Exercícios de Álgebra Linear

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Departamento de Matema´tica - CCEN - A´REA II - UFPE
A´LGEBRA LINEAR - PRIMEIRO SEMESTRE DE 2009
1a. LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Encontre a, b, c tais que a para´bola y = ax2+bx+c passe pelos pontos (1, 6), (2, 4), (3, 0).
Confira a sua resposta, verificando que os treˆs pontos de fato pertencem a` para´bola en-
contrada.
2. Resolva os sistemas abaixo:
(a)

x + 2y + 3z − w = 0
x− y + z + 2w = 4
x + 5y + 5z − 4w = −4
x + 8y + 7z − 7w = 6
(b)

x + 2y + 3z = 2
x− y + z = 0
x + 3y − z = −2
3x + 4y + 3z = 0
(c)

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 0
2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 + x5 = 0
3x1 + 4x2 + 5x3 + x4 + 2x5 = 1
x1 + 3x2 + 5x3 + 12x4 + 9x5 = −1
4x1 + 5x2 + 6x3 − 3x4 + 3x5 = 2
3. Determine todas as poss´ıveis formas escada de um sistema de 3 equac¸o˜es lineares e 3
inco´gnitas (possivelmente na˜o-homogeˆneo). Em cada caso, determine o posto da matriz
ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, no caso do sistema ser compat´ıvel, o seu
grau de liberdade.
4. Deˆ exemplo, se poss´ıvel, de:
(a) Um sistema de duas equac¸o˜es e treˆs inco´gnitas que seja compat´ıvel e determinado.
(b) Um sistema de duas equac¸o˜es e duas inco´gnitas que seja incompat´ıvel.
5. Justifique: se a matriz dos coeficientes de um sistema tem uma coluna ideˆntica a`
coluna dos termos independentes, enta˜o o sistema e´ compat´ıvel.
6. (i) Determine todos os valores para a, b, c de modo que o sistema abaixo seja com-
pat´ıvel. 
x + y − z + 2w = a
x + 3y + z + 2w = b
2x + 3y − z + 4w = c
(ii) No caso do sistema homogeˆneo (a = b = c = 0), resolva este sistema.
(iii) Encontre a soluc¸a˜o geral do sistema do item (i) que tenha (1, 2, 3, 4) como soluc¸a˜o
particular.
7. Considere o sistema linear com paraˆmetros a e b
x + 2y + z = 0
x + 3y + az = −1
2x− y + 2z = b
Estude o sistema na dependeˆncia dos valores de a e b para que o sistema: (i) na˜o tenha
soluc¸a˜o; (ii) tenha soluc¸a˜o u´nica; (iii) tenha infinitas soluc¸o˜es. Neste u´ltimo caso, deter-
mine o grau de liberdade do sistema.
8. Determine os coeficientes restantes da matriz abaixo de modo que ela forme um
quadrado ma´gico (isto significa que a a soma dos elementos de cada linha, de cada coluna
e das duas diagonais sa˜o iguais.) De fato, prove que este problema tem uma u´nica soluc¸a˜o. 4 9 ∗∗ 5 ∗
∗ ∗ 6

9. Verifique que se somarmos (matricialmente) dois quadrados ma´gicos n× n, obteremos
outro quadrado ma´gico. Verifique tambe´m que ao multiplicarmos um quadrado ma´gico
por um escalar, ainda teremos um quadrado ma´gico. Use isto para obter va´rios exemplos
de quadrados ma´gicos 3×3 a partir do exemplo do exerc´ıcio anterior e do exemplo abaixo: 6 1 87 5 3
2 9 4
