apostila matematica versao 2012

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A
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ento
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3.6
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T
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T
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D
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4.5
F
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D
esp
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1.1.1
N
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P
rim
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N
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Inteiros
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1.2.1
Introdução
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Inteiros
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1.2.5.1
T
écnica
para
o
C
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C
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1.3
N
úm
eros
R
acionais
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1.3.1
Introdução
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A
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M
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de
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1.3.4.3
D
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racionários
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.
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N
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eros
D
ecim
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.
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.
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1.3.5.1
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ap
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das
F
rações
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eros
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ecim
ais
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entos
H
istóricos
Sobre
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ecim
ais
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1.3.5.3
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ecim
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1.3.7
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.
.
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.
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.
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1.3.8
P
ropriedades
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.
.
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.
.
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.
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1.3.8.1
M
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p
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.
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1.3.8.2
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p
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de
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.
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1.3.9
O
p
erações
com
N
úm
eros
D
ecim
ais
.
.
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.
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15
1.3.9.1
A
dição
e
Subtração
.
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15
1.3.9.2
M
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de
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eros
decim
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16
1.3.9.3
D
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de
núm
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decim
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.
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17
1.3.10.1
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de
um
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dízim
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p
eriódica
.
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1.3.10.2
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ples
.
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1.3.10.3
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G
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de
um
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D
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a
C
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p
osta
.
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19
1.3.10.4
D
ica
.
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20
1.4
N
úm
eros
Irracionais
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20
1.5
N
úm
eros
R
eais
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21
1.6
P
otenciação
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21
1.6.1
A
lgum
as
P
articularidades
.
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21
1.6.2
C
onvenções
.
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22
1.6.3
O
utras
C
onvenções
.
.
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.
.
.
.
.
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22
1.6.4
P
ropriedades
da
P
otenciação
.
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.
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1.6.4.1
M
ultiplicação
de
P
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M
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.
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23
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P
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B
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.
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1.6.4.3
P
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de
P
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de
M
esm
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B
ase
.
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1.6.4.4
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E
xp
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N
egativo
.
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.
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.
.
.
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.
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24
1.7
E
xpressões
N
um
éricas
.
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25
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R
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e
P
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.
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27
1.8.1
R
azões
.
.
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.
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27
1.8.1.1
R
azões
E
quivalentes
.
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.
.
.
.
.
.
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28
1.8.2
P
rop
orções
.
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1.8.2.1
P
ropriedade
F
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P
rop
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.
.
.
.
.
.
.
.
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P
ropriedades
G
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P
rop
orções
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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N
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orcionais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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1.8.2.4
N
úm
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Inversam
ente
P
rop
orcionais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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1.8.3
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P
rop
orcionais
.
.
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.
.
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34
1.8.3.1
G
randezas
D
iretam
ente
P
rop
orcionais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
34
1.8.3.2
G
randezas
Inversam
ente
P
rop
orcionais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
34
1.9
R
egra
de
T
rês
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
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.
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.
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.
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.
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.
35
1.9.1
R
egra
de
T
rês
Sim
ples
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
1.9.2
R
egra
de
T
rês
C
om
p
osta
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
37
1.10
P
orcentagem
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
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39
1.10.1
T
axa
P
ercentual
.
.
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.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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40
1.10.2
P
roblem
as
de
P
orcentagem
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
41
1.11
E
xpressões
A
lgébricas
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
42
1.11.1
M
onôm
io
ou
T
erm
o
A
lgébrico
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
42
1.11.2
O
p
erações
com
M
onôm
ios
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
44
1.11.2.1
A
dição
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
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.
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.
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44
1.11.2.2
Subtração
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
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.
.
.
44
1.11.2.3
M
ultiplicação
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
45
1.11.2.4
D
ivisão
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
45
1.11.2.5
P
otenciação
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
46
1.11.3
P
olinôm
ios
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
46
1.11.3.1
A
dição
de
P
olinôm
ios
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
46
1.11.3.2
Subtração
de
P
olinôm
ios
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
48
1.11.3.3
M
ultiplicação
de
P
olinôm
ios
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
49
1.11.4
P
rodutos
N
otáveis
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
51
1.11.4.1
Q
uadrado
da
Som
a
de
D
ois
T
erm
os
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
51
1.11.4.2
Q
uadrado
da
D
iferença
de
D
ois
T
erm
os
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
52
1.11.4.3
P
roduto
da
Som
a
P
ela
D
iferença
de
D
ois
T
erm
os
.
.
.
.
.
53
1.11.5
F
atoração
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
54
1.11.5.1
F
ator
C
om
um
em
E
vidência
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
55
1.11.5.2
A
grupam
ento
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
56
1.11.5.3
D
iferença
de
D
ois
Q
uadrados
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
57
1.11.5.4
T
rinôm
io
Q
uadrado
P
erfeito
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
58
1.11.6
Sim
plificação
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
59
1.12
E
quações
do
1
o
G
rau
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
61
1.12.1
P
rocesso
de
R
esolução
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
61
1.13
Inequação
do
1
o
G
rau
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
62
1.14
Sistem
as
de
E
quações
do
1
o
G
rau
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
63
1.14.1
M
étodos
de
R
esolução
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
63
1.14.1.1
M
étodo
da
Substituição
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
63
1.14.1.2
M
étodo
da
A
dição
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
64
1.15
E
quações
do
2
o
G
rau
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
66
1.15.1
P
rocesso
de
R
esolução
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
66
1.15.1.1
E
quações
C
om
pletas
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
66
1.15.1.2
E
quações
Incom
pletas
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
67
1.16
E
xercícios
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
69
2
C
on
ju
n
tos
75
2.1
C
onceitos
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
75
2.2
C
onjuntos
U
nitários
e
C
onjuntos
V
azios
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
76
2.3
C
onjuntos
Iguais
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
77
2.4
Sub
conjuntos
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
77
2.5
C
onjuntos
N
um
éricos
Im
p
ortantes
(R
evisão)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
78
2.5.1
C
onjunto
dos
N
úm
eros
N
aturais
-
N
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
78
2.5.2
C
onjunto
dos
N
úm
eros
Inteiros
-
Z
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
78
2.5.3
C
onjunto
dos
N
úm
eros
R
acionais
-
Q
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
79
2.5.4
C
onjunto
dos
N
úm
eros
Irracionais
-
I
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
79
2.5.5
C
onjunto
dos
N
úm
eros
R
eais
-
R
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
79
2.6
Sub
conj.
D
efinidos
p
or
um
a
P
ropriedade
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
80
2.7
O
p
erações
com
C
onjuntos
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
80
2.7.1
U
nião
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
80
2.7.2
Interseção
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
82
2.7.3
D
iferença
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
84
2.7.4
C
om
plem
entação
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
87
2.8
Sub
conjuntos
de
R
etas
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
88
2.8.1
O
p
erações
com
Sub
conjuntos
de
R
etas
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
89
2.8.1.1
E
X
E
M
P
L
O
S
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
90
2.9
E
xercícios
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
92
3
F
u
n
çõ
es
99
3.1
D
efinição
e
N
otações
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
99
3.1.1
V
alor
N
um
érico
de
um
a
F
unção
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
101
3.1.2
D
om
ínio
de
um
a
F
unção
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
101
3.1.3
Im
agem
de
um
a
F
unção
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
103
3.2
G
ráfico
de
um
a
F
unção
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
103
3.2.1
P
lano
C
artesiano
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
103
3.2.2
F
unção
C
onstante:
f
(x
)
=
k
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
104
3.2.3
F
unção
L
inear:
f
(x
)
=
a
x
+
b
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
105
3.2.3.1
C
aracterísticas
Im
p
ortantes
da
F
unção
L
inear
.
.
.
.
.
.
.
105
3.2.3.2
R
epresentação
G
ráfica
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
105
3.2.3.3
E
quação
da
R
eta
D
ados
D
ois
P
ontos
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
106
3.2.3.4
E
quação
da
R
eta
dados
um
P
onto
e
o
C
oeficiente
A
ngular
108
3.2.3.5
Interseção
de
D
uas
F
unções
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
109
3.2.4
F
unção
Q
uadrática:
f
(x
)
=
a
x
2
+
bx
+
c
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
109
3.2.4.1
C
aracterísticas
Im
p
ortantes
da
F
unção
Q
uadrática
.
.
.
.
109
3.2.4.2
R
epresentação
G
ráfica
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
110
3.3
E
xercícios
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
112
4
A
p
licaçõ
es
d
e
F
u
n
çõ
es
115
4.1
R
eceita
T
otal
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
115
4.2
C
usto
T
otal
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
116
4.3
L
ucro
T
otal
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
117
4.3.1
P
onto
de
E
quilíbrio
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
118
4.3.2
E
xem
plo
C
om
pleto
E
nvolvendo
R
eceita,
C
usto
e
L
ucro
T
otal
.
.
.
.
118
4.4
D
em
anda
de
M
ercado
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
121
4.4.1
E
xemplo
de
D
em
anda
de
M
ercado
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
121
4.5
O
ferta
de
M
ercado
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
124
4.5.1
E
xem
plo
de
O
ferta
de
M
ercado
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
125
4.6
L
ei
da
O
ferta
e
da
P
rocura
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
126
4.7
E
xercícios
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
128
5
L
ogaritm
os
133
5.1
Introdução
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
133
5.2
D
efinição
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
134
5.3
C
ondições
de
E
xistência
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
135
5.4
P
ropriedades
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
136
5.4.1
P
ropriedade
do
produto
do
logaritm
o
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
136
5.4.2
P
ropriedades
do
quociente
do
logaritm
o
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
137
5.4.3
P
ropriedade
da
p
otência
do
logaritm
o
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
137
5.4.4
P
ropriedade
da
raiz
de
um
logaritm
o
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
137
5.4.5
P
ropriedade
da
m
udança
de
base
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
138
5.4.6
U
m
outro
exem
plo
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
138
5.5
E
xercícios
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
139
C
a
p
ít
u
l
o
1
R
e
v
isã
o
1
.1
N
ú
m
e
r
o
s
N
a
t
u
r
a
is
O
conjunto
dos
núm
eros
naturais
é
representado
p
ela
letra
m
aiúscula
N
e
estes
núm
eros
são
construídos
com
os
algarism
os:
0,1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
9,
que
tam
b
ém
são
conhecidos
com
o
algarism
os
indo-arábicos.
N
o
século
V
II,
os
árab
es
invadiram
a
Índia,
difundindo
o
seu
sistem
a
num
érico.
E
m
b
ora
o
zero
não
seja
um
núm
ero
natural
no
sentido
que
tenha
sido
proveniente
de
ob
jetos
de
contagens
naturais,
irem
os
considerá-lo
com
o
um
núm
ero
natural
um
a
vez
que
ele
tem
as
m
esm
as
propriedades
algébricas
que
os
núm
eros
naturais.
N
a
verdade,
o
zero
foi
criado
p
elos
hindus
na
m
ontagem
do
sistem
a
p
osicional
de
num
eração
para
suprir
a
deficiência
de
algo
nulo.
N
a
sequência
considerarem
os
que
os
naturais
têm
início
com
o
núm
ero
zero
e
escreverem
os
este
conjunto
com
o:
N
=
{
0,1,2,3,4,5,6,...}
R
epresentarem
os
o
conjunto
dos
núm
eros
naturais
com
a
letra
N
.
A
s
reticências
(três
p
ontos)
indicam
que
este
conjunto
não
tem
fim
.
N
é
um
conjunto
com
infinitos
núm
eros.
E
xcluindo
o
zero
do
conjunto
dos
núm
eros
naturais,
o
conjunto
será
representado
p
or:
N
∗
=
{
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...}
1
.1
.1
N
ú
m
e
r
o
s
P
r
im
o
s
U
m
n
ú
m
ero
p
rim
o
é
u
m
n
ú
m
ero
n
atu
ral
com
ex
atam
en
te
d
ois
d
iv
isores
n
atu
rais
d
istin
tos,
sen
d
o
estes
u
m
o
n
ú
m
ero
1
e
o
ou
tro
ele
m
esm
o.
A
ssim
,
são
n
ú
m
eros
p
rim
os:{
2,3,5,7,9,11,13,17,19,23,29,31,···}
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
V
ejam
os
os
exem
plos
a
seguir,
onde
D
(n)
indica
todos
os
divisores
de
n
.
E
x
em
p
los:
a)
1
não
é
prim
o
p
ois
D
(1)
=
{1}
b
)
2
é
prim
o
p
ois
D
(2)
=
{1,
2}
c)
3
é
prim
o
p
ois
D
(3)
=
{1,
3}
d
)
5
é
prim
o
p
ois
D
(5)
=
{1,
5}
e)
7
é
prim
o
p
ois
D
(7)
=
{1,
7}
f)
14
não
é
prim
o
p
ois
D
(14)
=
{1,2,7,14}
O
b
se
rv
a
ç
ã
o
:
1
não
é
prim
o
p
ois
tem
ap
enas
1
divisor
e
todo
núm
ero
natural
p
ode
ser
escrito
com
o
o
produto
de
núm
eros
prim
os,
de
form
a
única.
1
.2
N
ú
m
e
r
o
s
In
t
e
ir
o
s
1
.2
.1
In
t
r
o
d
u
ç
ã
o
a
o
s
N
ú
m
e
r
o
s
In
t
e
ir
o
s
N
a
ép
oca
do
R
enascim
ento,
os
m
atem
áticos
sentiram
cada
vez
m
ais
a
necessidade
de
um
novo
tip
o
de
núm
ero,
que
pudesse
ser
a
solução
de
equações
tão
sim
ples
com
o:
x
+
2
=
0,
2x
+
10
=
0,
4y
+
4
=
0
A
s
C
iências
precisavam
de
sím
b
olos
para
representar
tem
p
eraturas
acim
a
e
abaixo
de
0
o
C
,
p
or
exem
plo.
A
strônom
os
e
físicos
procuravam
um
a
linguagem
m
atem
ática
para
expressar
a
atração
entre
dois
corp
os.
Q
uando
um
corp
o
age
com
um
a
força
sobre
outro
corp
o,
este
reage
com
um
a
força
de
m
esm
a
intensidade
e
sentido
contrário.
M
as
a
tarefa
não
ficava
som
ente
em
criar
um
novo
núm
ero,
era
preciso
encontrar
um
sím
b
olo
que
p
erm
itisse
op
erar
com
esse
núm
ero
criado,
de
m
odo
prático
e
eficiente.
1
.2
.2
A
O
r
ig
e
m
d
o
s
S
in
a
is
A
idéia
sobre
os
sinais
vem
dos
com
erciantes
da
ép
oca.
O
s
m
atem
áticos
encontraram
a
m
elhor
notação
para
expressar
esse
novo
tip
o
de
núm
ero.
V
eja
com
o
faziam
tais
com
erciantes:
2
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.2.
N
Ú
M
E
R
O
S
IN
T
E
IR
O
S
Sup
onha
que
um
deles
tivesse
em
seu
arm
azém
duas
sacas
de
feijão
com
10
kg
cada.
Se
esse
com
erciante
vendesse
num
dia
8
K
g
de
feijão,
ele
escrevia
o
núm
ero
8
com
um
traço
(sem
elhante
ao
atualsinalde
m
enos)
na
frente
para
não
se
esquecer
de
que
no
saco
faltava
8
K
g
de
feijão.
M
as
se
ele
resolvesse
desp
ejar
no
outro
saco
os
2
K
g
que
restaram
,
escrevia
o
núm
ero
2
com
dois
traços
cruzados
(sem
elhante
ao
atual
sinal
de
m
ais)
na
frente,
para
se
lem
brar
de
que
no
saco
havia
2
K
g
de
feijão
a
m
ais
que
a
quantidade
inicial.
C
om
essa
nova
notação,
os
m
atem
áticos
p
oderiam
,
não
som
ente
indicar
as
quantidades,
m
as
tam
b
ém
representar
o
ganho
ou
a
p
erda
dessas
quantidades,
através
de
núm
eros,
com
sinal
p
ositivo
ou
negativo.
1
.2
.3
O
C
o
n
ju
n
t
o
Z
d
o
s
N
ú
m
e
r
o
s
In
t
e
ir
o
s
D
efinim
os
o
conjunto
dos
núm
eros
inteiros
com
o
a
reunião
do
conjunto
dos
núm
eros
naturais,
o
conjunto
dos
op
ostos
dos
núm
eros
naturais
e
o
zero.
E
ste
conjunto
é
denotado
p
ela
letra
Z
(Z
ahlen
=
núm
ero
em
alem
ão).
E
ste
conjunto
p
ode
ser
escrito
p
or:
Z
=
{
...,−
4,−
3,−
2,−
1,0,1,2,3,4,...}
E
x
e
m
p
lo
s
d
e
su
bco
n
ju
n
to
s
d
o
co
n
ju
n
to
Z
a)
C
onjunto
dos
núm
eros
inteiros
excluído
o
núm
ero
zero:
Z
∗
=
{
...,−
4,−
3,−
2,−
1,1,2,3,4,...}
b
)
C
onjunto
dos
núm
eros
inteiros
não
negativos:
Z
+
=
{
0,1,2,3,4,...}
c)
C
onjunto
dos
núm
eros
inteiros
não
p
ositivos:
Z
−
=
{
...,−
4,−
3,−
2,−
1,0}
1
.2
.4
M
á
x
im
o
D
iv
is
o
r
C
o
m
u
m
-
M
D
C
C
onsiderem
os
os
conjuntos
dos
divisores
resp
ectivam
ente
dos
núm
eros
40
e
16.
D
(40)
=
{1,
2,
4,
5,
8,
10,
20,
40}
D
(16)
=
{1,
2,
4,
8,
16}
O
bservando
que
D
(40)∩
D
(16)
=
{1,
2,
4,
8},
p
odem
os
afirm
ar
que:
I)
O
s
divisores
com
uns
de
40
e
16
são
1,
2,
4,
8.
II)
O
m
aior
divisor
com
um
de
40
e
16
é
8.
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
3
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
E
ntão,
o
núm
ero
8
é
cham
ado
m
áxim
o
divisor
com
um
de
40
e
16,
que
será
representado
p
or
M
D
C
(40,
16)
=
8.
D
aí
p
odem
os
dizer
que:
D
ad
os
2
ou
m
ais
n
ú
m
eros,
n
ão
sim
u
ltan
eam
en
te
n
u
los,
ch
am
a-se
m
áx
im
o
d
iv
isor
com
u
m
d
esses
n
ú
m
eros
o
m
aior
d
os
seu
s
d
iv
isores
com
u
n
s.
1.2.4.1
T
é
c
n
ic
a
p
a
r
a
o
C
á
l
c
u
l
o
d
o
M
D
C
V
am
os
determ
inar
o
m
áxim
o
divisor
com
um
de
60
e
24.
Já
sab
em
os
que:
D
(60)
=
{1,
2,
3,
4,
5,
6,
10,
12,
15,
20,
30,
60}
D
(24)
=
{1,
2,
3,
4,
6,8,
12,
24}
D
(60)∩
D
(24)
=
{1,
2,
3,
4,
6,
12}
M
D
C
(60,24)
=
12.
A
gora,
vam
os
obter
o
M
D
C
p
ela
técnica
de
d
ecom
p
osição
em
fatores
p
rim
os.
I)
D
ecom
p
õe-se
cada
núm
ero
em
fatores
prim
os.
II)
o
M
D
C
será
o
produto
dos
fatores
com
uns,cada
um
deles
elevado
ao
m
enor
exp
oente.
60
2
30
2
15
3
5
5
1
24
2
12
2
6
2
3
3
1
60
=
2
2×
3×
5
24
=
2
3×
3
}
−→
M
D
C
(60,24)
=
2
2×
3
=
12
4
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.2.
N
Ú
M
E
R
O
S
IN
T
E
IR
O
S
1
.2
.5
M
ín
im
o
M
ú
lt
ip
l
o
C
o
m
u
m
-
M
M
C
C
onsiderem
os
os
conjuntos
dos
m
últiplos
resp
ectivam
ente
dos
núm
eros
6,
8
e
12.
M
(6)
=
{0,
6,
12,
18,
24,
30,
36,
42,
48,
54,
60,...}
M
(8)
=
{0,
8,
16,
24,
32,
40,
48,
56,
64,
72,
80,...}
M
(12)
=
{0,
12,
24,
36,
48,
60,
72,
84,...}
O
bservando
que
M
(6)∩
M
(8)∩
M
(12)=
{0,
24,
48,...},
p
odem
os
afirm
ar
que:
I)
O
s
m
últiplos
com
uns
de
6,
8
e
12
são
0,
24,
48,...
II)
O
m
enor
m
últiplo
com
um
,
diferente
de
zero,
de
6,
8
e
12
é
24.
E
ntão,o
núm
ero
24
é
cham
ado
m
ínim
o
m
últiplo
com
um
de
6,8
e
12,que
será
representado
p
or
M
M
C
(6,8,12)
=
24.
D
aí
p
odem
os
dizer
que:
D
ad
os
2
ou
m
ais
n
ú
m
eros,
d
iferen
tes
d
e
zero,
ch
am
a-se
m
ín
im
o
m
ú
ltip
lo
com
u
m
d
esses
n
ú
m
eros
o
m
en
or
d
os
seu
s
m
ú
ltip
los
com
u
n
s,
d
iferen
tes
d
e
zero.
1.2.5.1
T
é
c
n
ic
a
p
a
r
a
o
C
á
l
c
u
l
o
d
o
M
M
C
P
odem
os
determ
inar
o
M
M
C
de
2
ou
m
ais
núm
eros
diferentes
de
0,
p
elo
processo
de
d
ecom
p
osição
em
fatores
p
rim
os,
conform
e
a
seguinte
regra:
I)
D
ecom
p
õe-se
cada
núm
ero
em
fatores
prim
os.
II)
o
M
D
C
será
o
produto
de
todos
os
fatores
com
uns
e
não
com
uns,
cada
um
deles
elevado
ao
m
aior
exp
oente.
6
2
3
3
1
8
2
4
2
2
2
1
12
2
6
2
3
3
1
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
5
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
6
=
2×
3
8
=
2
3
12
=
2
2×
3 }
−→
M
M
C
(6,8,12)
=
2
3×
3
=
24
D
e
m
odo
prático,
as
decom
p
osições
são
feitas
sim
ultaneam
ente,
p
ois
desta
m
aneira
já
se
obtém
os
fatores
com
uns
e
não
com
uns
com
o
m
aior
exp
oente,
conform
e
o
exem
plo:
6,
8,
12
2
3,
4,
6
2
3,
2,
3
2
3,
1,
3
3
1,
1,
1
24
M
M
C
(6,8,12)
=
2
3×
3
=
24
1
.3
N
ú
m
e
r
o
s
R
a
c
io
n
a
is
H
á
3000
antes
de
C
risto,
os
geôm
etras
dos
faraós
do
E
gito
realizavam
m
arcação
das
terras
que
ficavam
às
m
argens
do
rio
N
ilo,
para
a
sua
p
opulação.
M
as,
no
p
eríodo
de
junho
a
setem
bro,
o
rio
inundava
essas
terras
levando
parte
de
suas
m
arcações.
L
ogo
os
proprietários
das
terras
tinham
que
m
arcá-las
novam
ente
e
para
isso,
eles
utilizavam
um
a
m
arcação
com
cordas,
que
seria
um
a
esp
écie
de
m
edida,
denom
inada
estiradores
de
cordas.
A
s
p
essoas
utilizavam
as
cordas,
esticando-as
e
assim
verificavam
quantas
vezes
aquela
unidade
de
m
edida
estava
contida
nos
lados
do
terreno,
m
as
raram
ente
a
m
edida
dava
correta
no
terreno,
isto
é,
não
cabia
um
núm
ero
inteiro
de
vezes
nos
lados
do
terreno;
sendo
assim
eles
sentiram
a
necessidade
de
criar
um
novo
tip
o
de
núm
ero
-
o
núm
ero
fracionário,
onde
eles
utilizavam
as
frações.
1
.3
.1
In
t
r
o
d
u
ç
ã
o
À
s
vezes,
ao
tentar
partir
algo
em
p
edaços,
com
o
p
or
exem
plo,
um
a
pizza,
nós
a
cortam
os
em
partes
que
não
são
do
m
esm
o
tam
anho.
6
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.3.
N
Ú
M
E
R
O
S
R
A
C
IO
N
A
IS
L
ogo
isso
daria
um
a
grande
confusão,
p
ois
quem
ficaria
com
a
parte
m
aior?
O
u
quem
ficaria
com
a
parte
m
enor?
É
lógico
que
alguém
sairia
no
prejuízo.
P
en
sem
os
n
este
ex
em
p
lo:
D
ois
irm
ãos
foram
juntos
com
prar
chocolate.
E
les
com
praram
duas
barras
de
chocolate
iguais,
um
a
para
cada
um
.
Iam
com
eçar
a
com
er
quando
chegou
um
a
de
suas
m
elhores
am
igas
e
vieram
as
p
erguntas:
Q
uem
daria
um
p
edaço
para
a
am
iga?
Q
ualdeveria
ser
o
tam
anho
do
p
edaço?
E
les
discutiram
e
chegaram
à
seguinte
conclusão:
P
ara
que
nenhum
dos
dois
com
esse
m
enos,
cada
um
daria
m
etade
do
chocolate
para
a
am
iga.
•
V
ocê
concorda
com
esta
divisão?
P
or
quê?
•
C
om
o
você
p
oderia
resolver
esta
situação
para
que
todos
com
essem
partes
iguais?
•
O
que
você
acha
desta
frase:
Q
uem
parte
e
reparte
e
não
fica
com
a
m
elhor
parte,
ou
é
b
ob
o
ou
não
tem
arte.
•
E
lem
entos
gerais
para
a
construção
de
frações
1
.3
.2
A
Id
é
ia
d
e
N
ú
m
e
r
o
F
r
a
c
io
n
á
r
io
R
elacionando
núm
eros
racionais
com
frações,um
núm
ero
racionalé
o
que
p
ode
ser
escrito
na
form
a:
mn
onde
m
e
n
são
núm
eros
inteiros,sendo
que
n
deve
ser
não
nulo,isto
é,
n
deve
ser
diferente
de
zero.
F
reqüentem
ente
usam
os
m
/n
para
significar
a
divisão
de
m
p
or
n
.
C
om
o
p
odem
os
observar,
núm
eros
racionais
p
odem
ser
obtidos
através
da
razão
(em
L
atim
:
ratio=
razão=
divisão=
quociente)
entre
dois
núm
eros
inteiros,
razão
p
ela
qual,
o
conjunto
de
todos
os
núm
eros
racionais
é
denotado
p
or
Q
.
A
ssim
,
é
com
um
encontrarm
os
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
7
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
na
literatura
a
notação:
Q
=
{
m
/n
:
m
e
n
em
Z
,
n
d
if
eren
te
d
e
zero}
Q
uando
há
interesse,
indicam
os
Q
+
para
entender
o
conjunto
dos
núm
eros
racionais
p
ositivos
e
Q
−
o
conjunto
dos
núm
eros
racionais
negativos.
O
núm
ero
zero
é
tam
b
ém
um
núm
ero
racional.
P
ara
expressar,m
atem
aticam
ente,um
a
parte
ou
algum
as
partes
iguais
de
um
todo,vam
os
usar
um
par
ordenado
de
núm
eros
naturais.
P
ara
representar
os
elem
entos
que
não
são
tom
ados
com
o
partes
inteiras
de
algum
a
coisa,
utilizam
os
o
ob
jeto
m
atem
ático
denom
inado
fração.
E
ntão,cham
a-se
fração
todo
par
ordenado
de
núm
eros
naturais,com
o
segundo6=
0,onde:
•
o
prim
eiro
núm
ero
indica
quantas
partes
estam
os
tom
ando
do
inteiro.
•
o
segundo
núm
ero
indica
em
quantas
partes
iguais
o
inteiro
foi
dividido.
N
um
a
fração,
o
prim
eiro
núm
ero
cham
a-se
n
u
m
erad
or
e
o
segundo
núm
ero
cham
a-se
d
en
om
in
ad
or;
am
b
os
constituem
os
term
os
de
um
a
fração.
A
ssim
:
N
a
fração
12
,
1
é
o
num
erador
e
2
é
o
denom
inador.
N
a
fração
35
,
3
é
o
num
erador
e
5
é
o
denom
inador.
O
conjunto
dos
núm
eros
naturais
que
não
inclui
o
zero,
tendo
em
vista
que
zero
foi
um
núm
ero
criado
para
dar
significado
nulo
a
algo,
é
representado
p
elo
conjunto
N
∗
será
representado
p
or:
N
∗
=
{
1,2,3,4,5,6,7,...}
A
ssim
,
todos
os
núm
eros
naturais,
diferentes
de
zero,
representam
em
partes
foi
dividido
o
inteiro,
ou
seja,
representam
os
denom
inadores.
O
s
núm
eros
que
não
representam
partes
inteiras,
m
as
que
são
partes
de
inteiros,
constituem
os
núm
eros
racionais
não-negativos,
aqui
representados
p
or
Q
+
,
onde
esta
8
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.3.
N
Ú
M
E
R
O
S
R
A
C
IO
N
A
IS
letra
Q
significa
quociente
ou
divisão
de
dois
núm
eros
inteiros
naturais.
Q
+
= {
0,...,
14
,...,
12
,...,1,...,2,... }
1
.3
.3
F
r
a
ç
õ
e
s
E
q
u
iv
a
l
e
n
t
e
s
D
uas
frações
são
equivalentes
se
representama
m
esm
a
parte
do
inteiro.
U
m
a
fração
eq
u
ivalen
te
é
ob
tid
a
m
u
ltip
lican
d
o-se
ou
d
iv
id
in
d
o-se
(q
u
an
d
o
p
ossível)
os
term
os
d
e
u
m
a
fração
p
or
u
m
m
esm
o
n
ú
m
ero
n
atu
ral,
d
iferen
te
d
e
zero.
E
x
em
p
los:
a)
12
=
24
→
1×
2
2×
2
=
24
b
)
12
=
36
→
1×
3
2×
3
=
36
c)
68
=
34
→
6÷
2
8÷
2
=
34
d
)
1620
=
45
→
16÷
4
20÷
4
=
45
1
.3
.4
O
p
e
r
a
ç
õ
e
s
c
o
m
F
r
a
ç
õ
e
s
1.3.4.1
A
d
iç
ã
o
e
S
u
b
t
r
a
ç
ã
o
d
e
N
ú
m
e
r
o
s
F
r
a
c
io
n
á
r
io
s
T
em
os
de
analisar
dois
casos:
1
o
C
aso
:
D
en
om
in
ad
ores
Igu
ais
P
ara
som
ar
ou
su
b
trair
fraçõ
es
com
d
en
om
in
ad
ores
igu
ais,
b
asta
con
servar
o
d
en
om
in
ad
or
e
som
ar
ou
su
b
trair
os
n
u
m
erad
ores.
E
x
em
p
los:
a)
47
+
27
=
4
+
2
7
=
67
b
)
57 −
27
=
5−
2
7
=
37
c)
25
+
125
=
2
+
12
5
=
145
d
)
199 −
119
=
19−
11
9
=
89
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
9
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
2
o
C
aso
:
D
en
om
in
ad
ores
D
iferen
tes
P
ara
som
ar
ou
subtrair
frações
com
denom
inadores
diferentes,
um
a
solução
é
obter
frações
equivalentes,
de
denom
inadores
iguais
ao
M
M
C
dos
denom
inadores
das
frações.
A
ssim
,
P
ara
som
ar
ou
su
b
trair
fraçõ
es
com
d
en
om
in
ad
ores
d
iferen
tes,
p
rim
eiro
calcu
le
o
M
M
C
,
trasform
e
as
fraçõ
es
em
fraçõ
es
eq
u
ivalen
tes
com
o
d
en
om
in
ad
or
en
con
trad
o
n
o
M
M
C
,
e
assim
p
ro
ced
a
com
o
n
a
som
a
ou
su
b
tração
p
ara
d
en
om
in
ad
ores
iq
u
ais:
con
serve
o
d
en
om
in
ad
or
(M
M
C
)
e
som
e
ou
su
b
traia
o
n
u
m
erad
or.
E
x
em
p
lo
1
:
Som
ar
as
frações
45
e
52
.
P
rim
eiro
calculam
os
o
M
M
C
entre
5
e
2,que
neste
caso
é
a
m
ultiplicação
dos
dois
denom
inadores,assim
obtem
os
M
M
C
(5,2)
=
10.
D
ep
ois,
transform
am
os
as
frações
em
frações
equivalente,
dividindo
o
resultado
encontrado
no
M
M
C
(5,2)
p
elos
denom
inadores
e
m
ultiplicando
p
elos
num
eradores
corresp
ondentes:
45
=
?10
→
(10÷
5)×
4
=
8→
810
52
=
?10
→
(10÷
2)×
5
=
25→
2510
E
ncontradas
as
equações
equivalentes
fazem
os
a
som
a,
conform
e
o
1
o
caso,
conservam
os
o
denom
inador
e
som
am
os
o
num
erador.
810
+
2510
=
8
+
25
10
=
3310
E
x
em
p
lo
2
:
Subtrair
as
frações
712
e
1115
.
P
rim
eiro
calculam
os
o
M
M
C
entre
12
e
15,
com
o
na
seção
1.2.5,
assim
M
M
C
(12,15)
=
60.
D
ep
ois,
transform
am
os
as
frações
em
frações
equivalente,
dividindo
o
resultado
encontrado
no
M
M
C
(12,15)
p
elos
denom
inadores
e
m
ultiplicando
p
elos
num
eradores
corresp
ondentes:
712
=
?60
→
(60÷
12)×
7
=
35→
3560
1115
=
?60
→
(60÷
15)×
11
=
44→
4460
E
ncontradas
as
equações
equivalentes
fazem
os
a
subtração,
conform
e
o
1
o
caso,
conservam
os
o
denom
inador
e
subtraim
os
o
num
erador.
1
0
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.3.
N
Ú
M
E
R
O
S
R
A
C
IO
N
A
IS
3560 −
4460
=
35−
44
60
=
−
960
R
e
su
m
in
d
o
:
utilizam
os
o
M
M
C
para
obter
as
frações
equivalentes
e
dep
ois
som
am
os
norm
alm
ente
as
frações,
que
já
terão
o
m
esm
o
denom
inador,
ou
seja,
utilizam
os
o
caso
1.
1.3.4.2
M
u
lt
ip
l
ic
a
ç
ã
o
d
e
N
ú
m
e
r
o
s
F
r
a
c
io
n
á
r
io
s
P
ara
m
u
ltip
licarm
os
n
ú
m
eros
fracion
ários,
d
evem
os
m
u
ltip
licar
n
u
m
erad
or
p
or
n
u
m
erad
or
e
d
en
om
in
ad
or
p
or
d
en
om
in
ad
or.
E
x
em
p
los:
a)
83 ×
43
=
8×
4
3×
3
=
329
b
)
−
52 ×
43
=
−
5×
4
2×
3
=
−
20
6
=
−
206
=
−
103
1.3.4.3
D
iv
is
ã
o
d
e
N
ú
m
e
r
o
s
F
r
a
c
io
n
á
r
io
s
P
ara
d
iv
id
irm
os
n
ú
m
eros
fracion
ários,
d
evem
os
efetu
ar
u
m
a
m
u
ltip
licação
d
e
fraçõ
es,
con
sid
eran
d
o
q
u
e
a
p
rim
eira
fração
é
m
u
ltip
licad
a
p
ela
segu
n
d
a
fração
in
vertid
a
(ou
seja,
o
n
u
m
erad
or
p
assa
p
ara
d
en
om
in
ad
or
e
o
d
en
om
in
ad
or
p
ara
n
u
m
erad
or).
E
x
em
p
los:
a)
8343
=
83 ×
34
=
2412
=
2
b
)
119207
=
119 ×
720
=
77
180
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
1
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
1
.3
.5
F
r
a
ç
õ
e
s
e
N
ú
m
e
r
o
s
D
e
c
im
a
is
1.3.5.1
O
P
a
p
e
l
d
a
s
F
r
a
ç
õ
e
s
e
N
ú
m
e
r
o
s
D
e
c
im
a
is
A
s
frações
decim
ais
e
núm
eros
decim
ais
p
ossuem
notória
im
p
ortância
cotidiana.
T
ais
conceitos
são
usados
em
m
uitas
situações
práticas,
em
b
ora,
m
uitas
vezes
passem
desp
ercebidas.
Indo
ao
sup
erm
ercado
com
prar
1/2
K
g
de
café
p
or
R
$
2,80
e
pagan
do
a
com
pra
com
um
a
nota
de
R
$
5,00,
obtém
-se
R
$
2,20
de
troco.
N
este
exem
plo,
p
odem
os
observar
o
uso
de
frações
e
núm
eros
decim
ais.
A
través
deste
tip
o
de
com
pra,
usam
os
o
conceito
de
fração
decim
al
juntam
ente
com
o
sistem
a
de
p
esagem
(1/2
K
g),
núm
eros
decim
ais
juntam
ente
com
o
sistem
a
m
onetário.
M
uitas
outras
situações
utilizam
de
frações
e
núm
eros
decim
ais.
1.3.5.2
E
l
e
m
e
n
t
o
s
H
is
t
ó
r
ic
o
s
S
o
b
r
e
o
s
N
ú
m
e
r
o
s
D
e
c
im
a
is
H
oje
em
dia
é
com
um
o
uso
de
frações.
H
ouve
tem
p
o,
p
orém
que
as
m
esm
as
não
eram
co-nhecidas.
O
hom
em
introduziu
o
uso
de
frações
quando
com
eçou
a
m
edir
e
representar
m
edidas.
O
s
egíp
cios
usavam
ap
enas
frações
que
p
ossuíam
o
núm
ero
1
dividido
p
or
um
núm
ero
inteiro,
com
o
p
or
exem
plo:
1/2,
1/3,
1/4,
1/5,...
T
ais
frações
eram
denom
inadas
frações
egíp
cias
e
ainda
hoje
têm
m
uitas
aplicações
práticas.
O
s
babilônios
usavam
em
geral
frações
com
denom
inador
60.
É
provável
que
o
uso
do
núm
ero
60
p
elos
babilônios
se
deve
ao
fato
que
é
um
núm
ero
m
enor
do
que
100
com
m
aior
quantidade
de
divisores
inteiros.
O
s
rom
anos,
p
or
sua
vez,
usavam
constantem
ente
frações
com
denom
inador
12.
P
rovavelm
ente
os
rom
anos
usavam
o
núm
ero
12
p
or
ser
um
núm
ero
que
em
b
ora
p
equeno,
p
ossui
um
núm
ero
expressivo
de
divisores
inteiros.
C
om
o
passar
dos
tem
p
os,
m
uitas
notações
foram
usadas
para
representar
frações.
A
atual
m
aneira
de
representação
data
do
século
X
V
I.
O
s
núm
eros
decim
ais
têm
origem
nas
frações
decim
ais.
P
or
exem
plo,a
fração
1/2
equivale
à
fração
5/10
que
equivale
ao
núm
ero
decim
al
0,5.
Stevin
(engenheiro
e
m
atem
ático
holandês),
em
1585
ensinou
um
m
étodo
para
efetuar
todas
as
op
erações
p
or
m
eio
de
inteiros,
sem
o
uso
de
frações,
no
qualescrevia
os
núm
eros
1
2
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.3.
N
Ú
M
E
R
O
S
R
A
C
IO
N
A
IS
naturais
ordenados
em
cim
a
de
cada
algarism
o
do
num
erador
indicando
a
p
osição
ocupada
p
ela
vírgula
no
num
eral
decim
al.
E
ste
m
étodo
foi
aprim
orado
e
em
1617
N
apier
prop
ôs
o
uso
de
um
p
onto
ou
de
um
a
vírgula
para
separar
a
parte
inteira
da
parte
decim
al.
P
or
m
uito
tem
p
o
os
núm
eros
decim
ais
foram
em
pregados
ap
enas
para
cálculos
astronôm
icos
em
virtude
da
precisão
prop
orcionada.
O
s
núm
eros
decim
ais
sim
plificaram
m
uito
os
cálculos
e
passaram
a
ser
usados
com
m
ais
ênfase
ap
ós
a
criação
do
sistem
a
m
étrico
decim
al.
1.3.5.3
F
r
a
ç
õ
e
s
e
N
ú
m
e
r
o
s
D
e
c
im
a
is
(P
o
t
ê
n
c
ia
s
d
e
1
0
)
D
entre
todas
as
frações,
existe
um
tip
o
esp
ecial
cujo
denom
inador
é
um
a
potência
de
10.
E
ste
tip
o
é
denom
inado
fração
decim
al.
E
xem
plos
de
frações
decim
ais,
são:
1/10,
3/100,
23/100,
1/1000,
1/100
T
oda
fração
decim
al
p
ode
ser
representada
p
or
um
núm
ero
decim
al,
isto
é,
um
núm
ero
que
tem
um
a
parte
inteira
e
um
a
parte
decim
al,
separados
p
or
um
a
vírgula.
A
fração
127/100
p
ode
ser
escrita
na
form
a
m
ais
sim
ples,
com
o:
127
100
=
1,27
onde
1
representa
a
parte
inteira
e
27
representa
a
parte
decim
al.
E
sta
notação
sub
entende
que
a
fração
127/100
p
ode
ser
decom
p
osta
na
seguinte
form
a:
127
100
=
100
+
27
100
=
100
100
+
27
100
=
1
+
0,27
=
1,27
A
fração
8/10
p
ode
ser
escrita
na
form
a
0,8,onde
0
é
a
parte
inteira
e
8
é
a
parte
decim
al.
A
qui
observam
os
que
este
núm
ero
decim
al
é
m
enor
do
que
1
p
orque
o
num
erador
é
m
enor
do
que
o
denom
inador
da
fração.
1.3.5.4
L
e
it
u
r
a
d
e
N
ú
m
e
r
o
s
D
e
c
im
a
is
P
ara
ler
núm
eros
decim
ais
é
necessário
prim
eiram
ente,
observar
a
localização
da
vírgula
que
separa
a
parte
inteira
da
parte
decim
al.
E
x
em
p
los:
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
3
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
•
0,6:
Seis
décim
os
•
0,37:
T
rinta
e
sete
centésim
os
•
0,189:
C
ento
e
oitenta
e
nove
m
ilésim
os
•
3,7:
T
rês
inteiros
e
sete
décim
os
•
13,45:
T
reze
inteiros
e
quarenta
e
cinco
centésim
os
•
130,824:
C
ento
e
trinta
inteiros
e
oitocentos
e
vinte
e
quatro
m
ilésim
os.
1
.3
.6
T
r
a
n
s
f
o
r
m
a
n
d
o
F
r
a
ç
õ
e
s
e
m
N
ú
m
e
r
o
s
D
e
c
im
a
is
P
odem
os
escrever
a
fração
decim
al
1/10
com
o:
0,1.
E
sta
fração
é
lida
“um
décim
o".
N
otam
os
que
a
vírgula
separa
a
parte
inteira
da
parte
fracionária.
U
m
a
outra
situação
nos
m
ostra
que
a
fração
decim
al
231/100
p
ode
ser
escrita
com
o
2,31,que
se
lê
da
seguinte
m
aneira:
“dois
inteiros
e
trinta
e
um
centésim
os".
E
m
geral,
transform
a-se
um
a
fração
decim
al
em
um
núm
ero
decim
al
fazendo
com
que
o
num
e-rador
da
fração
tenha
o
m
esm
o
núm
ero
de
casas
decim
ais
que
o
núm
ero
de
zeros
do
denom
inador.
N
a
verdade,
realiza-se
a
divisão
do
num
erador
p
elo
denom
inador.
P
or
exem
plo:
a)
130/100
=
1,30
b
)
987/1000
=
0,987
c)
5/1000
=
0,005
1
.3
.7
T
r
a
n
s
f
o
r
m
a
n
d
o
N
ú
m
e
r
o
s
D
e
c
im
a
is
e
m
F
r
a
ç
õ
e
s
T
am
b
ém
é
p
ossível
transform
ar
um
núm
ero
decim
al
em
um
a
fração
decim
al.
P
ara
isto,
tom
a-se
com
o
num
erador
o
núm
ero
decim
al
sem
a
vírgula
e
com
o
denom
inador
a
unidade
(1)
seguida
de
tantos
zeros
quantas
forem
as
casas
decim
ais
do
núm
ero
dado.
C
om
o
exem
plo,
tem
os:
a)
0,5
=
5/10
b
)
0,05
=
5/100
c)
2,41
=
241/100
d
)
7,345
=
7345/1000
1
.3
.8
P
r
o
p
r
ie
d
a
d
e
s
d
o
s
N
ú
m
e
r
o
s
D
e
c
im
a
is
Z
e
ro
s
a
p
ó
s
o
ú
ltim
o
a
lg
a
rism
o
sig
n
ifi
ca
tiv
o
:
U
m
núm
ero
decim
al
não
se
altera
quando
se
acrescenta
ou
se
retira
um
ou
m
ais
zeros
à
direita
do
últim
o
algarism
o
não
nulo
de
sua
parte
decim
al.
P
or
exem
plo:
1
4
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.3.
N
Ú
M
E
R
O
S
R
A
C
IO
N
A
IS
a)
0,5
=
0,50
=
0,500
=
0,5000
b
)
1,0002
=
1,00020
=
1,000200
c)
3,1415926535
=
3,141592653500000000
d
)
20
=
20,00000
1.3.8.1
M
u
lt
ip
l
ic
a
ç
ã
o
p
o
r
u
m
a
p
o
t
ê
n
c
ia
d
e
1
0
P
ara
m
ultiplicar
um
núm
ero
decim
al
p
or
10,
p
or
100,
p
or
1000,
basta
deslocar
a
vírgula
para
a
direita
um
a,
duas,
ou
três
casas
decim
ais,
de
acordo
com
o
núm
ero
de
zeros.
E
x
em
p
los:
a)
7,4×
10
=
74
b
)
7,4×
100
=
740
c)
7,4×
1000
=
7400
1.3.8.2
D
iv
is
ã
o
p
o
r
u
m
a
p
o
t
ê
n
c
ia
d
e
1
0
P
ara
dividir
um
núm
ero
decim
al
p
or
10,
100,
1000,
etc,
basta
deslocar
a
vírgula
para
a
esquerda
um
a,duas,três,...
casas
decim
ais
tam
b
ém
de
acordo
com
a
quantidade
de
zeros.
E
x
em
p
los:
a)
247,5÷
10
=
24,75
b
)
247,5÷
100
=
2,475
c)
247,5÷
1000
=
0,2475
1
.3
.9
O
p
e
r
a
ç
õ
e
s
c
o
m
N
ú
m
e
r
o
s
D
e
c
im
a
is
1.3.9.1
A
d
iç
ã
o
e
S
u
b
t
r
a
ç
ã
o
P
ara
efetuar
a
adição
ou
a
subtração
de
núm
eros
decim
ais
tem
os
que
seguir
alguns
passos:
a)
Igualar
a
quantidade
de
casas
decim
ais
dos
núm
eros
decim
ais
a
serem
som
ados
ou
subtraídos
acrescentando
zeros
à
direita
de
suas
partes
decim
ais.
b
)
E
screver
os
num
erais
observando
as
colunas
da
parte
inteira
(unidades,
dezenas,
centenas,
etc),
de
form
a
que:
i)
o
algarism
o
das
unidades
de
um
núm
ero
deverá
estar
em
baixo
do
algarism
o
das
unidades
do
outro
núm
ero,
ii)
o
algarism
o
das
dezenas
de
um
núm
ero
deverá
estar
em
baixo
do
algarism
o
das
dezenas
do
outro
núm
ero,
iii)
o
algarism
o
das
centenas
deverá
estar
em
baixo
do
algarism
o
das
centenas
do
outro
núm
ero,
etc),
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
5
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
iv
)
a
vírgula
deverá
estar
debaixo
da
outra
vírgula,
e
v
)
a
parte
decim
al
(décim
os,
centésim
os,
m
ilésim
os,
etc)
de
form
a
que
décim
os
sob
décim
os,
centésim
os
sob
centésim
os,
m
ilésim
os
sob
m
ilésim
os,
etc.
c)
R
ealizar
a
adição
ou
a
subtração.
E
x
em
p
los:
a)
0,24
+
7,1
0,
24
+
7,
1
⇒
0,
24
+
7,
10
7,
34
b
)
3,4
+
11,175
3,
4
+
11,
175
⇒
3,
400
+
11,
172
14,
572
c)
20−
17,15
20
-
17
,15
⇒
20,
00
-
17,
15
3,
85
d
)
103,50−
88,5
103,
50
-
88,
5
⇒
103,
50
-
88,
50
15,
00
1.3.9.2
M
u
lt
ip
l
ic
a
ç
ã
o
d
e
n
ú
m
e
r
o
s
d
e
c
im
a
is
P
odem
os
m
ultiplicar
dois
núm
eros
decim
ais
transform
ando
cada
um
dos
núm
eros
decim
ais
em
frações
decim
ais,
realizar
a
m
ultiplicação
de
num
erador
p
or
num
erador
e
denom
inador
p
or
denom
inador,
e
dep
ois
novam
ente
transform
á-los
em
núm
eros
decim
ais,
dividindo
o
num
erador
p
elo
denom
inador.
O
u,
p
odem
os
tam
b
ém
m
ultiplicar
os
núm
eros
decim
ais
com
o
se
fossem
inteiros
e
dar
ao
produto
tantas
casas
quantas
forem
as
casas
do
m
ultiplicando
som
adas
às
do
m
ultiplicador.
E
x
em
p
los:
a)
2,24×
1,7
224
100 ×
1710
=
3808
1000
=
3,808
ou
2,24
×
1,7
1568
+
224
3,808
1
6
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.3.
N
Ú
M
E
R
O
S
R
A
C
IO
N
A
IS
b
)
3,15×
0,25
315
100 ×
25
100
=
7875
10000
=
0,7875
ou
3,15
×
0,25
1575
+
630
0,7875
1.3.9.3
D
iv
is
ã
o
d
e
n
ú
m
e
r
o
s
d
e
c
im
a
is
C
om
o
visto
anteriorm
ente,
se
m
ultiplicarm
os
tanto
o
dividendo
com
o
o
divisor
de
um
a
divisão
p
or
10,
100
ou
1000,
o
quociente
não
se
alterará.
U
tilizando
essas
inform
ações
p
oderem
os
efetuar
divisões
entre
núm
eros
decim
ais
com
o
se
fossem
divisões
de
núm
eros
inteiros.
A
ssim
,
dividendo
e
divisor
terão
ap
enas
um
a
casa
decim
al,
logo
m
ultiplicam
os
am
b
os
p
or
10
para
que
o
quociente
não
se
altere.
A
ssim
tanto
o
dividendo
com
o
o
divisor
serão
núm
eros
inteiros.
N
a
prática,
dizem
os
que
"cortam
os"a
vírgula.
E
x
em
p
los:
a)
7,65÷
1,8
=
7,65
1,8
=
7,65×
100
1,8×
100
=
765
180
=
4,25
b
)
0,1÷
23,458
=
0,1
23,458
=
0,1×
1000
23,458×
1000
=
100
23458
=
0,0043
1
.3
.1
0
D
íz
im
a
P
e
r
ió
d
ic
a
U
m
a
d
ízim
a
p
erió
d
ica
é
u
m
n
ú
m
ero
real
d
a
form
a:
m
,n
pppp...
on
d
e
m
,
n
e
p
são
n
ú
m
eros
in
teiros,
sen
d
o
q
u
e
o
n
ú
m
erop
se
rep
ete
in
d
efi
n
id
am
en
te,
razão
p
ela
q
u
al
u
sam
os
os
três
p
on
tos:
...
ap
ós
o
m
esm
o.
A
p
arte
q
u
e
se
rep
ete
é
d
en
om
in
ad
a
p
e
río
d
o.
E
m
alguns
livros
é
com
um
o
uso
de
um
a
barra
sobre
o
p
eríodo
ou
um
a
barra
debaixo
do
p
eríodo
ou
o
p
eríodo
dentro
de
parênteses,
m
as,para
nossa
facilidade
de
escrita,usarem
os
reticências.
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
7
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
E
x
em
p
los:
a)
0,3333333...
=
0,3
b
)
1,6666666...
=
1,6
c)
12,121212...
=
12, 12
d
)
0,9999999...
=
0,9
e)
7,1333333...
=
7,1 3
U
m
a
d
ízim
a
p
erió
d
ica
é
sim
p
le
s
se
a
p
arte
d
ecim
al
é
form
ad
a
ap
en
as
p
elo
p
erío
d
o.
A
lgu
n
s
ex
em
p
los
são:
0,333333...
=
0,(3)
=
0,3
3,636363...
=
3,(63)
=
3,63
U
m
a
d
ízim
a
p
erió
d
ica
é
co
m
p
o
sta
se
p
ossu
i
u
m
a
p
arte
q
u
e
n
ão
se
rep
ete
en
tre
a
p
arte
in
teira
e
o
p
erío
d
o.
P
or
ex
em
p
lo:
0,83333333...
=
0,8
3
0,72535353...
=
0,7253
1.3.10.1
A
g
e
r
a
t
r
iz
d
e
u
m
a
d
íz
im
a
p
e
r
ió
d
ic
a
D
ada
um
a
dízim
a
p
eriódica,
qual
será
a
fração
que
dá
origem
a
esta
dízim
a?
É
p
ossível
determ
inar
a
fração
(núm
ero
racional)
que
deu
origem
a
um
a
dízim
a
p
eriódica.
E
sta
fração
é
cham
ada
de
geratriz
da
dízim
a
p
eriódica.
1.3.10.2
A
G
e
r
a
t
r
iz
d
e
u
m
a
D
íz
im
a
S
im
p
l
e
s
A
geratriz
d
e
u
m
a
d
ízim
a
sim
p
les
é
u
m
a
fração
q
u
e
tem
p
ara
n
u
m
erad
or
o
p
erío
d
o
e
p
ara
d
en
om
in
ad
or
tan
tos
n
oves
q
u
an
tos
forem
os
algarism
os
d
o
p
erío
d
o
(lem
b
ran
d
o
q
u
e
p
erío
d
o
é
a
p
arte
q
u
e
rep
ete).
E
x
em
p
los:
1
8
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.3.
N
Ú
M
E
R
O
S
R
A
C
IO
N
A
IS
a)
0,777...
=
79
O
p
eríodo
é
o
valor
7,
que
é
form
ado
p
or
ap
enas
um
dígito,
p
or
isso,
ap
enas
um
algarism
o
9
no
denom
inador.
b
)
0,2323...
=
2399
O
p
eríodo
é
o
valor
23,que
é
form
ado
p
or
dois
dígitos,p
or
isso,tem
os
dois
algarism
os
9
no
denom
inador.
c)
3,7575...
=
3
+
0,7575...
=
3
+
7599
=
297
+
75
99
=
372
99
N
este
caso
tem
os
um
a
parte
inteira,
o
valor
3,separam
os
a
parte
inteira
da
racional,
geram
os
a
fração
da
parte
p
eriódica
e
então
fazem
os
a
som
a
das
duas
partes,
utilizando
M
M
C
.
1.3.10.3
A
G
e
r
a
t
r
iz
d
e
u
m
a
D
íz
im
a
C
o
m
p
o
s
t
a
A
geratriz
d
e
u
m
a
d
ízim
a
com
p
osta
é
u
m
a
fração
d
a
form
a
nd
,
on
d
e
n
é
form
ad
a
p
ela
p
arte
n
ão
p
erió
d
ica
segu
id
a
d
o
p
erío
d
o,
m
en
os
a
p
arte
n
ão
p
erió
d
ica.
d
tan
tos
n
oves
q
u
an
tos
forem
os
algarism
os
d
o
p
erío
d
o
segu
id
os
d
e
tan
tos
zeros
q
u
an
tos
forem
os
algarism
os
d
a
p
arte
n
ão
p
erió
d
ica.
E
x
em
p
los:
a)
0,12525...
=
125−
1
990
=
124
990
O
p
eríodo
é
o
valor
25,
que
é
form
ado
p
or
dois
dígitos
(25),
a
parte
não
p
eriódica
é
o
valor
1,
assim
colocam
os
no
num
erador
o
valor
125
(parte
não
p
eriódica
seguida
do
p
eríodo)
m
enos
1
(parte
não
p
eriódica),
no
denom
inador
colocam
os
dois
noves,
referentes
ao
p
eríodo
(25)
e
um
zero
referente
à
parte
não
p
eriódica
(1).
b
)
0,04777...
=
047−
04
900
=
43
900
O
p
eríodo
é
o
valor
7,
que
é
form
ado
p
or
um
dígito
(7),
a
parte
não
p
eriódica
é
o
valor
04,
assim
colocam
os
no
num
erador
o
valor
47
(parte
não
p
eriódica
seguida
do
p
eríodo)
m
enos
4
(parte
não
p
eriódica),
no
denom
inador
colocam
os
um
nove,
referentes
ao
p
eríodo
(7)
e
dois
zeros
referentes
à
parte
não
p
eriódica
(04).
c)
3,23555...
=
3
+
0,23555...
=
3
+
235−
23
900
=
3
+
212
900
=
2700
+
212
900
=
2912
900
N
este
caso
tem
os
um
a
parte
inteira,
o
valor
3,separam
os
a
parte
inteira
da
racional,
geram
os
a
fração
da
parte
p
eriódica
e
então
fazem
os
a
som
a
das
duas
partes,
utilizando
M
M
C
.
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1
9
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
1.3.10.4
D
ic
a
Q
uando
tem
os
um
a
dízim
a
p
eriódica
com
parte
inteira
p
odem
os
utilizar
o
m
étodo
da
geratriz
para
dízim
a
com
p
osta,
com
a
diferença
que
para
a
parte
inteira
não
adicionam
os
zeros
ao
denom
inador.
E
x
em
p
los:
a)
3,7575...
=
375−
3
99
=
372
99
O
p
eríodo
é
o
valor
75
e
a
parte
não
p
eriódica
é
o
valor
3,
que
neste
caso
é
inteiro.
A
ssim
colocam
os
no
num
erador
o
valor
375,
que
representa
a
parte
não
p
eriódica
seguida
do
p
eríodo
subtraím
os
a
parte
não
p
eriódica
3
e
no
denom
inador
colocam
os
dois
noves
que
referem
ao
núm
ero
de
algarism
os
do
p
eríodo
e
não
adicionam
os
zeros
p
ois
a
parte
p
eriódica
não
é
inteira.
b
)
3,23555...
=
3235−
323
900
=
2912
900
O
p
eríodo
é
o
valor
5
e
a
parte
não
p
eriódica
é
o
valor
323,
que
neste
caso
contém
um
núm
ero
inteiro
(3).
A
ssim
colocam
os
no
num
erador
o
valor
3235,que
representa
a
parte
não
p
eriódica
seguida
do
p
eríodo
subtraíndo
a
parte
não
p
eriódica
(323)
e
no
denom
inador
colocam
os
um
nove
que
refere
ao
núm
ero
de
algarism
os
do
p
eríodo
(5)
e
adicionam
os
som
ente
dois
zeros,
p
ois
a
parte
p
eriódica
é
form
ada
p
or
um
a
parte
inteira
e
outra
não
inteira,
a
parte
não
inteira
é
o
valor
23
com
dois
algarism
os
e
p
or
isso
tem
os
dois
zeros
no
denom
inador.
1
.4
N
ú
m
e
r
o
s
Ir
r
a
c
io
n
a
is
C
om
o
já
pudem
os
ver
os
racionais
são
aqueles
núm
eros
que
p
odem
ser
escritos
em
form
a
de
fração,
onde
o
num
erador
é
um
núm
ero
inteiro
e
o
denom
inador
tam
b
ém
é
um
núm
ero
inteiro
diferente
de
zero.
A
ssim
,
aqueles
núm
eros
que
não
conseguim
os
escrevê-los
em
form
a
de
fração
são
cham
ados
de
núm
eros
irracionais.
O
conjunto
dos
núm
eros
irracionais
é
form
ado
p
elos
núm
eros
decim
ais
não-exatos,
não
p
eriódicos
e
raízes
não-exatas.
T
am
b
ém
aparecem
neste
conjunto
algum
as
constantes
b
em
conhecidas
com
o
o
núm
ero
pi
e
o
núm
ero
de
E
uler
(e=
2,718).
2
0
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
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m
p
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p
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la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
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S
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/
2
0
1
2
1.5.
N
Ú
M
E
R
O
S
R
E
A
IS
1
.5
N
ú
m
e
r
o
s
R
e
a
is
Q
ualquer
núm
ero
racional
ou
irracional
é
cham
ado
de
núm
ero
real.
P
odem
os
dizer,
p
ortanto
que
núm
ero
real
é
todo
núm
ero
decim
al,
finito
ou
infinito.
D
esta
form
a,
todo
o
núm
ero
que
conhecem
os
é
um
núm
ero
real.
1
.6
P
o
t
e
n
c
ia
ç
ã
o
A
p
otên
cia
é
u
m
p
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b
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ad
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tos
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q
u
an
to
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te.
a
n
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︷
︸︸
︷
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···×
a,
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n
é
o
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en
te.
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x
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p
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:
2
5
=
5
fa
to
res
︷
︸︸
︷
2×
2×
2×
2×
2
=
32,
onde
2
é
a
base,
5
o
exp
oente
e
32
a
p
otência
(resultado
da
op
eração
p
otenciação).
1
.6
.1
A
l
g
u
m
a
s
P
a
r
t
ic
u
l
a
r
id
a
d
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s
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ex
p
o
en
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ím
p
ar:
con
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sin
al
d
a
b
ase
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b
olicam
en
te:
(−
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m
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a
m
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a
m
=
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m
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com
ex
p
o
en
te
p
ar:
resu
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o
p
ositivo
S
im
b
olicam
en
te:
(−
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m
=
a
m
e/ou
a
m
=
a
m
E
x
em
p
los:
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11
3
=
11×
11×
11
=
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b
)
3
2
=
3×
3
=
9
c)
(−
3)
2
=
(−
3)×
(−
3)
=
9
d
)
10
4
=
10×
10×
10×
10
=
10000
C
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p
y
rig
h
t
c©
P
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f.
P
a
u
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d
e
C
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p
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@
fa
cisa
.co
m.b
r
-
1
o
S
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2
0
1
2
2
1
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
e)
(−
10)
4
=
(−
10)×
(−
10)×
(−
10)×
(−
10)
=
10000
f)
4
3
=
4×
4×
4
=
64
g
)
(−
4)
3
=
(−
4)×
(−
4)×
(−
4)
=
−
64
h
)
7
3
=
7×
7×
7
=
343
i)
(−
7)
3
=
(−
7)×
(−
7)×
(−
7)
=
−
343
1
.6
.2
C
o
n
v
e
n
ç
õ
e
s
C
onsideram
os
2
1,
3
1,
4
1,
5
1,
...,2
0,
3
0,
4
0,
5
0,
...,
com
o
p
otências
e
convencionam
os:
2
1
=
2,
3
1
=
3,
4
1
=
4,
5
1
=
5,
...,2
0
=
1,
3
0
=
1,
4
0
=
1,
5
0
=
1,
...,
isto
é:
Q
u
alq
u
er
n
ú
m
ero
elevad
o
ao
ex
p
on
te
1
(u
m
)
é
igu
al
à
b
ase.
S
im
b
olicam
en
te:
a
1
=
a
E
x
em
p
los:
a)
5
1
=
5
b
)
8
1
=
8
c)
(−
3)
1
=
−
3
d
)
(−
7)
1
=
−
7
Q
u
alq
u
er
n
ú
m
ero,
d
iferen
te
d
e
0,
elevad
o
ao
ex
p
on
te
0
(zero)
é
igu
al
à
1(u
m
).
S
im
b
olicam
en
te:
a
0
=
1,
a6=
0
O
B
S
:
N
ão
ex
iste
0
0
E
x
em
p
los:
a)
5
0
=
1
b
)
8
0
=
1
c)
(−
3)
0
=
1
d
)
(−
7)
0
=
1
1
.6
.3
O
u
t
r
a
s
C
o
n
v
e
n
ç
õ
e
s
P
otên
cia
d
e
b
ase
0(zero)
e
ex
p
o
en
te
d
iferen
te
d
e
zero
é
igu
al
a
0.
S
im
b
olicam
en
te:
0
n
=
0,
n
6=
0
O
B
S
:
N
ão
ex
iste
0
0
2
2
C
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p
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rig
h
t
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P
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u
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e
C
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m
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p
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fa
cisa
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m
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1
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0
1
2
1.6.
P
O
T
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C
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Ç
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O
E
x
em
p
los:
a)
0
2
=
0
b
)
0
3
=
0
c)
0
4
=
0
d
)
0
5
=
0
U
m
a
p
otên
cia
d
e
b
ase
1
é
sem
p
re
1
S
im
b
olicam
en
te:
1
n
=
1
E
x
em
p
los:
a)
1
2
=
1
b
)
1
3
=
1
c)
1
4
=
1
d
)
1
5
=
1
Q
u
alq
u
er
p
otên
cia
d
e
10
é
igu
al
ao
algarism
o
1
segu
id
o
d
e
tan
tos
zeros
q
u
an
tas
forem
as
u
n
id
ad
es
d
o
ex
p
o
en
te.
S
im
b
olicam
en
te:
10
0
=
1,
10
1
=
10,
10
2
=
100,
10
3
=
1000,
...
E
x
em
p
los:
a)
10
0
=
1
b
)
10
1
=
10
c)
10
2
=
100
d
)
10
3
=
1000
e)
10
4
=
10000
f)
10
5
=
100000
g
)
10
6
=
1000000
h
)
10
7
=
10000000
i)
10
8
=
100000000
1
.6
.4
P
r
o
p
r
ie
d
a
d
e
s
d
a
P
o
t
e
n
c
ia
ç
ã
o
A
s
propriedades
seguintes
são
válidas
para
p
otências
com
base
p
ertencente
aos
núm
eros
reais
e
exp
oente
inteiro.
1.6.4.1
M
u
lt
ip
l
ic
a
ç
ã
o
d
e
P
o
t
ê
n
c
ia
s
d
e
M
e
s
m
a
B
a
s
e
B
asta
con
servar
a
b
ase
e
som
ar
os
ex
p
o
en
tes:
S
im
b
olicam
en
te:
a
m
·
a
n
=
a
m
+
n
E
x
em
p
los:
a)
10
4×
10
3
=
10
4
+
3
=
10
7
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
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u
la
d
e
C
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m
p
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s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
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S
em
/
2
0
1
2
2
3
C
A
P
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U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
b
)
a×
a
4×
a
2
=
a
1
+
4
+
2
=
a
7
c)
(−
7)
2×
(−
7)
=
(−
7)
2
+
1
=
(−
7)
3
d
)
(−
3)
2×
(−
3)
1×
(−
3)
0
=
(−
3)
2
+
1
+
0
=
(−
3)
3
=
−
27
1.6.4.2
D
iv
is
ã
o
d
e
P
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t
ê
n
c
ia
s
d
e
M
e
s
m
a
B
a
s
e
B
asta
con
servar
a
b
ase
e
su
b
trair
os
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p
o
en
tes:
S
im
b
olicam
en
te:
a
m
÷
a
n
=
a
m
−
n
E
x
em
p
los:
a)
2
5÷
2
3
=
2
5−
3
=
2
2
=
4
b
)
10
6÷
10
2
=
10
6−
2
=
10
4
=
10000
c)
(−
3)
6÷
(−
3)
3
=
(−
3)
6−
3
=
(−
3)
3
=
−
27
d
)
(−
7)
1
0÷
(−
7)
8
=
(−
7)
1
0−
8
=
(−
7)
2
=
49
1.6.4.3
P
o
t
ê
n
c
ia
d
e
P
o
t
ê
n
c
ia
s
d
e
M
e
s
m
a
B
a
s
e
B
asta
con
servar
a
b
ase
e
m
u
ltip
licar
os
ex
p
o
en
tes:
S
im
b
olicam
en
te:
(a
m
)
n
=
a
m
×
n
E
x
em
p
los:
a)
(2
2)
3
=
2
2×
3
=
2
6
=
64
b
)
(2 −
2)
(−
5
)
=
2
(−
2
)×
(−
5
)
=
2
1
0
=
1024
c)
(10
2)
3
=
10
2×
3
=
10
6
=
1000000
d
)
(3
3)
3
=
3
3×
3
=
3
9
=
19683
1.6.4.4
P
o
t
ê
n
c
ia
c
o
m
E
x
p
o
e
n
t
e
N
e
g
a
t
iv
o
T
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d
o
n
ú
m
ero
elevad
o
a
u
m
ex
p
o
en
te
n
egativo
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igu
al
a
u
m
a
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d
e
o
n
u
m
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or
é
sem
p
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a
u
n
id
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e
o
d
en
om
in
ad
or
é
o
m
esm
o
n
ú
m
ero
elevad
o
ao
m
esm
o
ex
p
o
en
te,
p
orém
com
sin
al
p
ositivo.
S
im
b
olicam
en
te:
a −
m
= (
1a )
m
,
a6=
0
2
4
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
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u
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d
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C
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m
p
o
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p
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a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
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/
2
0
1
2
1.7.
E
X
P
R
E
SSÕ
E
S
N
U
M
É
R
IC
A
S
E
x
em
p
los:
a)
3 −
2
=
13 2
=
19
b
)
(−
4) −
3
=
1
(−
4)
3
=
−
164
c)
5 −
3
=
15 3
=
1125
d
)
(−
2) −
6
=
1
(−
2)
6
=
164
T
o
d
a
fração
elevad
a
a
u
m
ex
p
o
en
te
n
egativo
é
igu
al
à
su
a
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in
versa
elevad
a
ao
ex
p
o
en
te
p
ositivo.
S
im
b
olicam
en
te: (
ab )
−
m
= (
ba )
m
,
a
,b6=
0
E
x
em
p
los:
a) (
25 )
−
2
= (
52 )
2
=
254
b
) (
23 )
−
1
= (
32 )
1
=
32
c) (
−
34 )
−
3
= (
−
43 )
3
=
−
6427
d
) (
−
58 )
−
2
= (
−
85 )
2
=
−
6425
1
.7
E
x
p
r
e
ssõ
e
s
N
u
m
é
r
ic
a
s
N
o
cotidiano,
m
uitas
vezes
usam
os
expressões
sem
p
erceb
er
que
as
m
esm
as
representam
expressões
num
éricas.
N
um
a
pap
elaria,quando
calculam
os
o
preço
de
um
caderno
som
ado
ao
preço
de
duas
canetas,
usam
os
expressões
com
o
1,90
+
2×
2,50,
onde
5,90
representa
o
preço
do
caderno
e
2,50
o
preço
de
cada
caneta.
E
x
p
ressão
n
u
m
érica
é
u
m
a
seq
ü
en
cia
d
e
op
eraçõ
es
fu
n
d
am
en
tais:
d
iv
isão,
m
u
ltip
licação,
su
b
tração
e
ad
ição,
q
u
e
p
o
d
em
ser
agru
p
ad
as
com
o
u
so
d
e
p
arên
teses,
colch
etes
e
ch
aves.
U
m
a
ex
p
ressão
é
d
ita
n
u
m
érica
q
u
an
d
o
p
ossu
i
ap
en
as
n
ú
m
eros
em
su
as
op
eraçõ
es.
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
2
5
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
P
ara
calcular
corretam
ente
qualquer
expressão
num
érica,
é
necessário
ob
edecer
algum
as
prioridades.
E
ntão,
devem
os
ter
em
m
ente
que
devem
os
fazer
os
cálculos
na
seguinte
ordem
:
1
o:
P
arênteses
(
);
2
o:
C
olchetes
[
];
3
o:
C
haves
{
};
4
o:
P
otência
e/ou
raiz,
na
ordem
em
que
aparecem
;
5
o:
M
ultiplicação
e/ou
divisão,
na
ordem
em
que
aparecem
;
6
o:
Som
a
e/ou
subtração,
na
ordem
em
que
aparecem
.
E
x
em
p
lo
1
:
2
+
{
5[3−
(5−
10)
+
1]+
4}−
3
D
e
acordo
com
a
ordem
apresentada,
devem
os
com
eçar
com
a
op
eração
que
se
encontra
dentro
dos
parênteses:
5−
10
=
−
5,
ficando
assim
a
expressão:
2
+
{
5[3−
(−
5)
+
1]+
4}−
3
C
om
o
tem
os
um
sinal
negativo
do
lado
de
fora
do
parênteses,
tem
os
de
inverter
o
sinal
de
dentro,
deixando
a
expressão
da
seguinte
form
a:
2
+
{
5[3
+
5
+
1]+
4}−
3
Seguindo
a
ordem
estab
elecida,
tem
os
de
resolver
as
op
erações
que
estão
dentro
dos
colchetes:
2
+
{
5[9]+
4}−
3
C
om
o
não
é
apresentado
nenhum
sinal
antes
do
colchete,
trata-se
de
um
a
m
ultiplicação,
5[9]
=
5×
9
=
45,
assim
:
2
+
{
45
+
4}−
3
A
próxim
a
op
eração
a
ser
feita
é
a
que
se
encontra
dentro
das
chaves:
2
+
{
49}−
3
C
om
o
o
sinal
do
lado
de
fora
das
chaves
é
p
ositivo,
conserva-se
o
sinal
de
dentro:
2
+
49−
3
A
gora,
resolve-se
prim
eiro
a
adição,
p
ois
esta
aparece
em
prim
eiro
lugar:
51−
3
e
p
or
últim
o
a
subtração,
dando
assim
o
resultado
da
expressão:
48
2
6
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.8.
R
A
Z
Õ
E
S
E
P
R
O
P
O
R
Ç
Õ
E
S
E
x
em
p
lo
2
: [(
12 )(
−
23 )
− (
−
43 )]
2÷ (
32 )
−
1
R
esolve-se
prim
eiro
a
m
ultiplicação
entre
parênteses
e
o
parênteses
que
se
encontra
ap
ós
o
sinal
de
divisão:
[(
−
26 )
− (
−
43 )]
2÷ (
23 )
Sim
plifica-se
a
fração
26
p
or
2,
restando
13 :
[(
−
13 )
− (
−
43 )]
2÷ (
23 )
R
etira-se
os
parênteses,
sinal
p
ositivo
m
antém
sinal
de
dentro
e
sinal
negativo
inverte-se
sinal
de
dentro:
[−
13
+
43 ]
2÷ (
23 )
R
esolve-sea
subtração
[
33 ]
2÷ (
23 )
Sim
plifica-se
a
fração
33 ,
chegando-se
ao
resultado
1:
[
1 ]
2÷ (
23 )
E
leva-se
o
1
ao
exp
oente
2
resultando
ao
próprio
1:
1÷
23
D
ivisão
com
fração,
m
antém
-se
a
prim
eira
e
m
ultiplica-se
p
ela
segunda
invertida:
11 ×
32
F
az-se
a
m
ultiplicação
direta,
num
erador
p
or
num
erador
e
denom
inador
p
or
denom
inador,
e
assim
chegam
os
ao
resultado
final:
32
1
.8
R
a
z
õ
e
s
e
P
r
o
p
o
r
ç
õ
e
s
1
.8
.1
R
a
z
õ
e
s
A
nalise
as
situações
seguintes:
S
itu
ação
1
:
R
icardo,
M
aria
C
láudia
e
N
ivaldo
colecionam
selos.
O
álbum
do
R
icardo
tem
240
selos,
o
de
M
aria
C
láudia
tem
120
e
o
de
N
ivaldo
tem
40.
E
stá
claro
que
R
icardo
p
ossui
m
ais
selos
que
M
aria
C
láudia
e
esta
m
ais
que
N
ivaldo.
O
núm
ero
de
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
2
7
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
selos
de
R
icardo
é
o
dobro
de
M
aria
C
láudia,
ou
seja,
o
quociente
entre
o
núm
ero
de
selos
dele
e
dela
é
2.
n
o¯
selos
d
e
R
ica
rd
o
n
o¯
selos
d
e
M
.
C
la´
u
d
ia
=
240
120
=
2
O
núm
ero
de
M
aria
C
láudia
é
o
triplo
do
de
N
ivaldo,
ou
seja,
o
quociente
entre
os
núm
eros
de
selos
dela
e
dele
é:
n
o¯
selos
d
e
M
.
C
la´
u
d
ia
n
o¯
selos
d
e
N
iv
a
ld
o
=
120
40
=
3
N
os
dois
casos
observam
os
que
o
quociente
indica
m
uito
b
em
quanto
um
a
coleção
é
m
aior
que
a
outra.
S
itu
ação
2
:
U
m
autom
óvel
A
,m
ovido
a
gasolina,consom
e
24
litros
de
com
bustível
para
ir
de
um
a
cidade
a
outra.
U
m
autom
óvel
B
,
m
ovido
a
álcool
gasta
36
litros
de
com
bustível
para
fazer
o
m
esm
o
p
ercurso.
É
evidente
que
B
gasta
m
ais
que
A
,
m
as
quanto?
O
quociente
entre
o
com
bustível
gasto
p
or
B
e
p
or
A
:
a´
lcool
d
e
B
g
a
solin
a
d
e
A
=
3624
=
1,5
O
quociente
indica
que
para
cada
litro
de
com
bustível
gasto
p
or
A
,
o
carro
B
gasta
1,5
litros
de
com
bustível.
O
C
arro
A
,em
relação
à
quantidade
de
com
bustível
gasto,
é
m
ais
econôm
ico
que
o
B
.
P
udem
os
notar
nas
duas
situações
anteriores
que
o
quociente
de
um
núm
ero
p
or
outro
serve
m
uito
b
em
para
com
pará-los.
N
a
M
atem
ática
o
quociente
de
dois
núm
eros
é
cham
ado
de
ra
zã
o.
R
azão
en
tre
d
u
as
gran
d
ezas
é
o
q
u
o
cien
te
in
d
icad
o
d
os
n
ú
m
eros
q
u
e
m
ed
em
essas
gran
d
ezas
n
u
m
a
m
esm
a
u
n
id
ad
e.
A
razão
de
dois
núm
eros
ou
a
razão
entre
dois
núm
eros
é
indicada
p
or
a
:
b
ou
ab
que
se
lê
“razão
de
a
para
b
"ou
“razão
entre
a
e
b
"ou
“a
está
para
b
".
O
prim
eiro
núm
ero
é
cham
ado
de
an
teced
en
te
e
o
segundo
de
con
seq
ü
en
te.
1.8.1.1
R
a
z
õ
e
s
E
q
u
iv
a
l
e
n
t
e
s
D
izem
os
que
as
razões,
12
,
24
,
36
,
510
,
...
2
8
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.8.
R
A
Z
Õ
E
S
E
P
R
O
P
O
R
Ç
Õ
E
S
são
equivalentes
e
se
indica:
12
∼
24
∼
36
∼
510
E
stas
razões
são
equivalentes
p
ois
indicam
a
m
esm
a
relação,
ou
seja,
ao
obterm
os
um
núm
ero
decim
al
(dividirm
os
num
erador
p
or
denom
inador)
encontrarem
os
o
m
esm
o
valor.
E
x
em
p
lo
:
C
alcular
a
razão
equivalente
a
25
cujo
conseqüente
seja
30.
Solução:
25
=
x30
P
erceb
e-se
que
o
denom
inador
foi
m
ultiplicado
p
or
6,
então
para
se
obter
a
razão
equivalente
a
25
basta
m
ultiplicar
o
num
erador
tam
b
ém
p
or
6:
25
=
2×
6
5×
6
=
1230
1
.8
.2
P
r
o
p
o
r
ç
õ
e
s
A
razão
de
12
para
4
e
124
,
que
é
igual
a
3.
A
razão
de
18
para
6
e
186
,
que
é
igual
a
3.
A
ssim
sendo,
as
razões
124
e
186
exprim
em
o
m
esm
o
quociente
3.
P
or
esse
m
otivo
dizem
os
que
as
razões
124
e
186
são
iguais,
ou
seja,
124
=
186
.
D
u
as
razõ
es
são
igu
ais
q
u
an
d
o
elas
ex
p
ressam
q
u
o
cien
tes
igu
ais.
U
m
a
igualdade
entre
duas
razões
é
cham
ada
um
a
prop
orção.
P
or
exem
plo,
as
razões
124
e
186
são
iguais.
A
igualdade
124
=
186
é
um
a
prop
orção
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
2
9
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
D
ad
o
q
u
atro
n
ú
m
eros
a,
b,
c
e
d,
to
d
os
d
iferen
tes
d
e
zero,
d
izem
os
q
u
e
form
am
n
essa
ord
em
u
m
a
p
ro
p
o
rç
ã
o
q
u
an
d
o
a
razão
ab
é
igu
al
à
razão
cd ,
ou
seja:
ab
=
cd
L
ê-se
“a
está
p
ara
b
assim
com
o
c
está
p
ara
d
”.
1.8.2.1
P
r
o
p
r
ie
d
a
d
e
F
u
n
d
a
m
e
n
t
a
l
d
a
s
P
r
o
p
o
r
ç
õ
e
s
T
om
em
os
p
or
exem
plo,
a
prop
orção
124
=
186
,
sab
em
os
que
para
reconhecer
a
validade
ou
não
de
um
a
prop
orção,
usam
os
a
propriedade
de
que
“nas
razões
iguais,
os
produtos
do
antecedente
de
um
a
p
elo
conseqüente
da
outra
são
iguais”,
ou,
“o
produto
das
m
ultiplicações
cruzadas
são
iguais”,
logo:
12
�� ❄
❄ ❄
❄ ❄
❄ ❄
❄ ❄
❄ ❄
18
⑧ ⑧ ⑧ ⑧ ⑧ ⑧ ⑧ ⑧ ⑧ ⑧ ⑧
4
6
12×
6
︸︷︷︸
e
x
tr
e
m
o
s
=
4×
18
︸ ︷︷︸
m
e
io
s
E
sta
propriedade,
que
serve
para
reconhecer
a
validade
ou
não
de
um
a
prop
orção,
é
cham
ada
de
p
ro
p
ried
a
d
e
fu
n
d
a
m
en
ta
l
e
p
ode
ser
assim
enunciada:
E
m
to
d
a
p
rop
orção
ab
=
cd
o
p
ro
d
u
to
d
os
ex
trem
os
(a×
d)
é
igu
al
ao
p
ro
d
u
to
d
os
m
eios
(b×
c),
ou
seja,
(a×
d
)
=
(b×
c).
1.8.2.2
P
r
o
p
r
ie
d
a
d
e
s
G
e
r
a
is
d
a
s
P
r
o
p
o
r
ç
õ
e
s
V
am
os
ver
nesta
seção
algum
as
propriedades
das
prop
orções
que
p
odem
ser
úteis
na
resolução
de
exercícios.
1
a
P
rop
ried
ad
e:
E
m
toda
prop
orção,
a
som
a
dos
dois
prim
eiros
term
os
está
para
o
prim
eiro
term
o
assim
com
o
a
som
a
dos
dois
últim
os
term
os
está
para
o
terceiro.
E
m
sím
b
olos:
3
0
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.8.
R
A
Z
Õ
E
S
E
P
R
O
P
O
R
Ç
Õ
E
S
se
ab
=
cd
,
então
a
+
b
a
=
c
+
d
c
E
x
em
p
lo
:
D
a
prop
orção
72
=
216
decorre
7
+
2
7
=
21
+
6
21
,
ou
seja,
97
=
2721
2
a
P
rop
ried
ad
e:
E
m
toda
prop
orção,
a
som
a
dos
dois
prim
eiros
term
os
está
para
o
segundo
term
o
assim
com
o
a
som
a
dos
dois
últim
os
term
os
está
para
o
quarto.
E
m
sím
b
olos:
se
ab
=
cd
,
então
a
+
b
b
=
c
+
d
d
E
x
em
p
lo
:
D
a
prop
orção
72
=
216
decorre
7
+
2
2
=
21
+
6
6
,
ou
seja,
92
=
276
3
a
P
rop
ried
ad
e:
E
m
toda
prop
orção,
a
diferença
dos
dois
prim
eiros
term
os
está
para
o
prim
eiro
term
o
assim
com
o
a
diferença
dos
dois
últim
os
term
os
está
para
o
terceiro.
E
m
sím
b
olos:
se
ab
=
cd
,
então
a−
b
a
=
c−
d
c
E
x
em
p
lo
:
D
a
prop
orção
72
=
216
decorre
7−
2
7
=
21−
6
21
,
ou
seja,
57
=
1521
4
a
P
rop
ried
ad
e:
E
m
toda
prop
orção,
a
diferença
dos
dois
prim
eiros
term
os
está
para
o
segundo
term
o
assim
com
o
a
diferença
dos
dois
últim
os
term
os
está
para
o
quarto.
E
m
sím
b
olos:
se
ab
=
cd
,
então
a−
b
b
=
c−
d
d
E
x
em
p
lo
:
D
a
prop
orção
72
=
216
decorre
7−
2
2
=
21−
6
6
,
ou
seja,
52
=
156
5
a
P
rop
ried
ad
e:
E
m
toda
prop
orção,
a
som
a
dos
antecedentes
está
para
a
som
a
dos
conseqüentes
assim
com
o
qualquer
antecedente
está
para
o
seu
conseqüente.
E
m
sím
b
olos:
se
ab
=
cd
,
então
a
+
c
b
+
d
=
ab
e
a
+
c
b
+
d
=
cd
E
x
em
p
lo
:
D
a
prop
orção
72
=
216
decorre
7
+
21
2
+
6
=
72
,
ou
seja,
288
=
72
6
a
P
rop
ried
ad
e:
E
m
toda
prop
orção,a
diferença
dos
antecedentes
está
para
a
diferença
dos
conseqüentes
assim
com
o
qualquerantecedente
está
para
o
seu
conseqüente.
E
m
sím
b
olos:
se
ab
=
cd
,
então
a−
c
b−
d
=
ab
e
a−
c
b−
d
=
cd
E
x
em
p
lo
:
D
a
prop
orção
72
=
216
decorre
7−
21
2−
6
=
72
,
ou
seja, −
14
−
4
=
72
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
3
1
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
1.8.2.3
N
ú
m
e
r
o
s
D
ir
e
t
a
m
e
n
t
e
P
r
o
p
o
r
c
io
n
a
is
O
bserve
os
núm
eros
da
sucessão,
2,6,10,18
O
bserve
agora
os
núm
eros
da
sucessão
1,3,5,9
V
ocê
notou
certam
ente
que
os
núm
eros
da
prim
eira
sucessão
são
exatam
ente
os
dobros
dos
núm
eros
da
segunda,
ou
seja,
o
quociente
de
cada
term
o
da
prim
eira
sucessão
p
elo
tem
o
corresp
ondente
da
segunda
é
sem
pre
o
m
esm
o
(é
2).
21
=
63
=
105
=
189
P
or
esse
m
otivo
dizem
os
que
os
núm
eros
da
sucessão
2,
6,
10,
18
são
d
ireta
m
en
te
p
ro
po
rcio
n
a
is
aos
núm
eros
da
sucessão
1,
3,
5,
9
e
que
o
fator
de
prop
orcionalidade
é
2.
O
s
n
ú
m
eros
d
a
su
cessão
a
,b,c,d
,e,...
são
d
ire
ta
m
e
n
te
p
ro
p
o
rc
io
n
a
is
aos
n
ú
m
eros
d
a
su
cessão
a ′,b ′,c ′,d ′,e ′,...
q
u
an
d
o
as
razõ
es
(os
q
u
o
cien
tes)
d
e
cad
a
term
o
d
a
p
rim
eira
su
cessão
p
elo
term
o
corresp
on
d
en
te
d
a
segu
n
d
a
su
cessão
são
to
d
os
igu
ais:
aa ′
=
bb ′
=
cc ′
=
dd ′
=
ee ′
=
...
O
valor
d
esses
q
u
o
cien
tes
é
ch
am
ad
o
fa
to
r
d
e
p
ro
p
o
rc
io
n
a
lid
a
d
e.
1.8.2.4
N
ú
m
e
r
o
s
In
v
e
r
s
a
m
e
n
t
e
P
r
o
p
o
r
c
io
n
a
is
O
bserve
os
núm
eros
da
sucessão,
2,3,4,6
3
2
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.8.
R
A
Z
Õ
E
S
E
P
R
O
P
O
R
Ç
Õ
E
S
O
bserve
agora
os
núm
eros
da
sucessão
12,8,6,4
V
ocê
notou
certam
ente
que
o
produto
de
cada
term
o
da
prim
eira
sucessão
p
elo
term
o
corresp
ondente
da
segunda
é
sem
pre
o
m
esm
o
(é
24).
2×
12
=
3×
8
=
4×
6
=
6×
4
N
ote
ainda
que
o
quociente
de
cada
term
o
da
prim
eira
sucessão
p
elo
inverso
do
term
o
da
segunda
é
sem
pre
o
m
esm
o:
2112
=
318
=
416
=
614
P
or
esse
m
otivo
dizem
os
que
os
núm
eros
da
sucessão
2,
3,
4,
6
são
in
versa
m
en
te
p
ro
po
rcio
n
a
is
aos
núm
eros
da
sucessão
12,
8,
6,
4
e
que
o
fator
de
prop
orcionalidade
é
24.
O
s
n
ú
m
eros
d
a
su
cessão
a
,b,c,d
,e,...
são
in
v
e
rsa
m
e
n
te
p
ro
p
o
rc
io
n
a
is
aos
n
ú
m
eros
d
a
su
cessão
a ′,b ′,c ′,d ′,e ′,...
q
u
an
d
o
os
p
ro
d
u
tos
d
e
cad
a
term
o
d
a
p
rim
eira
su
cessão
p
elo
term
o
corresp
on
d
en
te
d
a
segu
n
d
a
su
cessão
são
to
d
os
igu
ais:
a×
a ′
=
b×
b ′
=
c×
c ′
=
d×
d ′
=
e×
e ′
=
...
O
valor
d
esses
p
ro
d
u
tos
é
ch
am
ad
o
fa
to
r
d
e
p
ro
p
o
rc
io
n
a
lid
a
d
e.
N
ote
q
u
e
isto
eq
u
ivale
a
afi
rm
ar:
as
razõ
es
(q
u
o
cien
tes)
d
e
cad
a
term
o
d
a
p
rim
eira
su
cessão
p
elo
in
verso
d
o
term
o
corresp
on
d
en
te
d
a
segu
n
d
a
su
cessão
são
to
d
as
igu
ais:
a1a ′
=
b1b ′
=
c1c ′
=
d1d ′
=
e1e ′
=
...
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
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m
p
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s
O
liv
eira
,
p
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a
u
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@
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cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
3
3
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
1
.8
.3
G
r
a
n
d
e
z
a
s
P
r
o
p
o
r
c
io
n
a
is
1.8.3.1
G
r
a
n
d
e
z
a
s
D
ir
e
t
a
m
e
n
t
e
P
r
o
p
o
r
c
io
n
a
is
P
ense
na
seguinte
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R
enata
está
na
padaria
do
“seu
Joaquim
”
e
pretende
com
prar
uns
biscoitos
deliciosos
que
custam
R
$
2,00
cada.
Q
uanto
R
enata
vai
gastar?
B
em
,
tudo
vaidep
ender
do
núm
ero
de
biscoitos
com
prados.
A
tab
ela
abaixo
m
ostra
com
o
p
odem
variar
o
núm
ero
de
biscoitos
e
o
preço.
n
o¯
de
biscoitos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
preço(R
$)
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
V
ocê
observa
que
o
núm
ero
de
biscoitos
que
R
enata
p
ode
com
prar
é
va
riá
vel
e
que
R
enata
p
ode
gastar
um
a
quantia
va
riá
vel.
E
ntretanto,
você
observa
que
a
quantia
gasta
é
sem
pre
igual
ao
núm
ero
de
biscoitos
com
prados
vezes
2.
A
razão
entre
o
núm
ero
de
biscoitos
e
seu
preço
é
sem
pre
a
m
esm
a:
12
=
24
=
36
=
48
=
···
=
1224
P
or
esse
m
otivo
dizem
os
que
a
gra
n
d
eza
núm
ero
de
biscoitos
e
a
gra
n
d
eza
preço
dos
biscoitos
são
gra
n
d
eza
s
d
ireta
m
en
te
p
ro
po
rcio
n
a
is.
D
u
as
gran
d
ezas
variáveis
são
ch
am
ad
as
d
e
g
ra
n
d
e
za
s
d
ire
ta
m
e
n
te
p
ro
p
o
rc
io
n
a
is
q
u
an
d
o
a
razão
en
tre
os
valores
d
a
p
rim
eira
gran
d
eza
e
os
valores
corresp
on
d
en
tes
d
a
segu
n
d
a
é
sem
p
re
a
m
esm
a.
1.8.3.2
G
r
a
n
d
e
z
a
s
In
v
e
r
s
a
m
e
n
t
e
P
r
o
p
o
r
c
io
n
a
is
P
ense
agora
na
seguinte
situação:
R
enata
com
prou
120
biscoitos
na
padaria
do
“seu
Joaquim
”,
levou
para
casa
e
distribuiu
para
os
irm
ãos,
dando
a
m
esm
a
quantidade
para
todos.
Q
uantos
biscoitos
cada
um
ganhou?
A
qui
tam
b
ém
a
resp
osta
vai
dep
ender
do
núm
ero
de
irm
ãos
de
R
enata.
A
tab
ela
abaixo
m
ostra
com
o
varia
o
núm
ero
de
biscoitos
dep
endendo
do
núm
ero
de
irm
ãos.
3
4
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
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s
O
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eira
,
p
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a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
1.9.
R
E
G
R
A
D
E
T
R
Ê
S
n
o¯
de
irm
ãos
1
2
3
4
5
6
n
o¯
de
biscoitos
120
60
40
30
24
20
V
ocê
observa
que
o
núm
ero
de
biscoitos
dados
a
cada
irm
ão
é
va
riá
vel
e
que
o
núm
ero
de
irm
ãos
que
R
enata
p
ode
ter
tam
b
ém
é
va
riá
vel.
E
ntretanto,
você
observa
que
o
núm
ero
de
irm
ãos
vezes
o
núm
ero
de
biscoitos
dados
a
cada
um
é
sem
pre
120:
1×
120
=
2×
60
=
3×
40
=
4×
30
=
5×
24
=
6×
20
P
or
esse
m
otivo
dizem
os
que
a
gra
n
d
eza
núm
ero
de
irm
ãos
e
a
gra
n
d
eza
núm
ero
de
biscoitos
são
gra
n
d
eza
s
in
versa
m
en
te
p
ro
po
rcio
n
a
is.
D
u
as
gran
d
ezas
variáveis
são
ch
am
ad
as
d
e
g
ra
n
d
e
za
s
in
v
e
rsa
m
e
n
te
p
ro
p
o
rc
io
n
a
is
q
u
an
d
o
a
p
ro
d
u
to
en
tre
os
valores
d
a
p
rim
eira
gran
d
eza
e
os
valores
corresp
on
d
en
tes
d
a
segu
n
d
a
é
sem
p
re
a
m
esm
o.
1
.9
R
e
g
r
a
d
e
T
r
ê
s
M
uitas
vezes
estam
os
diante
de
problem
as
que
envolvem
grandezas
diretam
ente
ou
inversam
ente
prop
orcionais.
P
ara
sua
resolução
é
m
uito
im
p
ortante
conhecer
a
regra
prática
cham
ada
regra
d
e
três.
1
.9
.1
R
e
g
r
a
d
e
T
r
ê
s
S
im
p
l
e
s
É
um
a
regra
prática
que
nos
p
erm
ite
com
parar
duas
grandezas
prop
orcionais,
A
e
B
,
relacionando
dois
valores
de
A
e
dois
valores
de
B
.E
ssas
grandezas
form
am
um
a
prop
orção
em
que
se
conhecem
três
term
os
e
o
quarto
é
o
procurado.
A
regra
de
três
sim
ples
consiste
em
m
ontarm
os
um
a
tab
ela,
colocando
cada
coluna,
ordenadam
ente,
os
valores
da
m
esm
a
grandeza
e,
daí,
obterm
os
um
a
equação.
E
ssa
equação
terá
“a
m
esm
a
form
a”
da
tab
ela
quando
as
grandezas
forem
diretam
ente
prop
orcionais.
N
o
caso
de
grandezas
inversam
ente
prop
orcionais,
a
“m
ontagem
”
da
equação
será
feita
invertendo-se
a
razão
de
um
a
das
grandezas.
C
o
p
y
rig
h
t
c©
P
ro
f.
P
a
u
la
d
e
C
a
m
p
o
s
O
liv
eira
,
p
ro
fp
a
u
la
@
fa
cisa
.co
m
.b
r
-
1
o
S
em
/
2
0
1
2
3
5
C
A
P
ÍT
U
L
O
1.
R
E
V
ISÃ
O
E
x
em
p
lo
1
:
C
inco
m
etros
de
um
tecido
custam
R
$
8,00.
Q
uanto
custam
nove
m
etros
desse
m
esm
o
tecido?
com
prim
ento(m
)
preço(R
$)
59 y
8x y
A
s
grandezas
consideradas
são
diretam
ente
prop
orcionais
(aum
entando-se
o
com
prim
ento,
aum
enta-se
tam