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H. Osciladores Acoplados Para compreender o mecanismo de fenomenos de ondas, é interessante começar com um sistema de osciladores acoplados. 1. Caso n = 2, Exemplos Consideramos 2 massas ligadas pelas molas no meio de duas paredes fixas, como ilustrado abaixo.Consideramos o movimento das massas e molas é limitado numa reta (1 dimensional), e por simplicidade, assumimos que as constante das molas são iguais, κ e todas tem o comprimento natural, l0. Aqui, desprezamos o efeito de qualquer dissipação. M M L Escolhendo a origem de coordenadas na posição da parede esquerda, podemos escrever as equacões de movimento para as posições de massas no instante t, x1 (t) e x2 (t) . Temos M d2x1 dt2 = −κ (x1 − l0) + κ (x2 − x1 − l0) , M d2x2 dt2 = −κ (x2 − x1 − l0) + κ (L− x2 − l0) , A melhor forma de ver a estrutura deste sistema das equações é utilizar a notação vetrial. Introduzindo o vetor x (t) = ⎛ ⎝ x1 x2 ⎞ ⎠ , podemos escrever a equação acima como M d2 dt2 ⎛ ⎝ x1 x2 ⎞ ⎠ = ⎛ ⎝ −2κ κ κ −2κ ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ x1 x2 ⎞ ⎠+ ⎛ ⎝ 0 κL ⎞ ⎠ (104) 42 Introduzindo a constante, ω0 = r κ M , podemos re-escrever d2x dt2 = −ω20 ³ Cx−b ´ , onde C = ⎛ ⎝ 2 −1 −1 2 ⎞ ⎠ , b = ⎛ ⎝ 0 L ⎞ ⎠ . Podemos escrever ainda d2x dt2 = −ω20C ³ x− C−1b ´ (105) onde C−1 é a matriz inversa de C, e fácil de calcular como: C−1 = 1 3 ⎛ ⎝ 2 1 1 2 ⎞ ⎠ Exercício: Obtenha as coordenadas de ponto de equilibrio, x01 e x 0 2 a partir da Eq.(105) e discuta a adequacidade da resposta. Vamos introduzir uma nova variável (vetor) q por q (t) = x (t)− xeq, onde xeq = C −1b = ⎛ ⎝ x 0 1 x02 ⎞ ⎠ é o vetor correspondente a posição de equilíbrio. O vetor q satisfaz a equação diferencial, d2q dt2 = −ω20C q, (106) o que tem formalmente a mesma forma da equação de oscilador harmônico. Só que, agora o coeficiente não é um número, mas uma matriz. Podemos utilizar o método utilizado para resolver Eq.(37). Vamos introduzir uma nova transformação de variável por ξ = Sq 43 onde S é uma matriz constante 2× 2 não singular. Em termos de ξ, Eq.(106) se torna d2ξ dt2 = −ω20 SCS−1 ξ, (107) na forma análoga no caso da Eq.(37). Agora, podemos escolher a matriz S tal que SCS−1 = D, onde D é a matriz diagonal, D = ⎛ ⎝ λ1 0 0 λ2 ⎞ ⎠ . Os valores λ´s são autovalores da matriz C e obtidos pela euqação de autovalor, det ¯¯¯ C − λb1¯¯¯ = 0. Como vimos, podemos obter a matriz S, atravéz de resolver a equação de autovetor para cada autovalores, Cu1 = λ1u1, e Cu2 = λ2u2. Exercício: Demonstre que para uma matriz C real e simétrica, os autovalores são reais. Exercício: Demonstre que para uma matriz C real e simétrica, os autovetores são ortogonais para autovalores distintos. Podemos sempre normalizar os autovetores e, portanto, sem perder generalidade, con- sideramos que os autovetores são normalizados. Para uma matriz C real e simétrica, os autovetores formam uma base ortonormal, ou seja, para a matriz n× n, temos {ui, i = 1, .., n} e (ui, uj) = δij A matriz S que diagonaliza a matriz C é construida como S−1 = (u1 u2) = ⎛ ⎝ u11 u21 u12 u22 ⎞ ⎠ (108) 44 no caso n = 2, onde u1 = ⎛ ⎝ u11 u12 ⎞ ⎠ , u2 = ⎛ ⎝ u21 u22 ⎞ ⎠ . Exercício: Demonstre de fato que para a matriz C real e simétrica, SCS−1 = ⎛ ⎝ λ1 0 0 λ2 ⎞ ⎠ para S dada pela Eq.(108). Exercício: Demonstre que para a matriz C real e simétrica, S é ortogonal, STS = 1, ou seja ST = S−1 Voltando a Eq.(107), temos d2ξ dt2 = −ω20 ⎛ ⎝ λ1 0 0 λ2 ⎞ ⎠ ξ, Explicitando os componentes, temos d2ξ1 dt2 = −ω20λ1ξ1, d2ξ2 dt2 = −ω20λ2ξ2, Assim, vemos que, se λ1 e λ2 são positivos, as variáveis, ξ1 e ξ2 são osciladores harmõnicos independentes, cujas frequências são dadas por √ λ1ω0 e √ λ2ω0, respectivamente. ξ1 (t) = A1 sin ³p λ1ω0t+ δ1 ´ , ξ2 (t) = A2 sin ³p λ2ω0t+ δ2 ´ , (109) onde A1, A2, δ1 e δ2 são determinados pela condição inicial. Exercício: Para a matriz, C = ⎛ ⎝ 2 −1 −1 2 ⎞ ⎠ obtenha autovalores e autovetores e construa a matriz S. 45 x1 x2 x3 x0 É interessante verificar o significado físico do resulado dos movimentos da Eq.(109). Para isto, devemos expressar ξ em termos de variáveis originais, q. Temos ξ1 = 1√ 2 (q1 + q2) , ξ2 = 1√ 2 (q2 − q1) . Da Eq.(109), o ponto médio das duas massas, xM = 1 2 (x1 + x2) e a coordenada relativa, ∆x = x2 − x1 oscilam na forma independente (os coeficientes 1/ √ 2 podem ser absorvidos nos constantes A1 e A2. Ou seja, se dê a condição inicial de tal forma que as velocidades iniciais para x1 e x2 iguais nas direções opostas nas posição de equilibrio, as duas molas oscilam sem deslocar o centro da massa. Por outro lado, se dê a mesma velocidade inicial na mesma direção, as duas molas oscilam mantendo sua distância constante, como se fosse a mola no meio uma barra rígida. 2. Caso n = 4 com condição de contorno Vamos considerar a situação com 4 massas conectadas com as molas iguais, mas sem presença de paredes. Podemos escrever as equações de movimento para as posições de molas como M d2x0 dt2 = −κ (x0 − x1 + l0) , (110) M d2x1 dt2 = +κ (x0 − x1 + l0)− κ (x1 − x2 + l0) , (111) M d2x2 dt2 = +κ (x1 − x2 + l0)− κ (x2 − x3 + l0) , (112) M d2x3 dt2 = +κ (x3 − x2 + l0) . (113) 46 Naturalmente, substituindo x0 = 0, e x3 = L, e despensando as Eqs.(110) e (113), recu- peramos as mesmas equações do caso de 2 massas com os paredes fixos. Escrevemos esse sistema na forma matricial como M d2 dt2 ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝ x0 x1 x2 x3 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠ = κ ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝ −1 1 0 0 1 −2 1 0 0 1 −2 1 0 0 1 −1 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝ x0 x1 x2 x3 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠ + κl0 ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝ −1 0 0 −1 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠ Naturalmente, a equação acima é equivalente a Eq.(104), se colocamos x0 = 0 e x4 = L, descartando as primeras e últimas equações. Isto é, M d2 dt2 ⎛ ⎝ x1 x2 ⎞ ⎠ = κ ⎛ ⎝ 1 −2 1 0 0 1 −2 1 ⎞ ⎠ ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 0 x1 x2 L ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠ Note que, nesta forma, as informações dos pontos extremos, x0 = 0 e x3 = L está embutido no vetor do lado direito, e desaparece o vetor inhomogêneo. Por outro lado, a matriz não fica retangular (não quadratica) e, portanto, não há matriz inversa no sentido usual nem autovetores e autovalores. Mas podemos considerar o problema de autovalores, só para a parte de subespaço de dimenão 2 no espaço vetorial de dimensão 4 formado os componentes dos extremos. Ou seja, ⎛ ⎝ 1 −2 1 0 0 1 −2 1 ⎞ ⎠ ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 0 x1 x2 L ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠ = λ ⎛ ⎝ x1 x2 ⎞ ⎠ Em termos de variáveis q (t) = x (t)− xeq, a equação acima fica na forma, ⎛ ⎝ 1 −2 1 0 0 1 −2 1 ⎞ ⎠ ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 0 q1 q2 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠ = λ ⎛ ⎝ q1 q2 ⎞ ⎠ (114) 47 Voltaremos nesta forma de problema de equação de autovalores para a matriz não quadratica, quando tratamos o meio contínuo. 3. n Osciladores linearmente acoplados A generalização da Eq.(104) para n osciladores acoplados no meio de dois paredes é immediata. Temos M d2 dt2 ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ x1 x2 x3 ... xn ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ = −κ ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 2 −1 0 · · · 0 −1 2 −1 0 ... 0 −1 2 . . . 0 ... 0 . . . . . . −1 0 · · · 0 −1 2 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ x1 x2 x3 ... xn ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ + κ ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 0 0 ... 0 L ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ Em termos de variáveis q (t) = x (t)− xeq, temos M d2 dt2 ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ q1 q2 q3 ... qn ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ = −κ ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 2 −1 0 · · · 0 −1 2 −1 0 ... 0 −1 2 . . . 0 ... 0 . . . . . . −1 0 · · · 0 −1 2 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ q1 q2 q3 ... qn ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ou, na notação vetorial, d2q dt2 = −ω20C q, (115) onde C é a matriz n× n, C = ω20 ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 2 −1 0 · · · 0 −1 2 −1 . . . ... 0 −1 . . . . . . 0 ... . . . . . . 2 −1 0 · · · 0 −1 2 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ com ω20 = k/M . Explicitamente em termos de componentes, as equação de movimento para qi fica d2qi dt2 = −ω20 (qi+1 − 2qi + qi−1) , i = 1, ..., n, (116) 48 onde convencionamos que q0 = qn+1 = 0. Para obter soluções desta equação, podemos aplicar o mesmo método que utilizado no caso de n = 2. Ou seja, introduzindo uma nova variável pela uma transformação linear, ξ = Sq onde S é uma matriz constanten× n não singular. Em termos de ξ, Eq.(115) se torna d2ξ dt2 = −ω20 SCS−1 ξ, (117) e escolher S para diagonalizar a matriz S, SCS−1 = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ λ1 0 0 · · · 0 0 λ2 0 ... 0 0 λ3 0 ... . . . 0 0 · · · 0 λn ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ Uma outra forma, completamente equivalente, mas mais direto é que assumir existência de solução tipo q (t) = ζ eiωt, (118) onde u é um vetor constante, λ é um incognito. Substituindo Eq.(115), temos −ω2 ζ = −ω20C ζ, (119) ou seja, o vetor ζ é um autovetor da matriz C com autovalor ω2/ω20. O valor de ω é chamado autofrequência. Os autofrequência ω tem que satisfazer a equação, det ¯¯ ω2 1ˆ− ω20C ¯¯ = 0, (120) pois, se não, ζ ficaria identicamente nulo, e não existe oscilação da forma Eq.(118). As Eqs.(118) e (119) mostram que existem os modos de oscilações que possuem uma única frequência bem definida. Esses modos são chamados os modos normais do sistema e ocorrem quando ζ é proporcional a um dos autovetor da matriz C. Cada modo normal oscila com frequência bem definida, dada pelo autovalor da matriz C. 49 Exercício: Para a matriz n× n, C = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 2 −1 0 · · · 0 −1 2 −1 0 ... 0 −1 2 . . . 0 ... 0 . . . . . . −1 0 · · · 0 −1 2 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ , denotamos a determinante de C como Dn. É facil de verificar que Dn satisfaz uma fórmula de recorrência, que relacione Dn com Dn−1 e Dn−2. Obtenha essa fórmula de recorrência, e a partir dessa fórmula de recorrência, obtenha Dn como função de n. Exercício: Para matriz acima, obtenha a última coluna da matriz inversa A−1 e calcule xeq e confere adequacidade. A matriz C é uma matriz simétrica e tridiagonal. Isto é, todos os elementos de matriz são nulos, exceto os dois lados da linha diagonal. Nosso caso, a matriz C tem, além de tridiagonal e simétrica, todos os elementos diagonais são iguais, e os dois fora de diagonal são iguais. Em geral, uma matriz desta forma pode ser diagonalizada analiticamente como segue. Seja A = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ a b 0 · · · 0 b a b . . . ... 0 b . . . . . . 0 ... . . . . . . a b 0 · · · 0 b a ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ uma matriz n× n. Queremos resolver o problema de autovalor, Aζ = λζ. (121) Em termos de componentes, temos bζk−1 + aζk + bζk+1 = λζk, k = 1, ..., n (122) onde convencionamos que ζ0 = ζn+1 = 0. (123) A equação acima tem forma, ζk−1 + ζk+1 ∝ ζk. 50 A equação de diferença Eq.(122) pode ser resolvida em termos de ansatz, ζk = sin (γk) , (124) onde γ é um parâmetro a ser determinado. Isto porque, sabemos que sin (α− β) = sinα cosβ − cosα sinβ, sin (α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ, e portanto, sin (α− β) + sin (α+ β) ∝ sinα. Substituindo este ansatz (124) na Eq.(122), temos sin (γ (k − 1)) + sin (γ (k + 1)) = µ sin (γk) , onde µ = (λ− a) /b. Lembramos que λ é a única incognita que queremos determinar. Utilizando a formula de adição para dois senos, 2 sin (γk) cos γ = µ sin (γk) , Esta equação é satisfeita para todo k = 1, .., n, se e só se 2 cos γ = µ = λ− a b , (125) que determinará o valor do parâmetro γ como λ = 2b cos γ + a. Note que a condição Eq.(123) para k = 0 é satisfeita automaticamente pela ansatz (124) mas para satisfazer a condição para k = n+ 1 ζn+1 = 0, devemos ter γ(n+ 1) = mπ, (126) onde m é um número inteiro. Em outras palavras, existem alguns valores possíveis de γ para os quais a Eq.(124) é a solução da Eq.(121), dependendo do valor do inteiro m. Vamos denotar o valor de γ corespondente ao valor m por γm. Para um dado m 6= 0, temos γm = π n+ 1 m, (127) 51 e consequentemente devemos ter µ→ µm = 2 cos π n+ 1 m. (128) Esta equação impor uma condição para o valor de λ pois µ = (λ− a) /b Assim, para um dado m, o autovalor λ é determinado por λm = a+ 2b cos π n+ 1 m. (129) Note que existem n diferentes valores de λm para m = 1, ..., n. Aplicando o resultado acima para nosso problema original, temos a = 2, b = −1, e, portanto, os autovalores são λm = 2 (1− cos γm) (130) = ³ 2 sin γm 2 ´2 , m = 1, ..., n, (131) onde utlizamos a fórmula cos 2θ = 1− 2 sin2 θ. Vemos que todos os autovalores são reais e positivos. O autovetor correspondente para λm com dado m é ζm = 1√ Zm ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ sin (γm) sin (2γm) ... sin (kγm) ... sin (nγm) ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ . (132) onde Zm é a constante. Se queremos que o vetor ζm seja normalizado, então, podemos 52 determinar-lo por Zm = ζTm · ζm = nX k=1 sin2 (kγm) = nX k=1 1− cos (2γmk) 2 = n 2 − 1 2 cos (πm) sin nn+1πm sin γm = n+ 1 2 , (133) onde utilzamos a fórmula, nX k=1 cosxk = cos µ n+ 1 2 x ¶ sin ³n 2 x ´ / sin ³x 2 ´ (134) para x arbitrário. Exercício: Prove a Eq.(134) (Dica: use a representação complexa e série geométrica). Exercício: Também prove nX k=1 sinxk = sin µ n+ 1 2 x ¶ sin ³n 2 x ´ / sin ³x 2 ´ . (135) Exercício: Complete os cálculos da Eq.(133). Com ζ 0ms normalizados, podemos provar que ζTm · ζl = δml, (136) ou seja, o conjunto de vetores, Eq.(132), m = 1, ..n, forma uma base ortonormal. Exercício: Prove a Eq.(136) diretamente fazendo o produto escalar. Demostre também que a Eq.(136) é uma consequência esperada pelo argumento mais geral. Em resumo, para um sistema de n massas ligadas pelas molas iguais no meio de dois paredes, existem certas situações em que as molas vibram de uma forma coerente. Estes modos de oscilações são os modos normais e são escritas como qm (t) = Am sin (ωmt+ δm) ζm, 53 onde Am, δm são constantes arbitrários. Para visualizar a situação, vamos graficar os componentes do vetor ζm de modos normais em termos de posições de equilíbrios das molas. Como vimos, a posição de equilíbrio de i− esma massa é dada por x¯i = L n+ 1 i, onde i = 1, ..., n. Podemos considerar os componentes do autovetor ζm como uma função de x¯i. Na figura abaixo, demostramos os componentes dos vetores ζm como função de ponto de equilíbrio xi = i L/ (n+ 1) , i = 1, ..n, para n = 100. Neste grafico, uma curva conectada corresponde um vetor ζm para um valor de m indi- dado. Aqui, só demonstrados os casos de m = 1, 2, 3 e 10. Existem no total de 100 curvas como estas para n = 100. Como vimos, os n vetores, n ζm,m = 1, .., n o (137) formam uma base ortonormal no espaço de vetores de dimensão n. Isto significa que, para um vetor arbitrário q(t) dependente no tempo, podemos escrever esse vetor em termos de uma combinação linear destes vetores base, q (t) = nX m=1 ηmζm, (138) 54 onde η0ks são as coeficientes dependentes no tempo, ηm = ηm(t), (139) pois a base Eq.(137) é constante no tempo. A componente do vetor q, qk (t), fica qk (t) = nX m=1 ηm (t) 1√ Zm sin (χmk) = r 2 n+ 1 nX m=1 ηm (t) sin µ πmk n+ 1 ¶ . (140) A Eq.(138) pode ser vista como a mudança de variáveis de {ζk} para {ηm}. Se q(t) satisfaz a equa’c~ao de movimento, Eq.(115), podemos mostrar que os coeficientes ηm (t) tem que satisfazer a equação, d2ηm (t) dt2 = −ω2mηm (t) . (141) Exercício: Prove a Eq.(141), usando Eqs.(115) e (140), com as propriedades da basen ζm,m = 1, .., n o Assim, temos a solução para ηm por ηm = Am sinωmt+Bm cosωmt, com ωm = 2ω0 sin µ π 2 m n+ 1 ¶ . (142) Desta forma, vemos que o sistema de n massas ligadas pelas molas iguais, com a condição de contorno, Eq.(??) tem os modos normais de vibrações com frequências dadas pela Eq.(142). Em geral, a solução da equação de movimento fica escrita pela combinação linear das soluções correspondente a modos mormais, nX m=1 [Am sin (ωmt) +Bm cos (ωmt)] ζm, (143) onde as coeficientes Am e Bm são determinadas pela condição inicial do sistema. 55
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