2-Unidade-Lista2

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Departamento de Matema´tica - CCEN -A´REA II - UFPE
A´LGEBRA LINEAR - PRIMEIRO SEMESTRE DE 2005
3a. LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Fac¸a um esboc¸o da imagem do gato ao lado por cada uma das transformac¸o˜es li-
neares abaixo:
(a) T (x, y) = (0, 0);
(b) T (x, y) = (2x, 2y);
(b) T (x, y) = (x, x);
(d) T (x, y) = (x,−y);
(e) T (x, y) = (2x+ y, x+ 2y).
2. Deˆ va´rios exemplos de transformac¸o˜es lineares T : R3 → R3 tais que T (1, 0, 0) =
(−1, 2, 0) e T (1, 1, 1) = (0, 1, 1). Calcule T (−1, 1, 1) para cada um de seus exemplos. Por
que a resposta na˜o depende da transformac¸a˜o escolhida?
3. Verifique se existe uma transformac¸a˜o linear T : R3 → R3 tal que:
(a) T (1, 0, 0) = (0, 0, 1), T (1, 1, 0) = (0, 0, 1), T (1, 1, 1) = (1, 1, 1).
(b) T (1, 0, 0) = (−1, 2, 0), T (1, 1, 1) = (0, 1, 1), T (1, 1,−1) = (0, 0, 0), T (1, 0,−2) = (−1, 1,−2).
(c) T (1, 0, 0) = (−1, 2, 0), T (1, 1, 1) = (0, 1, 1), T (1, 1,−1) = (0, 0, 0), T (1, 2, 3) = (0, 0, 1).
4. Para cada uma das transformac¸o˜es lineares abaixo, calcule bases para o nu´cleo e
a imagem de T , verifique o teorema do nu´cleo e da imagem e diga se T e´ injetiva e se T
e´ sobrejetiva.
(i) T : R3 → R2 definida por T (x, y, z) = (x+ y − z, 3x+ 2y + z).
(ii) T : R3 → R3, onde T (x, y, z) = (x+ y + z, 2x− y + z, 3x− 3y + z).
(iii) T : R4 → R4 definida por
T (x, y, z, w) = (x+ 2y + 3z − w, x− y + z + 2w, x+ 5y + 5z − 4w, x+ 8y + 7z − 7w).
5. Para cada uma das transformac¸o˜es lineares abaixo, calcule bases para o nu´cleo e a
imagem e verifique o resultado do teorema do nu´cleo e da imagem:
(a) T : M(n× n)→ R dada por T (A) = trac¸o (A).
(b) D : Pn → Pn dada por D(p(x)) = p′(x).
(c) I : Pn → Pn+1 dada por I(p(x)) =
∫ x
0
p(t) dt.
(d) T : R2 → R2 dada por T = P ◦R, onde R a rotac¸a˜o pelo aˆngulo pi/4 e P e´ a projec¸a˜o
sobre o eixo 0x. Interprete geometricamente o efeito de T sobre um vetor v ∈ R2, e use
isto para visualizar os espac¸os N(T ) e Im(T ).
6. (a) Deˆ exemplo de uma transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 cuja imagem seja a reta
y = 2x. (b) Descreva todas as transformac¸o˜es lineares com esta propriedade.
7. Deˆ exemplo de T : R2 → R2 linear tal que seu nu´cleo e imagem sejam o eixo 0x.
8. Construa T : R3 → R3 linear e invers´ıvel, de modo que o plano x + y + z = 0 seja
mandado sobre o plano 3x+ y + 2z = 0.
9. Deˆ exemplo de uma transformac¸a˜o linear T : R4 → R3 que leve o subespac¸o W de R4
definido pela equac¸a˜o x1+x2+x3+x4 = 0 no subespac¸o U de R3 definido por x−y+z = 0,
e tal que N(T ) = [(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)].
10. Seja T : V → W uma transformac¸a˜o linear.
(a) Prove que se v1, . . . , vn ∈ V sa˜o tais que T (v1), . . . , T (vn) sa˜o LI, enta˜o v1, . . . , vn sa˜o
LI.
(b) Agora suponha que T e´ injetiva e u1, . . . , uk sa˜o vetores LI em V . Mostre que
{T (u1), . . . , T (uk)} e´ um conjunto LI em W. Se T na˜o e´ injetiva, isto na˜o e´ necessari-
amente verdade; deˆ contra-exemplos.
11. Deˆ exemplos, se poss´ıvel, de transformac¸o˜es lineares da seguinte forma:
(a) T : R4 → R2 com nu´cleo gerado por (1, 1, 0, 0) e (1,−1, 0, 0).
(b) T : R2 → R3 com Im(T ) = R3.
12. Seja T : R3 → R3 dada por
T (x, y, z) = (x+ z, x+ y − kz, x+ ky − z),
onde k ∈ R.
(a) Determine todos os valores de k para os quais T e´ injetiva.
(b) Determine Im(T ) para os valores de k encontrados na letra (a).
(c) Para os outros valores de k, determine uma base para Im(T ).
13. Seja T : R2 → R2 a reflexa˜o em torno em reta y = 2x. Calcule T (x, y). Use a fo´rmula
obtida para calcular T (1, 1), T (2, 3), T (−1,−2), T (−1,−3). Agora desenhe estes vetores
no plano e convenc¸a-se por meio de sua figura que de fato a transformac¸a˜o obtida produz
o efeito geome´trico desejado.
14. Seja T a projec¸a˜o sobre a reta y = 2x. Calcule T (x, y).
15. Seja T : P4 → P4 a transformac¸a˜o definida por
T (P (x)) = (x− 1)P ′(x)− 3P (x).
(a) Prove que T e´ uma transformac¸a˜o linear.
(b) Calcule uma base para Im(T ).
(c) Calcule uma base para N(T ).
(d) Verifique o resultado do teorema do nu´cleo e da imagem neste caso.
(e) Calcule [T ]αα, onde α = {1, x, x2, x3, x4}.
16. Seja T : R4 → R3 dada por T (x, y, z, w) = (x + y − z, x + w, y + z + w, x − z).
Calcule as matrizes [T ]�β e [T ]
β
� , onde β = {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)} e �
e´ a base canoˆnica do R3. Voceˆ consegue encontrar alguma relac¸a˜o entre estas matrizes?