Probabilidade e Experimentos Aleatórios

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Aula 10
Raciocínio Lógico p/ PC-PA (Investigador) - 2020
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1.	 Probabilidade .................................................................................................................................................. 2	
1.1.	 Espaço Amostral ............................................................................................................................................. 3	
1.2.	 Evento ............................................................................................................................................................. 3	
2.	 Definição Clássica de Probabilidade (Laplace) .................................................................................................. 4	
3.	 Probabilidade como Frequência Relativa ......................................................................................................... 5	
4.	 Combinações de Eventos ................................................................................................................................. 7	
5.	 Propriedades sobre Probabilidades ................................................................................................................. 9	
6.	 Definição Axiomática de Probabilidade ......................................................................................................... 11	
7.	 Probabilidade Condicional ............................................................................................................................. 13	
7.1.	 Teorema da Multiplicação ............................................................................................................................ 17	
7.2.	 Independência de três eventos ..................................................................................................................... 18	
7.3.	 Teorema da Probabilidade Total .................................................................................................................. 19	
7.4.	 Teorema de Bayes ......................................................................................................................................... 24	
8.	 Lista de Questões de Concursos Anteriores .................................................................................................... 27	
9.	 Gabaritos ....................................................................................................................................................... 77	
10.	 Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários ....................................................................... 81	
11.	 Considerações Finais .................................................................................................................................... 220	
 
 
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Oi, pessoal. 
Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!! 
Vamos começar a nossa aula sobre probabilidade? 
Não se esqueçam que vocês podem acompanhar dicas diárias comigo pelo instagram 
@profguilhermeneves. 
Sem mais delongas, vamos iniciar nossa aula!! 
1. PROBABILIDADE 
 
“A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do mesmo gênero a um certo 
número de casos igualmente possíveis, ou seja, tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua 
existência, e em determinar o número de casos favoráveis ao acontecimento cuja probabilidade é 
buscada. A razão deste número para o de todos os casos possíveis é a medida desta probabilidade, 
a qual é portanto uma fração cujo numerador é o número de casos favoráveis e cujo denominador 
é o número de todos os casos possíveis”. 
Pierre Simon Laplace, Ensaio filosófico sobre as Probabilidades 
 
A Teoria das Probabilidades é o ramo da Matemática que cria modelos que são utilizados para 
estudar experimentos aleatórios. 
Um experimento é dito aleatório quando ele pode ser repetido sob as mesmas condições inúmeras 
vezes e os resultados não podem ser previstos com absoluta certeza. 
Embora não possamos afirmar qual é o resultado do experimento aleatório, em geral podemos 
descrever o conjunto que “abriga” todos os resultados possíveis. 
Quando é possível fazer uma “previsão” do resultado de um experimento, ele é chamado de 
determinístico. 
Experimentos ou fenômenos aleatórios acontecem com bastante frequência em nossas vidas. 
Diariamente ouvimos perguntas do tipo: Choverá próxima semana? Qual a minha chance de 
ganhar na Mega Sena? 
Vejamos alguns exemplos de experimentos aleatórios: 
i) Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. 
ii) Jogue uma moeda e observe a face de cima. 
O que os experimentos acima têm em comum? As seguintes características definem um 
experimento aleatório. 
 
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è Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob condições essencialmente 
inalteradas. 
è Embora não possamos afirmar qual é o resultado do experimento, somos capazes de 
descrever o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. 
 
 
1.1. ESPAÇO AMOSTRAL 
 
Para cada experimento do tipo que estamos considerando (aleatório), definiremos o espaço 
amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Denotaremos este 
conjunto pela letra U. 
 
Vamos considerar os experimentos acima e descrever um espaço amostral para cada um deles. 
i) Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. 
Quando jogamos um dado, o resultado pode ser 1,2,3,4,5 ou 6. Portanto: 
𝑈" = {1,2,3,4,5,6} 
ii) Jogue uma moeda e observe a face de cima. 
𝑈- = {𝐶𝑎𝑟𝑎, 𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎} 
Resumindo: ao efetuar um experimento aleatório, o primeiro passo consiste em descrever todos 
os resultados possíveis, ou seja, explicitar o conjunto de possíveis resultados e calcular o número 
de elementos que pertencem a ele. 
Este conjunto é chamado de Espaço Amostral. 
1.2. EVENTO 
 
Chamaremos de evento todo subconjunto do espaço amostral. Voltemos ao lançamento do dado. 
Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. 
𝑈" = {1,2,3,4,5,6} 
Por exemplo, o subconjunto 
𝐴 = {2,3,5} 
é o evento que acontece se o número mostrado na face de cima é um número primo. 
Vejamos outros eventos relativos a este espaço amostral. 
B: ocorrência de número menor que 5. 𝐵 = {1,2,3,4}. 
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C: ocorrência de número menor que 8. 𝐶 = {1,2,3,4,5,6} = 𝑈" 
D: ocorrência de número maior que 8. 𝐷 = ∅ (conjunto vazio). 
 
 
• Quando o evento é igual ao espaço amostral, dizemos que o evento é certo. 
• Quando o evento é igual ao conjunto vazio, dizemos que o evento é impossível. 
 
 
2. DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE (LAPLACE) 
 
Passemos agora à segunda etapa: calcular a probabilidade de um evento. Consideremos o caso do 
evento 𝐴 = {2,3,5} que vimos anteriormente. Como são 6 resultados possíveis no lançamento de 
um dado e são 3 números primos nas faces, intuitivamente percebemos que se repetimos o 
experimento um grande número de vezes obteremos um número primo em aproximadamente a 
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e) 0,52 
 
 
55. (ESAF 2005/ APO-MPOG) 
 
Há três moedas em um saco. Apenas uma delas é uma moeda normal, com “cara” em uma face e 
“coroa” na outra. As demais são moedas defeituosas. Uma delas tem “cara” em ambas as faces. A 
outra tem “coroa” em ambas as faces. Uma moeda é retirada do saco, ao acaso, e é colocada sobre 
a mesa sem que se veja qual a face que ficou voltada para baixo. Vê-se que a face voltada para 
cima é “cara”. Considerando todas estas informações, a probabilidade de que a face voltada para 
baixo seja “coroa” é igual a: 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 1/4 
d) 2/3 
e) 3/4 
 
56. (ESAF 2014/ MTUR) 
 Uma caixa contém 3 moedas de um real e 2 moedas de cinquenta centavos. 2 moedas serão 
retiradas dessa caixa ao acaso e obedecendo às condições: se a moeda retirada for de um real, 
então ela será devolvida à caixa e, se for de cinquenta centavos, não será devolvida à caixa. Logo, a 
probabilidade de pelo menos uma moeda ser de um real é igual a 
 
a) 80% 
b) 75% 
c) 90% 
d) 70% 
e) 85% 
 
57. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
 Com os dígitos 3, 4, 5, 7, 8 e 9 serão formadas centenas com dígitos distintos. Se uma centena for 
selecionada ao acaso, a probabilidade de ser menor do que 500 e par é 
 
a) 15% 
b) 10% 
c) 25% 
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d) 30% 
e) 20% 
 
 
58. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
Dois eventos, A e B, são ditos independentes quando: 
a) 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐵) 
b) 𝑃(𝐵|𝐴) = 1 − 𝑃(𝐵) 
c) 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) 
d) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0 
e) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) 
 
59. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
Dois eventos A e B são tais que: P(A) = 0,25; P(B/A) = 0,5; P(A | B) = 0,25. Assim, pode-se afirmar 
que: 
a) A e B são eventos dependentes. 
 
b) P(B) = 0,5 e os eventos são mutuamente exclusivos. 
 
c) P(B) = 0,25 e os eventos são independentes. 
 
d) P(B) = 0,5 e os eventos são independentes. 
 
e) P(A ∩ B) = 0 e os eventos são independentes. 
 
 
60. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
 Uma moeda não viciada é lançada 4 vezes. Assim, a probabilidade de se obter 2 caras é igual a: 
a) 1/16 
b) 1/4 
c) 3/16 
d) 3/8 
e) 1/2 
 
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61. (ESAF 2016/ ANAC) 
 
 Em um determinado município, 70% da população é favorável a um certo projeto. Se uma amostra 
aleatória de cinco pessoas dessa população for selecionada, então a probabilidade de exatamente 
três pessoas serem favoráveis ao projeto é igual a 
a) 40,58%. 
b) 35,79%. 
c) 42,37%. 
d) 30,87%. 
e) 37,46%. 
 
62. (ESAF 2016/ ANAC) 
 
Considere que, num determinado setor da ANAC, três pessoas, A, B e C, são responsáveis 
diariamente pelos relatórios das atividades desenvolvidas. Dos últimos 200 relatórios, A foi o 
responsável por 50, B foi responsável por 70 e C foi responsável por 80. Em 6% das vezes, o 
relatório de A apresenta algum tipo de erro, de B em 10% das vezes e de C em 5% das vezes. 
Seleciona-se ao acaso um relatório desses 200 e verifica-se que apresenta algum tipo de erro, 
então a probabilidade de ter sido elaborado por B é igual a 
a) 0,35. 
b) 0,30. 
c) 0,45. 
d) 0,40. 
e) 0,50. 
 
63. (ESAF 2016/ ANAC) 
 
Uma caixa contém seis bolas brancas e quatro pretas. Duas bolas serão retiradas dessa caixa, uma 
a uma e sem reposição, então a probabilidade de uma ser branca e a outra ser preta é igual a 
a) 4/15. 
b) 7/15. 
c) 2/15. 
d) 8/15. 
e) 11/15. 
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64. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
Quando Maria vai visitar sua família, a probabilidade de Maria encontrar sua filha Kátia é 0,25; a 
probabilidade de Maria encontrar seu primo Josino é igual a 0,30; a probabilidade de Maria 
encontrar ambos ─ Kátia e Josino ─ é igual a 0,05. Sabendo-se que, ao visitar sua família, Maria 
encontrou Kátia, então a probabilidade de ela ter encontrado Josino é igual a: 
a) 0,30 
b) 0,20
 
c) 0,075 
d) 0,1667 
e) 0,05 
 
65. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
Beto e Bóris são grandes amigos e moram em cidades diferentes. Durante uma viagem que 
realizaram ao Rio de Janeiro para participar de um congresso, Beto ficou devendo a Bóris 500 
dólares. Bóris, um rico empresário, disse a Beto que não se preocupasse com a dívida, pois assim 
teria um motivo para viajar até a cidade de Beto, tantas vezes quantas forem necessárias, para 
cobrar a dívida. Como Beto reside sozinho e costuma sair muito, Bóris só poderá cobrar a dívida se 
encontrar Beto em sua casa. Sabe-se que a probabilidade de Beto ser encontrado em casa é 1/5. 
Então, a probabilidade de Bóris ter de ir mais de 2 vezes à casa de Beto para cobrar a dívida é dada 
por: 
a) 1/8 
b) 4/25 
c) 9/25 
d) 3/16 
e) 16/25 
 
66. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
 O processo de produção de uma fábrica de copos está apresentando um grande número de copos 
defeituosos, ou seja: copos trincados. Antônio e Ricardo estão realizando um estudo para analisar 
a quantidade de copos trincados. Antônio embala em uma caixa 8 copos, dos quais 3 estão 
trincados. Ricardo retira, aleatoriamente, e sem reposição, 4 copos da caixa. Então, a 
probabilidade de Ricardo retirar, exatamente, dois copos trincados é igual a: 
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a) 3/5 
b) 12 
c) 3/7 
d) 2/5 
e) 2/7 
 
67. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
 Coruja e Pardal são dois jogadores do Futebol Clube Natureza, FCN. Talvez Coruja e Pardal não 
possam defender o FCN em sua próxima partida, contra seu temido adversário, o Futebol Clube 
Verde, FCV. A probabilidade de Coruja jogar é 40% e a de Pardal jogar é 70%. Com ambos os 
jogadores em campo, o FCN terá 60% de probabilidade de vencer o FCV. Mas se nem Coruja e nem 
Pardal jogarem, a probabilidade de vitória do FCN passa para 30%. No entanto, se Coruja jogar e 
Pardal não jogar, a probabilidade de o FCN vencer o FCV é de 50%. Se Pardal jogar e Coruja não 
jogar, essa probabilidade passa para 40%. Sabendo-se que o fato de Coruja jogar ou não é 
independente de Pardal jogar ou não, então a probabilidade de o FCN vencer seu temido 
adversário é igual a: 
 
a) 90% 
b) 45% 
c) 60% 
d) 30% 
e) 75% 
 
 
 
 
68. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
Em um clube, 5% dos homens e 2% das mulheres praticam basquete. Sabe-se que 40% dos 
frequentadores são mulheres. Selecionando-se, ao acaso, um frequentador desse clube, verificou-
se que ele pratica basquete. Assim, a probabilidade desse frequentador ser mulher é igual a: 
 
a) 4/15 
b) 4/19 
c) 23/45 
d) 6/19 
e) 4/21 
 
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69. (ESAF - Adaptada 2014/ MTUR) 
 
 Um dadoé lançado 12 vezes. Desse modo, a probabilidade de a face 6 aparecer 3 vezes, a face 5 
aparecer 2 vezes e a face 1 aparecer 4 vezes e as demais aparecerem uma vez é igual a: 
𝑎)
12!
5! 4! 3! �
1
6�
-�
 
𝑏)
12!
4! 3! 2! �
1
6�
"-
 
𝑐)
12!
4! 3! 2! �
1
6�
�"-
 
𝑑)
−12!
5! 4! 3! �
1
6�
"�
 
𝑎)
12!
5! 4! 3! �
1
6�
"-
 
 
70. (ESAF 2010/ SMF-RJ) 
 
Em cada um de um certo número par de cofres são colocadas uma moeda de ouro, uma de prata e 
uma de bronze. Em uma segunda etapa, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, é 
colocada uma moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de prata. Por fim, 
em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, coloca-se uma moeda de ouro, e em cada 
um dos cofres restantes, uma moeda de bronze. Desse modo, cada cofre ficou com cinco moedas. 
Ao se escolher um cofre ao acaso, qual é a probabilidade de ele conter três moedas de ouro? 
a) 0,15 
b) 0,20 
c) 0,5 
d) 0,25 
e) 0,7 
 
71. (ESAF 2016/ ANAC) 
 
Em um determinado aeroporto, podem ocorrer dois eventos A e B, em que o evento A é a 
ocorrência de mau tempo e o evento B é a ocorrência de cancelamento de voos. Estes dois eventos 
A e B possuem as seguintes probabilidades: P(A)=4/5 e P(B)=1/3. A partir destes dados, pede-se 
para determinar os limites de P(A ∩ B). 
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a) 1/5 ≤ P(A ∩ B) ≤ 1/4. 
 
b) 2/5 ≤ P(A ∩ B) ≤ 1/4. 
 
c) 1/15 ≤ P(A ∩ B) ≤ 1/3. 
 
d) 2/15 ≤ P(A ∩ B) ≤ 1/3. 
 
e) 1/5 ≤ P(A ∩ B) ≤ 1/3. 
 
72. (ESAF 2016/ ANAC) 
 
Há duas rotas para ir da cidade A para a cidade B, e duas outras rotas para ir da cidade B para a 
cidade C. Cada uma dessas quatro rotas pode estar bloqueada com probabilidade q, 
independentemente uma das outras. Determine a probabilidade de haver uma rota aberta da 
cidade A à cidade B dado que não há nenhuma rota aberta da cidade A para a cidade C. Essa 
probabilidade condicional pedida é representada por: 
 
P(A tem rota aberta até B | A não tem rota aberta até C) 
a) 𝑃(𝐴	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐵	|	𝐴	𝑛ã𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐶) = ("��)���
"�("��)���
 
b) 𝑃(𝐴	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐵	|	𝐴	𝑛ã𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐶) = �"������
"�("���)�
 
c) 𝑃(𝐴	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐵	|	𝐴	𝑛ã𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐶) = ("��)�
"�("��)�
 
d) 𝑃(𝐴	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐵	|	𝐴	𝑛ã𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐶) = ("��)��
"�("��)��
 
e) 𝑃(𝐴	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐵	|	𝐴	𝑛ã𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐶) = ("��)��
"�("��)�
 
 
 
73. (ESAF 2012/ MI-CENAD) 
 
 Se A e B são eventos independentes, então: 
a) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐵) 
b) 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴)/𝑃(𝐵), se 𝑃(𝐵) > 0. 
c) 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) 
d) 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)/𝑃(𝐴), se 𝑃(𝐴) > 0. 
e) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 
 
74. (ESAF 2015/ APO-MPOG) 
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 Um restaurante especializado em carnes recebe somente 3 tipos de clientes, a saber: os que 
gostam de carne de gado, os que gostam de carne de javali e os que gostam de carne de jacaré. 
Desses clientes que frequentam o restaurante, 50% deles gostam de carne de gado, 40% gostam 
de carne de javali e 10% gostam de carne de jacaré. Por outro lado, dos clientes que gostam de 
carne de gado, 80% das vezes que vão ao restaurante eles bebem cerveja; dos clientes que gostam 
de carne de javali, 90% das vezes que vão ao restaurante, eles bebem cerveja; dos clientes que 
gostam de carne de jacaré, 95% das vezes que vão ao restaurante, eles bebem cerveja. Um cliente, 
ao sair do restaurante, informa que não bebeu cerveja. Assim, a probabilidade de que ele goste de 
carne de javali é igual a: 
a) 8/29 
b) 1/5 
c) 45/47 
d) 7/8 
e) 25/32 
 
75. (ESAF 2014/ ATA-MF) 
 
Considere que há três formas de Ana ir para o trabalho: de carro, de ônibus e de bicicleta. Em 20% 
das vezes ela vai de carro, em 30% das vezes de ônibus e em 50% das vezes de bicicleta. Do total 
das idas de carro, Ana chega atrasada em 15% delas, das idas de ônibus, chega atrasada em 10% 
delas e, quando vai de bicicleta, chega atrasada em 8% delas. Sabendo-se que um determinado dia 
Ana chegou atrasada ao trabalho, a probabilidade de ter ido de carro é igual a: 
a) 20% 
b) 40% 
c) 60% 
d) 50% 
e) 30% 
 
76. (ESAF 2012/ MI-CENAD) 
 
O diagnóstico para uma grave doença que atinge 20% da população adulta em determinada região 
é feito por um invasivo exame que produz resultado positivo ou negativo. Pesquisas mostraram 
que esse exame produz um resultado falso positivo em 10% dos casos e produz um resultado falso 
negativo em 40% dos casos. Se uma pessoa adulta desta região fizer o exame e o resultado for 
negativo, indique qual a probabilidade de essa pessoa ter a doença. 
a) 20% 
b) 15% 
c) 10% 
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d) 5% 
e) 0% 
 
77. (ESAF 2010/ SUSEP) 
 
Admita que a probabilidade de uma pessoa de um particular grupo genético ter uma determinada 
doença é de 30%. Um custoso e invasivo exame para diagnóstico específico dessa doença tem uma 
probabilidade de um resultado falso positivo de 10% e de um resultado falso negativo de 30%. 
Considerando que uma pessoa desse grupo genético com suspeita da doença fez o referido exame, 
qual a probabilidade dela ter a doença dado que o resultado do exame foi negativo? 
a) 30%. 
b) 7,5%. 
c) 25%. 
d) 15%. 
e) 12,5%. 
 
78. (ESAF 2012/ MI-CENAD) 
 
Uma turma de uma escola de primeiro grau tem 30 alunos, dos quais 20 são meninas e 10 são 
meninos. Ao se escolher ao acaso três alunos da turma, sem reposição, qual a probabilidade de 
exatamente 2 dos 3 alunos escolhidos serem meninas? 
a) 1/2
 
b) 12/27 
c) 45/91 
d) 95/203 
e) 2/3 
 
79. (ESAF 2012/ MPOG) 
 
O porta-joias de Ana é formado por duas gavetas: a gaveta A e a gaveta B. Na gaveta A, Ana guarda 
1 colar de pérolas e 2 pulseiras de ouro. Na gaveta B, Ana guarda 2 colares de pérolas e 1 pulseira 
de ouro. Ana, ao arrumar as gavetas, retira aleatoriamente uma joia da gaveta A e a coloca na 
gaveta B, misturando-a com as joias que já estavam na gaveta B. Beatriz, amiga íntima de Ana, 
pede uma joia emprestada para ir a uma festa. Ana, com satisfação, diz para Beatriz retirar, 
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aleatoriamente, uma joia da gaveta B. Desse modo, a probabilidade de Beatriz retirar uma pulseira 
de ouro da gaveta B é igual a: 
 
a) 2/3 
b) 7/12 
c) 5/12 
d) 3/5 
e) 1/4 
 
 
80. (ESAF 2012/ MPOG) 
 
Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então pode-se afirmar que: 
a) A e B são eventos independentes. 
b) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 
c) 𝑃(𝐵|𝐴) ≠ 0 
d) 𝑃(𝐴|𝐵) ≠ 0 
e) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0 
 
81. (ESAF 2012/ MPOG) 
 
 Uma moeda é dita não viciada quando a probabilidade de ocorrer cara for igual à probabilidade de 
ocorrer coroa. Assim, lançando-se 6 vezes uma moeda não viciada,a probabilidade de se obter 
exatamente 5 caras é igual a: 
 
a) 3/32 
b) 1/64 
c) 3/64 
d) 1/32 
e) 5/32 
 
82. (ESAF 2013/ AFC-STN) 
 
Com relação à teoria da Probabilidade, pode-se afirmar que: 
a) se A e B são eventos independentes, então 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵). 
b) se A, B e C são eventos quaisquer com 𝑃(𝐶) ≠ 0, então 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵|𝐶) = 𝑃(𝐴|𝐶) + 𝑃(𝐵|𝐶). 
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c) a definição frequentista de probabilidade é fundamentada na ideia de repetição do 
experimento. 
d) A, B e C são eventos independentes se, e somente se, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶). 
e) 𝑃(𝐴) + 𝑃(	𝐴	YYY) = 0 
 
83. (ESAF 2009/ ATRFB) 
 
Três amigas participam de um campeonato de arco e flecha. Em cada tiro, a primeira das amigas 
tem uma probabilidade de acertar o alvo de 3/5, a segunda tem uma probabilidade de acertar o 
alvo de 5/6, e a terceira tem uma probabilidade de acertar o alvo de 2/3. Se cada uma das amigas 
der um tiro de maneira independente dos tiros das outras duas, qual a probabilidade de pelo 
menos dois dos três tiros acertarem o alvo? 
 
a) 90/100 
b) 50/100 
c) 71/100 
d) 71/90 
e) 60/90 
 
 
84. (ESAF 2008/ APO-MPOG) 
 
Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas. Retirando-se, aleatoriamente, três 
bolas sem reposição, a probabilidade de se obter todas da mesma cor é igual a: 
a) 1/10 
b) 8/5 
c) 11/120 
d) 11/720 
e) 41/360 
 
85. (ESAF 2008/ AFC-CGU) 
 
 Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais 
especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando-se, ao acaso, três desses 
profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais 
sorteados serem do mesmo sexo é igual a: 
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a) 0,10 
b) 0,12 
c) 0,15 
d) 0,20 
e) 0,24 
 
86. (ESAF 2008/ AFC-CGU) 
 
Uma população de indivíduos é constituída 80% por um tipo genético A e 20% por uma variação 
genética B. A probabilidade de um indivíduo do tipo A ter determinada doença é de 5%, enquanto 
a probabilidade de um indivíduo com a variação B ter a doença é de 40%. Dado que um indivíduo 
tem a doença, qual a probabilidade de ele ser da variação genética B? 
a) 1/3. 
b) 0,4. 
c) 0,5. 
d) 0,6. 
e) 2/3. 
 
87. (ESAF 2010/ SUSEP) 
 
Considere um grupo de 15 pessoas dos quais 5 são estrangeiros. Ao se escolher ao acaso 3 pessoas 
do grupo, sem reposição, qual a probabilidade de exatamente uma das três pessoas escolhidas ser 
um estrangeiro? 
a) 45/91. 
b) 1/3.
 
c) 4/9. 
d) 2/9. 
e) 42/81. 
 
88. (ESAF 2002/ SUSEP) 
 
 Uma em cada 10 pessoas de uma população tem uma determinada doença. Das pessoas que têm 
a doença, 80% reagem positivamente ao teste Y, enquanto 20% dos que não têm a doença 
também reagem positivamente. Uma pessoa é selecionada ao acaso na população e o teste Y é 
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aplicado. Assinale a opção que corresponde à probabilidade de que a pessoa selecionada não 
esteja realmente doente, sabendo-se que reagiu positivamente ao teste Y. 
a) 16,0% 
b) 28,0% 
c) 95,0% 
d) 69,2% 
e) 40,0% 
 
89. (ESAF 2005/ AFRE-MG) 
 
Ana precisa chegar ao aeroporto para buscar uma amiga. Ela pode escolher dois trajetos, A ou B. 
Devido ao intenso tráfego, se Ana escolher o trajeto A, existe uma probabilidade de 0,4 de ela se 
atrasar. Se Ana escolher o trajeto B, essa probabilidade passa para 0,30. As probabilidades de Ana 
escolher os trajetos A ou B são, respectivamente, 0,6 e 0,4. Sabendo-se que Ana não se atrasou, 
então a probabilidade de ela ter escolhido o trajeto B é igual a: 
a) 6/25 
b) 6/13 
c) 7/13 
d) 7/25 
e) 7/16 
 
 
 
 
90. (ESAF 2005/ GEFAZ – MG) 
 
 Em uma caixa há oito bolas brancas e duas azuis. Retira-se, ao acaso, uma bola da caixa. Após, sem 
haver recolocado a primeira bola na caixa, retira-se, também ao acaso, uma segunda bola. Verifica-
se que essa segunda bola é azul. Dado que essa segunda bola é azul, a probabilidade de que a 
primeira bola extraída seja também azul é: 
 
a) 1/3 
b) 2/9 
c) 1/9 
d) 2/10 
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e) 3/10 
 
 
91. (ESAF 2008/ AFC-STN) 
 
 Marco estuda em uma universidade na qual, entre as moças de cabelos loiros, 18 possuem olhos 
azuis e 8 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos pretos, 9 possuem olhos azuis e 9 
possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos ruivos, 4 possuem olhos azuis e 2 possuem 
olhos castanhos. Marisa seleciona aleatoriamente uma dessas moças para apresentar para seu 
amigo Marco. Ao encontrar com Marco, Marisa informa que a moça selecionada possui olhos 
castanhos. Com essa informação, Marco conclui que a probabilidade de a moça possuir cabelos 
loiros ou ruivos é igual a: 
a) 0 
b) 10/19 
c) 19/50 
d) 10/50 
e) 19/31 
 
92. (ESAF 2012/ ATPS-MPOG) 
 
Do total de moradores de um condomínio, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais do que 40 
anos. Por outro lado, 60% dos moradores são homens. Em uma festa de final de ano realizada 
neste condomínio, um morador foi selecionado ao acaso e premiado com uma cesta de frutas. 
Sabendo-se que o morador que ganhou a cesta de frutas tem mais do que 40 anos, então a 
probabilidade de que este morador seja mulher é igual a: 
 
a) 3/7 
b) 8/15 
c) 3/15 
d) 1/30 
e) 4/19 
 
93. (ESAF 2013/ EPPGG-MPOG) 
 
 Um jogo consiste em jogar uma moeda viciada cuja probabilidade de ocorrer coroa é igual a 1/6. 
Se ocorrer cara, seleciona-se, ao acaso, um número z do conjunto Z dado pelo intervalo {z ∈ N | 7 ≤ 
z ≤ 11}. Se ocorrer coroa, seleciona-se, ao acaso, um número p do intervalo P = {p ∈ N | 1 ≤ p3/512. 
c) 4/128. 
d) 3/64. 
e) 1/64. 
 
 
 
95. (ESAF 2010/ APO-MPOG) 
 
 As apostas na Mega-Sena consistem na escolha de 6 a 15 números distintos, de 1 a 60, marcados 
em volante próprio. No caso da escolha de 6 números tem-se a aposta mínima e no caso da 
escolha de 15 números tem-se a aposta máxima. Como ganha na Mega-sena quem acerta todos os 
seis números sorteados, o valor mais próximo da probabilidade de um apostador ganhar na Mega-
sena ao fazer a aposta máxima é o inverso de: 
a) 20.000.000. 
b) 3.300.000. 
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c) 330.000.
 
d) 100.000. 
e) 10.000. 
 
96. (ESAF 2009/ ATA-MF) 
 
Ao se jogar um dado honesto três vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de o número 
1 sair exatamente uma vez? 
a) 35% 
b) 17% 
c) 7% 
d) 42% 
e) 58% 
 
97. (ESAF 2012/ AFC-CGU) 
 
Considere um órgão público com 30 técnicos, sendo 20 homens e 10 mulheres. Ao se escolher 
aleatoriamente, sem reposição, quatro técnicos para se formar uma comissão, sendo Cn,k o número 
de combinações de n elementos tomados k a k, qual o valor mais próximo da probabilidade da 
comissão ser formada exatamente por duas mulheres e dois homens? 
a) 𝐶�,- ∙ (1/3	)- ∙ (2/3	)- 
b) 𝐶�,- ∙ (20 × 19 × 10 × 9)/(30 × 29 × 28 × 27) 
c) 𝐶�,� ∙ (20 × 19 × 10 × 9)/(30 × 29 × 28 × 27) 
d) 𝐶�,� ∙ (1/3	)- ∙ (2/3	)- 
e) 𝐶�,� ∙ (2/9	)- 
98. (ESAF 2012/ ATRFB) 
 
 O Ministério da Fazenda pretende selecionar ao acaso 3 analistas para executar um trabalho na 
área de tributos. Esses 3 analistas serão selecionados de um grupo composto por 6 homens e 4 
mulheres. A probabilidade de os 3 analistas serem do mesmo sexo é igual a 
a) 40%. 
b) 50%. 
c) 30%. 
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d) 20%. 
e) 60%. 
 
99. (ESAF 2012/ ATA-MF) 
 
 Sorteando-se um número de uma lista de 1 a 100, qual a probabilidade de o número ser divisível 
por 3 ou por 8? 
 
a) 41% 
b) 44% 
c) 42% 
d) 45% 
e) 43% 
 
100. (ESAF 2012/ ATA-MF) 
 
Uma caixa contém 3 bolas brancas e 2 pretas. Duas bolas serão retiradas dessa caixa, uma a uma e 
sem reposição, qual a probabilidade de serem da mesma cor? 
 
a) 55% 
b) 50% 
c) 40% 
d) 45% 
e) 35% 
 
 
 
 
101. (ESAF 2013/ DNIT) 
 
 Para efetuar um determinado trabalho, 3 servidores do DNIT serão selecionados ao acaso de um 
grupo com 4 homens e 2 mulheres. A probabilidade de serem selecionados 2 homens e 1 mulher é 
igual a: 
 
a) 55% 
b) 40% 
c) 60% 
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d) 45% 
e) 50% 
 
 
102. (FCC 2016/ Pref. de Campinas) 
 
Em um sorteio de prêmios na festa de funcionários de uma empresa, serão sorteadas 10 bicicletas. 
O número de participantes nesse sorteio é de 60 pessoas. Quando uma pessoa é sorteada seu 
nome é retirado da lista para os sorteios seguintes. Foram sorteadas 9 bicicletas e nenhuma 
pessoa do setor de informática havia sido sorteada. Sabendo que esse setor estava representado 
por 17 pessoas, a probabilidade de uma dessas pessoas ganhar a última bicicleta é igual a 
a) 17% 
b) 3/5 
c) 25% 
d) 1/4 
e) 1/3 
 
103. (FCC 2017/ ARTESP) 
 
 Em um trecho de pedágio de uma rodovia no interior do Estado passam, pelas cabines, um total 
de 2.300 carretas de dois e três eixos, onde 1.725 são carretas de dois eixos. A probabilidade de 
passar uma carreta de três eixos pelas cabines é de 
 
(A) 30%. 
(B) 20%. 
(C) 33%. 
(D) 15%. 
(E) 25%. 
 
104. (FCC 2016/ TRT 20ª Região) 
 
A tabela a seguir apresenta a distribuição de frequências conjunta das variáveis salário e tempo de 
serviço, relativas a um grupo de 200 funcionários de um órgão público. A variável salário está 
representada por faixas de salário em número de salários mínimos (SM) e a variável tempo de 
serviço foi classificada por faixas de tempo em anos. 
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Um funcionário desse grupo será selecionado ao acaso. A probabilidade dele ganhar, pelo menos, 
11 salários mínimos, dado que ele trabalha há menos de 10 anos no órgão público, é igual a 
 
(A) 1/8 
(B) 5/24 
(C) 5/12 
(D) 3/5 
(E) 7/12 
 
105. (FCC 2016/ TRT 20ª Região) 
 
 A tabela a seguir apresenta a distribuição de frequências conjunta das variáveis salário e tempo de 
serviço, relativas a um grupo de 200 funcionários de um órgão público. A variável salário está 
representada por faixas de salário em número de salários mínimos (SM) e a variável tempo de 
serviço foi classificada por faixas de tempo em anos. 
 
Cinco funcionários serão selecionados ao acaso e com reposição desse grupo. A probabilidade de 
que, nesse grupo de cinco, três funcionários tenham menos do que 5 anos de serviço e que dois 
funcionários tenham, pelo menos, 10 anos de serviço é igual a 
 
(A) 0,1080 
(B) 0,0864 
(C) 0,0536 
(D) 0,0432 
(E) 0,1236 
 
106. (FCC 2016/ CREMESP) 
 
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Em dezembro serão vistoriados 10 estabelecimentos de saúde, sendo 2 hospitais, 1 pronto-
socorro, 3 ambulatórios e 4 postos de saúde. Sorteando-se ao acaso a ordem de visita dos 10 
estabelecimentos, a probabilidade de que os dois primeiros sejam postos de saúde é igual a 
a) 2/15 
b) 4/25 
c) 2/25 
d) 3/20 
e) 3/25 
 
107. (FCC 2017/ SABESP) 
 
Ao alugar um apartamento de temporada, Alex recebeu um molho com 12 chaves. Todas as chaves 
eram muito parecidas, mas apenas uma abria a porta de entrada do apartamento. Considere que 
ao fazer uma tentativa frustrada de abrir a porta com uma chave, Alex retira essa chave do molho 
para evitar tentar novamente com ela. 
A probabilidade de Alex abrir a porta de entrada do apartamento exatamente na quarta tentativa é 
igual a 
a) 4/3 
b) 1/4 
c) 1/6 
d) 1/12 
e) 3/4 
 
108. (FGV 2016/ IBGE) 
 
Raíza e Diego resolvem disputar um jogo em que cada um deles lança uma moeda honesta de 
forma independente e simultânea. Ela será vencedora no caso de dois resultados iguais, e ele, de 
dois diferentes. As probabilidades de vitória dela e dele são, respectivamente, iguais a: 
(A) 2/3 e 1/3; 
(B) 1/4 e 3/4; 
(C) 1/3 e 2/3; 
(D) 1/2 e 1/2; 
(E) 3/4 e 1/4. 
109. (FGV 2016/ IBGE) 
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Suponha que, de um baralho normal, contendo 52 cartas de quatro naipes, é extraído, sem 
reposição e aleatoriamente, um total de quatro cartas. Se a carta “Ás” é equivalente a uma figura 
(ou seja, são 4 figuras e 9 números de cada naipe), é correto afirmar quea probabilidade de que 
todas sejam: 
a) do mesmo naipe é igual a (13/52).(12/51).(11/50).(10/49). 
b) figuras é igual a (10/52).(9/51).(8/50).(7/49). 
c) do mesmo número é igual a (4/52).(3/51).(2/50).(1/49). 
d) números é igual a (36/52).(35/51).(34/50).(33/49). 
e) de naipes diferentes é igual a 4.(16/52).(12/51).(8/50).(4/49). 
110. (FGV 2017/ IBGE) 
 
Entre os cinco números 2, 3, 4, 5 e 6, dois deles são escolhidos ao acaso e o produto deles dois é 
calculado.
A probabilidade desse produto ser um número par é: 
a) 60%; 
b) 75%; 
c) 80%; 
d) 85%; 
e) 90%. 
111. (FGV 2017/ IBGE) 
 
 A probabilidade de um determinado aluno acertar cada uma das duas últimas questões de uma 
determinada prova é 70%.
Acertar ou errar cada uma das questões são eventos independentes. 
A probabilidade desse aluno errar as duas referidas questões: 
a) é menor que 10%;
 
b) está entre 10% e 20%;
 
c) está entre 20% e 30%; 
d) está entre 30% e 50%; 
e) é maior que 50%. 
 
112. (FGV 2018/ AFTE-SEFIN-RO) 
 
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Dois eventos A e B têm probabilidades iguais a 70% e 80%. Os valores mínimo e máximo da 
probabilidade da interseção de A e B são 
a) 20% e 50%. 
b) 20% e 70%. 
c) 50% e 70%. 
d) 0% e 70%. 
e) 30% e 50%. 
 
113. (FGV 2018/ AFTE-SEFIN-RO) 
 
Um dado é lançado quatro vezes. A probabilidade de que o número ‘6’ seja obtido ao menos duas 
vezes é, aproximadamente, igual a 
a) 0,05 
b) 0,13 
c) 0,25 
d) 0,40 
e) 0,50 
 
114. (FGV 2016/ IBGE) 
 
 Existem duas medidas de probabilidade, frequentemente empregadas, que apropriam dois 
conceitos bem distintos, o conceito clássico e o conceito frequencial. Entre as principais diferenças 
está o fato de que: 
(A) o clássico se aplica no caso de experimentos com espaço amostral não enumerável e o 
conceito frequencial não; 
 
(B) o segundo pode ser empregado observando-se apenas as condições iniciais do experimento 
aleatório; 
 
(C) para espaços amostrais finitos, a medida pelo conceito frequencial é determinada de forma 
única, com valor fixo; 
 
(D) mesmo que o experimento seja não aleatório, o conceito 
frequencial é aplicável, sendo mais 
preciso quanto maior for a 
amostra; 
 
(E) o conceito clássico utiliza, em muitos casos, técnicas de 
contagem para o cálculo das 
probabilidades. 
 
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115. (FGV 2016/ IBGE) 
 
A teoria das probabilidades está apoiada em um conjunto de três axiomas, atribuídos a 
Kolmogorov. Sendo S o espaço amostral, A e B dois eventos, Ø do vazio e P(.) a medida de 
probabilidade, os axiomas estabelecem que: 
a) 𝑃(𝑆) = 1, 𝑃(𝐴) ≥ 0	𝑒	𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 
b) 𝑃(𝜙) = 0, 𝑃(𝐴) ≤ 1	𝑒	𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 
c) 𝑃(𝐴) ≥ 0; 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴r)	𝑒	𝑃 = 1, 𝐴r = 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟	𝑑𝑒	𝐴 
d) 𝑃(𝐴) ≥ 0; 𝑃(𝑆) = 1	𝑒	𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)	𝑐𝑜𝑚	𝐴 ∩ 𝐵 = 𝜙 
e) 𝑃(𝐴) ≤ 1; 𝑃(𝑆) = 1	𝑒	𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
 
116. (FGV 2016/ IBGE) 
 
 Considere os eventos A e B quaisquer de um mesmo espaço amostral S de um experimento 
aleatório ɛ. Caso P(A) = 0,40 então é possível supor que: 
a) P(B) = 0,7 e P(A U B) = 0.8, se A e B forem independentes; 
b) P(B) = 0,8, se A e B forem mutuamente exclusivos;
 
c) P(B) = 0,6 e P(A U B) = 0.76, se A e B forem independentes; 
d) P(A U B) = 0,3, se A e B forem mutuamente exclusivos; 
e) P(B) = 0,7 e P(A∩B) = 0.30, se A e B forem independentes. 
 
117. (FGV 2017/ SEPOG-RO) 
 
Para uma premiação, dois funcionários de uma empresa serão sorteados aleatoriamente entre 
quatro candidatos: dois do departamento A e dois do departamento B. A probabilidade de os dois 
funcionários sorteados pertencerem ao mesmo departamento é 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 1/4 
d) 1/6 
e) 3/4 
 
118. (FGV 2016/ MPE-RJ) 
 
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 A figura abaixo mostra uma mesa retangular com 5 cadeiras representadas pelos quadradinhos 
pretos. 
 
Um casal com seus três filhos ocuparão esses cinco lugares e o lugar de cada um será decidido por 
sorteio. A probabilidade de que o casal fique junto, ou seja, um ao lado do outro em uma das 
laterais da mesa é: 
a) 10%; 
b) 20%; 
c) 30%; 
d) 40%; 
e) 50%. 
 
119. (FGV 2016/ IBGE) 
 
 Sobre os eventos mutuamente exclusivos e/ou independentes de um mesmo espaço amostral S, a 
partir de um experimento aleatório ɛ é correto afirmar que: 
(A) se dois eventos são mutuamente exclusivos, então também 
serão independentes; 
 
(B) se dois eventos são independentes, então também serão 
mutuamente exclusivos; 
 
(C) um evento qualquer não pode ser independente de si 
mesmo; 
 
(D) se dois eventos são mutuamente exclusivos, então certamente não poderão ser 
independentes;
 
(E) se dois eventos são independentes, então é possível que sejam mutuamente exclusivos. 
 
 
120. (FGV 2016/ IBGE) 
 
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A presente prova de estatística está sendo aplicada a uma população de candidatos composta por 
70% de indivíduos bem preparados, 20% de medianos e 10% de insuficientes. Os mais aptos têm 
probabilidade de 80% de acertar qualquer questão, sendo essa probabilidade 25% menor no caso 
dos medianos e outros 50% menor no caso dos insuficientes, com relação aos medianos. Um 
candidato é escolhido ao acaso. A probabilidade de que ele acerte determinada questão é de: 
a) 0,34 
b) 0,54; 
c) 0,66; 
d) 0,71; 
e) 0,83. 
 
121. (FGV 2016/ IBGE) 
 
Suponha que, por coincidência, as 12 pessoas que estão numa sala de espera, aguardando por uma 
chamada, nasceram todas no mês de agosto. Então a probabilidade de que não haja sequer uma 
coincidência entre os dias do mês de nascimento é de: 
𝑎)
31!
19! (31)"- 
𝑏)
31!
(31)"- 
𝑐)
31!
12! (31)"- 
𝑑)
31!
19! 12! 
𝑒)
30!
12! (30)"- 
 
122. (FGV 2016/ IBGE) 
 
Um experimento é realizado a partir de três urnas, contendo bolas brancas e pretas com a seguinte 
composição: 
Urna I = 3 Brancas e 4 Pretas
 
Urna II = 5 Brancas e 3 Pretas
 
Urna III = 2 Brancas e 3 Pretas
 
A realização consiste em, a partir da Urna III, sortear uma bola e colocar na Urna I, caso seja 
branca, ou na Urna II caso seja preta. Em seguida é escolhida, aleatoriamente, uma bola da urna 
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que foi abastecida. Se ao final do experimento a bola sorteada foi branca, a probabilidade de que a 
primeira bola sorteada tenha sido preta é igual a: 
a) 3/5; 
b) 3/8; 
c) 5/8; 
d) 7/15; 
e) 8/15. 
 
123. (FGV 2016/ IBGE) 
 
A microcefalia tem, em síntese, duas causas, a contaminação pelo zika vírus, transmitido pelo 
aedes aegypti, além de um conjunto de outras origens. Entre a populaçãofeminina de grávidas, 
sabe-se que 5% foi picada pelo mosquito, enquanto 10% está sujeita as outras origens, não 
havendo interseção entre esses dois grupos. O desenvolvimento da doença não é certo, 
acontecendo em 80% das picadas do mosquito e em 30% na eventualidade das outras origens. 
Se uma mulher, sorteada aleatoriamente entre as grávidas, carrega um feto que apresenta o 
problema, a probabilidade de que ela NÃO tenha sido picada pelo mosquito é de: 
a) 3%; 
b) 7%; 
c) 3/4; 
d) 3/7; 
e) 4/7. 
124. (FGV 2016/ Pref. de Paulínia-SP) 
 
Em um Departamento de Matemática trabalham seis professores, cada um com uma 
especialidade. Dois são especialistas em Álgebra, dois são especialistas em Geometria e os outros 
dois em Trigonometria. 
Sorteando três professores, a probabilidade de que sejam todos de especialidades diferentes é 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 2/5 
d) 3/8 
e) 3/10 
 
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125. (FGV 2016/ Pref. de Paulínia) 
 
Os times A e B vão disputar as finais de um campeonato de basquete. Os jogos de basquete não 
podem terminar empatados, tem que haver um vencedor. Admita que as probabilidades dos times 
A e B vencerem cada jogo são iguais, isto é, 1/2 cada um. As finais serão disputadas em até dois 
jogos. De acordo com o regulamento do campeonato, devido ao melhor desempenho até o 
momento, ao time A basta vencer um jogo das finais para ser campeão. Já o time B para ser 
campeão tem que vencer os dois jogos das finais. 
A probabilidade do time A ser campeão é 
a) 1/2 
b) 2/3 
c) 3/4 
d) 3/5 
e) 4/5 
 
126. (FGV 2016/ Oficial de Chancelaria – MRE ) 
 
 Em uma urna há quinze bolas iguais numeradas de 1 a 15. Retiram-se aleatoriamente, em 
sequência e sem reposição, duas bolas da urna.
A probabilidade de que o número da segunda bola 
retirada da urna seja par é: 
a) 1/2 
b) 3/7 
c) 4/7 
d) 7/15 
e) 8/15 
127. (FGV 2016/ IBGE) 
 
Cinco pessoas estão sentadas em cinco cadeiras em linha, cada uma com uma moeda na mão. As 
moedas são todas bem equilibradas, de modo que a probabilidade de sair cara ou coroa em cada 
uma delas é 1/2. Em um determinado momento, as cinco pessoas jogam suas respectivas moedas. 
Aquelas que obtiverem cara continuam sentadas, e as que obtiverem coroa levantam-se. Após 
esse procedimento, a probabilidade de que NÃO haja duas pessoas adjacentes, ambas sentadas ou 
ambas de pé, é de: 
a) 1/2 
b) 1/8 
c) 1/16 
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d) 3/32 
e) 5/32 
 
128. (FCC 2017/ TRT 11ª Região) 
 
Um determinado órgão público recebe mensalmente processos que devem ser analisados por 2 
analistas: A e B. Sabe-se que esses dois analistas recebem a mesma proporção de processos para a 
análise. Sabe-se que 20% de todos os processos encaminhados para A são analisados no mês de 
recebimento e que 10% são indeferidos. Sabe-se também que 40% dos processos encaminhados 
para B são analisados no mês de recebimento e que 20% são indeferidos. 
Um processo recebido em determinado mês é selecionado ao acaso. A probabilidade de ele ser 
deferido naquele mesmo mês é igual a 
(A) 0,245 
(B) 0,350 
(C) 0,500 
(D) 0,420 
(E) 0,250 
 
129. (FCC 2017/ TRT 11ª Região) 
 
 Um determinado órgão público recebe mensalmente processos que devem ser analisados por 2 
analistas: A e B. Sabe-se que esses dois analistas recebem a mesma proporção de processos para a 
análise. Sabe-se que 20% de todos os processos encaminhados para A são analisados no mês de 
recebimento e que 10% são indeferidos. Sabe-se também que 40% dos processos encaminhados 
para B são analisados no mês de recebimento e que 20% são indeferidos. 
Cinco processos são selecionados ao acaso e com reposição em um determinado mês. A 
probabilidade de exatamente 2 não serem analisados no mês de recebimento é igual a 
(A) 0,1323 
(B) 0,2312 
(C) 0,3087 
(D) 0,2554 
(E) 0,1215 
 
130. (FCC 2017/ TRT 11ª Região) 
 
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Um determinado órgão público recebe mensalmente processos que devem ser analisados por 2 
analistas: A e B. Sabe-se que esses dois analistas recebem a mesma proporção de processos para a 
análise. Sabe-se que 20% de todos os processos encaminhados para A são analisados no mês de 
recebimento e que 10% são indeferidos. Sabe-se também que 40% dos processos encaminhados 
para B são analisados no mês de recebimento e que 20% são indeferidos. 
Sabe-se que um processo analisado no mês de recebimento foi indeferido. A probabilidade de ele 
ter sido encaminhado para A é igual a 
(A) 0,15 
(B) 0,75 
(C) 0,25 
(D) 0,30 
(E) 0,20 
 
131. (FCC 2016/ SEFAZ-MA) 
 
Considere a descrição de sistemas de senhas abaixo. 
- Cada senha, do sistema de senhas J, é formada por duas letras dentre as 10 primeiras letras do 
alfabeto seguidas de três algarismos ímpares. 
 
- Cada senha, do sistema de senhas K, é formada por três letras vogais seguidas de dois algarismos 
diferentes. 
 
- Cada senha, do sistema de senhas L, é formada por uma letra dentre as dez primeiras consoantes, 
seguida por duas letras vogais diferentes e ainda seguidas por dois algarismos diferentes dentre os 
oito primeiros algarismos. 
A senha de um computador foi criada utilizando-se o sistema J. Alguém que tentar descobrir essa 
senha por meio de 250 tentativas diferentes, tem uma probabilidade de acerto de 
 
(A) 0,02% 
(B) 20% 
(C) 2% 
(D) 0,2% 
(E) 2,5% 
 
 
 
132. (FCC 2015/ DPE-SP) 
 
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A e B são eventos de um mesmo espaço amostral. Relativamente a A e B sabe-se que: 
I. a probabilidade de A ocorrer é igual a 1/4; 
 
II. a probabilidade de B ocorrer é igual a 3/5; 
 
III. a probabilidade de que A não ocorra e de que B não ocorra é igual a 1/5. 
 
Nessas condições, a probabilidade condicional de B dado A, denotada por P(B|A), é igual a (A) 2/5. 
(B) 1/4. 
(C) 1/6. 
(D) 3/5. 
(E) 1/5. 
 
133. (FCC 2016/ CNMP) 
 
A probabilidade de uma criança no ano A e da faixa etária B, contrair coqueluche é 0,2% se ela for 
vacinada e 1% se ela não for vacinada. Sabe-se que 90% da população de crianças no ano A e da 
faixa etária B foram vacinadas. Se uma criança, da faixa etária e do ano citados contrair 
coqueluche, a probabilidade de ela ter sido vacinada é igual a 
 
a) 9/14 
b) 11/8 
c) 9/28 
d) 5/14 
e) 10/28 
 
134. (FCC 2016/ CNMP) 
 
Uma montadora fabrica veículos 1.0 nas cores prata, preta, vermelha e branca. Suponha que dos 
veículos 1.0 produzidos, 40%, 30%, 20% e 10%, respectivamente, sejam nas cores prata, preta, 
vermelha e branca. Seleciona-se, ao acaso e com reposição, 6 compradores de tais veículos. A 
probabilidade de, nessa amostra, respectivamente, 2, 2, 1 e 1, compradores terem escolhido as 
cores prata, preta, vermelha e branca, é, em %, dada por 
 
(A) 2,534. 
(B) 5,184. 
(C) 3,258. 
(D) 8,450. 
(E) 6,820. 
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135. (FGV 2016/ IBGE) 
 
 Em um jogo de azar disputado por dois indivíduos, através de uma sequência de rodadas, vencerá 
aquele que ganhar, antes do que o outro, uma das rodadas. A chance de que cada um vença 
qualquer rodada é de 2/9 e 1/3. Assim a probabilidade de que cada jogador vença o jogo, são 
respectivamente: 
a) 2/9 e 1/3 
b) 4/9 e 5/9 
c) 2/5 e 3/5 
d) 5/9 e 4/9 
e) 3/5 e 2/5 
 
136. (CESPE-UnB 2017/ Pref. de São Luís) 
 
Em um jogo de azar, dois jogadores lançam uma moeda honesta, alternadamente, até que um 
deles obtenha o resultado cara. O jogador que detiver esse resultado será o vencedor. A 
probabilidade de o primeiro jogador vencer o jogo em algum de seus arremessos é 
 a) igual a 50%. 
b) superior a 50% e inferior a 55%. 
 
c) superior a 55% e inferior a 60%. 
 
d) superior a 60% e inferior a 65%. 
 
e) superior a 65%. 
 
137. (CESGRANRIO 2009/ BNDES) 
 
Em um dado com seis faces numeradas de 1 a 6, a probabilidade de que cada um dos resultados 
ocorra é a mesma. Esse dado será lançado até que se obtenha o resultado 6. A probabilidade de 
que isso aconteça em, no máximo, 2 lançamentos é 
a) 1/36 
b) 5/36 
c) 6/36 
d) 7/36 
e) 11/36 
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138. (VUNESP 2014/ DESENVOLVE-SP) 
 
Se P(A) e P(B) são as probabilidades dos eventos A e B, respectivamente, pode-se dizer que P(A ou 
B) = P(A) + P(B) 
(A) sempre. 
 
(B) quando A e B forem eventos independentes. 
 
(C) quando A e B forem eventos mutuamente exclusivos. 
 
(D) quando A e B forem eventos exaustivos. 
 
(E) nunca. 
 
 
139. (VUNESP 2014/ Pref. de SP – São Paulo Urbanismo) 
 
Dois eventos, A e B, cujas probabilidades são P(A) = a e P(B) = b, são exaustivos. Então a 
probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B é dada por: 
a) zero 
b) um 
c) 1 – a – b 
d) a + b – ab 
e) ab 
 
 
 
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9. GABARITOS 
 
 
01. C 
02. E 
03. B 
04. C 
05. A 
06. E 
07. E 
08. C 
09. B 
10. E 
11. A 
12. A 
13. E 
14. B 
15. B 
16. ERRADO 
17. C 
18. ERRADO 
19. ERRADO 
20. CERTO 
21. ERRADO 
22. CERTO 
23. ERRADO 
24. ERRADO 
25. CERTO 
26. ERRADO 
27. ERRADO 
28. CERTO 
29. ERRADO 
30. CERTO 
31. CERTO 
32. ERRADO 
33. ERRADO 
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34. ERRADO 
35. CERTO 
36. ERRADO 
37. CERTO 
38. CERTO 
39. CERTO 
40. CERTO 
41. D 
42. E 
43. A 
44. C 
45. D 
46. D 
47. C 
48. C 
49. E 
50. E 
51. E 
52. A 
53. E 
54. A 
55. B 
56. C 
57. B 
58. C 
59. D 
60. D 
61. D 
62. E 
63. D 
64. B 
65. E 
66. C 
67. B 
68. B 
69. B 
70. D 
71. D 
72. B 
73. C 
74. A 
75. E 
76. C 
77. E 
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220 
78. D 
79. C 
80. E 
81. A 
82. C 
83. D 
84. C 
85. D 
86. E 
87. A 
88. D 
89. E 
90. C 
91. B 
92. E 
93. D 
94. A 
95. E 
96. A 
97. B 
98. D 
99. A 
100. C 
101. C 
102. E 
103. E 
104. B 
105. D 
106. A 
107. D 
108. D 
109. D 
110. E 
111. A 
112. C 
113. B 
114. E 
115. D 
116. C 
117. B 
118. B 
119. E 
120. D 
121. A 
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220 
122. C 
123. D 
124. C 
125. C 
126. D 
127. C 
128. E 
129. A 
130. E 
131. C 
132. E 
133. A 
134. B 
135. C 
136. E 
137. E 
138. C 
139. B 
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10. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES COM COMENTÁRIOS 
 
1. (FGV 2018/ALE-RO) 
 
Várias pessoas, entre as quais Artur e Mário, estão sentadas em volta de uma mesa redonda. Entre 
Artur e Mário há 3 pessoas por um lado e 5 pessoas pelo outro. 
 Uma das pessoas da mesa é sorteada ao acaso. A probabilidade de que essa pessoa sorteada não 
seja nem Artur, nem Mário, nem nenhum dos seus vizinhos, é de 
a) 20%. 
b) 30%. 
c) 40%. 
d) 50%. 
e) 60%. 
Resolução 
Há um total de 10 pessoas na mesa, a saber: Artur, Mário, 3 pessoas entre eles de um lado e 5 
pessoas entre eles do outro lado. 
 
 
 
Mário
A
B
C
Artur
D
E
F
G
H
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Artur tem dois vizinhos (C e D) e Mário tem dois vizinhos (A e H). Excluindo Artur, Mário e os 4 
vizinhos a eles, sobram 4 pessoas. 
 
Assim, a probabilidade pedida é 4/10 = 40%. 
 
Gabarito: C 
 
2. (FGV 2018/SASDH – Niterói) 
Um dado é lançado duas vezes consecutivas. Considere os seguintes eventos relativos a esses 
lançamentos: 
 
A: a soma dos números obtidos é 8 
B: a soma dos números obtidos é 10 
C: a soma dos números obtidos é 12 
 
Colocando-se esses três eventos em ordem crescente da probabilidade de ocorrência, obtém-se: 
a) A, B, C; 
b) A, C, B; 
c) B, C, A; 
d) C, A, B; 
e) C, B, A. 
Resolução 
A probabilidade em cada caso é o número de casos favoráveis dividido pelo número de casos 
possíveis. 
O número de casos possíveis é o mesmo nos três casos: 6 × 6 = 36. Isso porque há 6 
possibilidades para o resultado do primeiro dado e 6 possibilidades para o resultado do segundo 
dado. 
Assim, para estabelecer a ordem crescente das probabilidades, podemos simplesmente analisar os 
casos favoráveis em cada caso. 
Para trabalhar com a soma dos resultados de dois dados, podemos fazer uma tabela de dupla 
entrada. 
 
 
 
 
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1 2 3 4 5 6 
1 2 3 4 5 6 7 
2 3 4 5 6 7 8 
3 4 5 6 7 8 9 
4 5 6 7 8 9 10 
5 6 7 8 9 10 11 
6 7 8 9 10 11 12 
 
Com a prática, você percebe que as possíveis somas se repetem nas diagonais. Estamos 
interessados apenas nas somas 8, 10 e 12. Assim, você não precisaria preencher toda a tabela. 
Observe: 
 
 
1 2 3 4 5 6 
1 
 
2 
 
8 
3 
 
8 
 
4 
 
8 
 
10 
5 
 
8 
 
10 
 
6 
 
8 
 
10 
 
12 
 
Portanto, 𝑃(𝑆𝑜𝑚𝑎 = 8) > 𝑃(𝑆𝑜𝑚𝑎 = 10) > 𝑃(𝑆𝑜𝑚𝑎 = 12). Como o problema pede as 
probabilidades em ordem CRESCENTE, temos: 
𝑃(𝐶)uma premiação, dois funcionários de uma empresa serão sorteados aleatoriamente entre 
quatro candidatos: dois do departamento A e dois do departamento B. A probabilidade de os dois 
funcionários sorteados pertencerem ao mesmo departamento é 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 1/4 
d) 1/6 
e) 3/4 
Resolução 
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A probabilidade de o primeiro funcionário sorteado ser do departamento A é igual a 2/4. A 
probabilidade de o segundo candidato sorteado também ser do departamento A é igual a 1/3 
(porque agora temos apenas 3 candidatos ao todo sendo 1 do departamento A). 
Assim, a probabilidade de os dois funcionários sorteados serem do departamento A é igual a 
2
4 ×
1
3 
A mesma probabilidade acima é calculada para que os dois funcionários sorteados sejam do 
departamento B. 
Assim, a probabilidade de os dois funcionários sorteados pertencerem ao mesmo departamento (A 
ou B) é 
2 ×
2
4 ×
1
3 =
1
3 
Poderíamos também utilizar Análise Combinatória. 
Há 4 pessoas e vamos sortear 2. O total de possibilidades é 
𝐶�- =
4 × 3
2 × 1 = 6 
Desses 6 resultados possíveis, estamos interessados naqueles em que as duas pessoas sorteadas 
pertencem ao mesmo departamento. 
 
Assim, podemos escolher 2 pessoas entre as 2 do departamento A ou escolher 2 pessoas entre as 2 
do departamento B. 
𝐶-- + 𝐶-- = 
 
= 1 + 1 = 2 
Assim, a probabilidade pedida é 
2
6 =
1
3 
Gabarito: B 
 
4. (FGV 2015/TJ-SC) 
Cada uma das 13 letras do nome “SANTA CATARINA” é escrita em um cartão e todos os cartões são 
colocados em uma urna. Aleatoriamente, são então retirados, sucessivamente e sem reposição, 
dois cartões. 
A probabilidade de um dos cartões retirados conter a letra S e o outro cartão retirado conter a 
letra C é de: 
a) 2/13 
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b) 3/39 
c) 1/78 
d) 1/156 
e) 25/156 
Resolução 
A probabilidade de o primeiro cartão conter a letra S é 1/13 e a probabilidade de o segundo cartão 
conter a letra C é 1/12. 
Assim, a probabilidade de a primeira letra ser S e a segunda letra ser C é 
1
13 ×
1
12 
A probabilidade acima corresponde à ordem SC. Entretanto, estamos igualmente interessados no 
caso CS. Portanto, a probabilidade pedida é 
2 ×
1
13 ×
1
12 =
1
13 ×
1
6 =
1
78 
Gabarito: C 
 
5. (FGV 2015/Câmara Municipal de Caruaru) 
Dois dados são jogados. A probabilidade de que o produto dos dois números sorteados seja maior 
do que 12 é 
a) 13/36. 
b) 5/12. 
c) 2/3. 
d) 1/3. 
e) 1/2. 
Resolução 
O número de casos possíveis é o mesmo nos três casos: 6 × 6 = 36. Isso porque há 6 
possibilidades para o resultado do primeiro dado e 6 possibilidades para o resultado do segundo 
dado. 
Para trabalhar com a soma dos resultados de dois dados, podemos fazer uma tabela de dupla 
entrada. 
Como queremos um produto maior do que 12, vamos preencher a tabela da direita para a 
esquerda. Fica mais fácil saber quando parar de preencher. 
 
 
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1 2 3 4 5 6 
1 
 
2 
 
12 
3 
 
12 15 18 
4 
 
12 16 20 24 
5 
 
10 15 20 25 30 
6 
 
12 18 24 30 36 
 
Assim, há 13 casos favoráveis em 36 possíveis. A probabilidade pedida é 13/36. 
Gabarito: A 
 
6. (FGV 2015/TJ-RO) 
Um tabuleiro de damas tem 32 quadradinhos pretos e 32 quadradinhos brancos. 
 
Um desses 64 quadradinhos é sorteado ao acaso. 
A probabilidade de que o quadradinho sorteado seja um quadradinho preto da borda do tabuleiro 
é: 
a) 1/2. 
b) 1/4. 
c) 1/8. 
d) 9/16. 
e) 7/32. 
Resolução 
Há 14 quadradinhos pretos nas bordas dos tabuleiros. Assim, a probabilidade pedida é 
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14
64 =
7
32 
Acredito que a intenção da questão seria confundir o candidato apressado que teve o seguinte 
raciocínio: em cada borda há 4 quadrados pretos. Assim, o total de quadrados pretos nas bordas é 
4 x 4 = 16. Esse raciocínio está errado, pois há dois quadradinhos pretos que pertencem a dois 
lados do tabuleiro. 
Gabarito: E 
 
7. (FGV 2015/Prefeitura de Paulínia) 
Um ciclo completo de um determinado semáforo é de um minuto e meio. A cada ciclo o semáforo 
fica vermelho 30 segundos, em seguida fica laranja 10 segundos e, por fim, fica verde 50 segundos. 
Escolhido um instante de tempo ao acaso, a probabilidade de que neste instante de tempo o 
semáforo NÃO esteja fechado, isto é, NÃO esteja vermelho, é: 
a) 1/9. 
b) 2/9. 
c) 1/3. 
d) 4/9. 
e) 2/3. 
Resolução 
Dos 90 segundos do ciclo, o semáforo não está vermelho em 10 + 50 = 60 segundos. Assim, a 
probabilidade pedida é 
60
90 =
2
3 
Gabarito: E 
 
8. (FGV 2014/Prefeitura de Osasco) 
Um semáforo funciona continuamente de tal modo que a cada minuto ele fica verde por 30 
segundos, fica amarelo por 10 segundos e vermelho por 20 segundos. 
 Em um instante de tempo escolhido aleatoriamente, a probabilidade de o semáforo estar 
vermelho é: 
a) 1/5. 
b) 1/4. 
c) 1/3. 
d) 1/2. 
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e) 2/3. 
Resolução 
O ciclo é de 30 + 10 + 20 = 60 segundos. Assim, a probabilidade de o semáforo estar vermelho é 
20
60 =
1
3 
Gabarito: C 
9. (FGV 2018/ALE-RO) 
Em uma caixa há 4 cartões amarelos e 6 cartões vermelhos. Foram retirados, aleatoriamente, 2 
cartões da caixa. 
 A probabilidade de os dois cartões retirados serem vermelhos é de 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 1/4 
d) 1/5 
e) 1/6 
Resolução 
A probabilidade de o primeiro cartão ser vermelho é 6/10 (há 6 cartões vermelhos em um total de 
10 cartões). 
A probabilidade de o segundo cartão ser vermelho é 5/9 (agora há 5 cartões vermelhos em um 
total de 9 cartões). 
Assim, a probabilidade de os dois cartões serem vermelhos é 
6
10 ×
5
9 =
30
90 =
1
3 
Também poderíamos utilizar Análise Combinatória para resolver o problema. 
Há 10 cartões e vamos selecionar 2. Assim, o total de possibilidades é 
𝐶"�- =
10 ∙ 9
2 ∙ 1 = 45 
Queremos calcular a probabilidade de os dois cartões serem vermelhos. Há 6 cartões vermelhos e 
vamos escolher 2. O total de possibilidades de selecionarmos 2 cartões vermelhos é: 
𝐶M- =
6 ∙ 5
2 ∙ 1 = 15 
A probabilidade pedida é o número de casos favoráveis (15) dividido pelo número total de 
possibilidades (45). 
15
45 =
1
3 
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Gabarito: B 
 
10. (FGV 2018/ALE-RO) 
Em um grupo de 10 deputados, 6 são do Partido A e 4 são do Partido B. Serão sorteados 2 desses 
10 deputados, aleatoriamente. 
A probabilidade de os 2 deputados sorteados serem do Partido B é 
a)1/5 
b) 2/5 
c) 2/3 
d) 2/9 
e) 2/15 
Resolução 
A probabilidade de o primeiro deputado ser do partido B é 4/10 (há 4 deputados do partido B em 
um total de 10 deputados). 
A probabilidade de o segundo deputado também ser do partido B é 3/9 (agora há 3 deputados do 
partido B em um total de 9 deputados). 
A probabilidade de os dois serem do partido B é 
4
10 ×
3
9 = 
 
=
2
5 ×
1
3 
 
=
2
15 
Poderíamos ter resolvido a questão utilizando Análise Combinatória. 
Há 10 deputados e vamos escolher 2. O total de possibilidades de selecionarmos os 2 deputados é 
𝐶"�- =
10 ∙ 9
2 ∙ 1 = 45 
Queremos selecionar dois deputados do partido B. Há 4 deputados do partido B. Logo, o total de 
maneiras de selecionarmos 2 deputados do partido B é 
𝐶�- =
4 ∙ 3
2 ∙ 1 = 6 
A probabilidade pedida é o número de casos favoráveis (6) dividido pelo número total de 
possibilidades (45). 
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6
45 =
2
15 
 
Gabarito: E 
 
11. (FGV 2018/ALE-RO) 
Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Três dessas bolas são sorteados aleatoriamente. 
A probabilidade de o produto dos três números sorteados ser ímpar é 
a) 1/12 
b) 1/10 
c) 1/8 
d) 1/4 
e) 1/2 
Resolução 
Os números ímpares de 1 a 10 são 1, 3, 5, 7, 9. Assim, há 5 números ímpares disponíveis. 
Para que o produto de três números seja ímpar, os três números têm que ser ímpares. 
A probabilidade de o primeiro número ser ímpar é 5/10. 
A probabilidade de o segundo número ser ímpar é 4/9. 
A probabilidade de o terceiro número ser ímpar é 3/8. 
Assim, a probabilidade de os três serem ímpares é 
5
10 ×
4
9 ×
3
8 =
60
720 =
6
72 =
1
12 
Poderíamos resolver a questão usando Análise Combinatória. 
Vamos sortear três números dentre os 10 disponíveis. O total de maneiras de selecionar os três 
números é 
𝐶"�� =
10 ∙ 9 ∙ 8
3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 
Esses são os casos possíveis. 
Queremos sortear 3 números ímpares (para que o produto seja ímpar). Há 5 números ímpares 
disponíveis. Assim, o total de maneiras de selecionarmos 3 números ímpares dentre os 5 
disponíveis é 
𝐶�� =
5 ∙ 4 ∙ 3
3 ∙ 2 ∙ 1 = 10 
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A probabilidade pedida é o número de casos favoráveis (10) dividido pelo número total de 
possibilidades (120). 
10
120 =
1
12 
 
Gabarito: A 
 
12. (FGV 2017/IBGE) 
A probabilidade de um determinado aluno acertar cada uma das duas últimas questões de uma 
determinada prova é 70%. 
Acertar ou errar cada uma das questões são eventos independentes. 
A probabilidade desse aluno errar as duas referidas questões: 
a) é menor que 10%; 
b) está entre 10% e 20%; 
c) está entre 20% e 30%; 
d) está entre 30% e 50%; 
e) é maior que 50%. 
Resolução 
A probabilidade de o aluno acertar cada uma das questões é de 70%. Logo, a probabilidade de ele 
errar cada uma das questões é 30%. 
Os eventos são independentes. Logo, a probabilidade de ele errar as duas questões é o produto 
das probabilidades. 
𝑃(𝑒𝑟𝑟𝑎𝑟	𝑎𝑠	𝑑𝑢𝑎𝑠	𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡õ𝑒𝑠) = 𝑃(𝑒𝑟𝑟𝑎𝑟	𝑎	𝑝𝑒𝑛ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎) × 𝑃(𝑒𝑟𝑟𝑎𝑟	𝑎	ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎) 
 
= 30% × 30% 
 
= 0,3 × 0,3 = 0,09 = 9% 
Gabarito: A 
 
13. (FGV 2017/Prefeitura de Salvador) 
Abel tem uma moeda que dá “cara” com probabilidade 1/2 e Breno tem uma moeda que dá “cara” 
com probabilidade 1/3. Abel e Breno lançam suas respectivas moedas, alternadamente. O primeiro 
que obtiver “cara”, ganha. Abel é o primeiro a lançar, e os lançamentos são todos independentes. 
A probabilidade de Abel ganhar no seu terceiro lançamento é de 
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a) 1/2 
b) 1/3 
c) 1/4 
d) 1/8 
e) 1/18 
Resolução 
Abel tem uma moeda que dá “cara” com probabilidade 1/2. Logo, a probabilidade de Abel obter 
coroa é igual a 1/2. 
Breno tem uma moeda que dá “cara” com probabilidade 1/3. Logo, a probabilidade de Breno obter 
coroa é igual a 2/3. 
Abel é o primeiro a lançar. Para que Abel ganhe no seu terceiro lançamento, devemos ter a 
seguinte sequência: 
(Abel-Coroa), (Breno-Coroa), (Abel-Coroa), (Breno-Coroa), (Abel-Cara) 
Como os eventos são independentes, a probabilidade de obtermos a sequência acima é o produto 
das probabilidades. 
1
2 ×
2
3 ×
1
2 ×
2
3 ×
1
2 
Podemos cancelar cada 2 do numerador com cada 2 do denominador. 
1
3 × 3 × 2 =
1
18 
Gabarito: E 
 
14. (FGV 2015/TJ-RO) 
A probabilidade de chover em determinado dia, dado que choveu no dia anterior, é de 0,6. Se a 
probabilidade de chover em um dia qualquer é de 0,3, a probabilidade de dois dias de chuva 
seguidos é de: 
a) 0,15; 
b) 0,18; 
c) 0,30; 
d) 0,40; 
e) 0,50. 
Resolução 
A probabilidade de chover em determinado dia, dado que choveu no dia anterior, é de 0,6. Temos 
aqui uma probabilidade condicional. Em símbolos, temos: 
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𝑃(𝑐ℎ𝑜𝑣𝑒𝑟	𝑒𝑚	𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜	𝑑𝑖𝑎|𝑐ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢	𝑛𝑜	𝑑𝑖𝑎	𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟) = 0,6 
Vamos aplicar a fórmula da probabilidade condicional. No numerador, devemos colocar a 
interseção. No denominador, devemos colocar o evento que ocorreu ou seja, choveu no dia 
anterior. 
𝑃(𝑐ℎ𝑜𝑣𝑒𝑟	𝑒𝑚	𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜	𝑑𝑖𝑎	𝑒	𝑐ℎ𝑜𝑣𝑒𝑟	𝑛𝑜	𝑑𝑖𝑎	𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟)
𝑃(𝑐ℎ𝑜𝑣𝑒𝑟	𝑛𝑜	𝑑𝑖𝑎	𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟) = 0,6 
O numerador pode ser reescrito como “probabilidade de chover em dois dias seguidos”. 
𝑃(𝑐ℎ𝑜𝑣𝑒𝑟	𝑒𝑚	𝑑𝑜𝑖𝑠	𝑑𝑖𝑎𝑠	𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑜𝑠)
0,3 = 0,6 
 
𝑃(𝑐ℎ𝑜𝑣𝑒𝑟	𝑒𝑚	𝑑𝑜𝑖𝑠	𝑑𝑖𝑎𝑠	𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑜𝑠) = 0,3 × 0,6 = 0,18 
Gabarito: B 
15. (FGV 2018/ALE-RO) 
Dois eventos A e B ocorrem, respectivamente, com 40% e 30% de probabilidade. A probabilidade 
de que A ocorra ou B ocorra é 50%. Assim, a probabilidade de que A e B ocorram é igual a 
a) 10%. 
b) 20%. 
c) 30%. 
d) 40%. 
e) 50%. 
Resolução 
Dois eventos A e B ocorrem, respectivamente, com 40% e 30% de probabilidade. Logo, 
𝑃(𝐴) = 0,40 
𝑃(𝐵) = 0,30 
A probabilidade de que A ocorra ou B ocorra é 50%. Logo, 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,50 
Vamos aplicar a fórmula da probabilidade da união de dois eventos. 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
 
0,50 = 0,40 + 0,30 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,40 + 0,30 − 0,50 
 
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𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,20 = 20% 
Gabarito: B 
16. (CESPE 2018/EBSERH) 
Uma pesquisa revelou características da população de uma pequena comunidade composta 
apenas por casais e seus filhos. 
Todos os casais dessa comunidade são elementos do conjunto A∪B∪C, em que 
A = {casais com pelo menos um filho com mais de 20 anos de idade}; 
B = {casais com pelo menos um filho com menos de 10 anos de idade}; 
C = {casais com pelo menos 4 filhos}. 
Considerando que n(P) indique a quantidade de elementos de um conjunto P, suponha 
que n(A)=18; n(B)=20; n(C)=25; n(A∩B)=13; n(A∩C)=11;n(B∩C)=12e n(A∩B∩C)=8. O diagrama a 
seguir mostra essas quantidades de elementos. 
 
 
Com base nas informações e no diagrama precedentes, julgue o item a seguir. 
Se um casal dessa comunidade for escolhido ao acaso, então a probabilidade de ele ter menos de 4 
filhos será superior a 0,3. 
Resolução 
O total de pessoas é 2 + 5 + 3 + 3 + 8 + 4 + 10 = 35. 
Estamos interessados nas pessoas que não pertencem ao conjunto C. O total de pessoas que não 
pertencem ao conjunto C é 2 + 5 + 3 = 10. 
Assim, a probabilidade pedida é 10/35 = 0,2857... 1/30. 
Gabarito: Errado. 
19. (CESPE 2018/ABIN) 
Como forma de melhorar a convivência, as famílias Turing, Russell e Gödel disputaram, no parque 
da cidade, em um domingo à tarde, partidas de futebol e de vôlei. O quadro a seguir mostra os 
quantitativos de membros de cada família presentes no parque, distribuídos por gênero. 
 
A partir dessa tabela, julgue os itens subsequentes. 
Considere que, em eventual sorteio de brindes, um nome tenha sido retirado, ao acaso, do interior 
de uma urna que continha os nomes de todos os familiares presentes no evento. Nessa situação, 
sabendo-se que o sorteado não é uma mulher da família Gödel, a probabilidade de ser uma mulher 
da família Russel será superior a 20%. 
Resolução 
Esta questão homenageia 3 grandes matemáticos: Alan Turing, Bertrand Russel e Kurt Gödel. 
Sabemos que a pessoa sorteada não é uma mulher da família Gödel. Vamos excluir as mulheres da 
família Gödel do nosso espaço amostral. 
Portanto, o número de casos possíveis é 5 + 6 + 5 + 7 + 5 = 28. 
Queremos calcular a probabilidade de a pessoa sorteada ser uma mulher da família Russel: há 5 
casos desejados. 
Assim, a probabilidade pedida é 5/28 ≅ 17,8%. 
Gabarito: Errado 
20. (CESPE 2017/SEDF) 
 
Cinco mulheres e quatro homens trabalham em um escritório. De forma aleatória, uma dessas 
pessoas será escolhida para trabalhar no plantão de atendimento ao público no sábado. Em 
seguida, outra pessoa será escolhida, também aleatoriamente, para o plantão no domingo. 
Considerando que as duas pessoas para os plantões serão selecionadas sucessivamente, de forma 
aleatória e sem reposição, julgue o próximo item. 
Se uma mulher tiver sido escolhida para ser a plantonista de sábado, então a probabilidade de se 
escolher um homem para o plantão de domingo é igual a 0,5. 
Resolução 
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Após a escolha da plantonista do sábado, sobram 8 pessoas. Devemos escolher uma dessas 8 
pessoas para o domingo. 
 
Das 8 pessoas, 4 são homens. Assim, a probabilidade de o homem ser escolhido é 4/8 = 0,5. 
 
Gabarito: certo. 
21. (CESPE 2017/SEDF) 
Cinco mulheres e quatro homens trabalham em um escritório. De forma aleatória, uma dessas 
pessoas será escolhida para trabalhar no plantão de atendimento ao público no sábado. Em 
seguida, outra pessoa será escolhida, também aleatoriamente, para o plantão no domingo. 
Considerando que as duas pessoas para os plantões serão selecionadas sucessivamente, de forma 
aleatória e sem reposição, julgue o próximo item. 
A probabilidade de os dois plantonistas serem homens é igual ou superior a 4/9. 
Resolução 
A probabilidade de o primeiro ser homem é 4/9. A probabilidade de o segundo ser homem é 3/8. 
Assim, a probabilidade pedida é 
4
9 ∙
3
8 =
12
72 =
1
6 ≅ 0,16 
Este número é menor que 4/9 = 0,444... 
Gabarito: Errado 
 
22. (CESPE 2017/SEDF) 
Cinco mulheres e quatro homens trabalham em um escritório. De forma aleatória, uma dessas 
pessoas será escolhida para trabalhar no plantão de atendimento ao público no sábado. Em 
seguida, outra pessoa será escolhida, também aleatoriamente, para o plantão no domingo. 
Considerando que as duas pessoas para os plantões serão selecionadas sucessivamente, de forma 
aleatória e sem reposição, julgue o próximo item. 
A probabilidade de os plantões serem feitos por um homem e uma mulher é igual a 5/9. 
Resolução 
Podemos ter (H e M) ou (M e H). 
A probabilidade de termos homem no sábado e mulher no domingo é (4/9) x (5/8). 
A probabilidade de termos mulher no sábado e homem no domingo é (5/9) x (4/8). 
A probabilidade pedida é 
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4
9 ∙
5
8 +
5
9 ∙
4
8 =
20
72 +
20
72 =
40
72 =
5
9 
 
Gabarito: certo. 
 
23. (CESPE 2016/FUNPRESP) 
 
 
O gráfico ilustra cinco possibilidades de fundos de investimento com suas respectivas 
rentabilidades. Considerando que as probabilidades de investimento para os fundos A, B, C e D 
sejam, respectivamente, P(A)= 0,182; P(B) = 0,454; P(C)= 0,091; e P(D)= 0,182, julgue o item 
subsequente. 
 
A probabilidade do fundo de investimento E é maior que a probabilidade do fundo de investimento 
C. 
Resolução 
A soma de todas as probabilidades tem que ser igual a 1. 
𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) + 𝑃(𝐷) + 𝑃(𝐸) = 1 
0,182 + 0,454 + 0,091 + 0,182 + 𝑃(𝐸) = 1 
𝑃(𝐸) = 0,091 
Assim, P(E) = P(C). 
Gabarito: Errado 
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Matemáticadas vezes. 
 
O que está por trás do nosso raciocínio intuitivo é o seguinte: 
i) Cada um dos elementos que compõem o espaço amostral são igualmente “prováveis”. 
ii) O número de elementos do evento (𝑛(𝐴) = 3) é justamente a metade dos elementos do 
espaço amostral (𝑛(𝑈") = 6). 
Estas considerações motivam a definição de probabilidade de um evento A da seguinte forma: 
𝑃(𝐴) =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑈) =
3
6 =
1
2 
Como vimos o texto no início deste capítulo, Laplace referia-se aos elementos do evento como os 
casos favoráveis (ou desejados). Os elementos do espaço amostral são chamados de casos 
possíveis. Desta forma: 
 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜	𝑑𝑒	𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠	𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜	𝑑𝑒	𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠	𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 
Esta é a definição clássica de probabilidade. Esta definição não é válida do ponto de vista lógico 
porque ao se exigir que os elementos do espaço amostral sejam “igualmente prováveis”, utiliza-se 
o próprio conceito que se pretende definir. 
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Ademais, um dos defeitos dessa definição é o de não abordar casos em que os eventos não são 
equiprováveis. 
3. PROBABILIDADE COMO FREQUÊNCIA RELATIVA 
Considere um experimento aleatório. Na prática, não podemos obter infinitas realizações. 
Entretanto, imagine que o experimento será realizado N vezes. 
Definimos frequência relativa de um evento como sendo o número 𝑓 tal que 
𝑓 =
𝑛
𝑁 
em que n é o número de ocorrências do evento. 
Assim, por exemplo, se lançamos um determinado dado de 6 faces 200 vezes e observamos o 
número 3 em 54 vezes, então a frequência relativa deste evento será: 
𝑓 =
54
200 = 0,27 = 27% 
Experimentalmente, verificamos que a frequência relativa se estabiliza em torno de um valor 
definido, quando o número N de realizações tende a infinito. 
Assim, como o dado tem 6 faces, o esperado é que se N for suficientemente grande, cada face 
sairá em "
M
≅ 16,67% das vezes. 
Vamos realizar este experimento utilizando o Excel. 
Vamos lançar o dado 60.000 vezes (usando a função =ALEATÓRIOENTRE), ou seja, o Excel irá gerar 
números aleatórios inteiros no intervalo [1,6]. 
Esperamos que cada face saia em torno de 10.000 vezes. 
Observe os resultados gerados (usando a função =cont.se): 
Número da face Frequência absoluta 
1 9.917 
2 9.958 
3 10.126 
4 10.090 
5 10.003 
6 9.906 
 
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Para calcular a frequência relativa, basta dividir cada frequência absoluta pelo total de 
experimentos. 
Número da 
face Frequência absoluta Frequência relativa 
1 9.917 16,528% 
2 9.958 16,597% 
3 10.126 16,877% 
4 10.090 16,817% 
5 10.003 16,671% 
6 9.906 16,510% 
 
Se o número de realizações N aumentar significativamente, as frequências relativas tendem a se 
estabilizar em torno de 1/6. 
Assim, considerando N realizações de um experimento aleatório, definimos a probabilidade de um 
evento E como 
𝑃(𝐸) = lim
S→U
𝑛(𝐸)
𝑁 
Assim, a probabilidade pode ser definida como a frequência relativa quando o número de 
realizações do experimento tende a infinito. 
Esta também não é uma definição rigorosa do ponto de vista lógico, porque utiliza-se o próprio 
conceito de probabilidade para uma interpretação rigorosa da definição apresentada. 
Ademais, esta definição se limita aos casos em que o número de eventos observados pode crescer 
indefinidamente. 
 
 
 
 
 
 
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4. COMBINAÇÕES DE EVENTOS 
 
Podemos empregar as várias técnicas de combinar conjuntos (eventos) para formar novos 
conjuntos (eventos). 
è União de dois eventos 
 
Considere dois eventos A e B. O evento união é denotado por 𝐴 ∪ 𝐵 e ocorre se e somente se ao 
menos um dos eventos ocorrerem. Podemos dizer que 𝐴 ∪ 𝐵 ocorre se e somente se A ou B (ou 
ambos) ocorrerem. 
 
Se 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑈, dizemos que A e B são eventos exaustivos. 
 
è Interseção de dois eventos 
 
Considere dois eventos A e B. O evento interseção é denotado por 𝐴 ∩ 𝐵 e ocorre se e somente se 
os dois eventos ocorrerem (A e B ocorrerem). 
 
è Complementar de um evento 
 
Considere um evento A. O evento complementar de A é denotado por �̅� e ocorre se e somente se 
não ocorre A. 
Vejamos alguns exemplos: 
Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. 
𝑈 = {1,2,3,4,5,6} 
Considere os seguintes eventos. 
 
A: ocorrência de um número ímpar. 𝐴 = {1,3,5}. 
B: ocorrência de um número par: 𝐵 = {2,4,6}. 
C: ocorrência de um número menor ou igual a 3. 𝐶 = {1,2,3} 
 
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Desta forma, temos os seguintes eventos. 
𝐴 ∪ 𝐵: ocorrência de um número ímpar ou número par. 
𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,4,5,6} 
 
𝐴 ∪ 𝐶: ocorrência de um número ímpar ou de um número menor ou igual a 3. 
𝐴 ∪ 𝐶 = {1,2,3,5} 
 
𝐵 ∪ 𝐶: ocorrência de um número par ou de um número menor ou igual a 3. 
𝐵 ∪ 𝐶 = {1,2,3,4,6} 
 
𝐴 ∩ 𝐵: ocorrência de um número ímpar e par. 
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ 
 
O resultado foi o conjunto vazio porque não existe número que seja simultaneamente par e ímpar. 
Neste caso dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos (ou mutuamente 
excludentes). 
 
Se 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑈, dizemos que A e B são eventos exaustivos. 
Se 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, dizemos que A e B são eventos mutuamente exclusivos (ou excludentes). 
 
 
𝐴 ∩ 𝐶: ocorrência de um número ímpar e menor ou igual a 3. 
𝐴 ∩ 𝐶 = {1,3} 
 
𝐵 ∩ 𝐶: ocorrência de um número par e menor ou igual a 3. 
𝐵 ∩ 𝐶 = {2} 
 
�̅�: não ocorrer um número ímpar. 
�̅� = {2,4,6} 
 
 
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𝐵Y : não ocorrer um número par. 
𝐵Y = {1,3,5} 
 
�̅�: não ocorrer um número menor ou igual a 3. 
�̅� = {4,5,6} 
 
5. PROPRIEDADES SOBRE PROBABILIDADES 
 
è A probabilidade do evento impossível é 0 e a probabilidade do evento certo é igual a 1. 
 
Vamos lembrar: 
Quando o evento é igual ao espaço amostral, dizemos que o evento é certo. 
Quando o evento é igual ao conjunto vazio, dizemos que o evento é impossível. 
 
Para ilustrar esta propriedade, vamos voltar ao exemplo do dado. 
 
Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. 
𝑈 = {1,2,3,4,5,6} 
Considere os eventos. 
A: ocorrência de número menor que 8. 𝐴 = {1,2,3,4,5,6} = 𝑈 
B: ocorrência de número maior que 8. 𝐵 = ∅ (conjunto vazio). 
Já sabemos que: 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜	𝑑𝑒	𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠	𝑑𝑜	𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜	𝑑𝑒	𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠	𝑑𝑜	𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜	𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 
Desta forma, 
𝑃(𝐴) =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑈) =
6
6 = 1 
𝑃(𝐵) =
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑈) =
0
6 = 0 
 
 
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24. (CESPE 2016/INSS) 
Uma população de 1.000 pessoas acima de 60 anos de idade foi dividida nos seguintes dois grupos: 
A: aqueles que já sofreram infarto (totalizando 400 pessoas); e 
B: aqueles que nunca sofreram infarto (totalizando 600 pessoas). 
Cada uma das 400 pessoas do grupo A é ou diabética ou fumante ou ambos (diabética e fumante). 
A população do grupo B é constituída por três conjuntos de indivíduos: fumantes, ex-fumantes e 
pessoas que nunca fumaram (não-fumantes). 
Com base nessas informações, julgue o item subsecutivo. 
Se, no grupo B, a quantidade de fumantes for igual a 20% do total de pessoas do grupo e a 
quantidade de ex-fumantes for igual a 30% da quantidade de pessoas fumantes desse grupo, 
então, escolhendo-se aleatoriamente um indivíduo desse grupo, a probabilidade de ele não 
pertencer ao conjunto de fumantes nem ao de ex-fumantes será inferior a 70%. 
Resolução 
São 600 pessoas no grupo B. 
20% do total de pessoas neste grupo são fumantes. 
A quantidade de ex-fumantes é igual a 30% da quantidade de fumantes desse grupo. Portanto, a 
quantidade de ex-fumantes é igual a 30% de 20% = 0,3 x 0,2 = 0,06 = 6%. 
O total de fumantes e ex-fumantes é igual a 20% + 6% = 26%. 
Consequentemente, a quantidade de não-fumantes no grupo B é igual a 100% - 26% = 74%. 
Gabarito: errado. 
25. (CESPE/TELEBRAS 2015) 
A equipe de atendentes de um serviço de telemarketing é constituída por 30 empregados, 
divididos em 3 grupos, que trabalham de acordo com a seguinte escala. 
- Grupo I: 7 homens e 3 mulheres, que trabalham das 6 h às 12 h. 
- Grupo II: 4 homens e 6 mulheres, que trabalham das 9 h às 15 h. 
- Grupo III: 1 homem e 9 mulheres, que trabalham das 12 h às 18 h. 
A respeito dessa equipe, julgue o item que se segue. 
A probabilidade de um cliente que liga para o telemarketing ser atendido por uma atendente é 
maior no período de 15 h a 18 h do que no período de 12 h a 15 h. 
Resolução 
Período de 15h às 18h: grupo III. São 9 mulheres e um homem. A probabilidade de o cliente ser 
atendido por uma mulher é 9/10 = 90%. 
Período de 12h às 15h: grupo II + grupo III. Temos 5 homens e 15 mulheres. Assim, a probabilidade 
de um cliente ser atendido por uma mulher é 15/20 = ¾ = 75%. 
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Gabarito: certo. 
26. (CESPE/TELEBRAS 2015) 
Nas chamadas de suporte de uma empresa de telecomunicações, o funcionário Pedro resolve o 
problema do cliente em duas de cada três vezes em que é solicitado, enquanto Marcos resolve em 
três de cada quatro chamadas. 
A partir dessa situação hipotética, julgue o item seguinte, considerando que os funcionários sejam 
suficientemente experientes para que a tentativa de resolução do problema de qualquer chamada 
não esteja subordinada a tentativas anteriores. 
 
Se Pedro não resolver o problema de um cliente, considerando-se que nenhuma informação a 
respeito da tentativa é repassada a Marcos, a probabilidade de que este também não resolva o 
referido problema será inferior a 20%. 
Resolução 
Observe o seguinte trecho do enunciado: considerando que os funcionários sejam suficientemente 
experientes para que a tentativa de resolução do problema de qualquer chamada não esteja 
subordinada a tentativas anteriores. 
 
Isto quer dizer os eventos “Marcos não resolve o problema” e “Pedro não resolve o problema” são 
independentes. Assim, o fato de Pedro não ter resolvido o problema não influencia a tentativa de 
Marcos. Como Marcos resolve 3 a cada 4 problemas, a probabilidade de ele não resolver o 
problema repassado a ele é de ¼ = 25%. 
 
Gabarito: errado. 
27. (CESPE/TELEBRAS 2015) 
 
Nas chamadas de suporte de uma empresa de telecomunicações, o funcionário Pedro resolve o 
problema do cliente em duas de cada três vezes em que é solicitado, enquanto Marcos resolve em 
três de cada quatro chamadas. 
A partir dessa situação hipotética, julgue o item seguinte, considerando que os funcionários sejam 
suficientemente experientes para que a tentativa de resolução do problema de qualquer chamada 
não esteja subordinada a tentativas anteriores. 
Se Pedro e Marcos tentarem, independentemente, resolver o mesmo problema desse cliente, a 
chance de ambos resolverem o problema desse cliente será inferior a 45%. 
Resolução 
Observe o seguinte trecho do enunciado: considerando que os funcionários sejam suficientemente 
experientes para que a tentativa de resolução do problema de qualquer chamada não esteja 
subordinada a tentativas anteriores. 
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Isto quer dizer os eventos “Marcos resolve o problema” e “Pedro resolve o problema” são 
independentes. A probabilidade de ambos resolverem o problema é igual ao produto das 
probabilidades. Assim, a probabilidade pedida é igual a 
2
3 ∙
3
4 =
1
2 = 50% 
Gabarito: errado. 
 
 
 
28. (CESPE/TELEBRAS 2015) 
 
Nas chamadas de suporte de uma empresa de telecomunicações, o funcionário Pedro resolve o 
problema do cliente em duas de cada três vezes em que é solicitado, enquanto Marcos resolve em 
três de cada quatro chamadas. 
 
A partir dessa situação hipotética, julgue o item seguinte, considerando que os funcionários sejam 
suficientemente experientes para que a tentativa de resolução do problema de qualquer chamada 
não esteja subordinada a tentativas anteriores. 
 
Se ambos tentarem, independentemente, resolver o mesmo problema de um cliente, então a 
chance de o problema ser resolvido por Pedro ou por Marcos será superior a 90%. 
Resolução 
Vamos dar nome aos eventos. 
A: Marcos resolve o problema. 
B: Pedro resolve o problema. 
Observe o seguinte trecho do enunciado: considerando que os funcionários sejam suficientemente 
experientes para que a tentativa de resolução do problema de qualquer chamada não esteja 
subordinada a tentativas anteriores. 
Queremos calcular P(A ou B). Esta probabilidade é dada por: 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
Isto quer dizer os eventos “Marcos resolve o problema” e “Pedro resolve o problema” são 
independentes. A probabilidade de ambos resolverem o problema é igual ao produto das 
probabilidades. 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
2
3 ∙
3
4 =
1
2 = 50% 
 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
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𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
3
4 +
2
3 −
1
2 =
9 + 8 − 6
12 =
11
12 = 91,67% 
 
Gabarito: certo. 
29. (CESPE/DEPEN 2015) 
Considerando que, entre a população carcerária de um presídio, a probabilidade de um detento 
contrair tuberculose seja igual a 0,01; que dois detentos sejam selecionados aleatoriamente dessa 
população carcerária; e que as ocorrências de tuberculose entre esses detentos sejam eventos 
independentes, julgue o item. 
 
A probabilidade de os dois detentos na amostra contraírem tuberculose será igual a 0,02. 
Resolução 
A probabilidade de o primeiro contrair a doença é 0,01. A probabilidade de o segundo contrair a 
doença é 0,01. Como os eventos são independentes, a probabilidade de os dois contraírem a 
doença é o produto das probabilidades: 0,01 x 0,01 = 0,0001. 
Gabarito: errado. 
30. (CESPE/DEPEN 2015) 
Considerando que, entre a população carcerária de um presídio, a probabilidadede um detento 
contrair tuberculose seja igual a 0,01; que dois detentos sejam selecionados aleatoriamente dessa 
população carcerária; e que as ocorrências de tuberculose entre esses detentos sejam eventos 
independentes, julgue o item. 
 
A probabilidade de pelo menos um detento na amostra contrair tuberculose será superior a 0,01 e 
inferior a 0,03. 
Resolução 
A probabilidade de contrair a doença é 0,01. Assim, a probabilidade de não contrair a doença é 
0,99. 
Queremos calcular a probabilidade de que pelo menos um deles contraia a doença. O que não 
queremos? Não queremos a probabilidade de que os dois não contraiam a doença. 
A probabilidade de os dois não contraírem a doença é 0,99 x 0,99 = 0,9801. 
 
Assim, a probabilidade que queremos é a probabilidade complementar 1 – 0,9801 = 0,0199. 
Gabarito: certo. 
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(CESPE 2015/TCE-RN) 
Para fiscalizar determinada entidade, um órgão de controle escolherá 12 de seus servidores: 5 da 
secretaria de controle interno, 3 da secretaria de prevenção da corrupção, 3 da corregedoria e 1 da 
ouvidoria. Os 12 servidores serão distribuídos, por sorteio, nas equipes A, B e C; e cada equipe será 
composta por 4 servidores. A equipe A será a primeira a ser formada, depois a equipe B e, por 
último, a C. 
A respeito dessa situação, julgue os itens subsequentes. 
31. A probabilidade de um servidor que não for sorteado para integrar a equipe A ser 
sorteado para integrar a equipe B é igual a 0,5. 
32. A probabilidade de a equipe A ser composta por quatro servidores da secretaria de 
controle interno é inferior a 0,01. 
33. A chance de a equipe A ser composta por um servidor de cada unidade é superior a 
10%. 
Resolução 
Item I. 
Após a formação da equipe B, sobram 12 – 4 = 8 servidores. Destes servidores, 4 serão 
selecionados para a equipe B e os 4 restantes irão para a equipe C. Como as duas equipes possuem 
a mesma quantidade de vagas, a probabilidade de um servidor ir para a equipe B ou C é igual a 
50%. 
Gabarito: Certo 
Item II. 
Há 12 servidores disponíveis, dos quais escolheremos 4 para compor a equipe A. Podemos fazer 
essa composição de 
𝐶"-� =
12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 495	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠	𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠 
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Este valor corresponde ao total de casos possíveis. 
Vamos agora calcular o número de casos desejados, ou seja, o número de casos favoráveis. 
Queremos que a equipe A seja formada apenas por servidores da secretaria de controle interno. 
Há 5 servidores disponíveis nessa secretaria e queremos escolher 4 deles. Isso pode ser feito de 
𝐶�� =
5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 5	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠	𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠 
A probabilidade pedida é igual a 5/495. 
Observe que 5/500 = 0,01. Assim, 5/495 é maior que 0,01. 
Gabarito: Errado 
Item III. 
Há 12 servidores disponíveis, dos quais escolheremos 4 para compor a equipe A. Podemos fazer 
essa composição de 
𝐶"-� =
12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 495	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠	𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠 
Este valor corresponde ao total de casos possíveis. 
Vamos agora calcular a quantidade de casos favoráveis. 
Queremos escolher 1 servidor de cada secretaria. Há 5 da secretaria de controle interno (para 
escolher 1), 3 da secretaria de prevenção da corrupção (para escolher 1), 3 da corregedoria(para 
escolher 1) e 1 da ouvidoria (para escolher 1). O total de possibilidades é: 
𝐶�" ∙ 𝐶�" ∙ 𝐶�" ∙ 𝐶"" = 5 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 1 = 45 
A probabilidade pedida é o quociente do número de casos favoráveis pelo número de casos 
possíveis 45/495 = 1/11 = 0,0909..., que é menor que 10%. 
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Gabarito: Errado 
34. (CESPE 2015/Polícia Federal) 
Um batalhão é composto por 20 policiais: 12 do sexo masculino e 8 do sexo feminino. A região 
atendida pelo batalhão é composta por 10 quadras e, em cada dia da semana, uma dupla de 
policiais policia cada uma das quadras. 
Com referência a essa situação, julgue o item subsequente. 
Caso as duplas de policiais sejam formadas aleatoriamente, então a probabilidade de que em 
determinado dia os policiais que policiarão determinada quadra sejam do mesmo sexo será 
superior a 0,5. 
Resolução 
Há 20 policiais e queremos escolher 2. Isso pode ser feito de: 
𝐶-�- =
20 ∙ 19
2 ∙ 1 = 190	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠	𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 
Vamos aos casos desejados (casos favoráveis). Queremos que as duas pessoas selecionadas sejam 
do mesmo sexo. Assim, podemos escolher 2 homens (dentre 12 disponíveis) ou 2 mulheres (dentre 
8 disponíveis). 
Isso pode ser feito de 
𝐶"-- + 𝐶�- =
12 ∙ 11
2 ∙ 1 +
8 ∙ 7
2 ∙ 1 = 94	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠	𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 
A probabilidade é o quociente do número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis. 
Assim a probabilidade pedida é 94/190. Como 95 é a metade de 190, então 94/190disciplinas serão realizadas em uma mesma semana, de segunda a sexta-
feira, podendo ou não ocorrerem em um mesmo dia. 
A respeito dessas avaliações, julgue os itens seguintes. 
Se cada professor escolher o dia em que aplicará a avaliação final de sua disciplina de modo 
independente dos demais, a probabilidade de que todos escolham aplicar as avaliações em um 
mesmo dia será inferior a 1%. 
 
Resolução 
 
Item I. Vamos calcular o total de casos possíveis. Há 5 possibilidades de escolha para o primeiro 
professor, 5 possibilidades para o segundo professor, 5 possibilidades para o terceiro professor e 5 
possibilidades de escolha para o quarto professor. 
 
O total de casos possíveis é 5 x 5 x 5 x 5 = 625. 
 
Desses 625 casos possíveis, há 5 casos em que todos os professores escolhem o mesmo dia na 
semana: 1 caso em que todos escolhem a segunda-feira, 1 caso em que todos escolhem a terça-
feira, 1 caso em que todos escolhem a quarta-feira, 1 caso em que todos escolhem a quinta-feira e 
1 caso em que todos escolhem a sexta-feira. 
 
A probabilidade pedida é 5/625 = 1/125 = 0,008 = 0,8%. Esta probabilidade é inferior a 1%. 
 
Gabarito: Certo 
 
 
 
 
 
38. (CESPE 2013/SEGESP-AL) 
Nas investigações, pesquisadores e peritos devem evitar fazer afirmações e tirar conclusões 
errôneas. Erros de generalização, ocorridos ao se afirmar que certas características presentes em 
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alguns casos deveriam estar presentes em toda a população, são comuns. É comum, ainda, o uso 
de argumentos inválidos como justificativa para certas conclusões. Acerca de possíveis erros em 
trabalhos investigativos, julgue o item a seguir. 
Se determinado evento for impossível, então a probabilidade de ocorrência desse evento será 
nula. 
Resolução 
Este teorema foi provado a partir dos axiomas de Kolmogorov (releia a parte sobre definição 
axiomática de probabilidade). 
A probabilidade do evento impossível é zero: 𝑃(∅) = 0. 
Gabarito: Certo 
39. (CESPE 2013/BACEN) 
A numeração das notas de papel-moeda de determinado país é constituída por duas das 26 letras 
do alfabeto da língua portuguesa, com ou sem repetição, seguidas de um numeral com 9 
algarismos arábicos, de 0 a 9, com ou sem repetição. Julgue os próximos itens, relativos a esse 
sistema de numeração. 
Considere o conjunto das notas numeradas da forma #A12345678&, em que # representa uma 
letra do alfabeto e &, um algarismo. Nessa situação, retirando-se, aleatoriamente, uma nota desse 
conjunto, a probabilidade de # ser uma vogal e de & ser um algarismo menor que 4 é inferior a 
1/10. 
Resolução 
A probabilidade de # ser uma vogal é 5/26. 
Há 4 algarismos menores que 4, a saber: 0, 1, 2 e 3. Assim, a probabilidade de & ser um algarismo 
menor que 4 é 4/10. 
Como os eventos são independentes, a probabilidade de os dois eventos ocorrerem é o produto 
das probabilidades. 
5
26 ∙
4
10 =
20
260 =
2
26 =
1
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Como 1/13também ou perder para que X seja campeã. 
A probabilidade de X empatar e Y empatar ou X empatar e Y perder é igual a 0,30 x 0,10 + 0,30 x 
0,10 = 0,06 
 
iii) Se X vencer, Y pode vencer, empatar ou perder para que X seja campeã. 
A probabilidade de X vencer é 50% = 0,50. 
A probabilidade total de X ser campeã é igual a 0,02 + 0,06 + 0,50 = 0,58 = 58%. 
 
Gabarito: E 
43. (FUNRIO 2009/ Administrador FUNAI) 
 
O vírus X aparece nas formas X1 e X2. Se um indivíduo tem esse vírus, a probabilidade de ser na 
forma X1 é 3/5. Se o indivíduo tem o vírus na forma X1, a probabilidade desse indivíduo sobreviver 
é 2/3; mas, se o indivíduo tem o vírus na forma X2, a probabilidade dele sobreviver é 5/6. Nessas 
condições, a probabilidade do indivíduo portador do vírus X sobreviver é 
a) 11/15 
b) 2/3 
c) 3/5 
d) 7/15 
e) 1/3 
Resolução 
Se o indivíduo tem o vírus X, a probabilidade de ser na forma X1 é 3/5. 
 
𝑃(𝑋") =
3
5 
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Como o vírus só aparece nas formas X1 e X2, então a probabilidade de aparecer na forma X2 é: 
𝑃(𝑋-) =
2
5 
Isto porque a soma das probabilidades deve ser igual a 1. 
Se o indivíduo tem o vírus na forma X1, a probabilidade de esse indivíduo sobreviver é 2/3; mas, se 
o indivíduo tem o vírus na forma X2, a probabilidade de ele sobreviver é 5/6. 
Vamos montar uma diagrama de árvore. 
 
Queremos calcular a probabilidade de um portador do vírus X sobreviver. 
Vamos utilizar o Teorema da Probabilidade Total. Basta multiplicar as probabilidades dos caminhos 
que chegam a “sobreviver” e somar os resultados. 
Há dois casos a considerar. Os portadores na forma X1 e os portadores na forma X2. 
𝑃(𝑆𝑜𝑏𝑟𝑒𝑣𝑖𝑣𝑒𝑟) = 𝑃(𝑋"	𝑒	𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑣𝑖𝑣𝑒𝑟, 𝑜𝑢	𝑋-	𝑒	𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑣𝑖𝑣𝑒𝑟) =
3
5 ∙
2
3 +
2
5 ∙
5
6 
𝑃(𝑆𝑜𝑏𝑟𝑒𝑣𝑖𝑣𝑒𝑟) =
6
15 +
10
30 =
12 + 10
30 =
22
30 =
11
15 
 
Gabarito: A 
 
44. (FGV 2015/ TJ-RO) 
 
Suponha que A e B são dois eventos quaisquer, tais que P(A) = 0,7 e 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,9. Então, se eles 
são independentes, pode-se afirmar que P(B) é igual a: 
a) 0,6 
b) 3/4 
X1
Sobreviver
Não	sobreviver
X2
Sobreviver
Não	sobreviver
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c) 2/3 
d) 0,2 
e) 1/2 
Resolução 
Quando dois eventos são independentes, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵). 
Vamos aplicar a fórmula da probabilidade da união de dois eventos. 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 
0,9 = 0,7 + 𝑃(𝐵) − 0,7 ∙ 𝑃(𝐵) 
0,9 − 0,7 = 1 ∙ 𝑃(𝐵) − 0,7 ∙ 𝑃(𝐵) 
0,2 = 0,3 ∙ 𝑃(𝐵) 
𝑃(𝐵) =
0,2
0,3 =
2
3 
 
Gabarito: C 
 
45. (ESAF 2004/ MPU) 
 
 Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de forma 
aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% 
das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes, José o faz 
em 5% das vezes e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, 
ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido 
feita por José é igual a 
a) 0,15. 
b) 0,25. 
c) 0,30. 
d) 0,20. 
e) 0,40. 
Resolução 
Esta questão é um exemplo clássico de aplicação do Teorema de Bayes. 
Queremos calcular a probabilidade de José ter feito a sopa sabendo que a sopa está salgada. 
𝑃(𝐽𝑜𝑠é|𝑆𝑎𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎) =	? 
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Vamos aplicar a fórmula da probabilidade condicional. 
No numerador, devemos colocar a interseção dos eventos. No denominador, devemos colocar o 
evento que ocorreu (a sopa está salgada). 
𝑃(𝐽𝑜𝑠é|𝑆𝑎𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎) =
𝑃(𝐽𝑜𝑠é ∩ 𝑆𝑎𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎)
𝑃(𝑆𝑎𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎) 
Vamos calcular a probabilidade 𝑃(𝐽𝑜𝑠é ∩ 𝑆𝑎𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎). Observe que José faz a sopa em 40% das 
vezes. Quando a sopa é feita por José, a sopa fica salgada em 5% das vezes. 
𝑃(𝐽𝑜𝑠é ∩ 𝑆𝑎𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎) = 𝑃(𝐽𝑜𝑠é) ∙ 𝑃(𝑆𝑎𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎|𝐽𝑜𝑠é) = 0,40 × 0,05 = 0,02 
Vamos agora calcular a probabilidade de a sopa estar salgada (denominador). Neste caso, devemos 
englobar todos os casos em que a sopa está salgada: quando feita por João, José ou Maria. 
Sabemos que: 
- 40% das vezes a sopa é feita por João; João salga demais a sopa 10% das vezes. 
- 40% das vezes a sopa é feita por José; José salga demais a sopa 5% das vezes. 
- 20% das vezes a sopa é feita por Maria; Maria salga demais a sopa 20% das vezes. 
Assim, a probabilidade de a sopa estar salgada é: 
𝑃(𝑆𝑎𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎) = 0,40 ∙ 0,10 + 0,40 ∙ 0,05 + 0,20 ∙ 0,20 = 0,04 + 0,02 + 0,04 = 0,10 
Assim, a probabilidade pedida é: 
𝑃(𝐽𝑜𝑠é|𝑆𝑎𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎) =
𝑃(𝐽𝑜𝑠é ∩ 𝑆𝑎𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎)
𝑃(𝑆𝑎𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎) =
0,02
0,10 =
2
10 = 0,20 
Poderíamos ter construído um diagrama de árvore para facilitar o raciocínio. 
A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a 
sopa é feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. 
 
 
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- João salga demais a sopa 10% das vezes. 
- José salga demais a sopa 5% das vezes. 
- Maria salga demais a sopa 20% das vezes. 
 
Queremos calcular: 
𝑃(𝐽𝑜𝑠é|𝑆𝑎𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎) =
𝑃(𝐽𝑜𝑠é ∩ 𝑆𝑎𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎)
𝑃(𝑆𝑎𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎) 
 
Vamos começar pelo numerador: 
𝑃(𝐽𝑜𝑠é ∩ 𝑆𝑎𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎) =
40
100 ×
5
100 = 0,02 
Vamos ao denominador: 
𝑃(𝑆𝑎𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎) =
40
100 ×
10
100 +
40
100 ×
5
100 +
20
100 ×
20
100 
𝑃(𝑆𝑎𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎) = 0,04 + 0,02 + 0,04 = 0,10 
A probabilidade pedida é: 
𝑃(𝐽𝑜𝑠é|𝑆𝑎𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎) =
𝑃(𝐽𝑜𝑠é ∩ 𝑆𝑎𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎)
𝑃(𝑆𝑎𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎) =
0,02
0,10 =
2
10 = 0,20 
 
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Gabarito: D 
 
 
 
46. (ESAF 2010/ MPOG) 
Um viajante, a caminho de determinada cidade, deparou-se com uma bifurcação onde estão três 
meninos e não sabe que caminho tomar. Admita que estes três meninos, ao se lhes perguntar algo, 
um responde sempre falando a verdade, um sempre mente e o outro mente em 50% das vezes e 
consequentemente fala a verdade nas outras 50% das vezes. O viajante perguntou a um dos três 
meninos escolhido ao acaso qual era o caminho para a cidade e ele respondeu que era o da direita. 
Se ele fizer a mesma pergunta a um outro menino escolhido ao acaso entre os dois restantes, qual 
a probabilidade de ele também responder que é o caminho da direita? 
a) 1. 
b) 2/3. 
c) 1/2. 
d) 1/3. 
e) 1/4. 
Resolução 
Queremos que os dois meninos falem a mesma coisa. Em suma, queremos calcular a probabilidade 
de os dois dizerem a verdade ou de os dois mentirem. 
Seja V o menino que sempre diz a verdade, M o menino que sempre mente e VM o menino que 
pode tanto dizer a verdade quanto mentir. 
A probabilidadede cada menino ser escolhido na primeira etapa é 1/3. Se o menino VM for 
escolhido, a probabilidade de ele dizer a verdade é 1/2 e a probabilidade de ele dizer uma mentira 
é 1/2. 
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Vamos agora à segunda etapa, que é escolher o segundo menino. 
Se o menino V for o primeiro a falar, o segundo menino pode ser M ou VM. Cada menino tem 
probabilidade 1/2 de ser escolhido. Lembre-se ainda que VM pode falar verdade ou mentira com 
probabilidade 1/2 em cada caso. 
 
Se o menino M for o primeiro a falar, o segundo menino pode ser V ou VM. Cada menino tem 
probabilidade 1/2 de ser escolhido. Lembre-se ainda que VM pode falar verdade ou mentira com 
probabilidade 1/2 em cada caso. 
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Se VM foi o primeiro a falar, há duas possibilidades: ele falou a verdade ou mentiu. Em cada caso, 
há duas possibilidades para o próximo menino a ser escolhido para falar: V ou M. A probabilidade 
de cada menino ser escolhido é 1/2. 
 
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Estamos interessados nos casos em que os dois falam a verdade ou os dois mentem. 
 
Vamos agora multiplicar todas as probabilidades dos caminhos selecionados. 
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A probabilidade total é: 
𝑃 =
1
12 +
1
12 +
1
12 +
1
12 =
4
12 =
1
3 
 
Gabarito: D 
 
47. (ESAF 2004/ MPU) 
 
Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele 
estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de 
Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em 
Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em Paris. 
Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a 
probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a 
a) 2/3 
b) 1/7 
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c) 1/3 
d) 5/7 
e) 4/7 
Resolução 
Seja “A” o evento que ocorre quando Ana está em Paris. 
Seja “B” o evento que ocorre quando Beatriz está em Paris. 
Sabemos que P(A) = 3/7, P(B) = 2/7 e P(A e B) = 1/7. 
Queremos calcular a probabilidade de Beatriz estar em Paris, sabendo que Ana está em Paris, ou 
seja, queremos calcular P(B|A). 
Colocamos no numerador a probabilidade da interseção. Colocamos no denominador a 
probabilidade do evento ocorrido (probabilidade de Ana estar em Paris). 
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴) =
1/7
3/7 =
1
7 ∙
7
3 =
1
3 
 
Gabarito: C 
 
48. (ESAF 2009/ ANA) 
 
Na população brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer determinada variação genética 
é de 1%. Ao se examinar ao acaso três pessoas desta população, qual o valor mais próximo da 
probabilidade de exatamente uma pessoa examinada possuir esta variação genética? 
a) 0,98% 
b) 1% 
c) 2,94% 
d) 1,30% 
e) 3,96% 
Resolução 
Podemos ter as seguintes possibilidades. 
- a primeira pessoa escolhida tem a variação; as outras duas não. Como os eventos são 
independentes, a probabilidade de isso ocorrer é 0,01 x 0,99 x 0,99. 
- a primeira pessoa não tem a variação; a segunda tem; a terceira não. Como os eventos são 
independentes, a probabilidade de isso ocorrer é 0,99 x 0,01 x 0,99. 
- a primeira e a segunda pessoas não têm a variação; a terceira tem. Como os eventos são 
independentes, a probabilidade de isso ocorrer é 0,99 x 0,99 x 0,01. 
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A probabilidade total é: 
𝑃 = 0,01 ∙ 0,99 ∙ 0,99 + 0,99 ∙ 0,01 ∙ 0,99 + 0,99 ∙ 0,99 ∙ 0,01 
Observe que as três parcelas são iguais. 
𝑃 = 3 ∙ 0,01 ∙ 0,99 ∙ 0,99 
𝑃 = 0,029403 = 2,9403% 
 
Gabarito: C 
 
49. (ESAF 2009/ ANA) 
 
 Uma urna possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4 amarelas e 2 verdes. Tirando-se simultaneamente 3 
bolas, qual o valor mais próximo da probabilidade de que as 3 bolas sejam da mesma cor? 
a) 11,53% 
b) 4,24% 
c) 4,50% 
d) 5,15% 
e) 3,96% 
Resolução 
É importante notar que tanto faz retirar 3 bolas simultaneamente ou retirar as 3 bolas 
sucessivamente e sem reposição; estes dois processos sempre dão no mesmo resultado. 
i) Vamos retirar 3 bolas simultaneamente. 
Há um total de 5 + 4 + 4 + 2 = 15 bolas. Vamos retirar 3 bolas. Isto pode ser feito de: 
𝐶"�� =
15 ∙ 14 ∙ 13
3 ∙ 2 ∙ 1 = 455	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
Queremos retirar 3 azuis (dentre 5) ou 3 vermelhas (dentre 4) ou 3 amarelas (dentre 4). Isto por 
ser feito de: 
𝐶�� + 𝐶�� + 𝐶�� = 10 + 4 + 4 = 18	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
Assim, a probabilidade pedida é 18/455 ≅ 3,956%. 
ii) Vamos retirar 3 bolas sucessivamente e sem reposição. 
A probabilidade de as 3 bolas retiradas serem azuis é: 
5
15 ∙
4
14 ∙
3
13 =
60
2.730 
A probabilidade de as 3 bolas retiradas serem vermelhas é: 
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4
15 ∙
3
14 ∙
2
13 =
24
2.730 
A probabilidade de as 3 bolas retiradas serem amarelas é: 
4
15 ∙
3
14 ∙
2
13 =
24
2.730 
Assim, a probabilidade total de as 3 bolas serem da mesma cor é: 
60
2.730 +
24
2.730 +
24
2.730 =
108
2.730 
Simplificando a fração por 6, temos: 
108
2.730 =
18
455 ≅ 3,956% 
 
Gabarito: E 
 
50. (ESAF 2009/ ATRFB) 
 
Para acessar a sua conta nos caixas eletrônicos de determinado banco, um correntista deve utilizar 
sua senha constituída por três letras, não necessariamente distintas, em determinada sequência, 
sendo que as letras usadas são as letras do alfabeto, com exceção do W, totalizando 25 letras. 
Essas 25 letras são então distribuídas aleatoriamente, três vezes, na tela do terminal, por cinco 
teclas, em grupos de cinco letras por tecla, e, assim, para digitar sua senha, o correntista deve 
acionar, a cada vez, a tecla que contém a respectiva letra de sua senha. Deseja-se saber qual o 
valor mais próximo da probabilidade de ele apertar aleatoriamente em sequência três das cinco 
teclas à disposição e acertar ao acaso as teclas da senha? 
a) 0,001. 
b) 0,0001. 
c) 0,000125. 
d) 0,005. 
e) 0,008. 
Resolução 
Seja “A” o evento que ocorre quando, pressionando aleatoriamente três teclas em sequência, o 
cliente acerta a senha. 
Seja “A1” o evento que ocorre quando, pressionando aleatoriamente uma tecla, o cliente acerta a 
primeira letrada senha. 
Seja “A2” o evento que ocorre quando, pressionando aleatoriamente uma tecla, o cliente acerta a 
segunda letra da senha. 
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Seja “A3” o evento que ocorre quando, pressionando aleatoriamente uma tecla, o cliente acerta a 
terceira letra da senha. 
Para que “A” ocorra, “A1”, “A2” e “A3” devem ocorrer simultaneamente. Assim, 
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴" ∩ 𝐴- ∩ 𝐴�) 
Os três eventos são independentes. Portanto, A probabilidade da interseção é o produto das 
probabilidades. 
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴") ∙ 𝑃(𝐴-) ∙ 𝑃(𝐴�) 
Quando as teclas são mostradas na tela, são cinco teclas possíveis e apenas uma é correta. Assim, 
𝑃(𝐴") = 𝑃(𝐴-) = 𝑃(𝐴�) =
1
5 = 0,2 
Portanto, 
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴") ∙ 𝑃(𝐴-) ∙ 𝑃(𝐴�) = 0,2 × 0,2 × 0,2 = 0,008 
 
Gabarito: E 
 
51. (ESAF 2013/ DNIT) 
 
Dois dados de seis faces são lançados simultaneamente, e os números das faces voltadas para cima 
são somados. A probabilidade da soma obtida ser menor do que cinco ou igual a dez é igual a: 
a) 35% 
b) 20% 
c) 30% 
d) 15% 
e) 25% 
Resolução 
 Para questões envolvendo dois dados, é bem comum a construção de uma tabela. Vamos marcar 
as possibilidades em que a soma das pontuações é menor do que 5 ou igual a 10. 
 1 2 3 4 5 6 
1 X X X 
2 X X 
3 X 
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4 X 
5 X 
6 X 
 
São 9 casos desejados em um total de 36. A probabilidade pedida é 9/36 = 1/4 = 25%. 
 
Gabarito: E 
 
 
52. (ESAF 2013/ ATA-MF) 
 
No quadro a seguir, tem-se a listagem dos 150 funcionários de uma empresa: 
 
Uma bicicleta será sorteada entre os funcionários dessa empresa; a probabilidade de que uma 
mulher que desempenha a função de serviços gerais ganhe a bicicleta é igual a: 
a) 22% 
b) 23% 
c) 20% 
d) 24% 
e) 21% 
Resolução 
São 150 pessoas. Do total, 33 são mulheres que desempenham a função de serviços gerais. 
 Assim, a probabilidade pedida é 33/150 = 11/50 = 0,22 = 22%. 
 
Gabarito: A 
 
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53. (ESAF 2013/ ATA-MF) 
 
 Beatriz é servidora do Ministério da Fazenda e costuma se deslocar de casa para o trabalho de 
carro próprio ou de ônibus. Sabe-se que Beatriz se desloca de carro próprio em 90% das vezes e de 
ônibus em 10% das vezes. Quando Beatriz se desloca de ônibus, chega atrasada em 30% das vezes 
e, quando se desloca de carro próprio, chega atrasada em 10% das vezes. Em um determinado, dia 
Beatriz chegou atrasada ao trabalho. Qual a probabilidade de ela ter ido de ônibus neste dia? 
a) 30% 
b) 15% 
c) 20% 
d) 10% 
e) 25% 
Resolução 
Questão sobre o Teorema de Bayes. 
Queremos calcular a probabilidade de Beatriz ter ido de ônibus sabendo que ela chegou atrasada 
ao trabalho. 
𝑃(ô𝑛𝑖𝑏𝑢𝑠|𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎) =	? 
No numerador, devemos colocar a interseção dos eventos. No denominador, devemos colocar o 
evento que ocorreu. 
𝑃(ô𝑛𝑖𝑏𝑢𝑠|𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎) =
𝑃(ô𝑛𝑖𝑏𝑢𝑠	𝑒	𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎)
𝑃(𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎) 
Beatriz vai de ônibus em 10% das vezes. Quando vai de ônibus, chega atrasada em 30% das vezes. 
Assim, 
𝑃(ô𝑛𝑖𝑏𝑢𝑠	𝑒	𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎) = 0,10 × 0,30 = 0,03 
Vamos agora calcular a probabilidade de Beatriz chegar atrasada. Ela pode chegar atrasada indo de 
ônibus ou de carro próprio. Ela se desloca de carro próprio em 90% das vezes. Quando vai de carro 
próprio, chega atrasada em 10% das vezes. Beatriz vai de ônibus em 10% das vezes. Quando vai de 
ônibus, chega atrasada em 30% das vezes. 
𝑃(𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎) = 𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜	𝑒	𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎) + 𝑃(ô𝑛𝑖𝑏𝑢𝑠	𝑒	𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎) = 0,90 × 0,10 + 0,10 × 0,30 
𝑃(𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎) = 0,09 + 0,03 = 0,12 
A probabilidade pedida é: 
𝑃(ô𝑛𝑖𝑏𝑢𝑠|𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎) =
𝑃(ô𝑛𝑖𝑏𝑢𝑠	𝑒	𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎)
𝑃(𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎) =
0,03
0,12 =
3
12 =
1
4 = 0,25 = 25% 
Poderíamos ter construído um diagrama de árvore para facilitar o raciocínio. 
Sabe-se que Beatriz se desloca de carro próprio em 90% das vezes e de ônibus em 10% das vezes. 
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Quando Beatriz se desloca de ônibus, chega atrasada em 30% das vezes e, quando se desloca de 
carro próprio, chega atrasada em 10% das vezes. 
 
Assim, 
𝑃(ô𝑛𝑖𝑏𝑢𝑠	𝑒	𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎) =
10
100 ×
30
100 = 0,03 
𝑃(𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎) =
90
100 ∙
10
100 +
10
100 ∙
30
100 = 0,09 + 0,03 = 0,12 
A probabilidade pedida é: 
𝑃(ô𝑛𝑖𝑏𝑢𝑠|𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎) =
𝑃(ô𝑛𝑖𝑏𝑢𝑠	𝑒	𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎)
𝑃(𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎) =
0,03
0,12 =
3
12 =
1
4 = 0,25 = 25% 
 
Gabarito: E 
 
 
 
 
 
 
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54. (ESAF 2016/ FUNAI) 
Em uma cidade, 40% dos adultos são obesos, 45% dos adultos obesos são mulheres e 50% dos 
adultos não obesos são mulheres. Indique qual a probabilidade de que uma pessoa adulta da 
cidade escolhida ao acaso seja uma mulher. 
 
a) 0,48 
b) 0,49 
c) 0,50 
d) 0,51 
e) 0,52 
 
Resolução 
Podemos montar uma tabela para representar os dados. Suponha que há 1.000 adultos na cidade. 
Sabemos que 40% deles são obesos. Assim, há 400 obesos e 600 não-obesos. 
 Obesos Não-
obesos Total 
Homens 
Mulheres 
Total 400 600 1.000 
 
Dos 400 obesos, 45% são mulheres. 
45%	𝑑𝑒	400 =
45
100 ∙ 400 = 180	𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠	𝑜𝑏𝑒𝑠𝑎𝑠 
Assim, o número de homens obesos é 400 – 180 = 220. 
 Obesos Não-
obesos Total 
Homens 220 
Mulheres 180 
Total 400 600 1.000 
 
Sabemos ainda que 50% dos adultos não obesos são mulheres. 
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220 
São 600 não obesos. Assim, 300 são mulheres e 300 são homens. 
 Obesos Não-
obesos Total 
Homens 220 300 
Mulheres 180 300 
Total 400 600 1.000 
 
Agora basta somar os números nas linhas. 
 
 
 
 Obesos Não-
obesos Total 
Homens 220 300 520 
Mulheres 180 300 480 
Total 400 600 1.000 
 
São 480 mulheres em um total de 1.000 adultos. Assim, a probabilidade pedida é 480/1.000 = 0,48. 
Gabarito: A 
 
55. (ESAF 2005/ APO-MPOG) 
 
Há três moedas em um saco. Apenas uma delas é uma moeda normal, com “cara” em uma face e 
“coroa” na outra. As demais são moedas defeituosas. Uma delas tem “cara” em ambas as faces. A 
outra tem “coroa” em ambas as faces. Uma moeda é retirada do saco, ao acaso, e é colocada sobre 
a mesa sem que se veja qual a face que ficou voltada para baixo. Vê-se que a face voltada para 
cima é “cara”. Considerando todas estas informações, a probabilidade de que a face voltada para 
baixo seja “coroa” é igual a: 
a) 1/2 
b) 1/3Brunno Lima, Guilherme Neves
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 130 
220 
c) 1/4 
d) 2/3 
e) 3/4 
Resolução 
Queremos calcular a probabilidade de que a face voltada para baixo seja “coroa” sabendo que a 
face voltada para cima é “cara”. 
𝑃(𝑓𝑎𝑐𝑒	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜	é	𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎|𝑓𝑎𝑐𝑒	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑐𝑖𝑚𝑎	é	𝑐𝑎𝑟𝑎) =	? 
No numerador, devemos colocar a interseção dos eventos. No denominador, devemos colocar o 
evento que ocorreu. 
𝑃(𝑓𝑎𝑐𝑒	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜	é	𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎|𝑓𝑎𝑐𝑒	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑐𝑖𝑚𝑎	é	𝑐𝑎𝑟𝑎) =
𝑃(𝑓𝑎𝑐𝑒	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜	é	𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎	𝑒	𝑓𝑎𝑐𝑒	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑐𝑖𝑚𝑎	é	𝑐𝑎𝑟𝑎)
𝑃(𝑓𝑎𝑐𝑒	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑐𝑖𝑚𝑎	é	𝑐𝑎𝑟𝑎) 
Vamos calcular a probabilidade do numerador. 
𝑃(𝑓𝑎𝑐𝑒	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑏a𝑖𝑥𝑜	é	𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎	𝑒	𝑓𝑎𝑐𝑒	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑐𝑖𝑚𝑎	é	𝑐𝑎𝑟𝑎) =	? 
São 3 moedas. A probabilidade de cada moeda ser escolhida é 1/3. A probabilidade de a “coroa” 
ficar para baixo e “cara” para cima é 1/2. Assim, 
𝑃(𝑓𝑎𝑐𝑒	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑏a𝑖𝑥𝑜	é	𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎	𝑒	𝑓𝑎𝑐𝑒	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑐𝑖𝑚𝑎	é	𝑐𝑎𝑟𝑎) =
1
3 ∙
1
2 =
1
6 
Vamos agora calcular a probabilidade de a face voltada para cima ser “cara” independentemente 
de qual moeda é escolhida. 
A probabilidade de a moeda que contém 2 caras ser escolhida é 1/3. Se isso ocorre, a face voltada 
para cima certamente é cara. Assim, a probabilidade de a face “cara” estar voltada para cima é 
igual a 1/3. 
A probabilidade de a moeda que contém duas coroas é 1/3. Se isso ocorre, é impossível que a face 
voltada para cima seja “cara”. Neste caso, a probabilidade de a face “cara” estar voltada para cima 
é 0. 
Há uma moeda que contém 1 cara e 1 coroa. A probabilidade de essa moeda ser escolhida é 1/3. 
Se esta moeda for escolhida, a probabilidade de a “coroa” ficar para baixo e “cara” para cima é 
1/2. Assim, a probabilidade de a face “cara” estar voltada para cima é (1/3) x (1/2) = 1/6. 
Portanto, 
𝑃(𝑓𝑎𝑐𝑒	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑐𝑖𝑚𝑎	é	𝑐𝑎𝑟𝑎) =
1
3 + 0 +
1
6 =
2 + 0 + 1
6 =
3
6 
Assim, a probabilidade pedida é: 
𝑃(𝑓𝑎𝑐𝑒	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜	é	𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎|𝑓𝑎𝑐𝑒	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑐𝑖𝑚𝑎	é	𝑐𝑎𝑟𝑎) =
𝑃(𝑓𝑎𝑐𝑒	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜	é	𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎	𝑒	𝑓𝑎𝑐𝑒	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑐𝑖𝑚𝑎	é	𝑐𝑎𝑟𝑎)
𝑃(𝑓𝑎𝑐𝑒	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑐𝑖𝑚𝑎	é	𝑐𝑎𝑟𝑎) 
𝑃(𝑓𝑎𝑐𝑒	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜	é	𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎|𝑓𝑎𝑐𝑒	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑐𝑖𝑚𝑎	é	𝑐𝑎𝑟𝑎) =
1/6
3/6 =
1
6 ∙
6
3 =
1
3 
Gabarito: B 
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56. (ESAF 2014/ MTUR) 
 Uma caixa contém 3 moedas de um real e 2 moedas de cinquenta centavos. 2 moedas serão 
retiradas dessa caixa ao acaso e obedecendo às condições: se a moeda retirada for de um real, 
então ela será devolvida à caixa e, se for de cinquenta centavos, não será devolvida à caixa. Logo, a 
probabilidade de pelo menos uma moeda ser de um real é igual a 
 
a) 80% 
b) 75% 
c) 90% 
d) 70% 
e) 85% 
 
Resolução 
Queremos calcular a probabilidade de pelo menos uma moeda ser de um real. Assim, NÃO 
queremos que as duas moedas sejam de cinquenta centavos. 
Lembre-se que 𝑃(𝐴) + 𝑃(	𝐴	YYY) = 1. Assim, vamos calcular a probabilidade do evento 
complementar, ou seja, a probabilidade do evento que não estamos interessados. 
Se a moeda retirada for a moeda de cinquenta centavos, ela não é devolvida à caixa. A 
probabilidade de a primeira moeda retirada ser de cinquenta centavos é 2/5, pois há 2 moedas de 
cinquenta centavos em um total de 5 moedas. Esta moeda não será devolvida à caixa. 
Assim, sobra 1 moeda de cinquenta centavos em um total de 4 moedas. A probabilidade de a 
segunda moeda retirada ser de cinquenta centavos é 1/4. 
Desta forma, a probabilidade de as duas moedas retiradas serem de cinquenta centavos é 
𝑃(	𝐴	YYY) =
2
5 ∙
1
4 =
2
20 =
1
10 = 10% 
Desta forma, a probabilidade de pelo menos uma moeda ser de um real é 100% - 10% = 90%. 
Gabarito: C 
Vamos agora resolver descrevendo todas as possibilidades. 
Estamos interessados nos seguintes casos: 
- as duas moedas retiradas são de 1 real. 
- a primeira moeda retirada é de 1 real e a segunda moeda retirada é de 50 centavos. 
- a primeira moeda retirada é de 50 centavos e a segunda moeda retirada é de 1 real. 
 
Vamos calcular a probabilidade em cada um desses casos e somar. 
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- as duas moedas retiradas são de 1 real. 
A probabilidade de a primeira moeda ser de 1 real é 3/5. Esta moeda será devolvida à caixa. Assim, 
a probabilidade de a segunda moeda ser de 1 real é 3/5. 
A probabilidade de as duas moedas retiradas serem de 1 real é igual a 
3
5 ∙
3
5 =
9
25 = 0,36 = 36% 
- a primeira moeda retirada é de 1 real e a segunda moeda retirada é de 50 centavos. 
A probabilidade de a primeira moeda ser de 1 real é 3/5. Esta moeda será devolvida à caixa. A 
probabilidade de a segunda moeda ser de 50 centavos é 2/5. Assim, a probabilidade de a primeira 
ser de 1 real e a segunda ser de 50 centavos é 
3
5 ∙
2
5 =
6
25 = 0,24 = 24% 
- a primeira moeda retirada é de 50 centavos e a segunda moeda retirada é de 1 real. 
A probabilidade de a primeira moeda ser de 50 centavos é 2/5. Esta moeda não será devolvida. 
Assim, a probabilidade de a segunda moeda ser de 1 real é 3/4. Assim, a probabilidade de a 
primeira ser de 50 centavos e a segunda ser de 1 real é 
2
5 ∙
3
4 =
6
20 = 0,30 = 30% 
A probabilidade total é 36% + 24% + 30% = 90%. 
Gabarito: C 
 
57. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
 Com os dígitos 3, 4, 5, 7, 8 e 9 serão formadas centenas com dígitos distintos. Se uma centena for 
selecionada ao acaso, a probabilidade de ser menor do que 500 e par é 
 
a) 15% 
b) 10% 
c) 25% 
d) 30% 
e) 20% 
 
Resolução 
Vamos calcular os casos possíveis. Formaremos números de 3 dígitos distintos. Há 6 possibilidades 
para o primeiro dígito, 5 possibilidades para o segundo e 4 possibilidades para o terceiro. Pelo 
princípio fundamental da contagem, o total de números que podem ser formados é 
6 × 5 × 4 = 120 
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Vamos agora calcular os casos desejados. Estamos interessados em números pares menores que 
500. 
Para que o número seja menor que 500, o algarismo das centenas só pode ser 3 ou 4. 
Para que o número seja par, o algarismo das unidades tem que ser par. 
Se o algarismo das centenas for o número 3, então há 2 possibilidades para o algarismo das 
unidades: 4 ou 8. 
São 6 algarismos disponíveis. Já utilizamos um algarismo nas centenas e um algarismo nas 
unidades. Sobram 4 possibilidades para o algarismo das dezenas. 
Assim, o total de números pares menores que 500 e começando com 3 é igual a 2 × 4 = 8. 
Se o algarismo das centenas for 4, o algarismo das unidades obrigatoriamente será 8. 
São 6 algarismos disponíveis. Já utilizamos um algarismo nas centenas e um algarismo nas 
unidades. Sobram 4 possibilidades para o algarismo das dezenas. 
Assim, o total de números pares menores que 500 e começando com 4 é igual a 8. 
Estamos interessados em 8 + 4 = 12 possibilidades. 
A probabilidade pedida é 12/120 = 0,10 = 10%. 
Gabarito: B 
 
58. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
Dois eventos, A e B,são ditos independentes quando: 
a) 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐵) 
b) 𝑃(𝐵|𝐴) = 1 − 𝑃(𝐵) 
c) 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) 
d) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0 
e) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) 
Resolução 
Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um evento não influi no cálculo da 
probabilidade do outro. Isto está descrito na alternativa C. 
𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) 
Esta expressão indica que a probabilidade de A ocorrer sabendo que B ocorreu é a própria 
probabilidade de A ocorrer. 
Gabarito: C 
 
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59. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
Dois eventos A e B são tais que: P(A) = 0,25; P(B/A) = 0,5; P(A | B) = 0,25. Assim, pode-se afirmar 
que: 
a) A e B são eventos dependentes. 
 
b) P(B) = 0,5 e os eventos são mutuamente exclusivos. 
 
c) P(B) = 0,25 e os eventos são independentes. 
 
d) P(B) = 0,5 e os eventos são independentes. 
 
e) P(A ∩ B) = 0 e os eventos são independentes. 
Resolução 
Observe que 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) = 0,25. Assim, podemos concluir que os eventos A e B são 
independentes. 
Como os eventos são independentes, então 
𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵|𝐴) = 0,5. 
Vamos calcular a probabilidade da interseção. Como os eventos são independentes, a 
probabilidade da interseção é o produto das probabilidades. 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) = 0,25 ∙ 0,5 = 0,125 
 
Gabarito: D 
 
60. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
 Uma moeda não viciada é lançada 4 vezes. Assim, a probabilidade de se obter 2 caras é igual a: 
a) 1/16 
b) 1/4 
c) 3/16 
d) 3/8 
e) 1/2 
Resolução 
 
O enunciado possui uma imprecisão: queremos, na verdade, calcular a probabilidade de se obter 
EXATAMENTE 2 caras. É importante notar que este erro é bastante comum em provas da ESAF. 
Digamos que Cara = C e Coroa = K. 
Vamos calcular a probabilidade de obtermos a sequência CCKK. 
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1
2 ∙
1
2 ∙
1
2 ∙
1
2 =
1
16 
Neste caso, a probabilidade de obtermos cara-cara-coroa-coroa NESTA ORDEM é igual a 1/16. 
Entretanto, o enunciado não pediu que a ordem fosse exatamente esta. Queremos 2 caras sem 
importar a sua posição. 
Ora, podemos permutar as letras CCKK de 
𝑃�
-,- =
4!
2! 2! =
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
2 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 1 = 6 
Não precisamos escrever, mas eis as 6 possibilidades que nos interessam: CCKK, CKCK, CKKC, KKCC, 
KCKC, KCCK. 
Assim, para calcular a probabilidade pedida, devemos multiplicar 1/16 por 6. 
6 ∙
1
16 =
3
8 
 
Gabarito: D 
 
61. (ESAF 2016/ ANAC) 
 
 Em um determinado município, 70% da população é favorável a um certo projeto. Se uma amostra 
aleatória de cinco pessoas dessa população for selecionada, então a probabilidade de exatamente 
três pessoas serem favoráveis ao projeto é igual a 
a) 40,58%. 
b) 35,79%. 
c) 42,37%. 
d) 30,87%. 
e) 37,46%. 
Resolução 
Seja F uma pessoa favorável ao projeto e N uma pessoa não favorável ao projeto. 
Vamos selecionar 5 pessoas e queremos calcular a probabilidade de exatamente 3 serem 
favoráveis. Vamos, por exemplo, calcular a probabilidade de obtermos a sequência FFFNN. 
70
100 ∙
70
100 ∙
70
100 ∙
30
100 ∙
30
100 
Entretanto, não obrigatoriamente a sequência será FFFNN. Podemos permutar estas 5 letras de 
𝑃�
�,- =
5!
3! 2! =
5 ∙ 4 ∙ 3!
3! ∙ 2 ∙ 1 = 10 
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Assim, vamos multiplicar a probabilidade acima por 10. 
10 ∙
70
100 ∙
70
100 ∙
70
100 ∙
30
100 ∙
30
100 = 0,3087 = 30,87% 
 
Gabarito: D 
 
62. (ESAF 2016/ ANAC) 
 
Considere que, num determinado setor da ANAC, três pessoas, A, B e C, são responsáveis 
diariamente pelos relatórios das atividades desenvolvidas. Dos últimos 200 relatórios, A foi o 
responsável por 50, B foi responsável por 70 e C foi responsável por 80. Em 6% das vezes, o 
relatório de A apresenta algum tipo de erro, de B em 10% das vezes e de C em 5% das vezes. 
Seleciona-se ao acaso um relatório desses 200 e verifica-se que apresenta algum tipo de erro, 
então a probabilidade de ter sido elaborado por B é igual a 
a) 0,35. 
b) 0,30. 
c) 0,45. 
d) 0,40. 
e) 0,50. 
Resolução 
Queremos calcular a probabilidade de o relatório ter sido elaborado por B sabendo que o relatório 
apresenta algum tipo de erro. 
𝑃(𝐵|𝑒𝑟𝑟𝑜) =	? 
No numerador, devemos colocar a interseção dos eventos. No denominador, devemos colocar o 
evento que ocorreu. 
𝑃(𝐵|𝑒𝑟𝑟𝑜) =
𝑃(𝐵	𝑒	𝑒𝑟𝑟𝑜)
𝑃(𝑒𝑟𝑟𝑜) 
B foi responsável por 70 dos 200 relatórios. Assim, a probabilidade de o relatório selecionado ter 
sido feito por B é igual a 70/200 = 0,35. 
Os relatórios de B apresentam erro em 10% das vezes. Assim, a probabilidade de o relatório ter 
sido feito por B e apresentar um erro é igual a 
𝑃(𝐵	𝑒	𝑒𝑟𝑟𝑜) = 0,35 ∙ 0,10 = 0,035 
Este é o numerador da nossa fração. 
Vamos agora calcular a probabilidade de um relatório qualquer apresentar erro, 
independentemente de quem o tenha feito. 
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𝑃(𝑒𝑟𝑟𝑜) = 𝑃(𝐴	𝑒	𝑒𝑟𝑟𝑜) + 𝑃(𝐵	𝑒	𝑒𝑟𝑟𝑜) + 𝑃(𝐶	𝑒	𝑒𝑟𝑟𝑜) 
𝑃(𝑒𝑟𝑟𝑜) =
50
200 ∙ 0,06 +
70
200 ∙ 0,10 +
80
200 ∙ 0,05 
𝑃(𝑒𝑟𝑟𝑜) = 0,015 + 0,035 + 0,02 = 0,07 
A probabilidade pedida é: 
𝑃(𝐵|𝑒𝑟𝑟𝑜) =
𝑃(𝐵	𝑒	𝑒𝑟𝑟𝑜)
𝑃(𝑒𝑟𝑟𝑜) =
0,035
0,07 =
35
70 =
1
2 = 0,50 
Poderíamos ter raciocinado assim: 
Em 6% das vezes, o relatório de A apresenta algum tipo de erro. Como A foi responsável por 50 
relatórios, então 0,06*50 = 3 relatórios de A contém algum erro. 
B foi responsável por 70 relatórios e 10% deles (7 relatórios) possuem algum tipo de erro. 
C foi responsável por 80 relatórios dos quais 5% (4 relatórios) possuem algum tipo de erro. 
No geral, há 3 + 7 + 4 = 14 relatórios que apresentam algum tipo de erro, sendo 3 feitos por A, 7 
por B e 4 por C. 
Seleciona-se ao acaso um relatório desses 200 e verifica-se que apresenta algum tipo de erro. 
Qual a probabilidade de o relatório ter sido elaborado por B? 
Ora, há 14 relatórios que apresentam algum tipo de erro. Destes, 7 foram elaborados por B. A 
probabilidade pedida é 7/14 = 0,5. 
 
Gabarito: E 
 
63. (ESAF 2016/ ANAC) 
 
Uma caixa contém seis bolas brancas e quatro pretas. Duas bolas serão retiradas dessa caixa, uma 
a uma e sem reposição, então a probabilidade de uma ser branca e a outra ser preta é igual a 
a) 4/15. 
b) 7/15. 
c) 2/15. 
d) 8/15. 
e) 11/15. 
Resolução 
Há duas possibilidades: BP ou PB. 
 
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Vejamos BP. A probabilidade de a primeira bola retirada ser branca é 6/10. A probabilidade de a 
segunda bola retirada ser preta é 4/9, pois já tiramos uma bola da caixa e o total passa de 10 para 
9. 
Vejamos PB. A probabilidade de a primeira bola retirada ser preta é 4/10. A probabilidade de a 
segunda bola retirada ser branca é 6/9, pois já tiramos uma bola da caixa e o total passade 10 para 
9. 
 
 
𝑃(𝐵𝑃	𝑜𝑢	𝑃𝐵) =
6
10 ⋅
4
9 +
4
10 ⋅
6
9 =
24
90 +
24
90 =
48
90 =
8
15 
 
Gabarito: D 
 
64. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
Quando Maria vai visitar sua família, a probabilidade de Maria encontrar sua filha Kátia é 0,25; a 
probabilidade de Maria encontrar seu primo Josino é igual a 0,30; a probabilidade de Maria 
encontrar ambos ─ Kátia e Josino ─ é igual a 0,05. Sabendo-se que, ao visitar sua família, Maria 
encontrou Kátia, então a probabilidade de ela ter encontrado Josino é igual a: 
a) 0,30 
b) 0,20
 
c) 0,075 
d) 0,1667 
e) 0,05 
Resolução 
O enunciado afirma que: 
𝑃(𝐾á𝑡𝑖𝑎) = 0,25 
𝑃(𝐽𝑜𝑠𝑖𝑛𝑜) = 0,30 
𝑃(𝐾á𝑡𝑖𝑎	𝑒	𝐽𝑜𝑠𝑖𝑛𝑜) = 0,05 
Queremos calcular a probabilidade de Maria ter encontrado Josino, sabendo que Maria encontrou 
Kátia. 
𝑃(𝐽𝑜𝑠𝑖𝑛𝑜|𝐾á𝑡𝑖𝑎) =	? 
No numerador, devemos colocar a interseção dos eventos. No denominador, devemos colocar o 
evento que ocorreu. 
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𝑃(𝐽𝑜𝑠𝑖𝑛𝑜|𝐾á𝑡𝑖𝑎) =
𝑃(𝐾á𝑡𝑖𝑎	𝑒	𝐽𝑜𝑠𝑖𝑛𝑜)
𝑃(𝐾á𝑡𝑖𝑎) =
0,05
0,25 =
5
25 =
1
5 = 0,20 
Gabarito: B 
 
65. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
Beto e Bóris são grandes amigos e moram em cidades diferentes. Durante uma viagem que 
realizaram ao Rio de Janeiro para participar de um congresso, Beto ficou devendo a Bóris 500 
dólares. Bóris, um rico empresário, disse a Beto que não se preocupasse com a dívida, pois assim 
teria um motivo para viajar até a cidade de Beto, tantas vezes quantas forem necessárias, para 
cobrar a dívida. Como Beto reside sozinho e costuma sair muito, Bóris só poderá cobrar a dívida se 
encontrar Beto em sua casa. Sabe-se que a probabilidade de Beto ser encontrado em casa é 1/5. 
Então, a probabilidade de Bóris ter de ir mais de 2 vezes à casa de Beto para cobrar a dívida é dada 
por: 
a) 1/8 
b) 4/25 
c) 9/25 
d) 3/16 
e) 16/25 
Resolução 
Para que Bóris vá mais de 2 vezes, basta que ele não encontre Beto na primeira viagem e não 
encontre Beto na segunda viagem. A probabilidade de ele não encontrar Beto na primeira viagem 
é 4/5 e a probabilidade de ele não encontrar Beto na segunda viagem também é 4/5. 
Assim, a probabilidade pedida é 
4
5 ∙
4
5 =
16
25 
 
Gabarito: E 
 
66. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
 O processo de produção de uma fábrica de copos está apresentando um grande número de copos 
defeituosos, ou seja: copos trincados. Antônio e Ricardo estão realizando um estudo para analisar 
a quantidade de copos trincados. Antônio embala em uma caixa 8 copos, dos quais 3 estão 
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trincados. Ricardo retira, aleatoriamente, e sem reposição, 4 copos da caixa. Então, a 
probabilidade de Ricardo retirar, exatamente, dois copos trincados é igual a: 
a) 3/5 
b) 12 
c) 3/7 
d) 2/5 
e) 2/7 
Resolução 
Digamos que T seja um copo trincado e N seja um copo não trincado. Vamos retirar 4 copos, sem 
reposição, e queremos calcular a probabilidade de exatamente dois serem trincados. 
Vamos calcular a probabilidade de obtermos a sequência TTNN. 
A probabilidade de o primeiro copo ser trincado é 3/8. A probabilidade de o segundo ser trincado é 
2/7. A probabilidade de o terceiro ser não trincado é 5/6. A probabilidade de o quarto ser não 
trincado é 4/5. 
A probabilidade de obtermos a sequência TTNN é 
3
8 ∙
2
7 ∙
5
6 ∙
4
5 
Observe que 3 x 2 = 6. Assim, podemos cancelar os números 3 e 2 do numerador com o número 6 
do denominador. Podemos ainda cancelar o número 5 do numerador com o número 5 do 
denominador. 
3
8 ∙
2
7 ∙
5
6 ∙
4
5 =
4
8 ∙ 7 =
1
2 ∙ 7 =
1
14 
Entretanto, não obrigatoriamente os copos trincados serão os dois primeiros. Devemos levar em 
consideração as outras possíveis sequências. Podemos permutar as letras TTNN de 
𝑃�
-,- =
4!
2! 2! =
24
4 = 6	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
Assim, vamos multiplicar a probabilidade obtida por 6. 
𝑃 = 6 ∙
1
14 =
3
7 
Poderíamos resolver esta questão utilizando análise combinatória. 
Há 8 copos e vamos selecionar 4. Podemos fazer isso de 
𝐶�� =
8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 70	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠	𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 
Estes são os casos possíveis. 
Queremos calcular a probabilidade de serem 2 trincados e 2 normais. 
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Há 3 copos trincados e vamos selecionar 2. Há 5 copos normais e vamos selecionar 2. O total de 
possibilidades é 
𝐶�- ∙ 𝐶�- =
3 ∙ 2
2 ∙ 1 ∙
5 ∙ 4
2 ∙ 1 = 30 
Estes são os casos desejados. 
A probabilidade é o número de casos desejados dividido pelo número de casos possíveis. 
𝑃 =
30
70 =
3
7 
 
Gabarito: C 
 
67. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
 Coruja e Pardal são dois jogadores do Futebol Clube Natureza, FCN. Talvez Coruja e Pardal não 
possam defender o FCN em sua próxima partida, contra seu temido adversário, o Futebol Clube 
Verde, FCV. A probabilidade de Coruja jogar é 40% e a de Pardal jogar é 70%. Com ambos os 
jogadores em campo, o FCN terá 60% de probabilidade de vencer o FCV. Mas se nem Coruja e nem 
Pardal jogarem, a probabilidade de vitória do FCN passa para 30%. No entanto, se Coruja jogar e 
Pardal não jogar, a probabilidade de o FCN vencer o FCV é de 50%. Se Pardal jogar e Coruja não 
jogar, essa probabilidade passa para 40%. Sabendo-se que o fato de Coruja jogar ou não é 
independente de Pardal jogar ou não, então a probabilidade de o FCN vencer seu temido 
adversário é igual a: 
 
a) 90% 
b) 45% 
c) 60% 
d) 30% 
e) 75% 
 
Resolução 
Sejam: 
- P(C) a probabilidade de Coruja jogar. 
- P(P) a probabilidade de Pardal jogar. 
O enunciado nos informou que 𝑃(𝐶) = 0,4 e 𝑃(𝑃) = 0,7. 
Desta forma, a probabilidade de Coruja não jogar é 𝑃(	𝐶	YYY) = 1 − 0,4 = 0,6 e a probabilidade de 
Pardal não jogar é	𝑃(	𝑃	YYY) = 1 − 0,7 = 0,3. 
- Com ambos os jogadores em campo, o FCN terá 60% de probabilidade de vencer o FCV. 
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A probabilidade de o FCN vencer neste caso é: 
0,4§
rt�w�{	�t�{
∙ 0,7§
�{�~{}	�t�{
∙ 0,6§
uv|zv
= 0,168 
 - Se nem Coruja e nem Pardal jogarem, a probabilidade de vitória do FCN passa para 30%. 
A probabilidade de o FCN vencer neste caso é: 
0,6§
rt�w�{	|ãt	�t�{
∙ 0,3§
�{�~{}	|ãt	�t�{
∙ 0,3§
uv|zv
= 0,054 
- Se Coruja jogar e Pardal não jogar, a probabilidade de o FCN vencer o FCV é de 50%. 
A probabilidade de o FCN vencer neste caso é: 
0,4§
rt�w�{	�t�{
∙ 0,3§
�{�~{}	|ãt	�t�{
∙ 0,5§
uv|zv
= 0,06 
- Se Pardal jogar e Coruja não jogar, essa probabilidade passa para 40%. 
A probabilidade de o FCN vencer neste caso é: 
0,6§
rt�w�{	|ãt	�t�{
∙ 0,7§
�{�~{}	�t�{
∙ 0,4§
uv|zv
= 0,168 
A probabilidade total de o FCN vencer é: 
𝑃 = 0,168 + 0,054 + 0,06 + 0,168 = 0,45 
 
Gabarito: B 
 
68. (ESAF 2014/ MTUR) 
 
Em um clube, 5% dos homens e 2% das mulheres praticam basquete. Sabe-se que 40% dos 
frequentadores são mulheres. Selecionando-se, ao acaso, um frequentador desse clube, verificou-
se que ele pratica basquete. Assim, a probabilidade desse frequentador ser mulher é igual a: 
 
a) 4/15 
b) 4/19 
c) 23/45d) 6/19 
e) 4/21 
 
Resolução 
Queremos calcular a probabilidade de a pessoa selecionada ser mulher, sabendo que esta pessoa 
pratica basquete. 
𝑃(𝑀𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟|𝐵𝑎𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒) =	? 
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No numerador, devemos colocar a interseção dos eventos. No denominador, devemos colocar o 
evento que ocorreu. 
𝑃(𝑀𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟|𝐵𝑎𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒) =
𝑃(𝑀𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟	𝑒	𝐵𝑎𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒)
𝑃(𝐵𝑎𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒) 
A probabilidade de uma pessoa selecionada ser mulher e jogar basquete é: 
𝑃(𝑀𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟	𝑒	𝐵𝑎𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒) = 0,40 ∙ 0,02 = 0,008 
Para calcular a probabilidade de uma pessoa jogar basquete, devemos levar em consideração que 
a pessoa pode ser homem ou mulher. 
𝑃(𝐵𝑎𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒) = 𝑃(𝑀𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟	𝑒	𝐵𝑎𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒) + 𝑃(𝐻𝑜𝑚𝑒𝑚	𝑒	𝐵𝑎𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒) 
𝑃(𝐵𝑎𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒) = 0,40 ∙ 0,02 + 0,60 ∙ 0,05 = 0,008 + 0,03 = 0,038 
Assim, a probabilidade pedida é: 
𝑃(𝑀𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟|𝐵𝑎𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒) =
𝑃(𝑀𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟	𝑒	𝐵𝑎𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒)
𝑃(𝐵𝑎𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒) =
0,008
0,038 =
8
38 =
4
19 
 
Gabarito: B 
 
69. (ESAF - Adaptada 2014/ MTUR) 
 
 Um dado é lançado 12 vezes. Desse modo, a probabilidade de a face 6 aparecer 3 vezes, a face 5 
aparecer 2 vezes e a face 1 aparecer 4 vezes e as demais aparecerem uma vez é igual a: 
𝑎)
12!
5! 4! 3! �
1
6�
-�
 
𝑏)
12!
4! 3! 2! �
1
6�
"-
 
𝑐)
12!
4! 3! 2! �
1
6�
�"-
 
𝑑)
−12!
5! 4! 3! �
1
6�
"�
 
𝑎)
12!
5! 4! 3! �
1
6�
"-
 
Resolução 
Havia uma falha no enunciado original dizendo que o dado foi lançado 20 vezes. Por isso precisei 
fazer uma adaptação no enunciado e nas alternativas. 
Queremos, por exemplo, a ocorrência da seguinte sequência: 
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6, 6, 6, 5, 5, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4 
Como cada face tem probabilidade 1/6 de ocorrer, a probabilidade de ocorrer a sequência acima é: 
1
6 ∙
1
6 ∙
1
6 ∙ … ∙
1
6o���p���q
"-	x{ªt�v�
= �
1
6�
"-
 
Entretanto, devemos levar em consideração as outras sequências formadas pelos mesmos 
números. Temos 12 números para permutar com a repetição de alguns deles. Assim, o total de 
maneiras que podemos permutar os números acima é: 
𝑃"-
�,-,� =
12!
3! 2! 4! 
Assim, a probabilidade pedida é a probabilidade calculada multiplicada pelo número de 
permutações. 
12!
3! 2! 4! ∙ �
1
6�
"-
 
 
Gabarito: B 
 
70. (ESAF 2010/ SMF-RJ) 
 
Em cada um de um certo número par de cofres são colocadas uma moeda de ouro, uma de prata e 
uma de bronze. Em uma segunda etapa, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, é 
colocada uma moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de prata. Por fim, 
em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, coloca-se uma moeda de ouro, e em cada 
um dos cofres restantes, uma moeda de bronze. Desse modo, cada cofre ficou com cinco moedas. 
Ao se escolher um cofre ao acaso, qual é a probabilidade de ele conter três moedas de ouro? 
a) 0,15 
b) 0,20 
c) 0,5 
d) 0,25 
e) 0,7 
Resolução 
Todos os cofres recebem no início uma moeda de ouro, uma de prata e uma de bronze. 
Assim, a probabilidade de um cofre receber moeda de ouro na primeira etapa é igual a 100% = 1. 
Na segunda etapa, metade dos cofres recebem uma moeda de ouro. Assim, a probabilidade de um 
cofre receber moeda de ouro na segunda etapa é igual a 50%. 
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Na terceira etapa, metade dos cofres recebem uma moeda de ouro. Assim, a probabilidade de um 
cofre receber moeda de ouro na terceira etapa é igual a 50%. 
Para que um cofre tenha 3 moedas de ouro, ele precisa ter recebido moeda de ouro nas três 
etapas. Assim, a probabilidade de o cofre possuir 3 moedas de ouro é igual a 
1 × 0,50 × 0,50 = 0,25 
 
Gabarito: D 
 
71. (ESAF 2016/ ANAC) 
 
Em um determinado aeroporto, podem ocorrer dois eventos A e B, em que o evento A é a 
ocorrência de mau tempo e o evento B é a ocorrência de cancelamento de voos. Estes dois eventos 
A e B possuem as seguintes probabilidades: P(A)=4/5 e P(B)=1/3. A partir destes dados, pede-se 
para determinar os limites de P(A ∩ B). 
a) 1/5 ≤ P(A ∩ B) ≤ 1/4. 
 
b) 2/5 ≤ P(A ∩ B) ≤ 1/4. 
 
c) 1/15 ≤ P(A ∩ B) ≤ 1/3. 
 
d) 2/15 ≤ P(A ∩ B) ≤ 1/3. 
 
e) 1/5 ≤ P(A ∩ B) ≤ 1/3. 
Resolução 
Sabemos que: 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
Portanto, 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) 
O valor máximo que a probabilidade da união pode assumir é 1. Neste caso, teremos o valor 
mínimo da probabilidade da interseção, pois estamos subtraindo a reunião na fórmula acima. 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)�í| = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)�á« 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)�í| =
4
5 +
1
3 − 1 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)�í| =
12 + 5 − 15
15 =
2
15 
Com isso já podemos marcar a resposta na alternativa D. 
A probabilidade da interseção assumirá seu valor máximo quando a união assumir seu valor 
mínimo. 
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Observe que P(A) = 4/5 e P(B) = 1/3. Assim, P(A) > P(B). O menor valor que a probabilidade da 
união pode assumir é 4/5, que é o caso em que B é um subconjunto de A. Lembre-se que se B é 
subconjunto de A, então 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴. 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)�á« = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)�í| 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)�á« = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)�á« = 𝑃(𝐵) =
1
3 
 
Gabarito: D 
 
72. (ESAF 2016/ ANAC) 
 
Há duas rotas para ir da cidade A para a cidade B, e duas outras rotas para ir da cidade B para a 
cidade C. Cada uma dessas quatro rotas pode estar bloqueada com probabilidade q, 
independentemente uma das outras. Determine a probabilidade de haver uma rota aberta da 
cidade A à cidade B dado que não há nenhuma rota aberta da cidade A para a cidade C. Essa 
probabilidade condicional pedida é representada por: 
 
P(A tem rota aberta até B | A não tem rota aberta até C) 
a) 𝑃(𝐴	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐵	|	𝐴	𝑛ã𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐶) = ("��)���
"�("��)���
 
b) 𝑃(𝐴	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐵	|	𝐴	𝑛ã𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐶) = �"������
"�("���)�
 
c) 𝑃(𝐴	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐵	|	𝐴	𝑛ã𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐶) = ("��)�
"�("��)�
 
d) 𝑃(𝐴	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐵	|	𝐴	𝑛ã𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐶) = ("��)��
"�("��)��
 
e) 𝑃(𝐴	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐵	|	𝐴	𝑛ã𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎	𝑎𝑡é	𝐶) = ("��)��
"�("��)�
 
Resolução 
Observe o seguinte diagrama. 
 
Cada uma dessas quatro rotas pode estar bloqueada com probabilidade q, independentemente 
uma das outras. 
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Para que não haja rota de A para B, é necessário que as duas rotas estejam bloqueadas. A 
probabilidade de isso ocorrer é 𝑞 ∙ 𝑞 = 𝑞-. 
Haver rota de A para B é o evento complementar. Assim, a probabilidadeGuilherme Neves 
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Observe ainda que se A e B são eventos exaustivos, ou seja, 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑈, então 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 1. 
 
è Se A é um evento qualquer, então 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1. 
 
Esta propriedade afirma que qualquer probabilidade é um número maior ou igual a 0 e menor ou 
igual a 1. A probabilidade será igual a 0 se o evento for impossível e a probabilidade será igual a 1 
se o evento for certo. Se o evento A nem for o evento certo nem o evento impossível, então a 
probabilidade é um número positivo e menor que 1. 
 
è Se A é um evento qualquer, então 𝑃(𝐴) + 𝑃(�̅�) = 1. 
 
É muito fácil ilustrar esta propriedade. Imagine que alguém te informa que a probabilidade de 
chover amanhã seja de 30%. Você rapidamente conclui que a probabilidade de não chover é de 
70%. Isto porque a soma das probabilidades de eventos complementares é igual a 1. 
Lembre-se que o símbolo % significa dividir por 100. Desta forma, podemos dizer que a soma das 
probabilidades de eventos complementares é igual a 1 ou 100%. Já que: 
100% =
100
100 = 1 
Esta propriedade é importantíssima na resolução de muitas questões. Lembre-se que se a 
probabilidade de um evento A ocorrer é P(A), então a probabilidade de não ocorrer o evento A 
será igual a 1 – P(A). 
 
è Probabilidade do evento união 
 
Se A e B forem dois eventos quaisquer, então 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
Podemos ilustrar esta propriedade utilizando conjuntos. 
 
O evento interseção é aquele formado pelos elementos comuns entre A e B. 
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O evento união é o representado abaixo. 
 
 
Quando somamos 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) as probabilidades dos eventos contidos em 𝐴 ∩ 𝐵 são computadas 
duas vezes (uma por estarem em A e outra vez por estarem em B). Para eliminar esta “dupla 
contagem”, subtraímos 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) para que nenhum elemento seja contado mais de uma vez. O 
raciocínio é o mesmo do princípio da inclusão-exclusão (conjuntos). 
Vimos anteriormente que quando a interseção de dois conjuntos é o conjunto vazio eles são 
chamados de mutuamente excludentes. 
 
 
Neste caso, quando 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, tem-se que 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵). 
Para três conjuntos quaisquer, a probabilidade da união fica: 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) 
 
6. DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE 
 
Vamos agora definir probabilidade de acordo com a teoria axiomática de Kolmogorov. 
Este é o conceito moderno de probabilidade. Para tanto, vamos utilizar os conceitos de espaço 
amostral, evento e experimento aleatório. 
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Considere um experimento aleatório com espaço amostral U. Considere ainda um evento 
qualquer A. Assim, temos que 𝐴 ⊂ 𝑈. 
Por definição, a probabilidade de ocorrer o evento A é uma função P que atribui um número P(A), 
denominado probabilidade de A, para o evento A do espaço amostral U tal que: 
i) 𝑃(𝐴) ≥ 0 
ii) 𝑃(𝑈) = 1 
iii) Se A e B são eventos mutuamente excludentes (𝐴 ∩ 𝐵 = 𝜙), então 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵). 
Assim, adotamos as três sentenças acima como axiomas, ou seja, verdades absolutas que não 
carecem de demonstração. 
Observe que, a partir dos axiomas acima, podemos demonstrar alguns teoremas. Veja os exemplos 
a seguir: 
 
Teorema 1: Se A é um evento qualquer de um espaço amostral U e 	𝐴	YYY é o seu evento 
complementar, então 𝑃(𝐴) + 𝑃(	𝐴	YYY) = 1. 
Demonstração 
Os eventos 𝐴 e 	𝐴	YYY são mutuamente excludentes, já que a interseção entre eles é o conjunto vazio. 
Assim, substituindo B por 	𝐴	YYY no axioma iii, temos: 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 
𝑃(𝐴 ∪ 	𝐴	YYY) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(	𝐴	YYY) 
𝑃(𝑈) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(	𝐴	YYY) 
O segundo axioma afirma que 𝑃(𝑈) = 1, portanto: 
𝑃(𝐴) + 𝑃(	𝐴	YYY) = 1 
Como queríamos demonstrar. 
 
Teorema 2: A probabilidade do evento impossível é zero. 
Demonstração 
Os conjuntos 𝑈 e 𝜙 são mutuamente excludentes. Substituindo A por 𝑈 e B por 𝜙 no axioma iii, 
temos: 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 
𝑃(𝑈 ∪ 𝜙) = 𝑃(𝑈) + 𝑃(𝜙) 
𝑃(𝑈) = 𝑃(𝑈) + 𝑃(𝜙) 
𝑃(𝜙) = 0 
Como queríamos demonstrar. 
 
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7. PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
Imagine a seguinte situação: você está sentado em um teatro assistindo a uma peça. Há 400 
homens e 600 mulheres no teatro. De repente, é anunciado que será sorteado um carro entre os 
espectadores. Desta forma, como há 1.000 pessoas na plateia, então a probabilidade de um 
homem ser sorteado é igual a 
400
1.000 = 0,4 = 40% 
e a probabilidade de uma mulher ser sorteada é igual a 
600
1.000 = 0,6 = 60% 
Se eu, Guilherme, estivesse sentado neste teatro, a minha chance de ganhar este carro seria de 
1
1.000 = 0,001 = 0,1% 
 
Estas são as probabilidades a priori, quer dizer, antes que o experimento se realize. Suponhamos 
que o apresentador do sorteio realize o experimento e resolve fazer um tipo de suspense. Ele 
então informa que a pessoa sorteada é um homem. Ocorre uma frustração geral entre as 
mulheres. Por quê? Porque a chance de alguma mulher vencer agora é igual a 0. Esta é uma 
probabilidade a posteriori, isto é, depois de realizado o experimento. 
Por outro lado, os ânimos dos homens se exaltam. Suas chances aumentaram. 
Ora, não temos mais 1.000 concorrentes, e sim 400. Os casos possíveis agora totalizam 400 
pessoas. A minha chance que antes era de 0,1%, agora será de: 
 
1
400 = 0,0025 = 0,25% 
 
A minha chance de ganhar o carro aumentou! Observe que o espaço amostral foi “reduzido”. 
 
 
 
 
 
 
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Vejamos outro exemplo para entendermos bem este conceito. Considere a seguinte tabela que 
reúne alguns alunos do Estratégia. 
 Usam óculos Não usam óculos Total 
Mulheres 80 220 300 
Homens 20 180 200 
Total 100 400 500 
Imagine que colocamos em uma caixa 500 papéis, cada um com o nome de um destes 500 alunos. 
Vou retirar um papel desta caixa. 
A probabilidade de a pessoa sorteada usar óculos é igual a 100/500, pois há 100 pessoas que usam 
óculos em um total de 500 pessoas. 
A probabilidade de a pessoa sorteada ser uma mulher é igual a 300/500, pois há 300 mulheres em 
um total de 500 pessoas. 
Estas são probabilidades "a priori", pois foram calculadas antes da realização do sorteio. 
Imagine agora que eu realizo o sorteio e aviso: a pessoa sorteada é uma mulher. 
Qual é a probabilidade de ela usar óculos? 
Percebeu a diferença? 
Não temos mais 500 pessoas, pois sabemos que a pessoa sorteada é uma mulher! O total de 
possibilidades agora é 300. Queremos saber quantas pessoas, dentre as 300 mulheres, usam 
óculos. Ora, como há 80 mulheres que usam óculos, a probabilidade pedida (probabilidade a 
posteriori ou probabilidade condicional) é igual a 80/300. 
Imagine agora que eu realizo o sorteio e aviso: a pessoa sorteada usa óculos. 
Qual é a probabilidade de ela ser umade haver rota de A para B 
é 1 − 𝑞-. 
 
Para que não haja rota de B para C, é necessário que as duas rotas estejam bloqueadas. A 
probabilidade de isso ocorrer é 𝑞 ∙ 𝑞 = 𝑞-. 
Haver rota de B para C é o evento complementar. Assim, a probabilidade de haver rota de B para C 
é 1 − 𝑞-. 
 
Para que haja rota de A para C, tem que haver rota de A para B e tem que haver rota de B para C. 
Assim, a probabilidade de haver rota de A para C é (1 − 𝑞-)-. 
Não haver rota de A para C é o evento complementar. Assim, a probabilidade de não haver rota de 
A para C é 1 − (1 − 𝑞-)-. 
O problema pede P(A tem rota aberta até B | A não tem rota aberta até C). 
Para facilitar a linguagem, vamos escrever assim: 
𝑃(𝐴	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝐵|𝐴	𝑛ã𝑜	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝐶) =	? 
Devemos colocar a interseção dos eventos no numerador. No denominador, devemos colocar o 
evento que ocorreu. 
𝑃(𝐴	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝐵|𝐴	𝑛ã𝑜	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝐶) =
𝑃(𝐴	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝐵	𝑒	𝐴	𝑛ã𝑜	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝐶)
𝑃(𝐴	𝑛ã𝑜	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝐶) 
Ora, se há rota de A para B, mas não há rota de A para C, então o bloqueio ocorre de B para C. 
𝑃(𝐴	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝐵|𝐴	𝑛ã𝑜	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝐶) =
𝑃(𝐴	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝐵	𝑒	𝐵	𝑛ã𝑜	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝐶)
𝑃(𝐴	𝑛ã𝑜	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝐶) 
Vamos agora substituir as probabilidades que encontramos. 
Vimos que: 
- A probabilidade de haver rota de A para B é 1 − 𝑞-. 
- A probabilidade de não haver rota de B para C é 𝑞-. 
- A probabilidade de não haver rota de A para C é 1 − (1 − 𝑞-)-. 
𝑃(𝐴	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝐵|𝐴	𝑛ã𝑜	𝑟𝑜𝑡𝑎	𝐶) =
(1 − 𝑞-)𝑞-
1 − (1 − 𝑞-)- 
 
Gabarito: B 
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73. (ESAF 2012/ MI-CENAD) 
 
 Se A e B são eventos independentes, então: 
a) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐵) 
b) 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴)/𝑃(𝐵), se 𝑃(𝐵) > 0. 
c) 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) 
d) 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)/𝑃(𝐴), se 𝑃(𝐴) > 0. 
e) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 
Resolução 
A e B são eventos independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade de 
ocorrência do outro. 
Assim, a probabilidade de ocorrer o evento A sabendo que o evento B ocorreu é a própria 
probabilidade de ocorrer o evento A. 
 
Gabarito: C 
 
74. (ESAF 2015/ APO-MPOG) 
 
 Um restaurante especializado em carnes recebe somente 3 tipos de clientes, a saber: os que 
gostam de carne de gado, os que gostam de carne de javali e os que gostam de carne de jacaré. 
Desses clientes que frequentam o restaurante, 50% deles gostam de carne de gado, 40% gostam 
de carne de javali e 10% gostam de carne de jacaré. Por outro lado, dos clientes que gostam de 
carne de gado, 80% das vezes que vão ao restaurante eles bebem cerveja; dos clientes que gostam 
de carne de javali, 90% das vezes que vão ao restaurante, eles bebem cerveja; dos clientes que 
gostam de carne de jacaré, 95% das vezes que vão ao restaurante, eles bebem cerveja. Um cliente, 
ao sair do restaurante, informa que não bebeu cerveja. Assim, a probabilidade de que ele goste de 
carne de javali é igual a: 
a) 8/29 
b) 1/5 
c) 45/47 
d) 7/8 
e) 25/32 
Resolução 
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Queremos calcular a probabilidade de a pessoa gostar de carne de javali sabendo que a pessoa não 
bebeu cerveja. 
𝑃(𝑔𝑜𝑠𝑡𝑎	𝑑𝑒	𝑗𝑎𝑣𝑎𝑙𝑖|𝑛ã𝑜	𝑏𝑒𝑏𝑒𝑢	𝑐𝑒𝑟𝑣𝑒𝑗𝑎) =
𝑃(𝑔𝑜𝑠𝑡𝑎	𝑑𝑒	𝑗𝑎𝑣𝑎𝑙𝑖	𝑒	𝑛ã𝑜	𝑏𝑒𝑏𝑒𝑢	𝑐𝑒𝑟𝑣𝑒𝑗𝑎)
𝑃(𝑛ã𝑜	𝑏𝑒𝑏𝑒𝑢	𝑐𝑒𝑟𝑣𝑒𝑗𝑎) 
Sabemos que 40% gostam de carne de javali. Destes, 90% tomam cerveja. Portanto, 10% deles não 
tomam cerveja. Assim, 
𝑃(𝑔𝑜𝑠𝑡𝑎	𝑑𝑒	𝑗𝑎𝑣𝑎𝑙𝑖	𝑒	𝑛ã𝑜	𝑏𝑒𝑏𝑒𝑢	𝑐𝑒𝑟𝑣𝑒𝑗𝑎) = 0,4 ∙ 0,1 = 0,04 
Vamos agora calcular a probabilidade de a pessoa não tomar cerveja, independentemente de qual 
carne ela goste. Observe o texto: 
Desses clientes que frequentam o restaurante, 50% deles gostam de carne de gado, 40% gostam de 
carne de javali e 10% gostam de carne de jacaré. Por outro lado, dos clientes que gostam de carne 
de gado, 80% das vezes que vão ao restaurante eles bebem cerveja; dos clientes que gostam de 
carne de javali, 90% das vezes que vão ao restaurante, eles bebem cerveja; dos clientes que gostam 
de carne de jacaré, 95% das vezes que vão ao restaurante, eles bebem cerveja. 
Assim, 50% gostam de carne de gado e, destes, 20% não bebem cerveja. Sabemos ainda que 40% 
gostam de carne de javali dos quais 10% não tomam cerveja. Ademais, 10% gostam de carne de 
jacaré dos quais 5% não tomam cerveja. Assim, a probabilidade de uma pessoa não tomar cerveja 
é: 
𝑃(𝑛ã𝑜	𝑏𝑒𝑏𝑒𝑢	𝑐𝑒𝑟𝑣𝑒𝑗𝑎) = 0,5 ∙ 0,2 + 0,4 ∙ 0,1 + 0,1 ∙ 0,05 = 0,145 
A probabilidade pedida é: 
𝑃(𝑔𝑜𝑠𝑡𝑎	𝑑𝑒	𝑗𝑎𝑣𝑎𝑙𝑖|𝑛ã𝑜	𝑏𝑒𝑏𝑒𝑢	𝑐𝑒𝑟𝑣𝑒𝑗𝑎) =
𝑃(𝑔𝑜𝑠𝑡𝑎	𝑑𝑒	𝑗𝑎𝑣𝑎𝑙𝑖	𝑒	𝑛ã𝑜	𝑏𝑒𝑏𝑒𝑢	𝑐𝑒𝑟𝑣𝑒𝑗𝑎)
𝑃(𝑛ã𝑜	𝑏𝑒𝑏𝑒𝑢	𝑐𝑒𝑟𝑣𝑒𝑗𝑎) 
𝑃(𝑔𝑜𝑠𝑡𝑎	𝑑𝑒	𝑗𝑎𝑣𝑎𝑙𝑖|𝑛ã𝑜	𝑏𝑒𝑏𝑒𝑢	𝑐𝑒𝑟𝑣𝑒𝑗𝑎) =
0,04
0,145 =
40
145 =
8
29 
Poderíamos resolver também usando uma tabela. Vamos supor, sem perda de generalidade, que 
nosso universo é composto por 1.000 clientes. 
 Bebem Cerveja Não bebem cerveja Total 
Carne de Gado 
Carne de Javali 
Carne de Jacaré 
Total 1.000 
 
50% gostam de carne de gado: 500 clientes 
40% gostam de carne de javali: 400 clientes 
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10% gostam de carne de jacaré: 100 clientes. 
 Bebem Cerveja Não bebem cerveja Total 
Carne de Gado 500 
Carne de Javali 400 
Carne de Jacaré 100 
Total 1.000 
 
Dos clientes que gostam de carne de gado, 80% das vezes que vão ao restaurante eles bebem 
cerveja: 80% de 500 = 400 bebem cerveja; 100 não bebem cerveja. 
 Dos clientes que gostam de carne de javali, 90% das vezes que vão ao restaurante, eles bebem 
cerveja: 90% de 400 = 360 bebem cerveja; 40 não bebem cerveja. 
 Dos clientes que gostam de carne de jacaré, 95% das vezes que vão ao restaurante, eles bebem 
cerveja: 95% de 100 = 95 bebem cerveja; 5 não bebem cerveja. 
Nossa tabela fica assim: 
 
 Bebem Cerveja Não bebem cerveja Total 
Carne de Gado 400 100 500 
Carne de Javali 360 40 400 
Carne de Jacaré 95 5 100 
Total 1.000 
 
Só precisamos agora preencher os totais na última linha. 
 
 Bebem Cerveja Não bebem cerveja Total 
Carne de Gado 400 100 500 
Carne de Javali 360 40 400 
Carne de Jacaré 95 5 100 
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Total 855 145 1.000 
 
Vamos agora analisar o finalzinho do enunciado. 
Um cliente, ao sair do restaurante, informa que não bebeu cerveja. Assim, a probabilidade de 
que ele goste de carne de javali é igual a: 
Ora, sabemos que o cliente NÃO BEBEU CERVEJA. Assim, nosso universo foi restringido para 
apenas 145 pessoas. São as 145 pessoas que não bebem cerveja. Queremos calcular a 
probabilidade de que ele goste de carne de javali. 
Destas 145 pessoas que não bebem cerveja, 40 gostam de carne dejavali. A probabilidade pedida 
é 40/145. 
Simplificando esta fração por 5, obtemos 40/145 = 8/29. 
 
Gabarito: A 
 
75. (ESAF 2014/ ATA-MF) 
 
Considere que há três formas de Ana ir para o trabalho: de carro, de ônibus e de bicicleta. Em 20% 
das vezes ela vai de carro, em 30% das vezes de ônibus e em 50% das vezes de bicicleta. Do total 
das idas de carro, Ana chega atrasada em 15% delas, das idas de ônibus, chega atrasada em 10% 
delas e, quando vai de bicicleta, chega atrasada em 8% delas. Sabendo-se que um determinado dia 
Ana chegou atrasada ao trabalho, a probabilidade de ter ido de carro é igual a: 
a) 20% 
b) 40% 
c) 60% 
d) 50% 
e) 30% 
Resolução 
Para facilitar o raciocínio, vamos imaginar que Ana foi durante 100 dias consecutivos para o seu 
trabalho. Ela foi: 
- 20 vezes de carro 
- 30 vezes de ônibus 
- 50 vezes de bicicleta 
Do total das idas de carro, Ana chega atrasada em 15%. Como 15% de 20 é 3, então ela chegou 
atrasada 3 vezes indo de carro. 
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Do total das idas de ônibus, Ana chega atrasada em 10%. Como 10% de 30 é igual a 3, então ela 
chegou atrasada 3 vezes indo de ônibus. 
Do total das idas de bicicleta, Ana chega atrasada em 8%. Como 8% de 50 é igual a 4, então ela 
chegou atrasada 4 vezes indo de bicicleta. 
Resumindo, ela chegou atrasada 10 vezes: 3 de carro, 3 de ônibus e 4 de bicicleta. 
Observe agora a pergunta do enunciado: Sabendo-se que um determinado dia Ana chegou 
atrasada ao trabalho, qual a probabilidade de ter ido de carro? 
Ora, eu sei que Ana chegou atrasada. Portanto, vamos descartar todos os 90 dias que ela chegou 
dentro do horário. O nosso espaço amostral (casos possíveis) agora está restrito apenas aos 10 dias 
que Ana chegou atrasada. 
Dos 10 dias que ela chegou atrasada, 3 foram de carro. 
Assim, a probabilidade pedida é 3/10. 
Poderíamos também ter utilizado o teorema de Bayes. 
Queremos calcular a probabilidade de Ana ter ido de carro sabendo que ela chegou atrasada. 
𝑃(𝐶𝑎𝑟𝑟𝑜|𝐴𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎) =
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜	𝑒	𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎)
𝑃(𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎) 
A probabilidade de ela ir de carro é 20%. Das vezes que vai de carro, ela chega atrasada em 15%. 
Assim, a probabilidade de ela ir de carro e chegar atrasada é: 
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜	𝑒	𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎) = 0,20 × 0,15 = 0,03 
Para calcular a probabilidade de ela chegar atrasada, devemos somar todos os casos (indo de 
carro, ônibus ou bicicleta). 
𝑃(𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎) = 0,20¬
r{��t
∙ 0,15 + 0,30¬
Ô|y®w�
∙ 0,10 + 0,50¬
¯yzyz}vª{
∙ 0,08 
𝑃(𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎) = 0,10 
Assim, a probabilidade pedida é 
𝑃(𝐶𝑎𝑟𝑟𝑜|𝐴𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎) =
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜	𝑒	𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎)
𝑃(𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎) =
0,03
0,10 =
3
10 
 
Gabarito: E 
 
76. (ESAF 2012/ MI-CENAD) 
 
O diagnóstico para uma grave doença que atinge 20% da população adulta em determinada região 
é feito por um invasivo exame que produz resultado positivo ou negativo. Pesquisas mostraram 
que esse exame produz um resultado falso positivo em 10% dos casos e produz um resultado falso 
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negativo em 40% dos casos. Se uma pessoa adulta desta região fizer o exame e o resultado for 
negativo, indique qual a probabilidade de essa pessoa ter a doença. 
a) 20% 
b) 15% 
c) 10% 
d) 5% 
e) 0% 
Resolução 
Vamos supor que a nossa população adulta é formada por 100 pessoas. Como a doença atinge 20% 
da população adulta, então há 20 doentes e 80 sadios. 
As pesquisas mostram que o exame produz um falso positivo em 10% dos casos. E o que significa 
um falso positivo? 
Ora, quer dizer que a pessoa é sadia, ou seja, não tem a doença, mas o exame dá positivo. Como 
temos 80 pessoas sadias, então o exame dá falso positivo para 8 pessoas. 
São 80 pessoas sadias que fazem o exame. O resultado dá positivo para 8 delas e dá falso para as 
outras 72 pessoas. 
De acordo com as pesquisas, o exame dá falso negativo em 40% dos casos. O que significa um falso 
negativo? Significa que a pessoa tem a doença (20 casos) e o exame dá negativo. Ou seja, dos 20 
doentes que fizeram o exame, temos que 40% x 20 = 8 pessoas têm o resultado negativo. 
Obviamente, os resultados dos outros 12 doentes são positivos. 
Resumindo o enunciado: 
- 100 pessoas das quais 20 são doentes e 80 são sadios. 
- Dos 20 doentes, temos 8 com resultado negativo e 12 com resultado positivo. 
- Dos 80 sadios, temos 72 com resultado negativo e 8 com resultado positivo. 
Agora a pergunta da questão: Se uma pessoa adulta desta região fizer o exame e o resultado for 
negativo, indique qual a probabilidade de essa pessoa ter a doença. 
Se o resultado do exame é negativo, então o nosso espaço amostral é reduzido. 
O total de casos possíveis é igual a 8 + 72 = 80. Dessas 80 pessoas, 8 são doentes. Portanto, a 
probabilidade pedida é igual a 8/80 = 10%. 
Poderíamos também ter utilizado o teorema de Bayes. 
Queremos calcular a probabilidade de a pessoa ter a doença sabendo que o exame deu negativo. 
𝑃(𝑡𝑒𝑚	𝑎	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎|𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) =
𝑃(𝑡𝑒𝑚	𝑎	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎	𝑒	𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)
𝑃(𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) 
A probabilidade de uma pessoa ter a doença é 20%. Para que uma pessoa tenha a doença e seu 
exame seja negativo, é necessário que o resultado seja falso negativo (porque a pessoa tem a 
doença). A probabilidade de a pessoa receber um exame falso negativo é 40%. 
Assim, a probabilidade de a pessoa ter a doença e receber um exame negativo é: 
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𝑃(𝑡𝑒𝑚	𝑎	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎	𝑒	𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) = 0,20 × 0,40 = 0,08 
A outra possibilidade de a pessoa receber exame negativo é quando ela não tem a doença 
(probabilidade de 80%) e recebe o resultado correto. Ora, o exame dá resultado falso positivo (a 
pessoa não tem a doença e ocorre erro no exame) para 10% dos casos. Assim, a probabilidade de a 
pessoa que não tem a doença receber seu exame correto (exame negativo) é de 90%. 
Desta forma, a probabilidade de a pessoa que não tem a doença receber exame negativo é: 
𝑃(𝑡𝑒𝑚	𝑎	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎	𝑒	𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) = 0,80 × 0,90 = 0,72 
Desta forma, a probabilidade total de uma pessoa receber exame negativo é: 
𝑃(𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) = 𝑃(𝑡𝑒𝑚	𝑎	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎	𝑒	𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) + 𝑃(𝑡𝑒𝑚	𝑎	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎	𝑒	𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) 
𝑃(𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) = 0,08 + 0,72 = 0,80 
Assim, a probabilidade pedida é: 
𝑃(𝑡𝑒𝑚	𝑎	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎|𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) =
𝑃(𝑡𝑒𝑚	𝑎	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎	𝑒	𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)
𝑃(𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) 
𝑃(𝑡𝑒𝑚	𝑎	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎|𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) =
0,08
0,80 =
8
80 =
1
10 = 10% 
 
Gabarito: C 
 
77. (ESAF 2010/ SUSEP) 
 
Admita que a probabilidade de uma pessoa de um particular grupo genético ter uma determinada 
doença é de 30%. Um custoso e invasivo exame para diagnóstico específico dessa doença tem uma 
probabilidade de um resultado falso positivo de 10% e de um resultado falso negativo de 30%. 
Considerando que uma pessoa desse grupo genético com suspeita da doença fez o referido exame, 
qual a probabilidade dela ter a doença dado que o resultado do exame foi negativo? 
a) 30%. 
b) 7,5%. 
c) 25%. 
d) 15%. 
e) 12,5%.Resolução 
Vamos supor que a nossa população adulta é formada por 100 pessoas. Como a doença atinge 30% 
da população adulta, então há 30 doentes e 70 sadios. 
As pesquisas mostram que o exame produz um falso positivo em 10% dos casos. E o que significa 
um falso positivo? 
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Ora, quer dizer que a pessoa é sadia, ou seja, não tem a doença, mas o exame dá positivo. Como 
temos 70 pessoas sadias, então o exame dá falso positivo para 7 pessoas. 
São 70 pessoas sadias que fazem o exame. O resultado dá positivo para 7 delas e dá falso para as 
outras 63 pessoas. 
De acordo com as pesquisas, o exame dá falso negativo em 30% dos casos. O que significa um falso 
negativo? 
Significa que a pessoa tem a doença (30 casos) e o exame dá negativo. Ou seja, dos 30 doentes que 
fizeram o exame, temos que 30% x 30 = 9 pessoas têm o resultado negativo. Obviamente, os 
resultados dos outros 21 doentes são positivos. 
Resumindo o enunciado: 
- 100 pessoas das quais 30 são doentes e 70 são sadios. 
- Dos 30 doentes, temos 9 com resultado negativo e 21 com resultado positivo. 
- Dos 70 sadios, temos 63 com resultado negativo e 7 com resultado positivo. 
Agora a pergunta da questão: Se uma pessoa adulta desta região fizer o exame e o resultado for 
negativo, indique qual a probabilidade de essa pessoa ter a doença. 
Se o resultado do exame é negativo, então o nosso espaço amostral é reduzido. 
O total de casos possíveis é igual a 9 + 63 = 72. Dessas 72 pessoas, 9 são doentes. Portanto, a 
probabilidade pedida é igual a 9/72 = 1/8 = 0,125 = 12,5%. 
Poderíamos também ter utilizado o teorema de Bayes. 
Queremos calcular a probabilidade de a pessoa ter a doença sabendo que o exame deu negativo. 
𝑃(𝑡𝑒𝑚	𝑎	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎|𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) =
𝑃(𝑡𝑒𝑚	𝑎	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎	𝑒	𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)
𝑃(𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) 
A probabilidade de uma pessoa ter a doença é 30%. Para que uma pessoa tenha a doença e seu 
exame seja negativo, é necessário que o resultado seja falso negativo (porque a pessoa tem a 
doença). A probabilidade de a pessoa receber um exame falso negativo é 30%. 
Assim, a probabilidade de a pessoa ter a doença e receber um exame negativo é: 
𝑃(𝑡𝑒𝑚	𝑎	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎	𝑒	𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) = 0,30 × 0,30 = 0,09 
A outra possibilidade de a pessoa receber exame negativo é quando ela não tem a doença 
(probabilidade de 70%) e recebe o resultado correto. Ora, o exame dá resultado falso positivo (a 
pessoa não tem a doença e ocorre erro no exame) para 10% dos casos. Assim, a probabilidade de a 
pessoa que não tem a doença receber seu exame correto (exame negativo) é de 90%. 
Desta forma, a probabilidade de a pessoa que não tem a doença receber exame negativo é: 
𝑃(𝑡𝑒𝑚	𝑎	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎	𝑒	𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) = 0,70 × 0,90 = 0,63 
Desta forma, a probabilidade total de uma pessoa receber exame negativo é: 
𝑃(𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) = 𝑃(𝑡𝑒𝑚	𝑎	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎	𝑒	𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) + 𝑃(𝑡𝑒𝑚	𝑎	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎	𝑒	𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) 
𝑃(𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) = 0,09 + 0,63 = 0,72 
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Assim, a probabilidade pedida é: 
𝑃(𝑡𝑒𝑚	𝑎	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎|𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) =
𝑃(𝑡𝑒𝑚	𝑎	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎	𝑒	𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)
𝑃(𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) 
𝑃(𝑡𝑒𝑚	𝑎	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎|𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒	𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) =
0,09
0,72 =
9
72 =
1
8 = 12,5% 
 
Gabarito: E 
 
78. (ESAF 2012/ MI-CENAD) 
 
Uma turma de uma escola de primeiro grau tem 30 alunos, dos quais 20 são meninas e 10 são 
meninos. Ao se escolher ao acaso três alunos da turma, sem reposição, qual a probabilidade de 
exatamente 2 dos 3 alunos escolhidos serem meninas? 
a) 1/2
 
b) 12/27 
c) 45/91 
d) 95/203 
e) 2/3 
Resolução 
Seja M uma mulher e H um homem. Vamos calcular a probabilidade de obtermos a sequência 
MMH. 
A probabilidade de a primeira pessoa ser mulher é 20/30. 
Como o processo é realizado sem reposição, a probabilidade de a segunda pessoa ser mulher é 
19/29. 
A probabilidade de a terceira pessoa ser homem é 10/28. 
A probabilidade, portanto, de obtermos MMH é: 
20
30 ∙
19
29 ∙
10
28 
Entretanto, não obrigatoriamente as duas meninas e o menino ficarão na ordem MMH. Devemos 
multiplicar a probabilidade obtida pelo total de maneiras que podemos permutar as letras MMH. O 
total de permutações é: 
𝑃�- =
3!
2! =
3 ∙ 2 ∙ 1
2 ∙ 1 = 3 
Assim, a probabilidade pedida é: 
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3 ∙
20
30 ∙
19
29 ∙
10
28 
Observe que 3 vezes 10 é 30. 
20 ∙ 19
29 ∙ 28 =
5 ∙ 19
29 ∙ 7 =
95
203 
 
Gabarito: D 
 
79. (ESAF 2012/ MPOG) 
 
O porta-joias de Ana é formado por duas gavetas: a gaveta A e a gaveta B. Na gaveta A, Ana guarda 
1 colar de pérolas e 2 pulseiras de ouro. Na gaveta B, Ana guarda 2 colares de pérolas e 1 pulseira 
de ouro. Ana, ao arrumar as gavetas, retira aleatoriamente uma joia da gaveta A e a coloca na 
gaveta B, misturando-a com as joias que já estavam na gaveta B. Beatriz, amiga íntima de Ana, 
pede uma joia emprestada para ir a uma festa. Ana, com satisfação, diz para Beatriz retirar, 
aleatoriamente, uma joia da gaveta B. Desse modo, a probabilidade de Beatriz retirar uma pulseira 
de ouro da gaveta B é igual a: 
 
a) 2/3 
b) 7/12 
c) 5/12 
d) 3/5 
e) 1/4 
 
Resolução 
Na gaveta A, temos: Pérola, Ouro, Ouro. 
Na gaveta B, temos: Pérola, Pérola, Ouro. 
Ana vai retirar uma joia da gaveta A e colocar na gaveta B. Em seguida, retirará uma joia da gaveta 
B. 
A probabilidade de Ana retirar Pérola da gaveta A é 1/3. Se isso for feito, a gaveta B terá 3 Pérolas 
e 1 Ouro. Assim, a probabilidade de retirar a joia de ouro da gaveta B será 1/4. 
Desta maneira, a probabilidade de Ana retirar a joia de pérola da gaveta A e, em seguida, retirar 
uma joia de ouro da gaveta B é igual a 
1
3 ∙
1
4 =
1
12 
A probabilidade de Ana retirar Ouro da gaveta A é 2/3. Se isso for feito, a gaveta B terá 2 Pérolas e 
2 Ouros. Assim, a probabilidade de retirar a joia de ouro da gaveta B será 2/4. 
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Desta maneira, a probabilidade de Ana retirar a joia de ouro da gaveta A e, em seguida, retirar uma 
joia de ouro da gaveta B é igual a 
2
3 ∙
2
4 =
1
3 
A probabilidade total de retirar uma joia de ouro da gaveta B é 
1
12 +
1
3 =
1 + 4
12 =
5
12 
 
Gabarito: C 
 
80. (ESAF 2012/ MPOG) 
 
Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então pode-se afirmar que: 
a) A e B são eventos independentes. 
b) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 
c) 𝑃(𝐵|𝐴) ≠ 0 
d) 𝑃(𝐴|𝐵) ≠ 0 
e) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0 
Resolução 
Dois eventos são mutuamente excludentes quando a interseção entre eles é o conjunto vazio. 
Desta maneira, a probabilidade de ocorrer a interseção dos eventos é zero. 
 
Gabarito: E 
 
81. (ESAF 2012/ MPOG) 
 
 Uma moeda é dita não viciada quando a probabilidade de ocorrer cara for igual à probabilidade de 
ocorrer coroa. Assim, lançando-se 6 vezes umamoeda não viciada, a probabilidade de se obter 
exatamente 5 caras é igual a: 
 
a) 3/32 
b) 1/64 
c) 3/64 
d) 1/32 
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e) 5/32 
Resolução 
Vamos chamar “cara” de C e “coroa” de K. Vamos calcular a probabilidade de ocorrer CCCCCK 
nesta ordem: 
1
2 ∙
1
2 ∙
1
2 ∙
1
2 ∙
1
2 ∙
1
2 =
1
64 
Entretanto, não necessariamente a coroa será a última. Devemos levar em consideração todas as 
ordens possíveis. Assim, vamos calcular o total de permutações das letras CCCCCK. 
𝑃M� =
6!
5! =
6 ∙ 5!
5! = 6 
Assim, devemos multiplicar a probabilidade calculada por 6. 
6 ∙
1
64 =
3
32 
 
Gabarito: A 
 
82. (ESAF 2013/ AFC-STN) 
 
Com relação à teoria da Probabilidade, pode-se afirmar que: 
a) se A e B são eventos independentes, então 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵). 
b) se A, B e C são eventos quaisquer com 𝑃(𝐶) ≠ 0, então 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵|𝐶) = 𝑃(𝐴|𝐶) + 𝑃(𝐵|𝐶). 
c) a definição frequentista de probabilidade é fundamentada na ideia de repetição do 
experimento. 
d) A, B e C são eventos independentes se, e somente se, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶). 
e) 𝑃(𝐴) + 𝑃(	𝐴	YYY) = 0 
Resolução 
O gabarito é a alternativa C. Esta alternativa utiliza a definição de probabilidade como o limite de 
uma frequência relativa quando o número de realizações do experimento tende a infinito. 
Vamos analisar as outras alternativas. 
a) se A e B são eventos independentes, então 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵). 
A e B são eventos independentes quando a probabilidade da interseção é o produto das 
probabilidades. Assim, a fórmula da probabilidade da união fica: 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 
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A alternativa A está errada. 
b) se A, B e C são eventos quaisquer com 𝑃(𝐶) ≠ 0, então 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵|𝐶) = 𝑃(𝐴|𝐶) + 𝑃(𝐵|𝐶). 
Vamos analisar o valor de 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵|𝐶). 
Esta é uma probabilidade condicional. 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵|𝐶) =
𝑃((𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶)
𝑃(𝐶) 
Vamos utilizar as propriedades associativas da Teoria dos Conjuntos. 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵|𝐶) =
𝑃((𝐴 ∩ 𝐶) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶))
𝑃(𝐶) 
Temos, no numerador, uma união. Vamos utilizar a fórmula da probabilidade da união. 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵|𝐶) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) − 𝑃((𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶))
𝑃(𝐶) 
Observe que (𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶. Portanto, 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵|𝐶) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)
𝑃(𝐶) 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵|𝐶) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐶)
𝑃(𝐶) +
𝑃(𝐵 ∩ 𝐶)
𝑃(𝐶) −
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)
𝑃(𝐶) 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵|𝐶) = 𝑃(𝐴|𝐶) + 𝑃(𝐵|𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵|𝐶) 
A alternativa C só seria verdadeira se os eventos A e B fossem mutuamente excludentes. Neste 
caso, teríamos que 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0 e aí valeria a expressão 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵|𝐶) = 𝑃(𝐴|𝐶) + 𝑃(𝐵|𝐶) 
d) A, B e C são eventos independentes se, e somente se, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶). 
Para garantir a independência de três eventos A, B e C, devemos ter: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐶) 
𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶) 
A alternativa D está errada. 
e) 𝑃(𝐴) + 𝑃(	𝐴	YYY) = 0 
A alternativa E está errada porque 𝑃(𝐴) + 𝑃(	𝐴	YYY) = 1. 
 
Gabarito: C 
 
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83. (ESAF 2009/ ATRFB) 
 
Três amigas participam de um campeonato de arco e flecha. Em cada tiro, a primeira das amigas 
tem uma probabilidade de acertar o alvo de 3/5, a segunda tem uma probabilidade de acertar o 
alvo de 5/6, e a terceira tem uma probabilidade de acertar o alvo de 2/3. Se cada uma das amigas 
der um tiro de maneira independente dos tiros das outras duas, qual a probabilidade de pelo 
menos dois dos três tiros acertarem o alvo? 
 
a) 90/100 
b) 50/100 
c) 71/100 
d) 71/90 
e) 60/90 
 
Resolução 
Há 4 casos a considerar: 
i) A primeira erra e as outras duas acertam. 
A probabilidade de isto ocorrer é: 
2
5 ∙
5
6 ∙
2
3 =
2
9 
ii) A segunda erra e as outras duas acertam. 
A probabilidade de isto ocorrer é: 
3
5 ∙
1
6 ∙
2
3 =
1
15 
iii) A terceira erra e as outras duas acertam. 
A probabilidade neste caso é: 
3
5 ∙
5
6 ∙
1
3 =
1
6 
iv) As três acertam. 
A probabilidade é: 
3
5 ∙
5
6 ∙
2
3 =
1
3 
A probabilidade total é: 
2
9 +
1
15 +
1
6 +
1
3 =
20 + 6 + 15 + 30
90 =
71
90 
 
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Gabarito: D 
 
84. (ESAF 2008/ APO-MPOG) 
 
Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas. Retirando-se, aleatoriamente, três 
bolas sem reposição, a probabilidade de se obter todas da mesma cor é igual a: 
a) 1/10 
b) 8/5 
c) 11/120 
d) 11/720 
e) 41/360 
Resolução 
Queremos calcular a probabilidade de serem sorteadas 3 bolas pretas ou 3 bolas brancas. É 
impossível retirar 3 bolas vermelhas sem reposição. 
A probabilidade de a primeira bola retiradas ser preta é 5/10. A probabilidade de a segunda ser 
preta é 4/9, pois o processo é feito sem reposição. A probabilidade de a terceira ser preta é 3/8. 
Assim, a probabilidade de serem 3 pretas é: 
5
10 ∙
4
9 ∙
3
8 =
60
720 
 

A probabilidade de a primeira bola retiradas ser branca é 3/10. A probabilidade de a segunda ser 
branca é 2/9, pois o processo é feito sem reposição. A probabilidade de a terceira ser branca é 1/8. 
Assim, a probabilidade de serem 3 brancas é: 
3
10 ∙
2
9 ∙
1
8 =
6
720 
Assim, a probabilidade total de as três bolas serem da mesma cor é: 
60
720 +
6
720 =
66
720 =
11
120 
 
Gabarito: C 
 
 
 
 
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85. (ESAF 2008/ AFC-CGU) 
 
 Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais 
especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando-se, ao acaso, três desses 
profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais 
sorteados serem do mesmo sexo é igual a: 
a) 0,10 
b) 0,12 
c) 0,15 
d) 0,20 
e) 0,24 
Resolução 
Queremos calcular a probabilidade de serem 3 homens ou 3 mulheres. 
A probabilidade de a primeira pessoa ser homem é 6/10; a probabilidade de o segundo ser homem 
é 5/9; a probabilidade de o terceiro ser homem é 4/8. 
A probabilidade de os três serem homens é: 
6
10 ∙
5
9 ∙
4
8 =
120
720 =
12
72 =
1
6 
A probabilidade de a primeira pessoa ser mulher é 4/10; a probabilidade de a segunda ser mulher 
é 3/9; a probabilidade de a terceira ser mulher é 2/8. 
A probabilidade de as três serem mulheres é 
4
10 ∙
3
9 ∙
2
8 =
3
90 =
1
30 
A probabilidade total de as três pessoas serem do mesmo sexo é: 
1
6 +
1
30 =
5 + 1
30 =
6
30 =
1
5 = 0,20 
Poderíamos ter usado análise combinatória para resolver a questão. Há 10 pessoas e queremos 
escolher 3. O total de possibilidadespara fazer esta escolha é: 
𝐶"�� =
10 ∙ 9 ∙ 8
3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 
Este é o total de casos possíveis. 
Queremos selecionar 3 homens (dentre 6 disponíveis) ou 3 mulheres (dentre 4 disponíveis). 
𝐶M� + 𝐶�� =
6 ∙ 5 ∙ 4
3 ∙ 2 ∙ 1 +
4 ∙ 3 ∙ 2
3 ∙ 2 ∙ 1 = 20 + 4 = 24 
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A probabilidade é 
24
120 =
1
5 = 0,20 
 
Gabarito: D 
 
86. (ESAF 2008/ AFC-CGU) 
 
Uma população de indivíduos é constituída 80% por um tipo genético A e 20% por uma variação 
genética B. A probabilidade de um indivíduo do tipo A ter determinada doença é de 5%, enquanto 
a probabilidade de um indivíduo com a variação B ter a doença é de 40%. Dado que um indivíduo 
tem a doença, qual a probabilidade de ele ser da variação genética B? 
a) 1/3. 
b) 0,4. 
c) 0,5. 
d) 0,6. 
e) 2/3. 
Resolução 
Queremos calcular a probabilidade de um indivíduo ser da variação genética B sabendo que ele 
tem a doença. 
𝑃(𝐵|𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎) =
𝑃(𝐵	𝑒	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎)
𝑃(𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎) 
Vamos calcular a probabilidade de o indivíduo ser da variação genética B e ter a doença. 
𝑃(𝐵	𝑒	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎) = 0,20 × 0,40 = 0,08 
Vamos agora calcular a probabilidade de ele ter a doença independentemente de qual variação 
genética ele seja. 
𝑃(𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎) = 𝑃(𝐴	𝑒	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎) + 𝑃(𝐵	𝑒	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎) = 0,80 × 0,05 + 0,20 × 0,40 
𝑃(𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎) = 0,12 
Assim, a probabilidade pedida é: 
𝑃(𝐵|𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎) =
𝑃(𝐵	𝑒	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎)
𝑃(𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎) =
0,08
0,12 =
8
12 =
2
3 
Poderíamos ter feito uma tabela para resolver esta questão. Suponha que são 100 pessoas. 
Assim, 80 são da variação genética A e 20 são da variação genética B. 
Sabemos que 5% das pessoas A têm a doença. 
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5
100 × 80 = 4	𝑠ã𝑜	𝐴	𝑒	𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑒𝑚	𝑎	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎 
Assim, 76 são da variação genética A e não possuem a doença. 
Sabemos que 40% das pessoas B têm a doença. 
40
100 × 20 = 8	𝑠ã𝑜	𝐵	𝑒	𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑒𝑚	𝑎	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎 
Assim, 12 pessoas são da variação genética B e não possuem a doença. 
 
 Doença 
Não-
doença Total 
A 4 76 80 
B 8 12 20 
Total 12 88 100 
 
Sabemos que a pessoa selecionada tem a doença. Assim, o nosso espaço amostral é composto por 
12 pessoas. 
Das 12 pessoas que têm a doença, 8 são do grupo genético B. 
Assim, a probabilidade pedida é igual a 8/12 = 2/3. 
 
Gabarito: E 
 
87. (ESAF 2010/ SUSEP) 
 
Considere um grupo de 15 pessoas dos quais 5 são estrangeiros. Ao se escolher ao acaso 3 pessoas 
do grupo, sem reposição, qual a probabilidade de exatamente uma das três pessoas escolhidas ser 
um estrangeiro? 
a) 45/91. 
b) 1/3.
 
c) 4/9. 
d) 2/9. 
e) 42/81. 
Resolução 
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Sabemos que 5 são estrangeiros (E) e 10 são não-estrangeiros (N). Queremos escolher 3 pessoas, 
sem reposição, de tal forma que exatamente uma seja estrangeira. 
Vamos calcular a probabilidade de ocorrer a sequência ENN. 
A probabilidade de a primeira pessoa ser estrangeira é 5/15. Como o processo é sem reposição, a 
probabilidade de a segunda ser não-estrangeira é 10/14. A probabilidade de a terceira ser não-
estrangeira é 9/13. Assim, a probabilidade de ocorrer a sequência ENN é 
5
15 ∙
10
14 ∙
9
13 
Entretanto, não obrigatoriamente o estrangeiro será o primeiro. Vamos multiplicar a probabilidade 
acima pelo total de permutações da sequência ENN. 
𝑃�- =
3!
2! = 3 
Assim, a probabilidade pedida é: 
3 ∙
5
15 ∙
10
14 ∙
9
13 =
10
14 ∙
9
13 =
5
7 ∙
9
13 =
45
91 
Poderíamos ter utilizado análise combinatória. 
Há 15 pessoas e vamos escolher 3. Assim, o número de casos possíveis é: 
𝐶"�� =
15 ∙ 14 ∙ 13
3 ∙ 2 ∙ 1 = 455 
Vamos escolher 1 estrangeiro (dentre 5 disponíveis) e 2 não estrangeiros (dentre 10 disponíveis). 
Isto pode ser feito de: 
𝐶�" ∙ 𝐶"�- = 5 ∙
10 ∙ 9
2 ∙ 1 = 225 
A probabilidade pedida é 
225
455 =
45
91 
 
Gabarito: A 
 
88. (ESAF 2002/ SUSEP) 
 
 Uma em cada 10 pessoas de uma população tem uma determinada doença. Das pessoas que têm 
a doença, 80% reagem positivamente ao teste Y, enquanto 20% dos que não têm a doença 
também reagem positivamente. Uma pessoa é selecionada ao acaso na população e o teste Y é 
aplicado. Assinale a opção que corresponde à probabilidade de que a pessoa selecionada não 
esteja realmente doente, sabendo-se que reagiu positivamente ao teste Y. 
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a) 16,0% 
b) 28,0% 
c) 95,0% 
d) 69,2% 
e) 40,0% 
Resolução 
Uma em cada 10 pessoas de uma população tem uma determinada doença. Assim, 10% das 
pessoas possuem a doença e 90% não possuem a doença. 
Queremos calcular a probabilidade de que a pessoa selecionada não esteja realmente doente, 
sabendo-se que reagiu positivamente ao teste Y. 
𝑃(𝑁ã𝑜	𝑑𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒|𝑟𝑒𝑎𝑔𝑖𝑢	𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒) =
𝑃(𝑁ã𝑜	𝑑𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒	𝑒	𝑟𝑒𝑎𝑔𝑖𝑢	𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒)
𝑃(𝑟𝑒𝑎𝑔𝑖𝑢	𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒) 
Sabemos que 90% não são doentes. Destes, 20% reagem positivamente. Assim, a probabilidade de 
uma pessoa não ser doente e reagir positivamente é: 
𝑃(𝑁ã𝑜	𝑑𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒	𝑒	𝑟𝑒𝑎𝑔𝑖𝑢	𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒) = 0,90 × 0,20 = 0,18 
Vamos agora calcular a probabilidade de uma pessoa reagir positivamente, independentemente se 
ela tem ou não a doença. 
𝑃(𝑟𝑒𝑎𝑔𝑖𝑢	𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒) = 𝑃(𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎	𝑒	𝑟𝑒𝑎𝑔𝑖𝑢	𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒) + 𝑃(𝑁ã𝑜	𝑑𝑜𝑒𝑛ç𝑎	𝑒	𝑟𝑒𝑎𝑔𝑖𝑢	𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒) 
𝑃(𝑟𝑒𝑎𝑔𝑖𝑢	𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒) = 0,10 × 0,80 + 0,90 × 0,20 = 0,08 + 0,18 = 0,26 
Assim, a probabilidade pedida é: 
𝑃(𝑁ã𝑜	𝑑𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒|𝑟𝑒𝑎𝑔𝑖𝑢	𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒) =
𝑃(𝑁ã𝑜	𝑑𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒	𝑒	𝑟𝑒𝑎𝑔𝑖𝑢	𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒)
𝑃(𝑟𝑒𝑎𝑔𝑖𝑢	𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒) 
𝑃(𝑁ã𝑜	𝑑𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒|𝑟𝑒𝑎𝑔𝑖𝑢	𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒) =
0,18
0,26 =
18
26 =
9
13 
𝑃(𝑁ã𝑜	𝑑𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒|𝑟𝑒𝑎𝑔𝑖𝑢	𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒) ≅ 69,23% 
Poderíamos ter resolvido a questão atribuindo valores. Digamos que são 100 pessoas. Assim, são 
10 doentes e 90 não-doentes. 
Sabemos que 80% dos doentes reagem positivamente, Assim, 8 doentes reagem positivamente. 
Sabemos que 20% dos não-doentes reagem positivamente. Assim, 18 não-doentes reagem 
positivamente. 
O total de pessoas que reagem positivamente é 8 + 18 = 26. Dos 26 que reagem positivamente, 18 
são não doentes. 
Assim, a probabilidade pedida é 18/26 = 9/13. 
 
 
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Gabarito: D 
 
89. (ESAF 2005/ AFRE-MG) 
 
Ana precisa chegar ao aeroporto para buscar uma amiga. Ela pode escolher dois trajetos, A ou B. 
Devido ao intenso tráfego, se Ana escolher o trajeto A, existe uma probabilidade de 0,4 de ela se 
atrasar. Se Ana escolher o trajeto B, essa probabilidadepassa para 0,30. As probabilidades de Ana 
escolher os trajetos A ou B são, respectivamente, 0,6 e 0,4. Sabendo-se que Ana não se atrasou, 
então a probabilidade de ela ter escolhido o trajeto B é igual a: 
a) 6/25 
b) 6/13 
c) 7/13 
d) 7/25 
e) 7/16 
Resolução 
Queremos calcular a probabilidade de Ana ter escolhido o trajeto B sabendo que ela não se 
atrasou. 
𝑃(𝐵|𝑛ã𝑜	𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜𝑢) =
𝑃(𝐵	𝑒	𝑛ã𝑜	𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜𝑢)
𝑃(𝑛ã𝑜	𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜𝑢) 
A probabilidade de Ana escolher o trajeto B é 0,4. Escolhido o trajeto B, a probabilidade de ela não 
se atrasar é 1 – 0,30 = 0,70. Assim, a probabilidade de ela escolher B e não se atrasar é: 
𝑃(𝐵	𝑒	𝑛ã𝑜	𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜𝑢) = 0,4 × 0,70 = 0,28 
Vamos agora calcular a probabilidade de ela não se atrasar independentemente de qual trajeto 
tenha escolhido. Observe que a probabilidade de ela não se atrasar pelo trajeto A é 1 – 0,4 = 0,6. 
𝑃(𝑛ã𝑜	𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜𝑢) = 𝑃(𝐴	𝑒	𝑛ã𝑜	𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜𝑢) + 𝑃(𝐵	𝑒	𝑛ã𝑜	𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜𝑢) 
𝑃(𝑛ã𝑜	𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜𝑢) = 0,6 × 0,6 + 0,4 × 0,70 = 0,36 + 0,28 = 0,64 
A probabilidade pedida é 
𝑃(𝐵|𝑛ã𝑜	𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜𝑢) =
𝑃(𝐵	𝑒	𝑛ã𝑜	𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜𝑢)
𝑃(𝑛ã𝑜	𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜𝑢) =
0,28
0,64 =
28
64 =
7
16 
Poderíamos ter usado a probabilidade como o limite de uma frequência relativa. 
Imagine que este experimento foi realizado 100 vezes. Das 100 vezes, Ana escolheu o trajeto A em 
60 dias e escolheu o trajeto B em 40 dias. 
Dos 60 dias em que Ana escolheu o trajeto A, ela se atrasou em 0,4 x 60 = 24 dias. Assim, ela não 
se atrasou em 60 – 24 = 36 dias. 
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Dos 40 dias em que Ana escolheu o trajeto B, ela se atrasou em 0,30 x 40 = 12 dias. Assim, ela não 
se atrasou em 40 – 12 = 28 dias. 
O total de dias em que Ana não se atrasou foi 28 + 36 = 64. Dos 64 dias em que ela não se atrasou, 
ela escolheu o trajeto B 28 vezes. Assim, a probabilidade pedida é 28/64 = 7/16. 
 
Gabarito: E 
 
90. (ESAF 2005/ GEFAZ – MG) 
 
 Em uma caixa há oito bolas brancas e duas azuis. Retira-se, ao acaso, uma bola da caixa. Após, sem 
haver recolocado a primeira bola na caixa, retira-se, também ao acaso, uma segunda bola. Verifica-
se que essa segunda bola é azul. Dado que essa segunda bola é azul, a probabilidade de que a 
primeira bola extraída seja também azul é: 
 
a) 1/3 
b) 2/9 
c) 1/9 
d) 2/10 
e) 3/10 
 
Resolução 
Queremos calcular a probabilidade de a primeira bola ser azul, sabendo que a segunda bola é azul. 
𝑃(1ª	é	𝑎𝑧𝑢𝑙|2ª	é	𝑎𝑧𝑢𝑙) =
𝑃(1ª	é	𝑎𝑧𝑢𝑙	𝑒	2ª	é	𝑎𝑧𝑢𝑙)
𝑃(2ª	é	𝑎𝑧𝑢𝑙) 
A probabilidade de a primeira bola ser azul é 2/10. A probabilidade de a segunda ser azul é 1/9. 
Assim, 
𝑃(1ª	é	𝑎𝑧𝑢𝑙	𝑒	2ª	é	𝑎𝑧𝑢𝑙) =
2
10 ∙
1
9 =
2
90 
Vamos agora calcular a probabilidade de a segunda bola ser azul, independentemente da cor da 
primeira bola. 
𝑃(2ª	é	𝑎𝑧𝑢𝑙) = 𝑃(1ª	é	𝑎𝑧𝑢𝑙	𝑒	2ª	é	𝑎𝑧𝑢𝑙) + 𝑃(1ª	𝑛ã𝑜	é	𝑎𝑧𝑢𝑙	𝑒	2ª	é	𝑎𝑧𝑢𝑙) 
𝑃(2ª	é	𝑎𝑧𝑢𝑙) =
2
10 ∙
1
9 +
8
10 ∙
2
9 =
2
90 +
16
90 =
18
90 
Assim, a probabilidade pedida é: 
𝑃(1ª	é	𝑎𝑧𝑢𝑙|2ª	é	𝑎𝑧𝑢𝑙) =
𝑃(1ª	é	𝑎𝑧𝑢𝑙	𝑒	2ª	é	𝑎𝑧𝑢𝑙)
𝑃(2ª	é	𝑎𝑧𝑢𝑙) =
2/90
18/90 
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𝑃(1ª	é	𝑎𝑧𝑢𝑙|2ª	é	𝑎𝑧𝑢𝑙) =
2
90 ×
90
18 =
2
18 =
1
9 
 
Gabarito: C 
 
91. (ESAF 2008/ AFC-STN) 
 
 Marco estuda em uma universidade na qual, entre as moças de cabelos loiros, 18 possuem olhos 
azuis e 8 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos pretos, 9 possuem olhos azuis e 9 
possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos ruivos, 4 possuem olhos azuis e 2 possuem 
olhos castanhos. Marisa seleciona aleatoriamente uma dessas moças para apresentar para seu 
amigo Marco. Ao encontrar com Marco, Marisa informa que a moça selecionada possui olhos 
castanhos. Com essa informação, Marco conclui que a probabilidade de a moça possuir cabelos 
loiros ou ruivos é igual a: 
a) 0 
b) 10/19 
c) 19/50 
d) 10/50 
e) 19/31 
Resolução 
Marisa informa que a moça selecionada possui olhos castanhos. 
Assim, ficamos com as seguintes possibilidades. 
- 8 loiras de olhos castanhos 
- 9 moças com cabelos pretos e olhos castanhos. 
- 2 ruivas de olhos castanhos. 
Assim, são 8 + 9 + 2 = 19 moças de olhos castanhos. 
Queremos calcular a probabilidade de a moça possuir cabelos loiros ou ruivos. Das 19 moças de 
olhos castanhos, 8 + 2 = 10 são loiras ou ruivas. Assim, a probabilidade pedida é 10/19. 
 
Gabarito: B 
 
 
 
 
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92. (ESAF 2012/ ATPS-MPOG) 
 
Do total de moradores de um condomínio, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais do que 40 
anos. Por outro lado, 60% dos moradores são homens. Em uma festa de final de ano realizada 
neste condomínio, um morador foi selecionado ao acaso e premiado com uma cesta de frutas. 
Sabendo-se que o morador que ganhou a cesta de frutas tem mais do que 40 anos, então a 
probabilidade de que este morador seja mulher é igual a: 
 
a) 3/7 
b) 8/15 
c) 3/15 
d) 1/30 
e) 4/19 
Resolução 
Queremos calcular a probabilidade de a pessoa selecionada ser mulher, sabendo que a pessoa tem 
mais do que 40 anos. 
𝑃(𝑥	é	𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟|𝑥 > 40) =
𝑃(𝑥	é	𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟	𝑒	𝑥 > 40)
𝑃(𝑥 > 40) 
Sabemos que 40% das pessoas são mulheres e que 2% das mulheres tem mais do que 40 anos. 
Assim, 
𝑃(𝑥	é	𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟	𝑒	𝑥 > 40) = 0,40 × 0,02 = 0,008 
Vamos agora calcular a probabilidade de a pessoa ter mais de 40 anos. 
𝑃(𝑥 > 40) = 𝑃(𝑥	é	𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟	𝑒	𝑥 > 40) + 𝑃(𝑥	é	ℎ𝑜𝑚𝑒𝑚	𝑒	𝑥 > 40) 
𝑃(𝑥 > 40) = 0,40 × 0,02 + 0,60 × 0,05 = 0,008 + 0,03 = 0,038 
Assim, a probabilidade pedida é: 
𝑃(𝑥	é	𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟|𝑥 > 40) =
𝑃(𝑥	é	𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟	𝑒	𝑥 > 40)
𝑃(𝑥 > 40) =
0,008
0,038 =
8
38 =
4
19 
 
Gabarito: E 
 
 
 
 
 
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93. (ESAF 2013/ EPPGG-MPOG) 
 
 Um jogo consiste em jogar uma moeda viciada cuja probabilidade de ocorrer coroa é igual a 1/6. 
Se ocorrer cara, seleciona-se, ao acaso, um número z do conjunto Z dado pelo intervalo {z ∈ N | 7 ≤ 
z ≤ 11}. Se ocorrer coroa, seleciona-se, ao acaso, um número p do intervalo P = {p ∈ N | 1 ≤ pse sai coroa, a 
probabilidade de o número escolhido ser ímpar é 2/4 = 1/2. 
Se sai cara, vamos selecionar um número do conjunto Z = {7, 8, 9, 10, 11}. Assim, se sai cara, a 
probabilidade de o número escolhido ser ímpar é 3/5. 
𝑃(𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎	𝑒	í𝑚𝑝𝑎𝑟) =
1
6 ×
1
2 =
1
12 
𝑃(í𝑚𝑝𝑎𝑟) = 𝑃(𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎	𝑒	í𝑚𝑝𝑎𝑟) + 𝑃(𝐶𝑎𝑟𝑎	𝑒	í𝑚𝑝𝑎𝑟) 
𝑃(í𝑚𝑝𝑎𝑟) =
1
6 ×
1
2 +
5
6 ×
3
5 =
1
12 +
3
6 =
1 + 6
12 =
7
12 
Assim, a probabilidade pedida é: 
𝑃(𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎|í𝑚𝑝𝑎𝑟) =
𝑃(𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎	𝑒	í𝑚𝑝𝑎𝑟)
𝑃(í𝑚𝑝𝑎𝑟) =
1/12	
7/12	 
𝑃(𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎|í𝑚𝑝𝑎𝑟) =
1
12 ×
12
7 =
1
7 
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Gabarito: D 
 
94. (ESAF 2010/ APO-MPOG) 
 
Em uma urna existem 200 bolas misturadas, diferindo apenas na cor e na numeração. As bolas 
azuis estão numeradas de 1 a 50, as bolas amarelas estão numeradas de 51 a 150 e as bolas 
vermelhas estão numeradas de 151 a 200. Ao se retirar da urna três bolas escolhidas ao acaso, 
com reposição, qual a probabilidade de as três bolas serem da mesma cor e com os respectivos 
números pares? 
a) 10/512. 
b) 3/512. 
c) 4/128. 
d) 3/64. 
e) 1/64. 
Resolução 
São 50 bolas azuis, sendo 25 pares e 25 ímpares. 
São 100 bolas amarelas, sendo 50 pares e 50 ímpares. 
São 50 bolas vermelhas, sendo 25 pares e 25 ímpares. 
A probabilidade de retirarmos 3 bolas pares azuis é (com reposição): 
25
200 ×
25
200 ×
25
200 =
1
8 ×
1
8 ×
1
8 =
1
512 
A probabilidade de retirarmos 3 bolas pares amarelas é (com reposição): 
50
200 ×
50
200 ×
50
200 =
1
4 ×
1
4 ×
1
4 =
1
64 
A probabilidade de retirarmos 3 bolas pares vermelhas é (com reposição): 
25
200 ×
25
200 ×
25
200 =
1
8 ×
1
8 ×
1
8 =
1
512 
A probabilidade total de retirarmos 3 bolas pares da mesma cor é: 
1
512 +
1
64 +
1
512 =
1 + 8 + 1
512 =
10
512 
 
Gabarito: A 
 
 
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95. (ESAF 2010/ APO-MPOG) 
 
 
 As apostas na Mega-Sena consistem na escolha de 6 a 15 números distintos, de 1 a 60, marcados 
em volante próprio. No caso da escolha de 6 números tem-se a aposta mínima e no caso da 
escolha de 15 números tem-se a aposta máxima. Como ganha na Mega-sena quem acerta todos os 
seis números sorteados, o valor mais próximo da probabilidade de um apostador ganhar na Mega-
sena ao fazer a aposta máxima é o inverso de: 
a) 20.000.000. 
b) 3.300.000. 
c) 330.000.
 
d) 100.000. 
e) 10.000. 
Resolução 
A quantidade de resultados possíveis na Mega-Sena é 𝐶M�M . 
Estamos interessados na aposta máxima. Neste caso, temos 15 números dos quais 6 serão 
escolhidos. O total de casos desejados é 𝐶"�M . 
Assim, a probabilidade pedida é o total de casos desejados pelo número de casos possíveis. 
𝐶"�M
𝐶M�M
 
Entretanto, a questão pediu o inverso deste número. 
𝐶M�M
𝐶"�M
=
60 ∙ 59 ∙ 58 ∙ 57 ∙ 56 ∙ 55
6!
15 ∙ 14 ∙ 13 ∙ 12 ∙ 11 ∙ 10
6!
=
60 ∙ 59 ∙ 58 ∙ 57 ∙ 56 ∙ 55
15 ∙ 14 ∙ 13 ∙ 12 ∙ 11 ∙ 10 
Observe que: 
- 60 dividido por 15 é 4. 
- 56 dividido por 14 é 4. 
- 55 dividido por 11 é 5. 
60 ∙ 59 ∙ 58 ∙ 57 ∙ 56 ∙ 55
15 ∙ 14 ∙ 13 ∙ 12 ∙ 11 ∙ 10 =
4 ∙ 59 ∙ 58 ∙ 57 ∙ 4 ∙ 5
13 ∙ 12 ∙ 10 
Observe agora que 4 x 5 = 20 e 20/10 = 2. Temos ainda que 12/4 = 3. 
4 ∙ 59 ∙ 58 ∙ 57 ∙ 4 ∙ 5
13 ∙ 12 ∙ 10 =
59 ∙ 58 ∙ 57 ∙ 2
13 ∙ 3 
Finalmente, temos que 57/3 = 19. 
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59 ∙ 58 ∙ 19 ∙ 2
13 = 10.002,769… 
 
Gabarito: E 
 
96. (ESAF 2009/ ATA-MF) 
 
Ao se jogar um dado honesto três vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de o número 
1 sair exatamente uma vez? 
a) 35% 
b) 17% 
c) 7% 
d) 42% 
e) 58% 
Resolução 
A probabilidade de sair o número 1 é 1/6 e a probabilidade de não sair o número 1 é 5/6. 
Chamemos de S o evento “sair o número 1” e de N o evento “não sair o número 1”. 
Vamos calcular a probabilidade de ocorrer a sequência SNN. 
1
6 ∙
5
6 ∙
5
6 =
25
216 
Entretanto, não queremos que obrigatoriamente o número 1 seja o primeiro a sair. Devemos levar 
em consideração todas as ordens possíveis. Assim, vamos multiplicar a probabilidade calculada 
pelo número de permutações de SNN. 
𝑃�- =
3!
2! = 3 
Assim, a probabilidade pedida é: 
3 ×
25
216 =
75
216 ≅ 34,72% 
 
Gabarito: A 
 
 
 
 
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97. (ESAF 2012/ AFC-CGU) 
 
Considere um órgão público com 30 técnicos, sendo 20 homens e 10 mulheres. Ao se escolher 
aleatoriamente, sem reposição, quatro técnicos para se formar uma comissão, sendo Cn,k o número 
de combinações de n elementos tomados k a k, qual o valor mais próximo da probabilidade da 
comissão ser formada exatamente por duas mulheres e dois homens? 
a) 𝐶�,- ∙ (1/3	)- ∙ (2/3	)- 
b) 𝐶�,- ∙ (20 × 19 × 10 × 9)/(30 × 29 × 28 × 27) 
c) 𝐶�,� ∙ (20 × 19 × 10 × 9)/(30 × 29 × 28 × 27) 
d) 𝐶�,� ∙ (1/3	)- ∙ (2/3	)- 
e) 𝐶�,� ∙ (2/9	)- 
Resolução 
Seja M o evento “mulher” e H o evento “homem”. Vamos calcular a probabilidade de ocorrer a 
sequência MMHH. 
A probabilidade de a primeira pessoa ser mulher é 10/30. A probabilidade de a segunda ser mulher 
é 9/29, pois o processo é sem reposição. 
A probabilidade de a terceira pessoa ser homem é 20/28 e a probabilidade de a quarta pessoa ser 
homem é 19/27. 
Assim, a probabilidade de ocorrer a sequência MMHH é: 
10
30 ×
9
29 ×
20
28 ×
19
27 =
(20 × 19 × 10 × 9)
(30 × 29 × 28 × 27) 
Até agora temos algo parecido nas alternativas B e C. 
Lembre-se que devemos multiplicar esta probabilidade pelo total de permutações da sequência 
MMHH. 
𝑃�
-,- =
4!
2! 2! 
Assim, a probabilidade pedida é: 
4!
2! 2! ∙
(20 × 19 × 10 × 9)
(30 × 29 × 28 × 27) 
Observe agora que 
𝐶�,- =
4!
2! 2! 
Portanto, a probabilidade pedida por ser escrita como: 
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𝐶�,- ∙
(20 × 19 × 10 × 9)
(30 × 29 × 28 × 27) 
 
Gabarito: B 
 
98. (ESAF 2012/ ATRFB) 
 
 O Ministério da Fazenda pretende selecionar ao acaso 3 analistas para executar um trabalho na 
área de tributos. Esses 3 analistas serão selecionados de um grupo composto por 6 homens e 4 
mulheres. A probabilidade de os 3 analistas serem do mesmo sexo é igual a 
a) 40%. 
b) 50%. 
c) 30%. 
d) 20%. 
e) 60%. 
Resolução 
Queremos calcular a probabilidade de serem 3 homens ou 3 mulheres. 
A probabilidade de serem 3 homens é: 
6
10 ∙
5
9 ∙
4
8 =
120
720 
A probabilidade de serem 3 mulheres é: 
4
10 ∙
3
9 ∙
2
8 =
24
720 
A probabilidade total de serem 3 pessoas do mesmo sexo é: 
120
720 +
24
720 =
144
720 =
1
5 = 20% 
Poderíamos ter resolvido utilizando Análise Combinatória. 
Há 10 pessoas e vamos selecionar 3. Isto pode ser feito de: 
𝐶"�� =
10 ∙ 9 ∙ 8
3 ∙ 2 ∙ 1 = 120	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
Queremos que a comissão de 3 pessoas seja formada por 3 homens (dentre 6 disponíveis)ou por 3 
mulheres (dentre 4 disponíveis). Isto pode ser feito de: 
𝐶M� + 𝐶�� =
6 ∙ 5 ∙ 4
3 ∙ 2 ∙ 1 +
4 ∙ 3 ∙ 2
3 ∙ 2 ∙ 1 = 20 + 4 = 24 
A probabilidade pedida é 24/120 = 1/5 = 20%. 
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Gabarito: D 
 
 
99. (ESAF 2012/ ATA-MF) 
 
 Sorteando-se um número de uma lista de 1 a 100, qual a probabilidade de o número ser divisível 
por 3 ou por 8? 
 
a) 41% 
b) 44% 
c) 42% 
d) 45% 
e) 43% 
Resolução 
Ao dividir 100 por 3, obtemos quociente 33. Isto quer dizer que são 33 múltiplos de 3 de 1 a 100. 
Ao dividir 100 por 8, obtemos quociente 12. Isto quer dizer que são 12 múltiplos de 8 de 1 a 100. 
É importante notar que há múltiplos comuns de 3 e 8. São eles: 24, 48, 72 e 96. São 4 múltiplos 
comuns de 3 e 8. 
Para calcular a probabilidade pedida, vamos utilizar a fórmula da probabilidade da união. 
𝑃(𝑑𝑖𝑣	3	𝑜𝑢	𝑑𝑖𝑣	8) = 𝑃(𝑑𝑖𝑣	3) + 𝑃(𝑑𝑖𝑣	8) − 𝑃(𝑑𝑖𝑣	3	𝑒	𝑑𝑖𝑣	8) 
𝑃(𝑑𝑖𝑣	3	𝑜𝑢	𝑑𝑖𝑣	8) =
33
100 +
12
100 −
4
100 =
41
100 
 
Gabarito: A 
 
100. (ESAF 2012/ ATA-MF) 
 
Uma caixa contém 3 bolas brancas e 2 pretas. Duas bolas serão retiradas dessa caixa, uma a uma e 
sem reposição, qual a probabilidade de serem da mesma cor? 
 
a) 55% 
b) 50% 
c) 40% 
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d) 45% 
e) 35% 
 
Resolução 
Queremos calcular a probabilidade de serem 2 brancas ou 2 pretas. 
A probabilidade de serem 2 brancas é: 
3
5 ×
2
4 =
6
20 
A probabilidade de serem 2 pretas é: 
2
5 ×
1
4 =
2
20 
A probabilidade total de as duas bolas serem da mesma cor é: 
6
20 +
2
20 =
8
20 = 0,4 = 40% 
 
Gabarito: C 
 
101. (ESAF 2013/ DNIT) 
 
 Para efetuar um determinado trabalho, 3 servidores do DNIT serão selecionados ao acaso de um 
grupo com 4 homens e 2 mulheres. A probabilidade de serem selecionados 2 homens e 1 mulher é 
igual a: 
 
a) 55% 
b) 40% 
c) 60% 
d) 45% 
e) 50% 
 
Resolução 
Há 6 pessoas e vamos escolher 3. Isto pode ser feito de 
𝐶M� =
6 ∙ 5 ∙ 4
3 ∙ 2 ∙ 1 = 20	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
Podemos selecionar 2 homens (dentre 4) e 1 mulher (dentre 2) de: 
𝐶�- ∙ 𝐶-" =
4 ∙ 3
2 ∙ 1 ∙ 2 = 12 
Assim, a probabilidade pedida é 12/20 = 0,60 = 60%. 
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Gabarito: C 
 
102. (FCC 2016/ Pref. de Campinas) 
 
Em um sorteio de prêmios na festa de funcionários de uma empresa, serão sorteadas 10 bicicletas. 
O número de participantes nesse sorteio é de 60 pessoas. Quando uma pessoa é sorteada seu 
nome é retirado da lista para os sorteios seguintes. Foram sorteadas 9 bicicletas e nenhuma 
pessoa do setor de informática havia sido sorteada. Sabendo que esse setor estava representado 
por 17 pessoas, a probabilidade de uma dessas pessoas ganhar a última bicicleta é igual a 
a) 17% 
b) 3/5 
c) 25% 
d) 1/4 
e) 1/3 
Resolução 
São 60 pessoas no total e 9 já foram sorteadas. Assim, sobram 60 – 9 = 51 pessoas. 
Das 51 pessoas restantes, 17 são do setor de informática. Assim, a probabilidade pedida é 17/51 = 
1/3. 
 
Gabarito: E 
 
103. (FCC 2017/ ARTESP) 
 
 Em um trecho de pedágio de uma rodovia no interior do Estado passam, pelas cabines, um total 
de 2.300 carretas de dois e três eixos, onde 1.725 são carretas de dois eixos. A probabilidade de 
passar uma carreta de três eixos pelas cabines é de 
 
(A) 30%. 
(B) 20%. 
(C) 33%. 
(D) 15%. 
(E) 25%. 
 
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Resolução 
Há um total de 2.300 carretas de dois e três eixos, onde 1.725 são carretas de dois eixos. Assim, o 
total de carretas de três eixos é 2.300 – 1.725 = 575. 
A probabilidade pedida é 575/2.300. 
Vamos simplificar esta fração por 25. 
575
2.300 =
25
100 = 25% 
 
Gabarito: E 
 
104. (FCC 2016/ TRT 20ª Região) 
 
A tabela a seguir apresenta a distribuição de frequências conjunta das variáveis salário e tempo de 
serviço, relativas a um grupo de 200 funcionários de um órgão público. A variável salário está 
representada por faixas de salário em número de salários mínimos (SM) e a variável tempo de 
serviço foi classificada por faixas de tempo em anos. 
 
Um funcionário desse grupo será selecionado ao acaso. A probabilidade dele ganhar, pelo menos, 
11 salários mínimos, dado que ele trabalha há menos de 10 anos no órgão público, é igual a 
 
(A) 1/8 
(B) 5/24 
(C) 5/12 
(D) 3/5 
(E) 7/12 
Resolução 
Sabemos que o funcionário trabalha há menos de 10 anos no órgão público. Assim, nosso espaço 
amostral será reduzido. O total de pessoas que vamos considerar é 60 + 60 = 120. 
Dessas 120 pessoas, estamos interessados naquelas que ganham pelo menos 11 salários mínimos. 
Assim, o total de casos desejados é 10 + 15 = 25. 
A probabilidade pedida é 25/120 = 5/24. 
 
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Gabarito: B 
 
105. (FCC 2016/ TRT 20ª Região) 
 
 A tabela a seguir apresenta a distribuição de frequências conjunta das variáveis salário e tempo de 
serviço, relativas a um grupo de 200 funcionários de um órgão público. A variável salário está 
representada por faixas de salário em número de salários mínimos (SM) e a variável tempo de 
serviço foi classificada por faixas de tempo em anos. 
 
Cinco funcionários serão selecionados ao acaso e com reposição desse grupo. A probabilidade de 
que, nesse grupo de cinco, três funcionários tenham menos do que 5 anos de serviço e que dois 
funcionários tenham, pelo menos, 10 anos de serviço é igual a 
 
(A) 0,1080 
(B) 0,0864 
(C) 0,0536 
(D) 0,0432 
(E) 0,1236 
Resolução 
Considere que A é o evento “menos de 5 anos de serviço” e B seja o evento “pelo menos 10 anos 
de serviço”. 
O conjunto A possui 60 elementos e o conjunto B possui 80 elementos. Assim, 
𝑃(𝐴) =
60
200 = 0,3 
𝑃(𝐵) =
80
200 = 0,4 
Queremos calcular a probabilidade de que três funcionários tenham menos do que 5 anos de 
serviço e que dois funcionários tenham, pelo menos, 10 anos de serviço. Vamos calcular a 
probabilidade de ocorrer a sequência AAABB. 
0,3 ∙ 0,3 ∙ 0,3 ∙ 0,4 ∙ 0,4 = 0,00432 
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Entretanto, devemos levar em consideração todas as outras ordens possíveis. Devemos multiplicar 
a probabilidade calculada pelo total de permutações da sequência AAABB. 
𝑃�
�,- =
5!
3! 2! =
5 ∙ 4 ∙ 3!
3! ∙ 2 ∙ 1 = 10 
Assim, a probabilidade pedida é: 
10 ∙ 0,00432 = 0,0432 
 
Gabarito: D 
 
106. (FCC 2016/ CREMESP) 
 
Em dezembro serão vistoriados 10 estabelecimentos de saúde, sendo 2 hospitais, 1 pronto-
socorro, 3ambulatórios e 4 postos de saúde. Sorteando-se ao acaso a ordem de visita dos 10 
estabelecimentos, a probabilidade de que os dois primeiros sejam postos de saúde é igual a 
a) 2/15 
b) 4/25 
c) 2/25 
d) 3/20 
e) 3/25 
Resolução 
A probabilidade de o primeiro ser um posto de saúde é 4/10. A probabilidade de o segundo ser um 
posto de saúde é 3/9. Assim, a probabilidade de os dois seres postos de saúde é: 
4
10 ∙
3
9 =
2
5 ∙
1
3 =
2
15 
 
Gabarito: A 
 
107. (FCC 2017/ SABESP) 
 
Ao alugar um apartamento de temporada, Alex recebeu um molho com 12 chaves. Todas as chaves 
eram muito parecidas, mas apenas uma abria a porta de entrada do apartamento. Considere que 
ao fazer uma tentativa frustrada de abrir a porta com uma chave, Alex retira essa chave do molho 
para evitar tentar novamente com ela. 
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A probabilidade de Alex abrir a porta de entrada do apartamento exatamente na quarta tentativa é 
igual a 
a) 4/3 
b) 1/4 
c) 1/6 
d) 1/12 
e) 3/4 
Resolução 
Há 11 chaves erradas e uma chave correta. O processo é feito sem reposição, pois, ao errar, Alex 
retira a chave do molho. 
A probabilidade de ele errar na primeira tentativa é 11/12. A probabilidade de ele errar na segunda 
tentativa é 10/11. A probabilidade de ele errar na terceira tentativa é 9/10. A probabilidade de ele 
acertar na quarta tentativa é 1/9. Assim, a probabilidade pedida é: 
11
12 ∙
10
11 ∙
9
10 ∙
1
9 =
1
12 
 
Gabarito: D 
 
108. (FGV 2016/ IBGE) 
 
Raíza e Diego resolvem disputar um jogo em que cada um deles lança uma moeda honesta de 
forma independente e simultânea. Ela será vencedora no caso de dois resultados iguais, e ele, de 
dois diferentes. As probabilidades de vitória dela e dele são, respectivamente, iguais a: 
(A) 2/3 e 1/3; 
(B) 1/4 e 3/4; 
(C) 1/3 e 2/3; 
(D) 1/2 e 1/2; 
(E) 3/4 e 1/4. 
Resolução 
Quando lançamos duas moedas, há 4 possíveis resultados. 
- (Cara, Cara) 
- (Coroa, Coroa) 
- (Cara, Coroa) 
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- (Coroa, Cara). 
Assim, a probabilidade de termos dois resultados iguais é 2/4 = 1/2 e a probabilidade de termos 
dois resultados diferentes também é 2/4 = 1/2. 
 
Gabarito: D 
 
109. (FGV 2016/ IBGE) 
 
Suponha que, de um baralho normal, contendo 52 cartas de quatro naipes, é extraído, sem 
reposição e aleatoriamente, um total de quatro cartas. Se a carta “Ás” é equivalente a uma figura 
(ou seja, são 4 figuras e 9 números de cada naipe), é correto afirmar que a probabilidade de que 
todas sejam: 
a) do mesmo naipe é igual a (13/52).(12/51).(11/50).(10/49). 
b) figuras é igual a (10/52).(9/51).(8/50).(7/49). 
c) do mesmo número é igual a (4/52).(3/51).(2/50).(1/49). 
d) números é igual a (36/52).(35/51).(34/50).(33/49). 
e) de naipes diferentes é igual a 4.(16/52).(12/51).(8/50).(4/49). 
Resolução 
A letra A está errada porque faltou multiplicar por 4. Lembre-se que são 4 naipes. Aquele produto 
descrito na alternativa A é a probabilidade de todas as cartas serem de um mesmo naipe 
específico. 
Se são 4 figuras em cada naipe, então há um total de 16 figuras. A probabilidade de serem 4 figuras 
é igual a (16/52).(15/51).(14/50).(13/49). A alternativa B está errada. 
A alternativa C está errada por um motivo parecido com o da alternativa A. Como são 9 números, 
deveríamos multiplicar por 9. 
Há 16 figuras e 36 números. Assim, a probabilidade de serem sorteados 4 números é 
(36/52).(35/51).(34/50).(33/49). 
 
Gabarito: D 
 
 
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110. (FGV 2017/ IBGE) 
 
Entre os cinco números 2, 3, 4, 5 e 6, dois deles são escolhidos ao acaso e o produto deles dois é 
calculado.
A probabilidade desse produto ser um número par é: 
a) 60%; 
b) 75%; 
c) 80%; 
d) 85%; 
e) 90%. 
Resolução 
O produto de dois números é ímpar quando os dois fatores são ímpares. Isto é o que não 
queremos. 
A probabilidade de os dois serem ímpares é: 
2
5 ∙
1
4 =
1
10 = 10% 
Assim, a probabilidade de o produto ser ímpar é 10%. Portanto, a probabilidade de o resultado ser 
par é 100% - 10% = 90%. 
Podemos resolver utilizando análise combinatória. Há 5 números disponíveis e vamos escolher 2. 
Isto pode ser feito de: 
𝐶�- =
5 ∙ 4
2 ∙ 1 = 10	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
Das 10 maneiras de escolher 2 números dentre os 5 disponíveis, apenas uma resulta em um 
produto ímpar: 3 x 5 = 15. Todas as outras 9 escolhas resultam em um produto par. 
Assim, a probabilidade pedida é 9/10 = 90%. 
 
Gabarito: E 
 
111. (FGV 2017/ IBGE) 
 
 A probabilidade de um determinado aluno acertar cada uma das duas últimas questões de uma 
determinada prova é 70%.
Acertar ou errar cada uma das questões são eventos independentes. 
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A probabilidade desse aluno errar as duas referidas questões: 
a) é menor que 10%;
 
b) está entre 10% e 20%;
 
c) está entre 20% e 30%; 
d) está entre 30% e 50%; 
e) é maior que 50%. 
Resolução 
A probabilidade de errar cada questão é 100% - 70% = 30%. Como os eventos são independentes, 
então a probabilidade de errar as duas questões é o produto das probabilidades: 
30
100 ×
30
100 = 0,3 × 0,3 = 0,09 = 9% 
 
Gabarito: A 
 
 
112. (FGV 2018/ AFTE-SEFIN-RO) 
 
Dois eventos A e B têm probabilidades iguais a 70% e 80%. Os valores mínimo e máximo da 
probabilidade da interseção de A e B são 
a) 20% e 50%. 
b) 20% e 70%. 
c) 50% e 70%. 
d) 0% e 70%. 
e) 30% e 50%. 
Resolução 
Sabemos que: 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
Portanto, 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) 
O valor máximo que a probabilidade da união pode assumir é 1. Neste caso, teremos o valor 
mínimo da probabilidade da interseção, pois estamos subtraindo a reunião na fórmula acima. 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)�í| = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)�á« 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)�í| = 0,70 + 0,80 − 1 
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𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)�í| = 0,50 = 50% 
Com isso já podemos marcar a resposta na alternativa C. 
A probabilidade da interseção assumirá seu valor máximo quando a união assumir seu valor 
mínimo. 
Observe que P(A) = 70% e P(B) = 80%. Assim, P(B) > P(A). O menor valor que a probabilidade da 
união pode assumir é 80%, que é o caso em que A é um subconjunto de B. Lembre-se que se A é 
subconjunto de B, então 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵. 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)�á« = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)�í| 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)�á« = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐵) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)�á« = 𝑃(𝐴) = 70% 
 
Gabarito: C 
 
113. (FGV 2018/ AFTE-SEFIN-RO) 
 
Um dado é lançado quatro vezes. A probabilidade de que o número ‘6’ seja obtido ao menos duas 
vezes é, aproximadamente, igual a 
a) 0,05 
b) 0,13 
c) 0,25 
d) 0,40 
e) 0,50 
Resolução 
Neste caso, é mais fácil calcular a probabilidadedo evento complementar. Queremos que o 
número 6 seja obtido ao menos duas vezes. Assim, não queremos que o número 6 seja obtido 
nenhuma vez e também não queremos que o número 6 seja obtida apenas uma vez. 
i) O número 6 não é obtido. 
Neste caso, os 4 resultados são números diferentes de 6. A probabilidade de um número diferente 
de 6 ser obtido é 5/6. Portanto, a probabilidade de obtermos 4 números diferentes de ‘6’ é 
5
6 ∙
5
6 ∙
5
6 ∙
5
6 =
625
1.296 
ii) O número 6 é obtido apenas uma vez 
Digamos que obter o número ‘6’ seja o evento S. Não obter o número ‘6’ é o evento N. Vamos 
calcular a probabilidade de obtermos a sequência SNNN. 
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1
6 ∙
5
6 ∙
5
6 ∙
5
6 =
125
1.296 
Devemos levar em consideração todas as permutações da sequência SNNN, que é: 
𝑃�� =
4!
3! = 4 
Assim, a probabilidade de obtermos o número 6 apenas uma vez é: 
4 ×
125
1.296 =
500
1.296 
Assim, a probabilidade total do evento complementar é: 
𝑃(	𝐴	YYY) =
625
1.296 +
500
1.296 =
1.125
1.296 
A probabilidade pedida é: 
𝑃(𝐴) = 1 −
1.125
1.296 =
171
1.296 ≅ 0,1319 
 
Gabarito: B 
 
114. (FGV 2016/ IBGE) 
 
 Existem duas medidas de probabilidade, frequentemente empregadas, que apropriam dois 
conceitos bem distintos, o conceito clássico e o conceito frequencial. Entre as principais diferenças 
está o fato de que: 
(A) o clássico se aplica no caso de experimentos com espaço amostral não enumerável e o 
conceito frequencial não; 
 
(B) o segundo pode ser empregado observando-se apenas as condições iniciais do experimento 
aleatório; 
 
(C) para espaços amostrais finitos, a medida pelo conceito frequencial é determinada de forma 
única, com valor fixo; 
 
(D) mesmo que o experimento seja não aleatório, o conceito 
frequencial é aplicável, sendo mais 
preciso quanto maior for a 
amostra; 
 
(E) o conceito clássico utiliza, em muitos casos, técnicas de 
contagem para o cálculo das 
probabilidades. 
Resolução 
O conceito clássico diz que a probabilidade de um evento ocorrer é o número de casos desejados 
(favoráveis) dividido pelo número casos possíveis. 
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220 
Em muitos casos, utilizamos ferramentas de Análise Combinatória para contar os casos desejados e 
os casos possíveis. Portanto, a alternativa correta é a letra E. 
Vamos analisar as outras alternativas: 
a) Falsa, porque o conceito clássico exige que o espaço amostral seja enumerável (contável). 
b) Falsa, pois para utilizar o conceito frequencial, precisamos realizar o experimento muitas vezes. 
c) Falsa, porque a probabilidade pela abordagem frequencial depende dos resultados observados. 
Eu posso lançar uma moeda 100 vezes e obter 52 caras enquanto você pode lançar a mesma 
moeda 100 vezes e obter 49 caras. A minha estimativa da probabilidade de obter cara seria 52% e 
a sua seria 49%. Se o número de lançamentos tende a infinito, as nossas estimativas tendem a ser 
iguais. 
d) Falsa. Se o experimento não é aleatório, o resultado já é conhecido antes mesma da sua 
realização. 
 
Gabarito: E 
 
 
115. (FGV 2016/ IBGE) 
 
A teoria das probabilidades está apoiada em um conjunto de três axiomas, atribuídos a 
Kolmogorov. Sendo S o espaço amostral, A e B dois eventos, Ø do vazio e P(.) a medida de 
probabilidade, os axiomas estabelecem que: 
a) 𝑃(𝑆) = 1, 𝑃(𝐴) ≥ 0	𝑒	𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 
b) 𝑃(𝜙) = 0, 𝑃(𝐴) ≤ 1	𝑒	𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 
c) 𝑃(𝐴) ≥ 0; 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴r)	𝑒	𝑃 = 1, 𝐴r = 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟	𝑑𝑒	𝐴 
d) 𝑃(𝐴) ≥ 0; 𝑃(𝑆) = 1	𝑒	𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)	𝑐𝑜𝑚	𝐴 ∩ 𝐵 = 𝜙 
e) 𝑃(𝐴) ≤ 1; 𝑃(𝑆) = 1	𝑒	𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
Resolução 
A alternativa A é falsa, pois 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) só é verdade se os eventos forem 
independentes. 
A alternativa B é falsa, pois 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) só é verdade se os eventos forem 
mutuamente excludentes. 
Observe que todas as informações nas alternativas C, D e E são verdadeiras. Entretanto, a questão 
quer saber quais são os axiomas (as sentenças que são verdadeiras, mas que não carecem de 
demonstração). 
Vimos que os três axiomas de Kolmogorov são: 
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i) 𝑃(𝐴) ≥ 0 
ii) 𝑃(𝑈) = 1 
iii) Se A e B são dois eventos mutuamente excludentes (𝐴 ∩ 𝐵 = 𝜙), então 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵). 
As outras sentenças, como 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴r), são teoremas e podem ser demonstradas a partir 
dos axiomas. 
 
Gabarito: D 
 
116. (FGV 2016/ IBGE) 
 
 Considere os eventos A e B quaisquer de um mesmo espaço amostral S de um experimento 
aleatório ɛ. Caso P(A) = 0,40 então é possível supor que: 
a) P(B) = 0,7 e P(A U B) = 0.8, se A e B forem independentes; 
b) P(B) = 0,8, se A e B forem mutuamente exclusivos;
 
c) P(B) = 0,6 e P(A U B) = 0.76, se A e B forem independentes; 
d) P(A U B) = 0,3, se A e B forem mutuamente exclusivos; 
e) P(B) = 0,7 e P(A∩B) = 0.30, se A e B forem independentes. 
Resolução 
As alternativas A, C e E supõem que os eventos A e B são independentes. Neste caso, temos que 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,40 ∙ 𝑃(𝐵) 
Portanto, 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,40 + 𝑃(𝐵) − 0,40 ∙ 𝑃(𝐵) 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,40 + 0,60 ∙ 𝑃(𝐵) 
Vamos às alternativas: 
a) 𝑃(𝐵) = 0,7 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,40 + 0,60 ∙ 0,7 = 0,82 
A alternativa A é falsa. 
c)	𝑃(𝐵) = 0,6 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,40 + 0,60 ∙ 0,6 = 0,76 
A alternativa A é verdadeira. 
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e) 𝑃(𝐵) = 0,7 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,40 ∙ 0,7 = 0,28 
A alternativa E é falsa. 
As alternativas B e D supõem que os eventos são mutuamente exclusivos. Neste caso, vamos supor 
que 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0 e, portanto, 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵). 
b) 𝑃(𝐵) = 0,8 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,40 + 0,8 = 1,2 
Isto é impossível, pois a probabilidade é sempre no máximo igual a 1. 
d) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,3 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 
0,3 = 0,4 + 𝑃(𝐵) 
𝑃(𝐵) = −0,1 
Isto é impossível, pois a probabilidade é sempre um número não-negativo. 
 
Gabarito: C 
 
117. (FGV 2017/ SEPOG-RO) 
 
Para uma premiação, dois funcionários de uma empresa serão sorteados aleatoriamente entre 
quatro candidatos: dois do departamento A e dois do departamento B. A probabilidade de os dois 
funcionários sorteados pertencerem ao mesmo departamento é 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 1/4 
d) 1/6 
e) 3/4 
 
Resolução 
Vamos calcular a probabilidade de os dois sorteados serem do departamento A. A probabilidade 
de o primeiro ser do departamento A é 2/4 e a probabilidade de o segundo ser do departamento A 
é igual a 1/3. Assim, a probabilidade de os dois serem do departamento A é igual a 
2
4 ∙
1
3 =
1
6 
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Matemáticamulher? 
Ora, não temos mais 500 pessoas, pois sabemos que a pessoa sorteada usa óculos. O total de casos 
possíveis agora é 100. 
Como queremos calcular a probabilidade de esta pessoa ser mulher, devemos olhar na tabela 
quantas são as mulheres que usam óculos: 80. 
Portanto, a probabilidade pedida é 80/100. 
Vamos treinar mais um pouco. Sabendo que a pessoa sorteada não usa óculos, qual é a 
probabilidade de ser um homem? 
Ora, se a pessoa sorteada não usa óculos, estamos restritos a 400 pessoas. Destas 400 pessoas que 
não usam óculos, 180 são homens. Portanto, a probabilidade pedida é 180/400 
Vejamos outro exemplo. 
Consideremos o experimento que consiste em jogar um dado não-viciado. Sejam o espaço 
amostral 𝑈 = {1,2,3,4,5,6} e os eventos 𝐴 = {2,4,6} e 𝐵 = {1,2,5}. 
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Temos que a probabilidade de ocorrer o evento B é igual a: 
𝑃(𝐵) =
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑈) =
3
6 =
1
2 
Esta é a probabilidade de B a priori, quer dizer, antes que o experimento se realize. 
Suponhamos que, uma vez realizado o experimento, alguém nos informe que o resultado do 
mesmo é um número par, isto é, que o evento A ocorreu. A nossa opinião sobre a ocorrência do 
evento B se modifica com esta informação, já que, então, somente poderá ter ocorrido B se o 
resultado do experimento tiver sido o número 2. 
Esta opinião é quantificada com a introdução de uma “probabilidade a posteriori” ou, como vamos 
chamá-la doravante, probabilidade condicional de B dado A, definida por. 
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐴) =
1
3 
Vamos ilustrar esta situação com um diagrama. 
 
Sabemos que ocorreu um número par. O nosso espaço amostral (casos possíveis) deixa de ser U e 
passa a ser A. 
𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠	𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 = 𝐴 
Vamos representar o espaço amostral com a cor vermelha. 
 
 
O número de casos possíveis agora é igual a 3. 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟	𝐵	𝑠𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜	𝑞𝑢𝑒	𝐴	𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑢 =
𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠	𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠	𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 
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𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟	𝐵	𝑠𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜	𝑞𝑢𝑒	𝐴	𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑢 =
𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠	𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑛(𝐴) 
 
Para calcular a probabilidade de ocorrer o evento B, devemos nos restringir aos elementos comuns 
de A e B. Portanto, os casos desejados são os elementos da interseção entre A e B. 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟	𝐵	𝑠𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜	𝑞𝑢𝑒	𝐴	𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑢 =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐴) 
Finalmente, a expressão “probabilidade de ocorrer B sabendo que A ocorreu” é expressa assim: 
𝑃(𝐵|𝐴) 
Chegamos à fórmula: 
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐴) 
Vamos dividir numerador e denominador por 𝑛(𝑈). 
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝑈)
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑈)
 
Assim, ficamos com: 
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴) 
Veja como é fácil memorizar esta expressão. 
𝑃(𝐵|𝐴) significa que queremos saber a probabilidade de B, sabendo que A ocorreu. 
No numerador, sempre ficará a interseção dos eventos: 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵). 
No denominador, sempre ficará a probabilidade do evento ocorrido: 𝑃(𝐴). 
Imagine, por exemplo, que queremos calcular 𝑃(𝐶|𝐷). 
No numerador, sempre ficará a interseção dos eventos: 𝑃(𝐶 ∩ 𝐷). 
No denominador, sempre ficará a probabilidade do evento ocorrido: 𝑃(𝐷). 
Portanto, 
𝑃(𝐶|𝐷) =
𝑃(𝐶 ∩ 𝐷)
𝑃(𝐷) 
Imagine que você está resolvendo uma questão de probabilidade e o enunciado pede para calcular 
a probabilidade de que o time A tenha vencido a partida, sabendo que choveu no dia do jogo. 
𝑃(𝑣𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟|𝑐ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢) = 
No numerador fica a interseção dos eventos. No denominador fica o evento que ocorreu. 
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𝑃(𝑣𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟|𝑐ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢) =
𝑃(𝑣𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟	𝑒	𝑐ℎ𝑜𝑣𝑒𝑟)
𝑃(𝑐ℎ𝑜𝑣𝑒𝑟) 
7.1. TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO 
 
 
A probabilidade condicional mostra que: 
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴) 
Que pode ser expressa da seguinte forma: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) 
Esta fórmula é chamada de Teorema da Multiplicação e pode ser lida assim: 
A probabilidade de ocorrerem os eventos A e B é igual a probabilidade de A vezes a probabilidade 
de B depois que A ocorreu. 
 
Se a ocorrência do evento A não influir no cálculo da probabilidade do evento B, os 
eventos são ditos independentes e neste caso, tem-se 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 
 
Isto quer dizer que se A e B são independentes, então: 
𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵) 
𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) 
A primeira expressão afirma que a probabilidade de B ocorrer sabendo que A ocorreu é a própria 
probabilidade de B ocorrer. 
A segunda expressão afirma que a probabilidade de A ocorrer sabendo que B ocorreu é a própria 
probabilidade de A ocorrer. 
 
 
 
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7.2. INDEPENDÊNCIA DE TRÊS EVENTOS 
 
Vimos que dois eventos A e B são independentes se e somente 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 
 
Isto quer dizer que se A e B são independentes, então 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) e se 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵), então os eventos A e B são independentes. 
 
O mesmo não ocorre para três conjuntos. 
Os eventos A, B e C são independentes se e somente se 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐶) 
𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶) 
Isto quer dizer que se A, B e C são independentes, então as 4 condições acima ocorrem e se as 4 
condições acima ocorrem, então os eventos A, B e C são independentes. 
 
Imagine, por exemplo, que uma questão afirma que A, B e C são eventos independentes. Desta 
forma, você pode usar qualquer uma das 4 relações acima. 
Entretanto, se um problema apenas afirma que 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶), você não 
pode concluir que A, B e C são independentes. Para que isto seja verdade, você precisa ter certeza 
de que as 4 expressões acima são válidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7.3. TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
 
Imagine 3 urnas. Na primeira urna, há 2 bolas azuis e 3 bolas vermelhas; na segunda urna, há 1 
bola azul e 2 bolas vermelhas; na terceira urna, há 1 bola azul e 1 bola vermelha. 
 
Vamos selecionar uma dessas urnas ao acaso e retirar uma bola. Queremos calcular a 
probabilidade de a bola retirada ser vermelha. 
Observe que não podemos simplesmente dizer que são 10 bolas no total das quais 6 são vermelhas 
e que a probabilidade é igual a 6/10. Isso não pode ser feito porque as probabilidades de cada bola 
ser retirada não são iguais. 
Observe que: 
- Se a primeira urna for escolhida, a probabilidade de sair uma bola vermelha é 3/5. 
- Se a segunda urna for escolhida, a probabilidade de sair uma bola vermelha é 2/3. 
- Se a terceira urna for escolhida, a probabilidade de sair umapara BNB (Analista Bancário 1) 
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Vamos calcular a probabilidade de os dois sorteados serem do departamento B. A probabilidade de 
o primeiro ser do departamento B é 2/4 e a probabilidade de o segundo ser do departamento B é 
igual a 1/3. Assim, a probabilidade de os dois serem do departamento B é igual a 
2
4 ∙
1
3 =
1
6 
Assim, a probabilidade total de as duas pessoas serem do mesmo departamento é igual a 
1
6 +
1
6 =
2
6 =
1
3 
Poderíamos ter resolvido também utilizando análise combinatória. Lembre-se que retirar duas 
pessoas sucessivamente e sem reposição sempre dá o mesmo resultado de retirar duas pessoas 
simultaneamente. 
Há 4 pessoas e vamos selecionar 2. O total de possibilidades para fazer esta escolha é: 
𝐶�- =
4 ∙ 3
2 ∙ 1 = 6 
Vamos agora aos casos desejados. Queremos selecionar duas pessoas do departamento A (dentre 
2 disponíveis) ou duas pessoas do departamento B (dentre 2 disponíveis). Podemos realizar esta 
escolha de 
𝐶-- + 𝐶-- = 1 + 1 = 2	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
Assim, a probabilidade pedida é o número de casos desejados dividido pelo número de casos 
possíveis. 
2
6 =
1
3 
 
Gabarito: B 
 
118. (FGV 2016/ MPE-RJ) 
 
 A figura abaixo mostra uma mesa retangular com 5 cadeiras representadas pelos quadradinhos 
pretos. 
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Um casal com seus três filhos ocuparão esses cinco lugares e o lugar de cada um será decidido por 
sorteio. A probabilidade de que o casal fique junto, ou seja, um ao lado do outro em uma das 
laterais da mesa é: 
a) 10%; 
b) 20%; 
c) 30%; 
d) 40%; 
e) 50%. 
Resolução 
 O experimento será realizado em duas etapas. Na primeira etapa, vamos escolher o lugar do 
marido, por exemplo. Queremos que ele sente em uma das cadeiras das laterais. Como há 4 
cadeiras nas laterais em um total de 5, então a probabilidade de o pai sentar em uma das cadeiras 
das laterais é 4/5. 
No momento que o pai senta, só há uma possibilidade para a mãe: sentar ao lado do pai. Assim, há 
um caso desejado em um total de 4 casos possíveis. Assim, depois que o pai se senta, a 
probabilidade de a mãe sentar ao seu lado é 1/4. 
Assim, a probabilidade de eles sentarem juntos em uma das laterais é 
4
5 ∙
1
4 =
1
5 = 0,2 = 20% 
 
Gabarito: B 
 
119. (FGV 2016/ IBGE) 
 
 Sobre os eventos mutuamente exclusivos e/ou independentes de um mesmo espaço amostral S, a 
partir de um experimento aleatório ɛ é correto afirmar que: 
(A) se dois eventos são mutuamente exclusivos, então também 
serão independentes; 
 
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(B) se dois eventos são independentes, então também serão 
mutuamente exclusivos; 
 
(C) um evento qualquer não pode ser independente de si 
mesmo; 
 
(D) se dois eventos são mutuamente exclusivos, então certamente não poderão ser 
independentes;
 
(E) se dois eventos são independentes, então é possível que sejam mutuamente exclusivos. 
Resolução 
Vamos analisar cada uma das alternativas. 
a) A alternativa supõe que a interseção entre os conjuntos é o conjunto vazio. Assim, a 
probabilidade da interseção é zero. 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0 
Para que os eventos sejam independentes, é necessário e suficiente que 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 
𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) = 0 
Para que isto seja verdade, pelo menos um dos conjuntos tem que ser o conjunto vazio, o que não 
foi garantido pelo enunciado. Assim, a alternativa A é falsa. 
b) A alternativa B supõe que os eventos são independentes. Assim, temos: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 
Para que os eventos sejam mutuamente exclusivos, a probabilidade da interseção tem que ser 
zero. 
𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) = 0 
Para que isto seja verdade, pelo menos um dos conjuntos tem que ser o conjunto vazio, o que não 
foi garantido pelo enunciado. Assim, a alternativa B é falsa. 
c) Será que algum evento pode ser independente de si mesmo? 
Considere um evento qualquer A. Se A é independente de A, então: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐴) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐴) 
𝑃(𝐴) = [𝑃(𝐴)]- 
Isto é verdade para 𝑃(𝐴) = 0 ou 𝑃(𝐴) = 1. Assim, o evento impossível (conjunto vazio) é 
independente de si mesmo e o evento certo (conjunto universo) é independente de si mesmo. 
A alternativa C é falsa. 
d) A alternativa supõe que a interseção entre os conjuntos é o conjunto vazio. Assim, a 
probabilidade da interseção é zero. 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0 
Para que os eventos sejam independentes, é necessário e suficiente que 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 
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𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) = 0 
Se algum dos conjuntos for o conjunto vazio, o produto será zero e os eventos serão 
independentes. 
A alternativa D é falsa. 
e) A alternativa B supõe que os eventos são independentes. Assim, temos: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 
Para que os eventos sejam mutuamente exclusivos, a probabilidade da interseção tem que ser 
zero. 
𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) = 0 
Para que isto seja verdade, pelo menos um dos conjuntos tem que ser o conjunto vazio. Assim, é 
possível que os conjuntos sejam mutuamente exclusivos. 
 
Gabarito: E 
 
120. (FGV 2016/ IBGE) 
 
A presente prova de estatística está sendo aplicada a uma população de candidatos composta por 
70% de indivíduos bem preparados, 20% de medianos e 10% de insuficientes. Os mais aptos têm 
probabilidade de 80% de acertar qualquer questão, sendo essa probabilidade 25% menor no caso 
dos medianos e outros 50% menor no caso dos insuficientes, com relação aos medianos. Um 
candidato é escolhido ao acaso. A probabilidade de que ele acerte determinada questão é de: 
a) 0,34 
b) 0,54; 
c) 0,66; 
d) 0,71; 
e) 0,83. 
Resolução 
Sabemos que 70% dos indivíduos são bem preparados; a probabilidade de um bem preparado 
acertar uma questão é de 80%. 
Sabemos ainda que 20% são indivíduos medianos e a probabilidade de acertar uma questão é 25% 
menor do que a probabilidade de um bem preparado acertar uma questão. Assim, a probabilidade 
de um mediano acertar uma questão é (1 – 0,25) x 80% = 60%. 
Finalmente, Sabemos ainda que 10% são indivíduos insuficientes e a probabilidade de acertar uma 
questão é 50% menor do que a probabilidade de um bem mediano acertar uma questão. Assim, a 
probabilidade de um insuficiente acertar uma questão é (1 – 0,50) x 60% = 30%. 
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Observe agora o seguinte diagrama. 
 
Assim, 
𝑃(𝐵𝑒𝑚	𝑝𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑑𝑜	𝑒	𝑎𝑐𝑒𝑟𝑡𝑎𝑟) = 0,70 × 0,80 = 0,56 
𝑃(𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜	𝑒	𝑎𝑐𝑒𝑟𝑡𝑎𝑟) = 0,20 × 0,60 = 0,12 
𝑃(𝐼𝑛𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒	𝑒	𝑎𝑐𝑒𝑟𝑡𝑎𝑟) = 0,10 × 0,30 = 0,03 
A probabilidade total de acertar a questão é: 
𝑃(𝐴𝑐𝑒𝑟𝑡𝑎𝑟) = 0,56 + 0,12 + 0,03 = 0,71 
 
Gabarito: D 
 
121. (FGV 2016/ IBGE) 
 
Suponha que, por coincidência, as 12 pessoas que estão numa sala de espera, aguardando por uma 
chamada, nasceram todas no mês de agosto. Então a probabilidade de que não haja sequer uma 
coincidência entre os dias do mês de nascimento é de: 
𝑎)
31!
19! (31)"- 
𝑏)
31!
(31)"- 
𝑐)
31!
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𝑑)
31!
19! 12! 
𝑒)
30!
12! (30)"- 
Resolução 
Vamos calcular o número de casos possíveis. Há 31 possibilidades para o dia de aniversário da 
primeira pessoa, 31 possibilidades para o aniversário da segunda, ..., 31 possibilidades para o 
aniversário da décima segunda. 
 Pelo princípio fundamental da contagem, há: 
31 ∙ 31 ∙ … ∙ 31o���p���q
"-	x{ªt�v�
= 31"- 
Vamos agora calcular o número de casos desejados. Queremos que os 12 aniversários ocorram em 
datas distintas. Isso pode ser feito de: 
31 ∙ 30 ∙ 29 ∙ 28 ∙ 27 ∙ … ∙ 20o��������p��������q
"-	x{ªt�v�
 
A probabilidade é simplesmente o quociente entre o número de casos desejados e o número de 
casos possíveis. Entretanto, observe que nenhuma alternativa contém o produto 31 ∙ 30 ∙ 29 ∙ 28 ∙
27 ∙ … ∙ 20. 
 Algumas alternativas utilizam o fatorial de 31 ou o fatorial de 19. Para que esses fatoriais surjam 
na nossa expressão, vamos multiplicar o numerador e o denominador por 19!. 
31 ∙ 30 ∙ 29 ∙ 28 ∙ 27 ∙ … ∙ 20 = 31 ∙ 30 ∙ 29 ∙ 28 ∙ 27 ∙ … ∙ 20 ∙
19!
19! 
31 ∙ 30 ∙ 29 ∙ 28 ∙ 27 ∙ … ∙ 20 ∙
19!
19! =
31 ∙ 30 ∙ 29 ∙ 28 ∙ 27 ∙ … ∙ 20 ∙ 19!
19! =
31!
19! 
Agora, vamos calcular a probabilidade pedida: 
𝑃 =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜	𝑑𝑒	𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠	𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜	𝑑𝑒	𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠	𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 
𝑃 =
31!
19!
31"- =
31!
19! ∙
1
31"- =
31!
19! (31)"- 
 
Gabarito: A 
 
122. (FGV 2016/ IBGE) 
 
Um experimento é realizado a partir de três urnas, contendo bolas brancas e pretas com a seguinte 
composição: 
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Urna I = 3 Brancas e 4 Pretas
 
Urna II = 5 Brancas e 3 Pretas
 
Urna III = 2 Brancas e 3 Pretas
 
A realização consiste em, a partir da Urna III, sortear uma bola e colocar na Urna I, caso seja 
branca, ou na Urna II caso seja preta. Em seguida é escolhida, aleatoriamente, uma bola da urna 
que foi abastecida. Se ao final do experimento a bola sorteada foi branca, a probabilidade de que a 
primeira bola sorteada tenha sido preta é igual a: 
a) 3/5; 
b) 3/8; 
c) 5/8; 
d) 7/15; 
e) 8/15. 
Resolução 
Aplicação do Teorema de Bayes. 
Queremos calcular a probabilidade de a primeira bola ter sido preta, sabendo que a segunda bola 
foi branca. 
𝑃(1ª	é	𝑝𝑟𝑒𝑡𝑎|2ª	é	𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎) =
𝑃(1ª	é	𝑝𝑟𝑒𝑡𝑎	𝑒	2ª	é	𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎)
𝑃(2ª	é	𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎) 
Vamos calcular o numerador. 
A primeira bola será retirada da urna III. A probabilidade de retirarmos uma bola preta da urna III é 
3/5. Sendo preta a primeira bola retirada, esta bola será colocada na urna II. 
Agora, a urna II tem 5 brancas e 4 pretas. A probabilidade de retirarmos uma bola branca da urna II 
é 5/9. 
Assim, temos: 
𝑃(1ª	é	𝑝𝑟𝑒𝑡𝑎	𝑒	2ª	é	𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎) =
3
5 ∙
5
9 =
1
3 
Vamos agora calcular o denominador. Queremos calcular a probabilidade de a segunda bola 
retirada ser branca, independentemente da cor da primeira bola. 
Já calculamos um dos casos: quando a primeira é preta e a segunda é branca. 
Vamos calcular o segundo caso: quando a primeira é branca e a segunda é branca. 
A primeira bola será retirada da urna III. A probabilidade de retirarmos uma bola branca da urna III 
é 2/5. Sendo branca a primeira bola retirada, esta bola será colocada na urna I. 
Agora, a urna I tem 4 brancas e 4 pretas. A probabilidade de retirarmos uma bola branca da urna II 
é 4/8. 
Assim, temos: 
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𝑃(1ª	é	𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎	𝑒	2ª	é	𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎) =
2
5 ∙
4
8 =
1
5 
Assim, a probabilidade total de a segunda bola ser branca é: 
𝑃(2ª	é	𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎) = 𝑃(1ª	é	𝑝𝑟𝑒𝑡𝑎	𝑒	2ª	é	𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎) + 𝑃(1ª	é	𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎	𝑒	2ª	é	𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎) 
𝑃(2ª	é	𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎) =
1
3 +
1
5 =
5 + 3
15 =
8
15 
A probabilidade pedida é: 
𝑃(1ª	é	𝑝𝑟𝑒𝑡𝑎|2ª	é	𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎) =
𝑃(1ª	é	𝑝𝑟𝑒𝑡𝑎	𝑒	2ª	é	𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎)
𝑃(2ª	é	𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎) 
𝑃(1ª	é	𝑝𝑟𝑒𝑡𝑎|2ª	é	𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎) =
1/3
8/15 =
1
3 ∙
15
8 =
5
8 
 
Gabarito: C 
 
123. (FGV 2016/ IBGE) 
 
A microcefalia tem, em síntese, duas causas, a contaminação pelo zika vírus, transmitido pelo 
aedes aegypti, além de um conjunto de outras origens. Entre a população feminina de grávidas, 
sabe-se que 5% foi picada pelo mosquito, enquanto 10% está sujeita as outras origens, não 
havendo interseção entre esses dois grupos. O desenvolvimento da doença não é certo, 
acontecendo em 80% das picadas do mosquito e em 30% na eventualidade das outras origens. 
Se uma mulher, sorteada aleatoriamente entre as grávidas, carrega um feto que apresenta o 
problema, a probabilidade de que ela NÃO tenha sido picada pelo mosquito é de: 
a) 3%; 
b) 7%; 
c) 3/4; 
d) 3/7; 
e) 4/7. 
Resolução 
Aplicação do teorema de Bayes. 
Queremos calcular a probabilidade de a grávida não ter sido picada pelo mosquito, ou seja, sujeita 
a outras origens, sabendo que o feto apresenta o problema. 
𝑃(𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎𝑠	𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛𝑠|𝑓𝑒𝑡𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎) =
𝑃(𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎𝑠	𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛𝑠	𝑒	𝑓𝑒𝑡𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎)
𝑃(𝑓𝑒𝑡𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎) 
Vamos calcular o numerador. 
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Sabemos que 10% das grávidas estão sujeitas a outras origens e que 30% destas acarretam no 
desenvolvimento da doença. Assim, 
𝑃(𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎𝑠	𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛𝑠	𝑒	𝑓𝑒𝑡𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎) = 0,10 × 0,30 = 0,03 
Vamos agora calcular a probabilidade total de o feto ter problema. Já calculamos o caso em que a 
mãe está sujeita a outras origens. Vamos calcular o caso em que a mãe foi picada pelo mosquito. 
Sabemos que 5% das grávidas foram picadas pelo mosquito e que 80% delas desenvolvem a 
doença. 
Assim, 
𝑃(𝑚𝑜𝑠𝑞𝑢𝑖𝑡𝑜	𝑒	𝑓𝑒𝑡𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎) = 0,05 × 0,80 = 0,04 
Assim, a probabilidade de o feto ter problema é: 
 
𝑃(𝑓𝑒𝑡𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎) = 𝑃(𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎𝑠	𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛𝑠	𝑒	𝑓𝑒𝑡𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎) + 𝑃(𝑚𝑜𝑠𝑞𝑢𝑖𝑡𝑜	𝑒	𝑓𝑒𝑡𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎) 
𝑃(𝑓𝑒𝑡𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎) = 0,03 + 0,04 = 0,07 
A probabilidade pedida é, portanto: 
𝑃(𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎𝑠	𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛𝑠|𝑓𝑒𝑡𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎) =
𝑃(𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎𝑠	𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛𝑠	𝑒	𝑓𝑒𝑡𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎)
𝑃(𝑓𝑒𝑡𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎) 
𝑃(𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎𝑠	𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛𝑠|𝑓𝑒𝑡𝑜	𝑡𝑒𝑚	𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎) =
0,03
0,07 =
3
7 
 
Gabarito: D 
 
124. (FGV 2016/ Pref. de Paulínia-SP) 
 
Em um Departamento de Matemática trabalham seis professores, cada um com uma 
especialidade. Dois são especialistas em Álgebra, dois são especialistas em Geometria e os outros 
dois em Trigonometria. 
Sorteando três professores, a probabilidade de que sejam todos de especialidades diferentes é 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 2/5 
d) 3/8 
e) 3/10 
Resolução 
Há 6 professores dos quais 3 serão selecionados. O número total de possibilidades é 
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𝐶M� =
6 ∙ 5 ∙ 4
3 ∙ 2 ∙ 1 = 20 
Estamos interessados em calcular a probabilidade de serem selecionados um professor de cada 
especialidade. 
 
Assim, vamos calcular o total de possibilidades para selecionar 1 especialista em Álgebra (dentre 2 
disponíveis), 1 especialista em Geometria (dentre 2 disponíveis) e 1 especialista em Trigonometria 
(dentre 2 disponíveis). 
O total de casos desejados é 
𝐶-" ∙ 𝐶-" ∙ 𝐶-" = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8 
Assim, a probabilidade pedida é 8/20 = 2/5. 
Poderíamos também seguir o seguinte raciocínio. Escolhemos o primeiro professor 
aleatoriamente. Não interessa qual a sua especialidade. 
Sobram 5 professores dos quais 4 não são da sua mesma especialidade. Assim, a probabilidade de 
o segundo professor não ser da mesma especialidade do primeiro é 4/5. 
Sobram 4 professores dos quais 2 não são da mesma especialidade dos dois já selecionados. Assim, 
a probabilidade de o terceiro ser de uma especialidade diferente dos dois primeiros é 2/4. 
Portanto, a probabilidade de os três selecionados serem de especialidades diferentes é 
 
4
5 ×
2
4 =
2
5 
 
Gabarito: C 
 
 
125. (FGV 2016/ Pref. de Paulínia) 
 
Os times A e B vão disputar as finais de um campeonato de basquete. Os jogos de basquete não 
podem terminar empatados, tem que haver um vencedor. Admita que as probabilidades dos times 
A e B vencerem cada jogo são iguais, isto é, 1/2 cada um. As finais serão disputadas em até dois 
jogos. De acordo com o regulamento do campeonato, devido ao melhor desempenho até o 
momento, ao time A basta vencer um jogo das finais para ser campeão. Já o time B para ser 
campeão tem que vencer os dois jogos das finais. 
A probabilidade do time A ser campeão é 
a) 1/2 
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b) 2/3 
c) 3/4 
d) 3/5 
e) 4/5 
Resolução 
O time A pode ser campeão em dois casos: 
i) O time A vence o primeiro jogo 
A probabilidade de A vencer o primeiro jogo é 1/2. 
 
ii) O time A perde o primeiro jogo e vence o segundo jogo. 
A probabilidade de A perder o primeiro jogo é 1/2 e a probabilidade de A vencer o segundo jogo é 
1/2. Assim, a probabilidade de A perder o primeiro jogo e vencer o segundo é: 
1
2 ×
1
2 =
1
4 
A probabilidade total de A ser campeão é 
1
2 +
1
4 =
3
4 
 
Gabarito: C 
 
126. (FGV 2016/ Oficial de Chancelaria – MRE ) 
 
 Em uma urna há quinze bolas iguais numeradas de 1 a 15. Retiram-se aleatoriamente, em 
sequência e sem reposição, duas bolas da urna.
A probabilidade de que o número da segunda bola 
retirada da urna seja par é: 
a) 1/2 
b) 3/7 
c) 4/7 
d) 7/15 
e) 8/15 
Resolução 
Devemos separar em dois casos. 
i) A primeira bola é par e a segunda bola é par. 
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São 15 números dos quais 7 são pares. A probabilidade de o primeiro ser par é 7/15 e a 
probabilidade de o segundo ser par é 6/14. 
Ficamos com: 
7
15 ×
6
14 =
1
5 
ii) A primeira bola é ímpar e a segunda bola é par 
São 15 números dos quais 8 são ímpares e 7 são pares. A probabilidade de o primeiro ser ímpar é 
8/15 e a probabilidade de o segundo ser par é 7/14. 
Ficamos com: 
8
15 ×
7
14 =
4
15 
A probabilidade total de o segundo número ser par é: 
 
1
5 +
4
15 =
7
15 
 
Gabarito: D 
 
127. (FGV 2016/ IBGE) 
 
Cinco pessoas estão sentadas em cinco cadeiras em linha, cada uma com uma moeda na mão. As 
moedas são todas bem equilibradas, de modo que a probabilidade de sair cara ou coroa em cada 
uma delas é 1/2. Em um determinado momento, as cinco pessoas jogam suas respectivas moedas. 
Aquelas que obtiverem cara continuam sentadas, e as que obtiverem coroa levantam-se. Após 
esse procedimento, a probabilidade de que NÃO haja duas pessoas adjacentes, ambas sentadas ou 
ambas de pé, é de: 
a) 1/2 
b) 1/8 
c) 1/16 
d) 3/32 
e) 5/32 
Resolução 
Pessoas vizinhas devem possuir sempre resultados diferentes. Sendo C uma cara e K uma coroa, 
estamos interessados em dois casos: CKCKC ou KCKCK. 
𝑃(𝐶𝐾𝐶𝐾𝐶	𝑜𝑢	𝐾𝐶𝐾𝐶𝐾) =
1
2 ⋅
1
2 ⋅
1
2 ⋅
1
2 ⋅
1
2 +⋅
1
2 ⋅
1
2 ⋅
1
2 ⋅
1
2 ⋅
1
2 =
1
32 +
1
32 =
2
32 =
1
16 
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Gabarito: C 
 
128. (FCC 2017/ TRT 11ª Região) 
 
Um determinado órgão público recebe mensalmente processos que devem ser analisados por 2 
analistas: A e B. Sabe-se que esses dois analistas recebem a mesma proporção de processos para a 
análise. Sabe-se que 20% de todos os processos encaminhados para A são analisados no mês de 
recebimento e que 10% são indeferidos. Sabe-se também que 40% dos processos encaminhados 
para B são analisados no mês de recebimento e que 20% são indeferidos. 
Um processo recebido em determinado mês é selecionado ao acaso. A probabilidade de ele ser 
deferido naquele mesmo mês é igual a 
(A) 0,245 
(B) 0,350 
(C) 0,500 
(D) 0,420 
(E) 0,250 
Resolução 
O enunciado afirma que esses dois analistas recebem a mesma proporção de processos para a 
análise. Assim, metade dos processos vão para A e metade dos processos vão para B. 
Selecionando-se um processo ao acaso, a probabilidade de A receber é 1/2 e a probabilidade de B 
receber é 1/2. 
Sabe-se que 20% de todos os processos encaminhados para A são analisados no mês de 
recebimento e que 40% dos processos encaminhados para B são analisados no mês de 
recebimento. 
Dos processos analisados por A, 10% são indeferidos. Dos processos analisados por B, 20% são 
indeferidos. 
Ficamos com o seguinte diagrama: 
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Queremos calcular a probabilidade de um processo ser deferido no mesmo mês. Vamos utilizar o 
Teorema da Probabilidade Total. Há dois caminhos que chegam aos processos deferidos no mesmo 
mês. Vamos multiplicar as probabilidades em cada um desses caminhos e somar os resultados. 
𝑃(𝑑𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜) =
1
2 ∙ 0,2 ∙ 0,9 +
1
2 ∙ 0,4 ∙ 0,8 = 0,25 
 
Gabarito: E 
 
129. (FCC 2017/ TRT 11ª Região) 
 
 Um determinado órgão público recebe mensalmente processos que devem ser analisados por 2 
analistas: A e B. Sabe-se que esses dois analistas recebem a mesma proporção de processos para a 
análise. Sabe-se que 20% de todos os processos encaminhados para A são analisados no mês de 
recebimento e que 10% são indeferidos. Sabe-se também que 40% dos processos encaminhados 
para B são analisados no mês de recebimento e que 20% são indeferidos. 
Cinco processos são selecionados ao acaso e com reposição em um determinado mês. A 
probabilidade de exatamente 2 não serem analisados no mês de recebimento é igual a 
(A) 0,1323 
(B) 0,2312 
(C) 0,3087 
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(D) 0,2554 
(E) 0,1215 
Resolução 
 O enunciado afirma que essesdois analistas recebem a mesma proporção de processos para a 
análise. Assim, metade dos processos vão para A e metade dos processos vão para B. 
Selecionando-se um processo ao acaso, a probabilidade de A receber é 1/2 e a probabilidade de B 
receber é 1/2. 
Sabe-se que 20% de todos os processos encaminhados para A são analisados no mês de 
recebimento e que 40% dos processos encaminhados para B são analisados no mês de 
recebimento. 
Portanto, 80% de todos os processos encaminhados para A não são analisados no mês de 
recebimento e 60% dos processos encaminhados para B não são analisados no mês de 
recebimento. 
 
Seja S o evento não ser analisado no mês de recebimento e seja F o evento ser analisado no mês 
de recebimento. 
A probabilidade de um evento não ser analisado no mês de recebimento é: 
𝑃(𝑆) =
1
2 ∙ 80% +
1
2 ∙ 60% = 70% 
A probabilidade de um evento ser analisado no mês de recebimento é 
𝑃(𝐹) =
1
2 ∙ 20% +
1
2 ∙ 40% = 30% 
 
Cinco processos são selecionados ao acaso e com reposição em um determinado mês. Queremos 
calcular a probabilidade de exatamente 2 não serem analisados no mês de recebimento. 
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220 
Vamos, por exemplo, calcular a probabilidade de ocorrer a sequência SSFFF. 
0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,3 ∙ 0,3 ∙ 0,3 
Entretanto, devemos levar em consideração todas as outras possíveis ordens. Assim, vamos 
multiplicar a probabilidade acima pelo total de permutações da sequência SSFFF. 
𝑃�
-,� =
5!
2! 3! =
5 ∙ 4 ∙ 3!
2 ∙ 1 ∙ 3! = 10 
A probabilidade pedida é: 
10 ∙ 0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,3 ∙ 0,3 ∙ 0,3 = 0,1323 
 
Gabarito: A 
 
130. (FCC 2017/ TRT 11ª Região) 
 
Um determinado órgão público recebe mensalmente processos que devem ser analisados por 2 
analistas: A e B. Sabe-se que esses dois analistas recebem a mesma proporção de processos para a 
análise. Sabe-se que 20% de todos os processos encaminhados para A são analisados no mês de 
recebimento e que 10% são indeferidos. Sabe-se também que 40% dos processos encaminhados 
para B são analisados no mês de recebimento e que 20% são indeferidos. 
Sabe-se que um processo analisado no mês de recebimento foi indeferido. A probabilidade de ele 
ter sido encaminhado para A é igual a 
(A) 0,15 
(B) 0,75 
(C) 0,25 
(D) 0,30 
(E) 0,20 
Resolução 
O enunciado afirma que esses dois analistas recebem a mesma proporção de processos para a 
análise. Assim, metade dos processos vão para A e metade dos processos vão para B. 
Selecionando-se um processo ao acaso, a probabilidade de A receber é 1/2 e a probabilidade de B 
receber é 1/2. 
Sabe-se que 20% de todos os processos encaminhados para A são analisados no mês de 
recebimento e que 40% dos processos encaminhados para B são analisados no mês de 
recebimento. 
Dos processos analisados por A, 10% são indeferidos. Dos processos analisados por B, 20% são 
indeferidos. 
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Ficamos com o seguinte diagrama: 
 
Queremos calcular a probabilidade de o processo ter sido analisado por A no mês de recebimento, 
sabendo que ele foi indeferido. 
𝑃(𝐴|𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜) =
𝑃(𝐴	𝑒	𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜)
𝑃(𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜) 
Vamos calcular a probabilidade 
Vamos calcular a probabilidade de o processo ser indeferido por A no mês de recebimento. 
𝑃(𝐴	𝑒	𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜) =
1
2 × 0,20 × 0,10 = 0,01 
Vamos agora calcular a probabilidade total de o processo ser indeferido no mês de recebimento. 
𝑃(𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜) = 𝑃(𝐴	𝑒	𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜) + 𝑃(𝐵	𝑒	𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜) 
𝑃(𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜) = 0,01 +
1
2 × 0,40 × 0,20 = 0,05 
Assim, a probabilidade pedida é: 
𝑃(𝐴|𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜) =
𝑃(𝐴	𝑒	𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜)
𝑃(𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜) =
0,01
0,05 =
1
5 = 0,20 
 
Gabarito: E 
 
 
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131. (FCC 2016/ SEFAZ-MA) 
 
Considere a descrição de sistemas de senhas abaixo. 
- Cada senha, do sistema de senhas J, é formada por duas letras dentre as 10 primeiras letras do 
alfabeto seguidas de três algarismos ímpares. 
 
- Cada senha, do sistema de senhas K, é formada por três letras vogais seguidas de dois algarismos 
diferentes. 
 
- Cada senha, do sistema de senhas L, é formada por uma letra dentre as dez primeiras consoantes, 
seguida por duas letras vogais diferentes e ainda seguidas por dois algarismos diferentes dentre os 
oito primeiros algarismos. 
A senha de um computador foi criada utilizando-se o sistema J. Alguém que tentar descobrir essa 
senha por meio de 250 tentativas diferentes, tem uma probabilidade de acerto de 
 
(A) 0,02% 
(B) 20% 
(C) 2% 
(D) 0,2% 
(E) 2,5% 
Resolução 
No sistema J, há 10 possibilidades para cada letra e 5 possibilidades para cada algarismo (pois os 
algarismos são ímpares). Assim, pelo princípio fundamental da contagem, há um total de 
10 × 10 × 5 × 5 × 5 = 12.500	𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠	𝑠𝑒𝑛ℎ𝑎𝑠 
Como o sujeito tentará 250 senhas diferentes, então a probabilidade de acerto é: 
250
12.500 = 0,02 = 2% 
 
Gabarito: C 
 
132. (FCC 2015/ DPE-SP) 
 
A e B são eventos de um mesmo espaço amostral. Relativamente a A e B sabe-se que: 
I. a probabilidade de A ocorrer é igual a 1/4; 
 
II. a probabilidade de B ocorrer é igual a 3/5; 
 
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III. a probabilidade de que A não ocorra e de que B não ocorra é igual a 1/5. 
 
Nessas condições, a probabilidade condicional de B dado A, denotada por P(B|A), é igual a (A) 2/5. 
(B) 1/4. 
(C) 1/6. 
(D) 3/5. 
(E) 1/5. 
Resolução 
 A probabilidade de que A não ocorra e de que B não ocorra é igual a 1/5. 
𝑃(	𝐴	YYY ∩ 	𝐵	YYYY) =
1
5 
Das operações com conjuntos, aprendemos que 	𝐴	YYY ∩ 	𝐵	YYYY = 𝐴 ∪ 𝐵. Portanto, 
𝑃�𝐴 ∪ 𝐵� =
1
5 
Assim, temos: 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 1 − 𝑃�𝐴 ∪ 𝐵� 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 1 −
1
5 =
4
5 
Vamos agora aplicar a fórmula da probabilidade da união. 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
4
5 =
1
4 +
3
5 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
1
4 +
3
5 −
4
5 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
1
4 −
1
5 =
5 − 4
20 =
1
20 
Vamos calcular a probabilidade condicional pedida: 
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴) =
1/20
1/4 
𝑃(𝐵|𝐴) =
1
20 ×
4
1 =
1
5 
 
 
Gabarito: E 
 
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133. (FCC 2016/ CNMP) 
 
A probabilidade de uma criança no ano A e da faixa etária B, contrair coqueluche é 0,2% se ela for 
vacinada e 1% se ela não for vacinada. Sabe-se que 90% da população de crianças no ano A e da 
faixa etária B foram vacinadas. Se uma criança, da faixa etária e do ano citados contrair 
coqueluche, a probabilidade de ela ter sido vacinada é igual a 
 
a) 9/14 
b) 11/8 
c) 9/28 
d) 5/14 
e) 10/28 
 
Resolução 
Queremos calcular a probabilidade de a criança ter sido vacinada,sabendo que ela contraiu 
coqueluche. 
𝑃(𝑣𝑎𝑐𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎|𝑐𝑜𝑞𝑢𝑒𝑙𝑢𝑐ℎ𝑒) =
𝑃(𝑣𝑎𝑐𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎	𝑒	𝑐𝑜𝑞𝑢𝑒𝑙𝑢𝑐ℎ𝑒)
𝑃(𝑐𝑜𝑞𝑢𝑒𝑙𝑢𝑐ℎ𝑒) 
A probabilidade de a criança ser vacinada e contrair coqueluche é: 
𝑃(𝑣𝑎𝑐𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎	𝑒	𝑐𝑜𝑞𝑢𝑒𝑙𝑢𝑐ℎ𝑒) = 0,90 × 0,002 = 0,0018 
Vamos agora calcular a probabilidade total de a criança contrair coqueluche. Devemos englobar os 
casos das crianças vacinadas e não vacinadas. 
𝑃(𝑐𝑜𝑞𝑢𝑒𝑙𝑢𝑐ℎ𝑒) = 𝑃(𝑣𝑎𝑐𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎	𝑒	𝑐𝑜𝑞𝑢𝑒𝑙𝑢𝑐ℎ𝑒) + 𝑃(𝑛ã𝑜	𝑣𝑎𝑐𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎	𝑒	𝑐𝑜𝑞𝑢𝑒𝑙𝑢𝑐ℎ𝑒) 
Como 90% das crianças são vacinadas, então 10% não são vacinadas. 
𝑃(𝑐𝑜𝑞𝑢𝑒𝑙𝑢𝑐ℎ𝑒) = 0,0018 + 0,10 × 0,01 = 0,0028 
A probabilidade pedida é: 
𝑃(𝑣𝑎𝑐𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎|𝑐𝑜𝑞𝑢𝑒𝑙𝑢𝑐ℎ𝑒) =
𝑃(𝑣𝑎𝑐𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎	𝑒	𝑐𝑜𝑞𝑢𝑒𝑙𝑢𝑐ℎ𝑒)
𝑃(𝑐𝑜𝑞𝑢𝑒𝑙𝑢𝑐ℎ𝑒) =
0,0018
0,0028 =
18
28 =
9
14 
 
Gabarito: A 
 
 
 
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134. (FCC 2016/ CNMP) 
 
Uma montadora fabrica veículos 1.0 nas cores prata, preta, vermelha e branca. Suponha que dos 
veículos 1.0 produzidos, 40%, 30%, 20% e 10%, respectivamente, sejam nas cores prata, preta, 
vermelha e branca. Seleciona-se, ao acaso e com reposição, 6 compradores de tais veículos. A 
probabilidade de, nessa amostra, respectivamente, 2, 2, 1 e 1, compradores terem escolhido as 
cores prata, preta, vermelha e branca, é, em %, dada por 
 
(A) 2,534. 
(B) 5,184. 
(C) 3,258. 
(D) 8,450. 
(E) 6,820. 
Resolução 
Vamos calcular a probabilidade de ocorrer a seguinte sequência: 
(Prata, Prata, Preta, Preta, Vermelha, Branca) 
0,4 × 0,4 × 0,3 × 0,3 × 0,2 × 0,1 = 0,000288 
Devemos, entretanto, levar em consideração todas as permutações dos elementos desta 
sequência. Assim, vamos multiplicar a probabilidade calculada pela permutação de 6 elementos 
com repetição de 2 (pratas) e 2 (pretas). 
𝑃M
-,- =
6!
2! 2! = 180 
Assim, a probabilidade pedida é: 
180 × 0,000288 = 5,184% 
 
Gabarito: B 
 
135. (FGV 2016/ IBGE) 
 
 Em um jogo de azar disputado por dois indivíduos, através de uma sequência de rodadas, vencerá 
aquele que ganhar, antes do que o outro, uma das rodadas. A chance de que cada um vença 
qualquer rodada é de 2/9 e 1/3. Assim a probabilidade de que cada jogador vença o jogo, são 
respectivamente: 
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a) 2/9 e 1/3 
b) 4/9 e 5/9 
c) 2/5 e 3/5 
d) 5/9 e 4/9 
e) 3/5 e 2/5 
Resolução 
Vamos dar nomes aos jogadores. Digamos que A seja o jogador que vence uma rodada com 
probabilidade 2/9 e B seja o jogador que vence uma rodada com probabilidade 1/3. 
Em cada rodada, há 3 possibilidades: A ganha, B ganha, ninguém ganha. 
𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝑛𝑖𝑛𝑔𝑢é𝑚) = 1 
2
9 +
1
3 + 𝑃
(𝑛𝑖𝑛𝑔𝑢é𝑚) = 1 
𝑃(𝑛𝑖𝑛𝑔𝑢é𝑚) = 1 −
2
9 −
1
3 
𝑃(𝑛𝑖𝑛𝑔𝑢é𝑚) =
4
9 
O jogo, teoricamente, pode ter infinitas rodadas. Não sabemos em qual rodada exatamente o jogo 
será encerrado. O jogo será encerrado quando algum deles vencer alguma rodada. 
Vamos calcular a probabilidade de A vencer o jogo. 
A pessoa A pode vencer na primeira rodada, ou na segunda rodada, ou na terceira rodada e assim 
ad infinitum. 
A probabilidade de A vencer na primeira rodada é 2/9. 
 
Para que A vença na segunda rodada, ninguém vence a primeira rodada e A vence a segunda 
rodada. A probabilidade de isso ocorrer é 
4
9 ×
2
9 = �
4
9�
"
∙ �
2
9� 
Para que A vença na terceira rodada, ninguém vence as duas primeiras rodadas e A vence a 
terceira rodada. A probabilidade de isso ocorrer é 
4
9 ×
4
9 ×
2
9 = �
4
9�
-
∙ �
2
9� 
Para que A vença na quarta rodada, ninguém vence as três primeiras rodadas e A vence a quarta 
rodada. A probabilidade de isso ocorrer é 
4
9 ×
4
9 ×
4
9 ×
2
9 = �
4
9�
�
∙ �
2
9� 
E assim sucessivamente. A probabilidade de A vencer na quinta rodada será 
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�
4
9�
�
∙ �
2
9� 
A probabilidade de A vencer na n-ésima rodada será: 
�
4
9�
|�"
∙ �
2
9� 
A probabilidade de A vencer será o limite da soma de todas as parcelas calculadas quando n tende 
a infinito. 
𝑃(𝐴	𝑣𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟) =
2
9 + �
4
9�
"
∙ �
2
9� + �
4
9�
-
∙ �
2
9� + �
4
9�
�
∙ �
2
9� + ⋯ 
As parcelas da soma formam uma Progressão Geométrica em que o primeiro termo é 2/9 e a razão 
é 4/9. Observe que cada termo é o anterior multiplicado por 4/9. 
𝑎" =
2
9 
𝑞 =
4
9 
O limite da soma dos infinitos termos de uma Progressão Geométrica em que a razão é tal que 
−101 
 
 
 
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1
2 ×
1
2 ×
1
2 ×
1
2 ×
1
2 = �
1
2�
�
=
1
32 
Para que A ganhe no sétimo lançamento, devemos ter a seguinte sequência: 
𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎opq
¸
, 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎opq
¯
, 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎opq
¸
, 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎opq
¯
, 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎opq
¸
, 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎opq
¯
, 𝑐𝑎𝑟𝑎¬
¸
 
A probabilidade de A ganhar no sétimo arremesso é: 
1
2 ×
1
2 ×
1
2 ×
1
2 ×
1
2 ×
1
2 ×
1
2 = �
1
2�
¹
=
1
128 
E assim por diante ad infinitum. 
Assim, a probabilidade de A ganhar é a seguinte soma: 
1
2 +
1
8 +
1
32 +
1
128 +
1
512 +⋯ 
As parcelas da soma acima formam uma progressão geométrica em que o primeiro termo é 1/2 e a 
razão é 1/4. A razão é 1/4 porque cada termo é igual ao anterior multiplicado por 1/4. 
𝑎" =
1
2 
𝑞 =
1
4 
O limite da soma dos infinitos termos de uma Progressão Geométrica em que a razão é tal que 
−1bola vermelha é 1/2. 
O nosso objetivo é calcular a probabilidade total de sair uma bola vermelha independentemente 
de qual urna foi selecionada. 
Um erro grave normalmente cometido é dizer que probabilidade de sair uma bola vermelha ao 
escolher aleatoriamente uma urna é igual à soma das probabilidades acima calculadas. Observe: 
3
5 +
2
3 +
1
2 = 0,6 + 0,6666…+ 0,5 = 1,7666… > 1 
Ora, sabemos que a probabilidade não pode ser maior que 1 e, obviamente, o raciocínio acima 
está errado. 
O raciocínio está errado porque o experimento é realizado em duas etapas a, saber: 
i) escolher uma urna aleatoriamente 
ii) escolher uma bola aleatoriamente 
O evento “bola vermelha” pode ocorrer se escolhermos a urna 1, urna 2 ou urna 3. 
A probabilidade de escolhermos a urna 1 é 1/3. Escolhida a urna 1, a probabilidade de sair uma 
bola vermelha é 3/5. Assim, a probabilidade de escolhermos uma bola vermelha da urna 1 é igual a 
1
3 ∙
3
5 =
3
15 
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A probabilidade de escolhermos a urna 2 é 1/3. Escolhida a urna 2, a probabilidade de sair uma 
bola vermelha é 2/3. Assim, a probabilidade de escolhermos uma bola vermelha da urna 2 é igual a 
1
3 ∙
2
3 =
2
9 
 
A probabilidade de escolhermos a urna 3 é 1/3. Escolhida a urna 3, a probabilidade de sair uma 
bola vermelha é 1/2. Assim, a probabilidade de escolhermos uma bola vermelha da urna 3 é igual a 
1
3 ∙
1
2 =
1
6 
A probabilidade total é a soma das probabilidades calculadas. 
𝑃(𝑉𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎) =
3
15 +
2
9 +
1
6 =
18 + 20 + 15
90 =
53
90 
 
Este raciocínio pode ser facilitado com um diagrama de árvore. A primeira etapa é escolher a urna. 
Escolhida a urna, vamos selecionar uma bola ao acaso. 
 
A probabilidade de cada urna ser selecionada ao acaso é 1/3. 
A probabilidade de escolhermos a urna 1 é 1/3. Escolhida a urna 1, a probabilidade de sair uma 
bola vermelha é 3/5. A probabilidade de sair uma bola azul é 2/5. 
A probabilidade de escolhermos a urna 2 é 1/3. Escolhida a urna 2, a probabilidade de sair uma 
bola vermelha é 2/3. A probabilidade de sair uma bola azul é 1/3. 
A probabilidade de escolhermos a urna 3 é 1/3. Escolhida a urna 3, a probabilidade de sair uma 
bola vermelha é 1/2. A probabilidade de sair uma bola azul é 1/2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Vamos escrever estas probabilidades no diagrama a seguir. 
 
Agora, basta multiplicar as respectivas probabilidades em cada “caminho” das setas. 
 
 
A probabilidade total de sair uma bola vermelha é igual a 
3
15 +
2
9 +
1
6 =
18 + 20 + 15
90 =
53
90 
 
 
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Durante o mês de março, a probabilidade de chover em um determinado dia é de 7/10. Os 
voos da companhia aérea Rosa são cancelados em um dia de chuva com probabilidade 4/5 e 
em um dia sem chuva com probabilidade 1/20. Qual a probabilidade de, em um dia qualquer 
do mês de março, um determinado voo da companhia Rosa não ser cancelado? 
Resolução 
A probabilidade de chover em um determinado dia é 7/10. Portanto, a probabilidade de não 
chover é 3/10. 
 
A probabilidade de o voo ser cancelado em um dia de chuva é 4/5. Assim, a probabilidade de 
o voo não ser cancelado é 1/5. 
A probabilidade de o voo ser cancelado em um dia sem chuva é 1/20. Assim, a probabilidade 
de o voo não ser cancelado é 19/20. 
 
Queremos calcular a probabilidade de em um dia qualquer do mês de março o voo não ser 
cancelado. Vamos multiplicar as probabilidades nos caminhos que chegam nos voos não 
cancelados. 
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Agora basta somar as probabilidades. 
𝑃(𝑁ã𝑜	𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) =
7
50 +
57
200 =
28 + 57
200 =
85
200 = 42,5% 
 
 
De uma forma mais geral, assim fica o Teorema da Probabilidade Total. 
 
Observe que o evento B ocorre depois do evento A. Assim, para calcular a probabilidade de B em 
cada ramo do diagrama, devemos levar em consideração a ocorrência do evento A. Ficamos com: 
𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴") ∙ 𝑃(𝐵|𝐴") + 𝑃(𝐴-) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴-) 
Não se preocupe em decorar a fórmula acima. Aprenda a construir o diagrama de árvores e você 
será capaz de resolver todas as questões. 
 
 
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7.4. TEOREMA DE BAYES 
Durante o mês de março, a probabilidade de chover em um determinado dia é de 7/10. Os voos da 
companhia aérea Rosa são cancelados em um dia de chuva com probabilidade 4/5 e em um dia 
sem chuva com probabilidade 1/20. Um determinado voo da companhia Rosa foi cancelado em um 
dia do mês de março. Calcule a probabilidade de ter chovido nesse dia. 
Resolução 
Queremos calcular a probabilidade de ter chovido sabendo que o voo foi cancelado. 
𝑃(𝐶ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢|𝑉𝑜𝑜	𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) 
Esta é uma probabilidade condicional. 
No numerador, devemos colocar a probabilidade interseção dos eventos. No denominador, a 
probabilidade do que sabemos que ocorreu. 
𝑃(𝐶ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢|𝑉𝑜𝑜	𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) =
𝑃(𝐶ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢 ∩ 𝑉𝑜𝑜	𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜)
𝑃(𝑉𝑜𝑜	𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) 
Observe o diagrama. 
 
 
Pelo diagrama, temos: 
𝑃(𝐶ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢 ∩ 𝑉𝑜𝑜	𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) =
7
10 ∙
4
5 =
28
50 =
14
25 
Vamos agora calcular a probabilidade de o voo ter sido cancelado. Para tanto, vamos utilizar o 
Teorema da Probabilidade total: o voo pode ter sido cancelado se choveu ou se não choveu. 
𝑃(𝑉𝑜𝑜	𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) =
7
10 ∙
4
5opq
rstuvw	v	xty	z{|zv}{~t
+
3
10 ∙
1
20o�p�q
Sãt	zstuvw	v	xty	z{|zv}{~t
 
 
𝑃(𝑉𝑜𝑜	𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) =
28
50 +
3
200 =
112 + 3
200 =
115
200 =
23
40 
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Assim, ficamos com: 
 
𝑃(𝐶ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢|𝑉𝑜𝑜	𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) =
𝑃(𝐶ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢 ∩ 𝑉𝑜𝑜	𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜)
𝑃(𝑉𝑜𝑜	𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) =
14/25
23/40 =
14
25 ∙
40
23 =
560
575 =
112
115 
 
A probabilidade de ter chovido sabendo que o voo foi cancelado é de 112/115. 
 
O teorema de Bayes é um corolário do Teorema da Probabilidade Total. Observe o diagrama que 
construímos no tópico anterior. 
 
Estamos interessados em calcular a probabilidade de ocorrer A1 sabendo que B ocorreu. 
𝑃(𝐴"|𝐵) =? 
Do teorema da probabilidade condicional, temos: 
𝑃(𝐴"|𝐵) =
𝑃(𝐴" ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵) 
𝑃(𝐴"|𝐵) =
𝑃(𝐴") ∙ 𝑃(𝐵|𝐴")
𝑃(𝐵) 
 
Do Teorema da Probabilidade Total temos que 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴") ∙ 𝑃(𝐵|𝐴") + 𝑃(𝐴-) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴-). 
Portanto, 
𝑃(𝐴"|𝐵) =
𝑃(𝐴") ∙ 𝑃(𝐵|𝐴")
𝑃(𝐴") ∙ 𝑃(𝐵|𝐴") + 𝑃(𝐴-) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴-)
 
 
Novamente, não se preocupe em memorizara fórmula acima. Você pode ficar em mente somente 
com a fórmula da probabilidade condicional: 
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𝑃(𝐴"|𝐵) =
𝑃(𝐴" ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵) 
Podemos ainda utilizar o diagrama de árvores ou a probabilidade como frequência relativa para 
resolver problemas envolvendo o Teorema de Bayes. 
 
 
 
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8. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES 
 
1. (FGV 2018/ALE-RO) 
 
Várias pessoas, entre as quais Artur e Mário, estão sentadas em volta de uma mesa redonda. Entre 
Artur e Mário há 3 pessoas por um lado e 5 pessoas pelo outro. 
 Uma das pessoas da mesa é sorteada ao acaso. A probabilidade de que essa pessoa sorteada não 
seja nem Artur, nem Mário, nem nenhum dos seus vizinhos, é de 
a) 20%. 
b) 30%. 
c) 40%. 
d) 50%. 
e) 60%. 
2. (FGV 2018/SASDH – Niterói) 
Um dado é lançado duas vezes consecutivas. Considere os seguintes eventos relativos a esses 
lançamentos: 
 
A: a soma dos números obtidos é 8 
B: a soma dos números obtidos é 10 
C: a soma dos números obtidos é 12 
 
Colocando-se esses três eventos em ordem crescente da probabilidade de ocorrência, obtém-se: 
a) A, B, C; 
b) A, C, B; 
c) B, C, A; 
d) C, A, B; 
e) C, B, A. 
3. (FGV 2017/SEPOG-RO) 
Para uma premiação, dois funcionários de uma empresa serão sorteados aleatoriamente entre 
quatro candidatos: dois do departamento A e dois do departamento B. A probabilidade de os dois 
funcionários sorteados pertencerem ao mesmo departamento é 
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a) 1/2 
b) 1/3 
c) 1/4 
d) 1/6 
e) 3/4 
4. (FGV 2015/TJ-SC) 
Cada uma das 13 letras do nome “SANTA CATARINA” é escrita em um cartão e todos os cartões são 
colocados em uma urna. Aleatoriamente, são então retirados, sucessivamente e sem reposição, 
dois cartões. 
A probabilidade de um dos cartões retirados conter a letra S e o outro cartão retirado conter a 
letra C é de: 
a) 2/13 
b) 3/39 
c) 1/78 
d) 1/156 
e) 25/156 
5. (FGV 2015/Câmara Municipal de Caruaru) 
Dois dados são jogados. A probabilidade de que o produto dos dois números sorteados seja maior 
do que 12 é 
a) 13/36. 
b) 5/12. 
c) 2/3. 
d) 1/3. 
e) 1/2. 
6. (FGV 2015/TJ-RO) 
Um tabuleiro de damas tem 32 quadradinhos pretos e 32 quadradinhos brancos. 
 
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Um desses 64 quadradinhos é sorteado ao acaso. 
A probabilidade de que o quadradinho sorteado seja um quadradinho preto da borda do tabuleiro 
é: 
a) 1/2. 
b) 1/4. 
c) 1/8. 
d) 9/16. 
e) 7/32. 
7. (FGV 2015/Prefeitura de Paulínia) 
Um ciclo completo de um determinado semáforo é de um minuto e meio. A cada ciclo o semáforo 
fica vermelho 30 segundos, em seguida fica laranja 10 segundos e, por fim, fica verde 50 segundos. 
Escolhido um instante de tempo ao acaso, a probabilidade de que neste instante de tempo o 
semáforo NÃO esteja fechado, isto é, NÃO esteja vermelho, é: 
a) 1/9. 
b) 2/9. 
c) 1/3. 
d) 4/9. 
e) 2/3. 
8. (FGV 2014/Prefeitura de Osasco) 
Um semáforo funciona continuamente de tal modo que a cada minuto ele fica verde por 30 
segundos, fica amarelo por 10 segundos e vermelho por 20 segundos. 
 Em um instante de tempo escolhido aleatoriamente, a probabilidade de o semáforo estar 
vermelho é: 
a) 1/5. 
b) 1/4. 
c) 1/3. 
d) 1/2. 
e) 2/3. 
9. (FGV 2018/ALE-RO) 
Em uma caixa há 4 cartões amarelos e 6 cartões vermelhos. Foram retirados, aleatoriamente, 2 
cartões da caixa. 
 A probabilidade de os dois cartões retirados serem vermelhos é de 
a) 1/2 
b) 1/3 
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c) 1/4 
d) 1/5 
e) 1/6 
10. (FGV 2018/ALE-RO) 
Em um grupo de 10 deputados, 6 são do Partido A e 4 são do Partido B. Serão sorteados 2 desses 
10 deputados, aleatoriamente. 
A probabilidade de os 2 deputados sorteados serem do Partido B é 
a) 1/5 
b) 2/5 
c) 2/3 
d) 2/9 
e) 2/15 
11. (FGV 2018/ALE-RO) 
Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Três dessas bolas são sorteados aleatoriamente. 
A probabilidade de o produto dos três números sorteados ser ímpar é 
a) 1/12 
b) 1/10 
c) 1/8 
d) 1/4 
e) 1/2 
12. (FGV 2017/IBGE) 
A probabilidade de um determinado aluno acertar cada uma das duas últimas questões de uma 
determinada prova é 70%. 
Acertar ou errar cada uma das questões são eventos independentes. 
A probabilidade desse aluno errar as duas referidas questões: 
a) é menor que 10%; 
b) está entre 10% e 20%; 
c) está entre 20% e 30%; 
d) está entre 30% e 50%; 
e) é maior que 50%. 
 
 
 
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13. (FGV 2017/Prefeitura de Salvador) 
Abel tem uma moeda que dá “cara” com probabilidade 1/2 e Breno tem uma moeda que dá “cara” 
com probabilidade 1/3. Abel e Breno lançam suas respectivas moedas, alternadamente. O primeiro 
que obtiver “cara”, ganha. Abel é o primeiro a lançar, e os lançamentos são todos independentes. 
A probabilidade de Abel ganhar no seu terceiro lançamento é de 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 1/4 
d) 1/8 
e) 1/18 
14. (FGV 2015/TJ-RO) 
A probabilidade de chover em determinado dia, dado que choveu no dia anterior, é de 0,6. Se a 
probabilidade de chover em um dia qualquer é de 0,3, a probabilidade de dois dias de chuva 
seguidos é de: 
a) 0,15; 
b) 0,18; 
c) 0,30; 
d) 0,40; 
e) 0,50. 
15. (FGV 2018/ALE-RO) 
Dois eventos A e B ocorrem, respectivamente, com 40% e 30% de probabilidade. A probabilidade 
de que A ocorra ou B ocorra é 50%. Assim, a probabilidade de que A e B ocorram é igual a 
a) 10%. 
b) 20%. 
c) 30%. 
d) 40%. 
e) 50%. 
 
 
16. (CESPE 2018/EBSERH) 
Uma pesquisa revelou características da população de uma pequena comunidade composta 
apenas por casais e seus filhos. 
Todos os casais dessa comunidade são elementos do conjunto A∪B∪C, em que 
A = {casais com pelo menos um filho com mais de 20 anos de idade}; 
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B = {casais com pelo menos um filho com menos de 10 anos de idade}; 
C = {casais com pelo menos 4 filhos}. 
Considerando que n(P) indique a quantidade de elementos de um conjunto P, suponha 
que n(A)=18; n(B)=20; n(C)=25; n(A∩B)=13; n(A∩C)=11; n(B∩C)=12e n(A∩B∩C)=8. O diagrama a 
seguir mostra essas quantidades de elementos. 
 
 
Com base nas informações e no diagramaprecedentes, julgue o item a seguir. 
Se um casal dessa comunidade for escolhido ao acaso, então a probabilidade de ele ter menos de 4 
filhos será superior a 0,3. 
 
17. (CESPE 2017/Pref. de São Luís) 
Em um jogo de azar, dois jogadores lançam uma moeda honesta, alternadamente, até que um 
deles obtenha o resultado cara. O jogador que detiver esse resultado será o vencedor. a 
probabilidade de o segundo jogador vencer o jogo logo em seu primeiro arremesso é igual a 
a) 2/3 
b) 1/2 
c) 1/4 
d) 1/8 
e) 3/4 
 
18. (CESPE 2018/Polícia Federal) 
 
Em um aeroporto, 30 passageiros que desembarcaram de determinado voo e que estiveram nos 
países A, B ou C, nos quais ocorre uma epidemia infecciosa, foram selecionados para ser 
examinados. Constatou-se que exatamente 25 dos passageiros selecionados estiveram em A ou em 
B, nenhum desses 25 passageiros esteve em C e 6 desses 25 passageiros estiveram em A e em B. 
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Com referência a essa situação hipotética, julgue o item que se segue. 
Se 2 dos 30 passageiros, selecionados forem escolhidos ao acaso, então a probabilidade de esses 2 
passageiros terem estado em 2 desses países é inferior a 1/30. 
 
19. (CESPE 2018/ABIN) 
Como forma de melhorar a convivência, as famílias Turing, Russell e Gödel disputaram, no parque 
da cidade, em um domingo à tarde, partidas de futebol e de vôlei. O quadro a seguir mostra os 
quantitativos de membros de cada família presentes no parque, distribuídos por gênero. 
 
A partir dessa tabela, julgue os itens subsequentes. 
Considere que, em eventual sorteio de brindes, um nome tenha sido retirado, ao acaso, do interior 
de uma urna que continha os nomes de todos os familiares presentes no evento. Nessa situação, 
sabendo-se que o sorteado não é uma mulher da família Gödel, a probabilidade de ser uma mulher 
da família Russel será superior a 20%. 
 
20. (CESPE 2017/SEDF) 
 
Cinco mulheres e quatro homens trabalham em um escritório. De forma aleatória, uma dessas 
pessoas será escolhida para trabalhar no plantão de atendimento ao público no sábado. Em 
seguida, outra pessoa será escolhida, também aleatoriamente, para o plantão no domingo. 
Considerando que as duas pessoas para os plantões serão selecionadas sucessivamente, de forma 
aleatória e sem reposição, julgue o próximo item. 
Se uma mulher tiver sido escolhida para ser a plantonista de sábado, então a probabilidade de se 
escolher um homem para o plantão de domingo é igual a 0,5. 
 
21. (CESPE 2017/SEDF) 
Cinco mulheres e quatro homens trabalham em um escritório. De forma aleatória, uma dessas 
pessoas será escolhida para trabalhar no plantão de atendimento ao público no sábado. Em 
seguida, outra pessoa será escolhida, também aleatoriamente, para o plantão no domingo. 
Considerando que as duas pessoas para os plantões serão selecionadas sucessivamente, de forma 
aleatória e sem reposição, julgue o próximo item. 
A probabilidade de os dois plantonistas serem homens é igual ou superior a 4/9. 
 
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22. (CESPE 2017/SEDF) 
Cinco mulheres e quatro homens trabalham em um escritório. De forma aleatória, uma dessas 
pessoas será escolhida para trabalhar no plantão de atendimento ao público no sábado. Em 
seguida, outra pessoa será escolhida, também aleatoriamente, para o plantão no domingo. 
Considerando que as duas pessoas para os plantões serão selecionadas sucessivamente, de forma 
aleatória e sem reposição, julgue o próximo item. 
A probabilidade de os plantões serem feitos por um homem e uma mulher é igual a 5/9. 
 
23. (CESPE 2016/FUNPRESP) 
 
 
O gráfico ilustra cinco possibilidades de fundos de investimento com suas respectivas 
rentabilidades. Considerando que as probabilidades de investimento para os fundos A, B, C e D 
sejam, respectivamente, P(A)= 0,182; P(B) = 0,454; P(C)= 0,091; e P(D)= 0,182, julgue o item 
subsequente. 
 
A probabilidade do fundo de investimento E é maior que a probabilidade do fundo de investimento 
C. 
24. (CESPE 2016/INSS) 
Uma população de 1.000 pessoas acima de 60 anos de idade foi dividida nos seguintes dois grupos: 
A: aqueles que já sofreram infarto (totalizando 400 pessoas); e 
B: aqueles que nunca sofreram infarto (totalizando 600 pessoas). 
Cada uma das 400 pessoas do grupo A é ou diabética ou fumante ou ambos (diabética e fumante). 
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A população do grupo B é constituída por três conjuntos de indivíduos: fumantes, ex-fumantes e 
pessoas que nunca fumaram (não-fumantes). 
Com base nessas informações, julgue o item subsecutivo. 
Se, no grupo B, a quantidade de fumantes for igual a 20% do total de pessoas do grupo e a 
quantidade de ex-fumantes for igual a 30% da quantidade de pessoas fumantes desse grupo, 
então, escolhendo-se aleatoriamente um indivíduo desse grupo, a probabilidade de ele não 
pertencer ao conjunto de fumantes nem ao de ex-fumantes será inferior a 70%. 
 
25. (CESPE/TELEBRAS 2015) 
A equipe de atendentes de um serviço de telemarketing é constituída por 30 empregados, 
divididos em 3 grupos, que trabalham de acordo com a seguinte escala. 
- Grupo I: 7 homens e 3 mulheres, que trabalham das 6 h às 12 h. 
- Grupo II: 4 homens e 6 mulheres, que trabalham das 9 h às 15 h. 
- Grupo III: 1 homem e 9 mulheres, que trabalham das 12 h às 18 h. 
A respeito dessa equipe, julgue o item que se segue. 
A probabilidade de um cliente que liga para o telemarketing ser atendido por uma atendente é 
maior no período de 15 h a 18 h do que no período de 12 h a 15 h. 
 
26. (CESPE/TELEBRAS 2015) 
Nas chamadas de suporte de uma empresa de telecomunicações, o funcionário Pedro resolve o 
problema do cliente em duas de cada três vezes em que é solicitado, enquanto Marcos resolve em 
três de cada quatro chamadas. 
A partir dessa situação hipotética, julgue o item seguinte, considerando que os funcionários sejam 
suficientemente experientes para que a tentativa de resolução do problema de qualquer chamada 
não esteja subordinada a tentativas anteriores. 
 
Se Pedro não resolver o problema de um cliente, considerando-se que nenhuma informação a 
respeito da tentativa é repassada a Marcos, a probabilidade de que este também não resolva o 
referido problema será inferior a 20%. 
 
27. (CESPE/TELEBRAS 2015) 
 
Nas chamadas de suporte de uma empresa de telecomunicações, o funcionário Pedro resolve o 
problema do cliente em duas de cada três vezes em que é solicitado, enquanto Marcos resolve em 
três de cada quatro chamadas. 
A partir dessa situação hipotética, julgue o item seguinte, considerando que os funcionários sejam 
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suficientemente experientes para que a tentativa de resolução do problema de qualquer chamada 
não esteja subordinada a tentativas anteriores. 
Se Pedro e Marcos tentarem, independentemente, resolver o mesmo problema desse cliente, a 
chance de ambos resolverem o problema desse cliente será inferiora 45%. 
 
28. (CESPE/TELEBRAS 2015) 
 
Nas chamadas de suporte de uma empresa de telecomunicações, o funcionário Pedro resolve o 
problema do cliente em duas de cada três vezes em que é solicitado, enquanto Marcos resolve em 
três de cada quatro chamadas. 
 
A partir dessa situação hipotética, julgue o item seguinte, considerando que os funcionários sejam 
suficientemente experientes para que a tentativa de resolução do problema de qualquer chamada 
não esteja subordinada a tentativas anteriores. 
 
Se ambos tentarem, independentemente, resolver o mesmo problema de um cliente, então a 
chance de o problema ser resolvido por Pedro ou por Marcos será superior a 90%. 
 
29. (CESPE/DEPEN 2015) 
Considerando que, entre a população carcerária de um presídio, a probabilidade de um detento 
contrair tuberculose seja igual a 0,01; que dois detentos sejam selecionados aleatoriamente dessa 
população carcerária; e que as ocorrências de tuberculose entre esses detentos sejam eventos 
independentes, julgue o item. 
 
A probabilidade de os dois detentos na amostra contraírem tuberculose será igual a 0,02. 
30. (CESPE/DEPEN 2015) 
Considerando que, entre a população carcerária de um presídio, a probabilidade de um detento 
contrair tuberculose seja igual a 0,01; que dois detentos sejam selecionados aleatoriamente dessa 
população carcerária; e que as ocorrências de tuberculose entre esses detentos sejam eventos 
independentes, julgue o item. 
 
A probabilidade de pelo menos um detento na amostra contrair tuberculose será superior a 0,01 e 
inferior a 0,03. 
 
(CESPE 2015/TCE-RN) 
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Para fiscalizar determinada entidade, um órgão de controle escolherá 12 de seus servidores: 5 da 
secretaria de controle interno, 3 da secretaria de prevenção da corrupção, 3 da corregedoria e 1 da 
ouvidoria. Os 12 servidores serão distribuídos, por sorteio, nas equipes A, B e C; e cada equipe será 
composta por 4 servidores. A equipe A será a primeira a ser formada, depois a equipe B e, por 
último, a C. 
A respeito dessa situação, julgue os itens subsequentes. 
31. A probabilidade de um servidor que não for sorteado para integrar a equipe A ser 
sorteado para integrar a equipe B é igual a 0,5. 
32. A probabilidade de a equipe A ser composta por quatro servidores da secretaria de 
controle interno é inferior a 0,01. 
33. A chance de a equipe A ser composta por um servidor de cada unidade é superior a 
10%. 
34. (CESPE 2015/Polícia Federal) 
Um batalhão é composto por 20 policiais: 12 do sexo masculino e 8 do sexo feminino. A região 
atendida pelo batalhão é composta por 10 quadras e, em cada dia da semana, uma dupla de 
policiais policia cada uma das quadras. 
Com referência a essa situação, julgue o item subsequente. 
Caso as duplas de policiais sejam formadas aleatoriamente, então a probabilidade de que em 
determinado dia os policiais que policiarão determinada quadra sejam do mesmo sexo será 
superior a 0,5. 
35. (CESPE 2014/ANTAQ) 
Uma pesquisa sobre o objeto de atividade de 600 empresas apresentou o seguinte resultado: 
• 5/6 dessas empresas atuam no mercado de transporte fluvial de cargas; 
• 1/3 dessas empresas atuam no mercado de transporte fluvial de passageiros; 
• 50 dessas empresas não atuam com transporte fluvial, nem de cargas, nem de passageiros; 
Com base nessa situação hipotética e sabendo-se que as 600 empresas pesquisadas se enquadram 
em, pelo menos, uma das 3 opções acima, julgue o item a seguir. 
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Selecionada, ao acaso, uma dessas empresas, a probabilidade de que ela não atue com transporte 
fluvial de cargas nem de passageiros é inferior a 10%. 
 
36. (CESPE 2014/SUFRAMA) 
Uma pesquisa na qual os 40 alunos de uma disciplina deveriam responder SIM ou NÃO às 
perguntas P1 e P2 apresentadas a eles, mostrou o seguinte resultado: 
• 28 responderam SIM à pergunta P1; 
• 22 responderam SIM à pergunta P2; 
• 5 responderam NÃO às 2 perguntas. 
Com base nessas informações, julgue os itens subsecutivos. 
Selecionando-se ao acaso um desses alunos, a probabilidade de ele ter respondido SIM a pelo 
menos uma das perguntas será superior a 0,9. 
 
37. (CESPE 2013/TRT 17ª Região) 
 Os alunos de uma turma cursam 4 disciplinas que são ministradas por 4 professores diferentes. As 
avaliações finais dessas disciplinas serão realizadas em uma mesma semana, de segunda a sexta-
feira, podendo ou não ocorrerem em um mesmo dia. 
A respeito dessas avaliações, julgue os itens seguintes. 
Se cada professor escolher o dia em que aplicará a avaliação final de sua disciplina de modo 
independente dos demais, a probabilidade de que todos escolham aplicar as avaliações em um 
mesmo dia será inferior a 1%. 
 
38. (CESPE 2013/SEGESP-AL) 
Nas investigações, pesquisadores e peritos devem evitar fazer afirmações e tirar conclusões 
errôneas. Erros de generalização, ocorridos ao se afirmar que certas características presentes em 
alguns casos deveriam estar presentes em toda a população, são comuns. É comum, ainda, o uso 
de argumentos inválidos como justificativa para certas conclusões. Acerca de possíveis erros em 
trabalhos investigativos, julgue o item a seguir. 
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Se determinado evento for impossível, então a probabilidade de ocorrência desse evento será 
nula. 
 
39. (CESPE 2013/BACEN) 
A numeração das notas de papel-moeda de determinado país é constituída por duas das 26 letras 
do alfabeto da língua portuguesa, com ou sem repetição, seguidas de um numeral com 9 
algarismos arábicos, de 0 a 9, com ou sem repetição. Julgue os próximos itens, relativos a esse 
sistema de numeração. 
Considere o conjunto das notas numeradas da forma #A12345678&, em que # representa uma 
letra do alfabeto e &, um algarismo. Nessa situação, retirando-se, aleatoriamente, uma nota desse 
conjunto, a probabilidade de # ser uma vogal e de & ser um algarismo menor que 4 é inferior a 
1/10. 
 
40. (CESPE 2013/MTE) 
Um auditor do trabalho deve analisar 20 processos: 5 a respeito de segurança no trabalho, 7 a 
respeito de FGTS e 8 a respeito de jornada de trabalho. Considerando que esses processos sejam 
colocados sobre a mesa de trabalho do auditor, de maneira aleatória, formando uma pilha, julgue 
os itens que se seguem. 
Considere que uma pilha com os 20 processos seja formada de maneira aleatória. Nesse caso, a 
probabilidade de o processo que está na parte superior tratar de assunto relativo a FGTS será 
superior a 0,3. 
41. (CESPE 2008/SEAD-PA) 
A respeito de probabilidade e estatística, assinale a opção correta. 
A) Os eventos são coletivamente exaustivos se não têm elemento comum, ou se não podem 
ocorrer simultaneamente. 
B) Os eventos são mutuamente excludentes se nenhum outro resultado é possível para o 
experimento em questão. 
C) Espaço amostral é uma coleção bem definida de objetos ou itens. 
D) A probabilidade de qualquer evento é representada por um número entre 0 e 1. 
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42. (FCC 2018/SEFAZ-GO) 
Em um campeonato de futebol, as equipes recebem 3 pontos a cada vitória, 1 ponto por empate e 
não recebem ponto quando são derrotadas. Faltando somente a última rodada para ser disputada, 
apenas a equipe X, com 74 pontos, e a equipe Y, com 73 pontos, ainda têm chance de vencer o 
campeonato. O campeão será aquele que somar mais pontos ao final da última rodada, sendo que, 
em caso de empate, os critérios estabelecidos no regulamento indicam que a equipe Y será a 
campeã. Considerando os adversários de cada equipe na última rodada, analistas esportivos 
estimaram, para as equipes X e Y, as seguintes probabilidades para os jogos que decidirão o 
torneio. 
Equipe 
Adversário 
na última 
rodada 
Probabilidade 
de vitória 
Probabilidade 
de empate 
Probabilidade 
de derrota 
X P 50% 30% 20% 
Y Q 80% 10% 10% 
 
Admitindo que os resultados dos jogos das equipes X e Y na última rodada sejam independentes, a 
probabilidade de que a equipe X seja campeã, de acordo com a estimativa dos analistas é igual a: 
a) 60% 
b) 63% 
c) 50% 
d) 55% 
e) 58% 
43. (FUNRIO 2009/ Administrador FUNAI) 
 
O vírus X aparece nas formas X1 e X2. Se um indivíduo tem esse vírus, a probabilidade de ser na 
forma X1 é 3/5. Se o indivíduo tem o vírus na forma X1, a probabilidade desse indivíduo sobreviver 
é 2/3; mas, se o indivíduo tem o vírus na forma X2, a probabilidade dele sobreviver é 5/6. Nessas 
condições, a probabilidade do indivíduo portador do vírus X sobreviver é 
a) 11/15 
b) 2/3 
c) 3/5 
d) 7/15 
e) 1/3 
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44. (FGV 2015/ TJ-RO) 
 
Suponha que A e B são dois eventos quaisquer, tais que P(A) = 0,7 e 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,9. Então, se eles 
são independentes, pode-se afirmar que P(B) é igual a: 
a) 0,6 
b) 3/4 
c) 2/3 
d) 0,2 
e) 1/2 
 
45. (ESAF 2004/ MPU) 
 
 Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de forma 
aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% 
das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes, José o faz 
em 5% das vezes e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, 
ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido 
feita por José é igual a 
a) 0,15. 
b) 0,25. 
c) 0,30. 
d) 0,20. 
e) 0,40. 
46. (ESAF 2010/ MPOG) 
Um viajante, a caminho de determinada cidade, deparou-se com uma bifurcação onde estão três 
meninos e não sabe que caminho tomar. Admita que estes três meninos, ao se lhes perguntar algo, 
um responde sempre falando a verdade, um sempre mente e o outro mente em 50% das vezes e 
consequentemente fala a verdade nas outras 50% das vezes. O viajante perguntou a um dos três 
meninos escolhido ao acaso qual era o caminho para a cidade e ele respondeu que era o da direita. 
Se ele fizer a mesma pergunta a um outro menino escolhido ao acaso entre os dois restantes, qual 
a probabilidade de ele também responder que é o caminho da direita? 
a) 1. 
b) 2/3. 
c) 1/2. 
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d) 1/3. 
e) 1/4. 
 
47. (ESAF 2004/ MPU) 
 
Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele 
estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de 
Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em 
Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em Paris. 
Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a 
probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a 
a) 2/3 
b) 1/7 
c) 1/3 
d) 5/7 
e) 4/7 
 
48. (ESAF 2009/ ANA) 
 
Na população brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer determinada variação genética 
é de 1%. Ao se examinar ao acaso três pessoas desta população, qual o valor mais próximo da 
probabilidade de exatamente uma pessoa examinada possuir esta variação genética? 
a) 0,98% 
b) 1% 
c) 2,94% 
d) 1,30% 
e) 3,96% 
 
49. (ESAF 2009/ ANA) 
 
 Uma urna possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4 amarelas e 2 verdes. Tirando-se simultaneamente 3 
bolas, qual o valor mais próximo da probabilidade de que as 3 bolas sejam da mesma cor? 
a) 11,53% 
b) 4,24% 
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c) 4,50% 
d) 5,15% 
e) 3,96% 
 
50. (ESAF 2009/ ATRFB) 
 
Para acessar a sua conta nos caixas eletrônicos de determinado banco, um correntista deve utilizar 
sua senha constituída por três letras, não necessariamente distintas, em determinada sequência, 
sendo que as letras usadas são as letras do alfabeto, com exceção do W, totalizando 25 letras. 
Essas 25 letras são então distribuídas aleatoriamente, três vezes, na tela do terminal, por cinco 
teclas, em grupos de cinco letras por tecla, e, assim, para digitar sua senha, o correntista deve 
acionar, a cada vez, a tecla que contém a respectiva letra de sua senha. Deseja-se saber qual o 
valor mais próximo da probabilidade de ele apertar aleatoriamente em sequência três das cinco 
teclas à disposição e acertar ao acaso as teclas da senha? 
a) 0,001. 
b) 0,0001. 
c) 0,000125. 
d) 0,005. 
e) 0,008. 
 
51. (ESAF 2013/ DNIT) 
 
Dois dados de seis faces são lançados simultaneamente, e os números das faces voltadas para cima 
são somados. A probabilidade da soma obtida ser menor do que cinco ou igual a dez é igual a: 
a) 35% 
b) 20% 
c) 30% 
d) 15% 
e) 25% 
 
52. (ESAF 2013/ ATA-MF) 
 
No quadro a seguir, tem-se a listagem dos 150 funcionários de uma empresa: 
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Uma bicicleta será sorteada entre os funcionários dessa empresa; a probabilidade de que uma 
mulher que desempenha a função de serviços gerais ganhe a bicicleta é igual a: 
a) 22% 
b) 23% 
c) 20% 
d) 24% 
e) 21% 
 
53. (ESAF 2013/ ATA-MF) 
 
 Beatriz é servidora do Ministério da Fazenda e costuma se deslocar de casa para o trabalho de 
carro próprio ou de ônibus. Sabe-se que Beatriz se desloca de carro próprio em 90% das vezes e de 
ônibus em 10% das vezes. Quando Beatriz se desloca de ônibus, chega atrasada em 30% das vezes 
e, quando se desloca de carro próprio, chega atrasada em 10% das vezes. Em um determinado, dia 
Beatriz chegou atrasada ao trabalho. Qual a probabilidade de ela ter ido de ônibus neste dia? 
a) 30% 
b) 15% 
c) 20% 
d) 10% 
e) 25% 
 
54. (ESAF 2016/ FUNAI) 
Em uma cidade, 40% dos adultos são obesos, 45% dos adultos obesos são mulheres e 50% dos 
adultos não obesos são mulheres. Indique qual a probabilidade de que uma pessoa adulta da 
cidade escolhida ao acaso seja uma mulher. 
 
a) 0,48 
b) 0,49 
c) 0,50 
d) 0,51 
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