuição hipergeométrica se 
.10,0
N
n
 
 
Exemplo: Supõe-se que um carregamento com 100 gravadores contém 25 defeituosos. A probabilidade de se 
encontrar 2 gravadores defeituosos em uma amostra de 10 gravadores sorteados sem reposição será: 
 
X : número de gravadores defeituosos, na amostra 
X ~ hip(100, 25, 10) 
292,0
10
100
210
25100
2
25
)2()2( 




















 fXP 
 
Se usarmos a distribuição binomial com parâmetros 10n e 25,0
100
25
p , teremos: 
.282,075,025,0
2
10
)2()2( 82 





 fxP 
 
d) MODELO (DISTRIBUIÇÃO) DE POISSON 
 
A distribuição de Poisson descreve fenômenos de contagem de eventos em um espaço contínuo, como o tempo, 
uma superfície, um volume, etc. 
Exemplos: 
a) Número de bactérias em certo volume de sangue; 
b) Número de partículas radioativas emitidas durante certo intervalo de tempo; 
c) Número de chamadas telefônicas que chegam numa central em certo intervalo de tempo; 
d) Número de acidentes em um dado trecho de uma rodovia; 
e) Número de defeitos em uma chapa de metal. 
Diremos que os eventos discretos que ocorrem num intervalo contínuo (de tempo, volume, área, etc) formam um 
processo de Poisson com parâmetro  se satisfaz as seguintes propriedades: 
a) A variável aleatória representa o número de ocorrências de um evento em um intervalo de medida contínuo; 
b) As ocorrências dos eventos são aleatórias e independentes umas das outras; 
c) A probabilidade de uma ocorrência em um intervalo de medida (tempo, volume, área) é constante e 
proporcional ao tamanho do intervalo; 
d) O número médio de ocorrências do evento por unidade de tempo, volume, área, , é constante ao longo do 
tempo, volume, área. 
 
 9
Definição: Uma variável aleatória discreta X tem distribuição de Poisson com parâmetro  se sua distribuição de 
probabilidade for do tipo: 
 
  ,2,1,0 ,
!
 )()(
 


x
x
texXPxf
xt 
 
 
onde: 
x número de ocorrências do evento de interesse em t unidades de medida 
 média de ocorrências do evento em uma unidade de medida 
t número de unidade de medida 
 
Fazendo:  t , temos: 
,2,1,0 ,
!
)()( 

x
x
exXPxf
x
 
Notação: X ~ P()  indica que a variável aleatória X tem distribuição de Poisson com parâmetro . 
 
 
Média e Variância 
Se X é uma variável aleatória com distribuição de Poisson, então: 








00 !
)()(
x
x
x x
exxxfXE 

 : média ou valor esperado 
 
 
 












0
22
2
00
2
!
)()()(
x
x
xx x
exxxfxfxXVar 

 : variância 
Exemplos: 
1) Suponha que uma central telefônica de uma empresa de grande porte recebe em média 3 chamadas a cada 
4 minutos. Em um intervalo de 2 minutos, qual é a probabilidade que a central receba 2 ou menos 
chamadas? 
 
Solução: :X número de chamadas que a central recebe em t minutos. )(~ tPX   . 
3 chamadas em 4 minutos, então em t = 2 minutos,   .5,14/23  Logo, )5,1(~ PX com 
função de probabilidade dada por: ,2,1,0 ,
!
5,1)()(
5,1




x
x
exXPxf
x
 
.8088,0
!
5,1)()2()1()0()2(
2
0
5,12
0


 


 x
x
x x
exfXPXPXPXP 
 
2) Sabe-se que certo líquido contém, em média, 4 bactérias por cm3. 
a) Qual a probabilidade de não haver bactérias em 1 cm3 do líquido 
b) Qual a probabilidade de que em 1/2 cm3 do líquido haja pelo menos uma bactéria 
Solução: 
 
a) X: número de bactérias em certo volume do líquido 
4 em 1t e 414  t . )4(~ PX . ,2,1,0 ,
!
4)()(
4




x
x
exXPxf
x
 
 10
.0183,0
!0
4)0()0(
04



efXP 
 
b) 1/2 cm3 do líquido   = 2 
.8647,0
!0
21)0(1)1(1
!
2)()2|1(
02
0
2
0










eXPXP
x
exfXP
x
x
x
 
 
 
A distribuição de Poisson como aproximação da distribuição Binomial 
 
Se em uma distribuição binomial, o número de provas de Bernoulli, n, é grande, a probabilidade de sucesso, p, é 
pequena e o produto np =  permanece constante, podemos usar a distribuição de Poisson como aproximação para 
a binomial. 
 
Demonstração: 
Seja 
n
pnpXEppnBX   )( , 10 ),(~ 
  nxpp
x
n
xXPxf xnx ..., ,3 ,2 ,1 ,0 , 1)()( 





  
    (1) 1
)!(!
)!)(1()2)(1( 1
)!(!
!)( xnxxnx pp
xnx
xnxnnnnpp
xnx
nxf  






 
 
Substituindo p por 
n

 em (1), temos: 
(2) 
-1
1-1
!
)1()2)(1( 
-1
1-1
!
)1()2)(1()(
x
nx
x
x
n
x
x
n
nxn
xnnnn
n
nnx
xnnnnxf


































 
 
Tomando o limite de (2) com n e  permanecendo constante, temos: 
1-1
!
1
(3) 
-1
1-1
!
)1()2)(1(
-1
1-1
!
)1()2)(1(
lim
limlimlimlim
lim

















































n
n
x
x
n
n
n
x
n
x
n
x
nx
x
n
nx
n
nxn
xnnnn
n
nxn
xnnnn







 
 
 11
Fazendo 
nt


1
  tn  e substituindo em (3), temos 


 


















 




  e
xtxtx
xt
t
xt
t
x
!
11
!
11
! limlim
 
 
Exemplos: 
1) Feito em sala 
2) A probabilidade de um indivíduo ter reação negativa a certa injeção é de 0,001. Determinar a probabilidade de 
que, em 2000 indivíduos injetados exatamente 3 tenham reação negativa. 
 
Solução: X: número de indivíduos com reação negativa, entre os 2000 injetados 
 
X ~ B(2000; 0,001)    2000321001,01001,02000)( 2000 ..., , , , , 





  x
x
xXP xx 
1805,0999,0001,0
!1997!0.1.2.3
!1997.1998.1999.2000
999,0001,0
!1997!3
!2000999,0001,0
3
2000
)3(
2001,0.2000)(
19973
1997319973









 
 
 
 XP
npXE
 
 
 
Como n é grande, p é pequeno e np permanece constante podemos usar a Poisson como aproximação da binomial. 
X  P( = np = 2)  1804,0
!3
2)3(
32


 
eXP