Espectro do Hidrogênio e Teoria Quântica

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Aula 4 
 
 
 
Espectro do hidrogênio 
 
 
 
 
Já vimos que o espectro do hidrogênio apresentava 
regularidades não compreendidas até a formulação da 
mecânica quântica. 
 
 
 
 
 
Comportamento semelhante era observado para todos os 
demais elementos químicos: 
 
 
 
 
 
Modelo matemático 
 
Para tratar matematicamente o problema do átomo de 
hidrogênio o modelo usado é o de uma partícula pesada, 
fixa no centro (o próton) gerando um campo elétrico sentido 
por uma partícula leve (o elétron). 
 
 
 
 
Apesar das simplificações adotadas, tal modelo permite o 
cálculo exato de diversas propriedades, com precisão 
excelente quando comparadas às medidas experimentais 
para este elemento. Este é um dos resultados mais 
notáveis da teoria quântica. 
 
 
 
Equação 
 
Para calcular as possíveis medidas para a energia do 
elétron, e os estados associados a estas energias, deve ser 
resolvida a equação: 
 
H v = E v 
 
Onde E representa a energia do elétron, v o estado 
associado a esta energia e H operador associado à energia 
no contexto da teoria quântica. 
 
Para o sistema em questão, o estado v será dado por uma 
função de ℜ3, Ψ(r), normalmente em coordenadas 
esféricas r, devido à simetria do problema. 
 
 
 
 
 
O operador H irá atuar sobre estas funções. 
 
 
 
Ondas estacionárias 
 
Um paralelo útil pode ser feito com a equação da corda e 
do tambor. A equação geral que descreve as ondas é 
 
 
com u(x,t) sendo o deslocamento em uma dado posição x 
do elemento em estudo no tempo t. 
 
Para uma corda unidimensional fixa nas bordas (violão,por 
exemplo) cada função é caracterizada por um número 
inteiro. No caso de ondas em uma superfície, um tambor, 
por exemplo, serão precisos dois números para 
caracterizar cada modo de vibração. 
 
 
 
 
 
Níveis de energia 
 
A solução da equação de autovalores para o átomo de 
hidrogênio dá os valores de energia: 
 
 
 
Estes valores, obtidos a partir de cálculo teórico puro, 
acrescido de uns poucos dados como massa, carga 
corresponde exatamente ao espectro experimental. Mais 
ainda, estudos experimentais mais refinados confirmam 
previsões de pequenas correções à teoria a partir de 
efeitos secundários no sistema. 
 
 
 
 
 
Números quânticos 
 
Assim como as soluções para a equação da corda estão 
parametrizadas por números inteiros, as soluções para a 
equação do hidrogênio (e todos os outros elementos) 
também são parametrizadas por números inteiros. Estes 
são os famosos “números quânticos”. 
 
No caso dos átomos precisamos de três números para 
descrever cada solução possível. São eles n, “número 
quântico principal”, ligado, como vimos, à energia do 
sistema, l, “número quântico do momento angular” ou 
“número quântico orbital” e ml, “número quântico 
magnético”. Os dois últimos estão ligados ao momento 
angular do elétron, sobre o quê falaremos melhor adiante. 
 
 
 
Estes números não são independentes. De fato, valem as 
relações: n > l e l > |m|. O fato de serem precisos três 
números para descrever cada solução é devido a tratar-se 
de funções no espaço 3-dimensional. 
 
As funções de estado são ditas, no caso, orbitais. Estas 
funções têm papel crucial para o entendimento da estrutura 
de moleculas e comportamento dos materiais. 
 
Orbitais 
 
Vizualização desta função com respeito ao raio. 
 
 
 
Corte bidimensional, dando idéia do valor da função em 
cada ponto. Quanto mais claro, maior seu valor. 
 
 
 
Recomendo uma visita à pagina: 
 
http://www.falstad.com/qmatom/ 
Densidade de probabilidade 
 
Como vimos anteriormente, |v.vα|2 dá a probabilidade de a 
partir de um estado v.ser obtida a medida α. No caso das 
funções Ψ(r), para todos os sistemas, |Ψ(r0)|2 dá a 
probabilidade de se encontar a partícula descrita por Ψ na 
posição r0. 
 
No caso da figura anterior, quanto mais claro, maior a 
probabilidade de se encontrar o elétron naquela posição, o 
que varia de um orbital para outro. A figura abaixo 
representa um elétron no orbital n = 3, l = 2 do hidrogênio, 
indicando a densidade da nuvem eletrônica em volta do 
núcleo. 
 
 
 
Oscilador harmônico 
 
 
 
 
 
 
 
Operador energia: 
 
 
 
Energia: 
 
 
 
Densidade de probabilidade: