Cálculo Diferencial e Integral

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Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Unidade 1
Funções
Aula 1
Função a�m
Introdução
Caro estudante, nesta unidade, você irá compreender algumas relações existentes entre
grandezas, a partir de situações que fazem parte do cotidiano. Tais relações podem ser
denominadas funções.  
Podemos identi�car as funções em situações simples do dia a dia, como, por exemplo: na ida à
padaria, para comprar pães, relacionar a compra com o preço que irá pagar; ao medir um terreno
para fazer uma horta, relacionar à quantidade de arame que irá gastar para a cerca; na atuação
da engenharia ao construir um edifício; na linha de produção de uma indústria, entre tantas
outras situações.  
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Nesta unidade, você irá conhecer a de�nição de função e suas aplicações, além de aprofundar-se
nas suas propriedades para diferenciar uma função a�m de uma função linear. Por �m, irá
solucionar uma situação que pode ser aplicada em seu contexto acadêmico, pro�ssional e
pessoal. Vamos lá! 
Introdução ao estudo das funções
As funções matemáticas estão associadas às mais diversas situações do nosso dia a dia, pois,
uma vez que relacionamos duas grandezas, temos uma função. 
De acordo com Stewart (2016, p. 10)
“uma função f é uma lei que associa, a cada elemento x em um conjunto A,
exatamente um elemento f(x), em um conjunto B”.
Geralmente, os conjuntos A e B são conjuntos numéricos. Vejamos um exemplo de
representação de função: 
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Figura 1 | Função no Diagrama de Ven. Fonte: elaborada pela autora.
Para satisfazer uma relação de A em B como função, temos que: 
É necessário que todo elemento
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tenha relação (x, y)
 É necessário que cada elemento
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tenha relação a um único par ordenado (x, y)
O domínio D(f) de uma função são todos os valores possíveis de x, ou seja, a região em que a
função pode ser de�nida. Observe o exemplo a seguir: 
Figura 2 | Domínio de uma função. Fonte: elaborada pela autora.
Nesse caso, o domínio da função é composto por D(f) = {2, 4, 6}. Existem também casos em que
a função não é de�nida; veja um exemplo: 
Não existe divisão por zero, ou seja, a função
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de�nida por
tem como domínio todos os números reais, com exceção do zero, pois, no denominador, o x tem
que ser diferente de 0. 
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A imagem da função é formada pelo conjunto de todos os valores possíveis de f(x) obtidos
quando x varia por todo o domínio. Observe a �gura: 
Figura 3 | Imagem e contradomínio de uma função. Fonte: elaborada pela autora.
Nesse caso, temos a imagem da função Im(f) = {4, 8, 12} e o contradomínio da função CD(f) = {1,
4, 8, 12}. Assim, temos que o domínio da função é composto pelos valores da variável x e a
imagem é composta pelos valores da variável y, ou seja, f(x). Para Stewart (2016), a variável
independente está relacionada a um número arbitrário no domínio de uma função f; já aquele que
representa um número na imagem de f é denominado variável dependente.  
Para melhor compreendermos tal conceito, observe a seguinte situação: um posto de gasolina de
uma determinada cidade cobra, pelo litro de gasolina, R$ 3,50. Temos que a variável dependente
é o valor a ser pago y, ou f(x), e a variável independente é a quantidade de gasolina (x). Com base
nessas informações, podemos escrever a seguinte expressão matemática:  
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Tal expressão é denominada de Lei de Formação da Função, e nos fornece o valor a ser pago de
acordo com a quantidade de gasolina x. 
As funções podem ser classi�cadas de acordo com algumas especi�cidades e características.
Dizemos que f(x) é uma função a�m ou polinomial do 1º grau
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quando temos a seguinte lei de formação: 
em que os coe�cientes “a” e “b” são números reais, e “a” precisa ser diferente de zero
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Segundo Stewart (2016), uma particularidade desse tipo de função é que elas variam a uma taxa
constante.  
Conforme vimos, as funções são classi�cadas de acordo com a sua lei de formação e seus
respectivos coe�cientes. Para melhor compreendermos a função a�m, a seguir, abordaremos
seus comportamentos e grá�cos. 
Propriedades das funções
Agora que você já viu qual a de�nição e a lei de formação de uma função a�m, vamos nos
aprofundar no assunto e abordar a construção dos grá�cos e a raiz de uma função a�m.  
Quando estamos trabalhando com funções, a construção e interpretação de grá�cos são
necessárias, uma vez que cada função tem a sua representação grá�ca. Independentemente do
tipo de função, é fundamental conhecermos o que é o plano cartesiano, o que é um par
ordenado, o que são o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas. 
De acordo com Anton (2007), o plano cartesiano é formado por duas retas perpendiculares entre
si: reta horizontal x, denominada eixo das abscissas, e reta vertical y, denominada eixo das
ordenadas. O encontro dos eixos é chamado origem, e cada ponto representado nesse plano é
formado por um par ordenado (x, y). Os eixos no plano formam quatro quadrantes, conforme
ilustra a �gura 4. 
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Figura 4 | Plano cartesiano. Fonte: elaborada pela autora.
Conforme vimos, uma função a�m ou do 1º grau é de�nida em
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quando temos a seguinte lei de formação: 
tal que os coe�cientes “a” e “b” são números reais, e “a” precisa ser diferente de zero 
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Quando elaboramos a representação grá�ca da função a�m no plano cartesiano, temos uma reta
em que, na lei de formação
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o coe�ciente “b” é denominado coe�ciente linear da reta e número “a” é o coe�ciente angular da
reta ou declividade da reta representada no plano cartesiano. 
Para melhor compreender essa representação, considere a seguinte função:
Nesse caso, o coe�ciente angular é igual a 2 e o coe�ciente linear é 1. Para construção do
grá�co, consideremos os seguintes valores para x e, na sequência, seus respectivos valores de
f(x), ou seja, de y
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Quadro 1 | Cálculo para valores de x e y. Fonte: elaborada pela autora.
Na sequência, iremos localizar os pontos referentes a (x, y) encontrados no Quadro 1, ligá-los e
traçar a reta. Observe a localização dos pontos A(-1, -1), B(0, 1) e C(1, 3). 
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Figura 5 | Reta no plano cartesiano. Fonte: elaborada pela autora.
Observe que temos uma reta crescente, uma vez que o coe�ciente “a” é igual a 2, ou seja, um
número positivo. Diante disso, temos a seguinte relação: 
Quando o coe�ciente
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temos uma reta decrescente. 
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Figura 6 | Reta decrescente. Fonte: elaborada pela autora.
Quando o coe�ciente
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temos uma reta crescente. 
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Figura 7 | Reta crescente. Fonte: elaborada pela autora.
Ainda podemos encontrar a raiz de uma função a�m, também chamada de zero da função,
quando fazemos
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Vejamos um exemplo:  
Considerando
temos que o zero da função será:
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Assim, o zero da função é
O zero da função representa onde a reta corta o eixo x das abscissas nas coordenadas (-0,5; 0).
Observe:
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Figura 8 | Raiz da função no grá�co. Fonte: elaborada pela autora.
Um caso particular da função a�m é a função linear, em que
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Nesse caso, cada elemento
é associado a um elemento
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tal que
e se trata de um número real. Nesse caso, aDiferencial e Integral
Através do grá�co da função f(x), pode-se veri�car que, mesmo com a função sendo formada por
funções distintas, quando nos aproximamos de 1, tanto à direita como à esquerda, temos 
Agora, vamos analisar a função
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onde o grá�co de g(s) é dado por:    
Figura 7 | Limites laterais distintos. Fonte: elaborada pela autora.
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Ao analisarmos
gra�camente podemos veri�car que existe um “salto” no valor de g(x) quando ele tende a 2, pois,
quando nos aproximamos de x pela direita, temos o valor de g(x) tendendo a um valor e, quando
nos aproximamos de x pela esquerda, vemos que o valor de g(x) está próximo a outro valor. Com
a mesma estratégia do exemplo anterior, vamos calcular: 
Calculando o limite lateral da função, temos: 
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De acordo com as especi�cações da função g(x), o limite foi calculado substituindo o valor de x =
2 e usando as propriedades de limite. Como os valores dos limites laterais são diferentes, não
existe
Para calcularmos o limite de uma função quando x tende a um determinado ponto, podemos nos
utilizar da forma algébrica, calculando os limites laterais de acordo com as especi�cações da
função, ou utilizar a expressão grá�ca.   Agora, vamos usar o Teorema do Confronto. Calcule
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Você percebe que, se substituirmos o valor de x por 0, encontramos uma indeterminação, pois
não existe
Para resolver esse limite, vamos usar artifícios matemáticos, onde sabemos que o valor de
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está entre o intervalo de -1 e 1. Assim, temos que: 
Como queremos calcular o limite da função
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podemos multiplicar por x² os dois lados da desigualdade para encontrarmos a função, obtendo,
assim: 
Temos as funções:
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Antes de utilizar o Teorema do Confronto, vamos calcular o limite de f(x) e h(x) para veri�car se
são iguais. Assim: 
Como os limites de f(x) e h(x) são iguais, então, pelo Teorema do Confronto: 
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O estudo do conceito de limites é vasto e permite que você desenvolva melhor os conhecimentos
básicos de matemática.
Videoaula: Introdução ao estudo de limites
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No vídeo d esta aula , você irá encontrar o motivo pelo qual o estudo do limite é tão importante na
disciplina de Cálculo Diferencial , i rá compreender a de�nição e as propriedades que envolvem
esse conteúdo e verá um teorema que facilita na resolução do limite de uma função através da
comparação do limite de outras duas funções.
Saiba mais
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Veja uma aplicação do aprendizado no artigo: Teorema do Confronto: discussão didática
alternativa articulando as práticas usuais e o software Geogebra, de Pedro Mateus e Marlene
Alves Dias. 
Veja também uma apresentação geométrica sobre o Teorema do Confronto. 
Referências
https://www.scielo.br/j/bolema/a/TgwzBjZw55GbCThh9qCB4dG/?format=pdf&lang=pt
https://www.scielo.br/j/bolema/a/TgwzBjZw55GbCThh9qCB4dG/?format=pdf&lang=pt
https://www.geogebra.org/m/mvtACRdq
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FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
IEZZI, G.; MURAKAMI, C.; MACHADO, N. J. Fundamentos de Matemática Elementar. v. 8, 7. ed.
São Paulo: Editora Atual, 2013.  
MATEUS, P.; DIAS, M. A.. Teorema do Confronto: discussão didática alternativa articulando as
práticas usuais e o software Geogebra. Bolema: Boletim de Educação Matemática, v. 32, p. 615-
630, 2018. Disponível em: https://www.scielo.br/j/bolema/a/TgwzBjZw55GbCThh9qCB4dG/?
format=pdf&lang=pt Acesso em: 23 out. 2022 
PRADO, M. V. B.; FERNANDES, R. K.; BONI, K. T. Cálculo diferencial e integral. Londrina: Editora e
Distribuidora Educacional S. A., 2015. 
Aula 2
Limites �nitos e limites no in�nito
Introdução
https://www.scielo.br/j/bolema/a/TgwzBjZw55GbCThh9qCB4dG/?format=pdf&lang=pt
https://www.scielo.br/j/bolema/a/TgwzBjZw55GbCThh9qCB4dG/?format=pdf&lang=pt
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Estudar limites nos auxilia na compreensão do comportamento de uma função à medida em que
ela se aproxima de um valor estabelecido. Dependendo da função analisada, podemos obter
como resolução valores que são números muito grandes ou muito pequenos, que chamamos de
in�nito.  
O in�nito, no estudo de limites, pode aparecer como solução no cálculo do limite de uma função,
ou quando queremos veri�car qual o valor do limite quando x tende ao in�nito. Por isso, será
abordado, respectivamente, o estudo do conteúdo de limites in�nitos e limites no in�nito. Outra
abordagem desta aula é a combinação das funções no cálculo do limite de uma função, pois
alguns cálculos podem apresentar indeterminações e, quando isso ocorre, utilizamos
manipulações algébricas para encontrar uma solução.  
Por �m, será abordado o método para a veri�cação da continuidade de uma função em um
determinado ponto, que é uma condição essencial para o cálculo de derivadas. Prepare-se para
explorar esses conceitos! 
Limite �nito
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Quando estudamos o limite de uma função, objetivamos saber qual o comportamento dos
valores da função f(x) quando x se aproxima de a. 
Vamos ver como calcular o limite de uma função f(x), à medida que x se aproxima de a e os
valores da função tendem a valores cada vez maiores, isto é, tendem positivamente ao in�nito.
Veja na Figura 1 uma representação grá�ca do que pode acontecer no valor da função:  
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Figura 1 | Grá�co de uma função tendendo positivamente ao in�nito. Fonte: elaborada pela autora.
Quando x tende a a e o valor do limite da função tende ao in�nito, denominamos este como limite
in�nito. Tal de�nição é dada por: 
De�nição: seja I intervalo aberto ao qual pertence o número real a. Seja f(x) uma função de�nida
no intervalo I, exceto em a, isto é,
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Dizemos que, quando x se aproxima de a, a função f(x) cresce ilimitadamente; assim, temos: 
Da mesma forma, quando os valores da função decrescem ilimitadamente, ou seja, à medida que
x se aproxima de a, veri�camos que a função tende a valores cada vez menores que qualquer
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número negativo. Para a função que decresce ilimitadamente à medida que x se aproxima de a,
temos:
Considerando os limites laterais in�nitos, temos a representação grá�ca dada por:  
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Figura 2 | Grá�co de uma função tendendo ao in�nito. Fonte: elaborada pela autora.
Nesse caso, temos que os limites laterais são: 
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Como os valores são divergentes, concluímos que 
não existe.
Limites no in�nito 
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Utilizando o in�nito para o cálculo de limite, porém, agora, quando o valor de x tende ao in�nito,
vamos analisar o comportamento dos valores da função f(x), quando x é um número muito
grande, isto é, quando x está tendendo ao in�nito. Para visualizar essa ideia, vamos utilizar uma
representação grá�ca conforme segue: 
Figura 3 | Grá�co de uma função com x tendendo ao in�nito. Fonte: elaborada pela autora.
Observe que, à medida que x cresce através de valores positivos, os valores da função f(x) se
aproximam cada vez mais de L. Isso signi�ca que podemos tornar f(x) cada vez mais próximo de
L o quanto desejarmos. Então, temos que: 
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Veja que, neste momento, não estamos nos referindo aos limites laterais já estudados
anteriormente, mas ao método para cálculo de limites no in�nito, isto é,quando x tende a
in�nito.  
As propriedades relativas ao cálculo de limites estudadas anteriormente permanecem válidas,
acrescentando-se o teorema que explicita que: 
Teorema: se n é um número inteiro positivo, então: 
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Após serem apresentadas as de�nições e propriedades do cálculo de limites in�nitos e limites no
in�nito, devemos ter cautela ao combinarmos algumas funções que envolvem esses limites
devido aos resultados que podemos obter e que podem causar indeterminações, mas que
podem ser solucionadas através de manipulações algébricas ou com o uso dos teoremas.  
Limite no in�nito
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Para introduzir o estudo de funções contínuas, apresentaremos uma situação-problema. Essa
situação envolve a análise do funcionamento do motor de um carrinho de brinquedo com
controle remoto, na qual a função representa a velocidade do carrinho em relação ao tempo. Ao
atingir uma determinada velocidade (M) depois de um certo tempo (a), o carrinho desacelera e
passa a manter velocidade constante durante um determinado tempo. Veja o grá�co que
representa a função descrita. 
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Figura 4 | Aplicação com uma função descontínua. Fonte: elaborada pela autora.
Através da representação grá�ca, vamos determinar o valor de f(a) e o
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Observando o grá�co, temos que o valor da função no ponto a, isto é, f(a) = L e, para calcular o
limite da função quando x tende a a ,vamos utilizar os limites laterais, onde: 
Como os limites laterais dessa função não são iguais, temos que não existe
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Concluímos, dessa forma, que essa função não é contínua, pois, observando o grá�co, existe um
momento em que o valor de x dá um “salto” para outro valor, fazendo com que a função mude
drasticamente da velocidade M para a velocidade L. Mas, se não tivermos uma representação
grá�ca como no exemplo acima, como saberemos se uma função é contínua ou não? Vamos à
de�nição:  
De�nição: dizemos que uma função f(x), de�nida em um intervalo aberto I, onde a é um elemento
de I, é contínua no ponto a se as seguintes condições forem satisfeitas:
f (x) é de�nida no ponto a, isto é, existe f(a) 
existe
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Após analisar os 3 pontos acima enunciados, podemos de�nir quando uma função é contínua.
Veja algumas propriedades relativas a funções contínuas e que são fundamentais para nossos
estudos. 
Considerando as funções f(x) e g(x) contínuas no ponto a, então: 
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f(x) + g(x) é contínua em a. 
f(x) - g(x) é contínua em a. 
f(x) . g(x) é contínua em a. 
f(x) / g(x) é contínua em a, desde que g(a) ≠ 0. 
Além das propriedades apresentadas, temos ainda o Teorema do Valor Intermediário, dado por: 
Teorema: se f(x) é uma função contínua no intervalo fechado [a,b] e L é um número real tal que  f
(a) ≤ L ≤ f (b) ou  f (b) ≤ L ≤ f (a) , então, existe pelo menos um valor de x pertencente ao intervalo
[a,b], tal que f(x) = L (FLEMMING, 2006). 
Esse teorema garante a continuidade da função dentro do intervalo. Veja a representação
grá�ca.  
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Figura 5 | A continuidade de uma função. Fonte: elaborada pela autora.
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Esse teorema pode ser utilizado quando queremos esboçar um grá�co, pois, tendo em vista que
uma função é contínua em um intervalo fechado, podemos “desenhar” o grá�co dessa função,
nesse intervalo, sem precisar “levantar o lápis do papel” e garantir a característica de
continuidade da função presente nessa representação grá�ca.  
Através dos conhecimentos adquiridos com o estudo do limite �nito, limites no in�nito e função
contínua, vamos à resolução de alguns exemplos.
Funções contínuas
Ao calcularmos o limite de uma função, mesmo que ela seja contínua no ponto desejado,
podemos encontrar, por exemplo, as seguintes indeterminações representadas: 
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Quando alguma dessas indeterminações ocorre, é possível utilizar artifícios algébricos para que
seja encontrado o valor do limite. Vejamos mais um exemplo:  
Exemplo 1 - Calcular o limite: 
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Utilizando a substituição do valor de x = 0, vamos encontrar a indeterminação
então, através de algumas manipulações algébricas, temos que: 
Para resolvermos esse limite foi necessário desenvolver o quadrado perfeito e, depois, aplicar a
simpli�cação dos termos iguais. Ao �nal, foi feita a substituição de x=0 para encontrarmos uma
solução.   
Exemplo 2 - Calcular o limite: 
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Nesse caso, temos um exemplo no qual precisamos aplicar os conceitos de limites in�nitos.
Através da substituição de x = 1, teremos uma indeterminação do tipo
e, por isso, utilizaremos para essa resolução, os limites laterais.  
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Um artifício algébrico para calcular esse limite, quando x tende a 1 pela direita, é substituir x por
um valor próximo e maior a 1 e, quando x tende a 1 pela esquerda, é substituir x por um valor
próximo e menor a 1. Veja na tabela os valores que podem ser utilizados. 
Tabela 2 | Valores do limite de f(x) próximos a 1. Fonte: elaborada pela autora.
Você consegue notar que, à medida que esse número estiver mais próximo de 1, o valor desse
limite vai diminuindo? Isso acontece porque, ao considerar diferentes valores de x (sempre
próximos a 1), o resultado do limite mostra-se um número menor à medida que x aproxima-se
mais de 1.   
Com a utilização dos limites laterais, para os valores de x tendendo à direita, vamos utilizar o
exemplo x = 1,0001. Desse modo, “escapamos” da indeterminação. Veja: 
Assim, podemos escrever que:  
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Utilizando o mesmo pensamento, para calcular o limite à esquerda, temos que:  
Com isso, podemos escrever que:
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Concluímos, então, que não existe
pois os limites laterais são diferentes.   
Exemplo 3 - Calcular o limite: 
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Nesse caso, vamos encontrar a indeterminação
O teorema apresentado no conteúdo de limites no in�nito, no qual 
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para n sendo um número inteiro positivo, é muito utilizado para a resolução de limites de funções
polinomiais. 
Então, para veri�car se existe o limite dessa função, por conta do teorema acima citado,
dividiremos o numerador e denominador pela maior potência de x que aparece nas funções: 
Pelo teorema, temos que:
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então:
Exemplo 4 - Veri�car se a função f(x) é contínua em 2. 
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Considerando a função f(x) e a veri�cação da continuidade no ponto a, a primeira análise é
veri�car se existe f(a). De acordo com as informações da função, como
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então, podemos considerar que existe f(a). Depois de veri�cado o primeiro ponto, analisaremos
se
Temos que:  
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Para calcular esse limite, devemos utilizar dois artifícios algébricos: a diferença entre dois cubos
para a função presente no numerador, e a diferença de quadrados para a função presente no
denominador. Assim: 
Desse modo, podemos con�rmar a continuidade da função expressa por 
pois
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Os conceitos apresentados ampliaram o seu conhecimento sobre limites de uma função, pois
abordamos teoremas e propriedades que nos permitem encontrar o limite, caso exista, através
do entendimento de limites in�nitos e de indeterminações que possam aparecer.
Videoaula: Limites �nitos e limites no in�nito
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computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativopara assistir mesmo sem conexão à internet.
No vídeo desta aula, você aprenderá sobre de�nições e teoremas necessários ao cálculo de
limites de uma função quando ela resulta em in�nito ou quando x tende ao in�nito, que estão, por
sua vez, respectivamente relacionados ao conteúdo de limites in�nitos e limites no in�nito. Ao
realizar esses cálculos, pode ser que encontremos indeterminações, mas, com conhecimentos
básicos de matemática, eles podem ser solucionados. Por �m, você saberá identi�car quando
uma função é contínua dentro de um intervalo fechado. Esse saber é fundamental para o estudo
da derivada.
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Saiba mais
Os limites fundamentais apresentam casos particulares de indeterminação de limites. Veja mais
em Cálculo Diferencial e Integral, Seção 2, p. 42
Referências
https://biblioteca-virtual-cms-serverless-prd.s3.us-east-1.amazonaws.com/ebook/1185-calculo-i.pdf
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Cálculo Diferencial e Integral
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
IEZZI, G.; MURAKAMI, C.; MACHADO, N. J. Fundamentos de Matemática Elementar. v. 8, 7. ed.
São Paulo: Editora Atual, 2013.  
PRADO, M. V. B.; FERNANDES, R. K.; BONI, K. T. Cálculo diferencial e integral. Londrina: Editora e
Distribuidora Educacional S. A., 2015.
Aula 3
Derivada - introdução
Introdução
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O conceito de derivada tem aplicações em diferentes áreas e é muito utilizado nas engenharias,
por exemplo, quando se pretende estudar uma função relacionando-a à determinação de valores
de máximo e/ou mínimo crescimento ou decrescimento da função, concavidade, entre outros
aspectos. 
O objetivo desta aula é usar a derivada para saber o comportamento da função em um
determinado ponto. Para isso, vamos de�nir dois elementos: a taxa de variação e a reta tangente.
Uma das aplicações do estudo da derivada é a determinação da velocidade instantânea, que nos
garante saber qual é a velocidade em um ponto especí�co a ser analisado.  
Nesta aula, essas ferramentas são importantes para resolver situações que exigem a análise de
um ponto especí�co da função. Que você descubra aqui algumas estratégias para resolver esses
tipos de problemas. 
Conceito de derivadas
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Cálculo Diferencial e Integral
Os estudos relacionados ao limite de uma função são primordiais para o conceito de derivada.
No limite, o intuito é estudar o comportamento de uma função à medida que ela se aproxima de
um ponto, enquanto, na derivada, queremos veri�car detalhes de uma função quanto ao
crescimento ou decrescimento, pontos de máximo ou mínimo e mudança de concavidade. Veja a
de�nição de derivada. 
De�nição: dada a função f(x) de�nida no intervalo aberto I e x0 pertencente ao intervalo I, a
derivada da função f(x) no ponto x0 é dada por: 
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A diferença x – x0 é chamada de incremento da variável x e a diferença f(x) – f(x0) é denominada
incremento da função, ambas relacionadas ao ponto x0. O quociente entre essas diferenças
recebe o nome de razão incremental ou taxa de variação, e é dada por:
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Como a derivada é o cálculo do limite da taxa de variação de uma função f(x) em relação a x,
dizemos que a função f(x) é derivável no ponto x0 se existe o limite da taxa de variação. A
derivada da função (ou derivada como função) é dada da seguinte forma: 
Essa forma de representar a derivada considera Δx tendendo a zero, isto é, x está cada vez mais
próximo de x0 . Assim, temos:
Quando Δx tende a zero, isto é, quando os valores de x e x0 �cam cada vez mais próximos, essa
aproximação de�ne uma reta denominada reta tangente, que passa por x0.  
A partir dos conhecimentos de Geometria Analítica, sabemos que o coe�ciente angular é a
medida que caracteriza a inclinação da reta tangente em relação ao eixo das abscissas, isto é, o
ângulo construído entre ela e o eixo x. Utilizamos a seguinte notação: 
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na qual m é o coe�ciente angular da reta, que agora relacionamos com a derivada da função f(x)
no ponto x0. Assim, a representação da equação da reta tangente é dada por:  
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Uma das aplicações do estudo de derivadas, muito utilizada na física, está relacionada ao cálculo
da velocidade que representa a medida da distância percorrida, em determinado trajeto, em
relação ao tempo gasto. O deslocamento de um corpo durante um intervalo de tempo entre t e t +
Δt é dado por: 
A velocidade média (Vm), por sua vez, é dada pelo quociente entre o espaço percorrido e o
tempo gasto. Mas, e se desejarmos saber a velocidade instantânea, ou seja, a velocidade do
objeto em um determinado instante? Para isso, podemos utilizar o limite da velocidade média
quando Δt tende a zero. Desse modo, temos: 
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Ao calcularmos a velocidade instantânea de um objeto, estamos calculando a derivada de uma
função do espaço em relação ao tempo, isto é, a derivada em um determinado instante do
deslocamento do objeto. A seguir, vamos explorar os conhecimentos abordados através da
interpretação grá�ca das de�nições aqui veri�cadas.  
Retas tangentes, taxas de variação e velocidade instantânea
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A derivada de uma função é dada pelo limite da função f(x) em um determinado ponto x,
pertencente ao intervalo I. Para que você compreenda melhor esse conceito, veja o grá�co da
função f(x).  
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Figura 1 | Expressão grá�ca da derivada de uma função. Fonte: elaborada pela autora.
Os elementos do grá�co são: a função f(x) de�nida pela parábola; os valores de x e x0, com x ≠
x0; a reta s, secante à parábola, que passa pelos pontos P0 (x0, f(x0)) e P(x, f(x)); e a reta t,
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tangente a f(x), passando pelo ponto P0. 
O conceito de coe�ciente angular da reta, abordado em Geometria Analítica, está representado
na reta secante (s) através do ângulo alfa (α) e na reta tangente (t) através do ângulo beta (β).
Considerando os pontos P0(x0, f(x0)) e P (x, f(x)), a reta secante (s), que passa por esses dois
pontos, corta o eixo x, formando com este um ângulo α que corresponde à taxa de variação, isto
é:  
Quando Δx tende a zero, isto é, quando os valores de x e x0 �cam cada vez mais próximos, os
pontos P0 e P também tendem a �car mais próximos, fazendo com que a reta s tenda à reta t.
Através da observação grá�ca, podemos pensar no movimento da reta s, �xa no ponto P0 e
passando apenas por esse ponto, transformando-se na reta tangente (t). Com isso, essa
aproximação signi�ca que o ângulo α está tendendo ao ângulo β. Assim:  
Uma análise geométrica da derivada signi�ca que ela representa a inclinação da reta tangente ao
grá�co da função f(x) no ponto (x0, f(x0)). Outras formas de denotar a derivada como função é
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através das representações: 
A função do ponto x, associada à derivada neste ponto de f(x), é chamada de derivada como
função ou função derivada de f(x), que descreve a taxa de variação instantânea da função em um
determinado ponto.  
Agora que as de�nições foram exploradas, considerando a função
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representada gra�camente, vamos calcular a taxa de variação que passa pelos pontos P e P0 e a
equação da reta tangente no ponto P0. Dados os pontos: P0 (-0,5 ; 1,25) e P(-2,-1), temos:
Para encontrar a equação da reta tangente, primeiramente calculamos a derivada no ponto P0, e
temos:  
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Então, a equação da reta tangente no ponto é dada por:  
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Utilizando essa função, você pode calcular a equação da reta tangente para quaisquer pontos.
Para isso, basta calcular a derivada da função de forma genérica, isto é, não substituindo um
valor para x0 ao calcular a tangente de beta.Assim, temos: 
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Agora com as de�nições apresentadas através da representação grá�ca, vamos aprimorar o
estudo do conteúdo de derivada com uma aplicação a seguir.  
Derivada como função
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O estudo da derivada vai além da área da engenharia e também é muito utilizado em outras
áreas, como, por exemplo: na administração, através da fabricação e venda de um produto, na
economia, quando se refere a lucro e receita e até nas ciências biológicas, para veri�cação da
taxa de contágio de doenças. Uma questão física associada a esse conceito é apresentada
quando se tem o intuito de investigar o desempenho do lançamento vertical de um objeto, que
tem apresentação dada por uma parábola, conforme mostra a Figura 2. 
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Figura 2 | Lançamento de um objeto. Fonte: elaborada pela autora.
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O grá�co apresenta a função do tempo em relação à altura que o objeto atinge, permitindo-nos
observar que o objeto sobe com o passar do tempo até atingir uma altura máxima que, em
seguida, vai diminuindo até o objeto atingir o repouso. No grá�co, o eixo x refere-se ao tempo e o
eixo y à altura que o objeto atinge.  
A taxa de variação, representada pela função secante s, passa pelos pontos P1 (1,5) e P2 (3,9) e,
para calculá-la, utilizaremos os tempos: t1 = 1s e t2 = 3s. Assim, temos: 
Observando o grá�co, temos que a função apresentada é uma parábola com concavidade
voltada para baixo. A função h(t) do movimento do objeto é dada por: 
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Agora, para determinar a reta tangente no ponto t0, temos que calcular a tangente de β:  
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A derivada, como função de h(t) desse grá�co, é igual ao coe�ciente angular (tg β) da reta
tangente (t). Então, temos:
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Com a derivada como função podemos calcular a velocidade instantânea em um determinado
ponto e, para esse ponto, a velocidade instantânea com t = 1s será dada por:  
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Vamos considerar o ponto t1 = 1s para de�nir a função tangente. Assim, 
É importante saber que a derivada é uma propriedade local da função. Isso signi�ca que é
utilizada para determinar o valor de x em um determinado ponto. 
Como você acha que �caria a equação da reta tangente em relação ao ponto P2 (3,9)? Como
temos a função derivada de�nida para qualquer ponto, isto é
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temos: 
A derivada é nula quando o tempo é igual a 3. Isso signi�ca que a inclinação instantânea da
função nesse ponto é zero, e a equação da reta tangente é dada por: 
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A reta tangente é uma reta constante e paralela ao eixo relativo ao tempo t. Desse modo,
gra�camente temos:  
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Figura 3 | Derivada nula em um ponto. Fonte: elaborada pela autora.
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Como a reta tangente não passa pelo eixo x, representado pelo tempo, a tangente do ângulo é
zero, e a derivada nesse ponto representa o ponto máximo da função h(t).  
Videoaula: Derivada - introdução
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No vídeo da aula, você aprenderá o conceito e a de�nição da derivada que estuda o
comportamento da função, que é baseada no conceito de limite a partir da função. O limite está
associado à inclinação da reta tangente e à velocidade instantânea de um ponto que será
observado. As análises da reta tangente e derivada de uma função são diferentes em cada um
dos pontos, e isso faz com que a sua compreensão sobre o assunto seja ampliada para esses
diferentes conceitos. Utilize esses conceitos em funções e aplicações que você conhece para
aprimorar o seu conhecimento.
Saiba mais
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Leia o artigo Aplicabilidade de derivadas por meio da problematização de funções: inclinação da
reta tangente à curva indicando os seus máximos e mínimos.  
Veri�que também A movimentação da reta secante transformando-se em reta tangente no
software Geogebra.
Referências
http://funes.uniandes.edu.co/18925/1/Souza2013Aplicabilidade.pdf
http://funes.uniandes.edu.co/18925/1/Souza2013Aplicabilidade.pdf
https://www.geogebra.org/m/atcc85u9
https://www.geogebra.org/m/atcc85u9
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Cálculo Diferencial e Integral
IEZZI, G.; MURAKAMI, C.; MACHADO, N. J. Fundamentos de Matemática Elementar. v. 8, 7. ed.
São Paulo: Editora Atual, 2013.  
 LA, A. C. A movimentação da reta secante transformando-se em reta tangente no software
Geogebra. Geogebra. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/atcc85u9  Acesso em: 6 out.
2022. 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo  A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
PRADO, M. V. B.; FERNANDES, R. K.; BONI, K. T. Cálculo diferencial e integral. Londrina: Editora e
Distribuidora Educacional S. A., 2015.  
SOUZA, A. E.; PINHEIRO, N. A. M.; DA SILVA, S. de C. R. Aplicabilidade de derivadas por meio da
problematização de funções: inclinação da reta tangente à curva indicando os seus máximos e
mínimos. Anais... VII CIBEM, Montevidéu - Uruguai, p. 1057-1067, set. 2013. Disponível em:
http://funes.uniandes.edu.co/18925/1/Souza2013Aplicabilidade.pdf.  Acesso em: 25 out. 2022.
Aula 4
Derivação de funções básicas
Introdução
https://www.geogebra.org/m/atcc85u9
http://funes.uniandes.edu.co/18925/1/Souza2013Aplicabilidade.pdf
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Vamos aprender a encontrar a derivada de uma função através da utilização de regras de
derivação. Cada uma das funções tem características especí�cas, fazendo com que seja
importante conhecê-las e saber utilizá-las de acordo com sua formação. 
Nesta aula, você entenderá que uma função constante, uma função potência e uma função
formada pela soma ou subtração de outras funções são deriváveis, isto é, admitem uma
derivada, de acordo com uma regra estabelecida.  
Essas regras que facilitam o cálculo da derivada de uma função e sua exploração grá�ca,
juntamente com uma aplicação na área de Engenharia de Produção, podem trazer entusiasmo
para o entendimento do conteúdo apresentado.
Derivada de uma constante
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O cálculo da derivada de uma função é chamado derivação. Podemos utilizar a de�nição ou
regras de derivação para determiná-la. Antes de apresentar as regras de derivação, vamos
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lembrar  como calcular a derivada de uma função f(x) em um ponto através da de�nição, que é
dada por: 
na qual a função f(x) é de�nida no intervalo aberto I e x0 pertencente ao intervalo I. O objetivo da
derivada é calcular o limite da taxa de variação da função f(x) em relação a x, fazendo com que x
tenda a x0. Isso signi�ca que estamos fazendo com que
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tenda a zero. A derivada da função é dada como: 
Com a utilização da de�nição, podemos determinar regras que são utilizadas para diferentes
tipos de função que veremos nesta aula.  
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Iniciaremos com a derivada de uma função constante. Portanto, dada uma função
temos:
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A partir da derivação da função constante f(x) = c, deduzimos a regra de derivação como:
O segundo caso de derivação que vamos estudar é referente à derivada da potência, associada a
uma função
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Assim, utilizando a de�nição de derivada, temos:  
Para expandir
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vamos utilizar o Binômio de Newton, que serve para calcular o polinômio de qualquer potência
elevada a um número natural e, para isso, foi utilizada tanto uma relação entre os coe�cientesde
cada um dos termos quanto a combinação, o que permitiu o cálculo de uma potência de um
binômio de forma mais direta, utilizando a seguinte fórmula: 
Na qual a e b são números reais.  
Agora, voltando à derivação da potência, baseada no desenvolvimento do Binômio de Newton,
temos: 
Assim, a regra da derivação de uma função potência é dada por: 
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Com a utilização das duas regras apresentadas vamos analisar a regra de derivação do produto
de uma constante por uma função, com
uma função derivável. Assim, temos: 
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A regra da derivação do produto de uma constante por uma função é dada por: 
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Outro caso muito utilizado para a derivação de funções é quando a função é dada pela soma ou
diferença de outras funções. Com a utilização da de�nição da derivada de uma função soma,
vamos de�nir a regra.  
De�nição: dadas as funções deriváveis g(x) e h(x) e a função f(x) = g(x) + h(x), a derivada da
função f(x) é dada por:
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Assim, a regra de derivação da soma de uma função é dada por:
E, de forma análoga, a regra para a derivação da subtração de uma função é dada por:
A derivada da soma ou subtração de uma função é aplicada a um número �nito de funções. Isso
signi�ca que a derivada da soma ou subtração de um número �nito de funções é igual à soma ou
subtração de suas derivadas, caso elas existam. Veja, através do conceito matemático.  
Proposição: dadas as funções deriváveis
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e
então, é garantido que: 
A partir das regras de derivação para os casos estudados, vamos utilizar a representação
geométrica para aprofundar o conteúdo.
Derivada da soma ou subtração
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A derivada de uma função representa a inclinação da reta tangente ao grá�co da função f(x) que
passa em um determinado ponto. Ao representarmos a derivada de uma função no grá�co,
estamos apresentando a investigação realizada em pontos que pertencem a essa função.
Vejamos no grá�co apresentado a seguir. 
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Figura 1 | Função e retas tangentes dos pontos apresentados. Fonte: elaborada pela autora.
O grá�co apresenta a função f(x) de�nida como uma semicircunferência e os pontos P1, P2, P3,
P4 e P5, que pertencem à função. Para analisarmos como seria apresentado o grá�co da
derivada de f(x) temos que veri�car o que acontece com as retas tangentes dos pontos da
função, portanto temos que pensar que mudando os pontos da função f(x) as retas tangentes
representadas, que representam cada um deles, são diferentes.   
Nos pontos P1 e P5, as retas tangentes são paralelas ao eixo y. Isso signi�ca que a inclinação
dessas retas tende ao in�nito. No ponto P2 a inclinação é positiva, e à medida que os pontos
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chegam mais próximos ao ponto P3, a inclinação vai diminuindo até o valor de x=0, onde, no
ponto P3, o coe�ciente angular da reta seja nulo. Depois de passar pelo ponto P3, a inclinação da
reta muda, como apresentado no ponto P4, onde a inclinação da reta passa a ser negativa. Para
os pontos da função f(x) que estão entre os pontos P4 e P5, a reta tangente vai diminuindo e
inclinando cada vez mais para baixo, até chegar no ponto P5.  
A representação da reta tangente apresentada na Figura 1 nos mostra o comportamento do
coe�ciente angular da reta em cada um dos pontos que pertencem à função, permitindo-nos,
assim, entender como é a representação grá�ca da derivada da função f(x), dada por: 
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Figura 2 | Representação da derivada da função. Fonte: elaborada pela autora.
Percebe-se que o grá�co da função derivada de f(x) vem do in�nito positivo e vai diminuindo até
o ponto se anular em 0, mas a f’(x) é positiva, pois está associada à inclinação da reta que é
positiva entre os pontos P2 e P3. Ao passar pelo ponto P3, que é o momento em que a inclinação
da reta é paralela ao eixo x (apresentada na Figura 1), a função derivada passa a ter uma
inclinação negativa, entre os pontos P3 e P4 , até tender ao  in�nito negativamente no ponto P5.  
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Agora, vamos fazer a análise grá�ca das regras das funções estudadas nesta aula. Dada uma
função constante,
o grá�co representa a função e a função derivada de f(x).  
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Figura 3 | Representação da derivada de uma função constante. Fonte: elaborada pela autora.
A derivada de uma função constante é igual a zero, e isso signi�ca que não existe inclinação da
reta tangente, pois como f(x) trata-se de uma constante, que é representada por uma reta
horizontal paralela ao eixo x, como o domínio da função f(x), onde
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a reta tangente possui inclinação nula em relação ao eixo x. 
Para uma função potência, na qual
temos a representação grá�ca dada por: 
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Figura 4 | Representação da derivada de uma função potência. Fonte: elaborada pela autora.
A função apresentada no grá�co é
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assim, utilizando a regra de derivação da função potência, temos
que é uma reta que passa pela origem do plano cartesiano.  
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Para a derivada da soma e da subtração, onde a função f(x) é a soma ou subtração de funções
deriváveis, a representação grá�ca não traz informações relevantes, pois a análise deveria
acontecer ponto a ponto, como foi na Figura 1.  
Mesmo assim, vamos veri�car o grá�co desse tipo de função e da sua derivada. 
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Figura 5 | Representação da derivada de uma função soma e subtração. Fonte: elaborada pela autora.
O grá�co representa a função
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que é composta por 4 funções:
Utilizando as regras de derivação apresentadas, temos que a derivada de f(x) é dada por: 
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Portanto, vimos que as regras de derivação servem para que o cálculo da derivada de uma
função seja realizado de forma mais fácil e direta.
Derivada da potência
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Em uma empresa de confecção de peças automotivas foram realizadas análises sobre a
produção durante o expediente dos funcionários e admitiu-se como função f(t) o número de
peças produzidas em relação às horas trabalhadas, dada por: 
As funções foram criadas de acordo com as análises realizadas quanto à quantidade de
funcionários, funcionamento das máquinas e rendimento de acordo com o horário de trabalho,
pois todos esses fatores interferem na quantidade de produção das peças. O grá�co apresenta o
desenvolvimento da quantidade de peças produzidas durante o expediente. 
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Figura 6 | Confecção de peças automotivas em relação ao tempo. Fonte: elaborada pela autora.
Algumas questões foram levantadas sobre a produção de peças, com o intuito de calcular a
razão de produção (em unidades por hora) em determinados momentos, como, por exemplo,
qual seria a razão da produção após 3 horas de trabalho? 
Para encontrarmos esse valor é preciso saber qual função corresponde ao tempo escolhido.
Nesse caso, a função f(t) é dada por:
A razão de produção está associada à derivada da função. Então, através das regras de derivada
de uma constante, derivada da potência e derivada da soma ou subtração, podemos escrever a
função da seguinte forma: 
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Então, a função derivada de f(t) é dada por: 
Voltando para a aplicação da questão apresentada, a razão da produção, após 3 horas de
trabalho, será: 
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Com isso, temos que, após 3 horas de trabalho, a razão de produção é de 160 peças por hora de
trabalho. Se você analisar, tanto gra�camente como utilizando a funçãof(t), pode-se perceber
que isso não representa a quantidade de peças produzidas na terceira hora de trabalho, pois,
para isso, temos: 
Porém e se fosse realizada a mesma análise da razão de produção para o outro intervalo de
horas? Vamos considerar após 7 horas, fazendo com que calculemos a derivada da função: 
Como anteriormente, vamos escrever a função f(t) em partes para encontrar a derivada de cada
uma das funções. Assim, temos: 
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As regras de derivação utilizadas foram: derivada da potência e derivada da subtração; assim,
escrevemos a razão como:
Desse modo, a razão da produção após 7 horas de trabalho é dada por: 
Nesse caso a razão encontrada é um número negativo, o que signi�ca que a produção de peças
está diminuindo de acordo com o tempo. Isso pode ocorrer por diversos fatores, tais como:
cansaço dos funcionários, esgotamento das máquinas, entre outros. Mas esse valor não mostra
que não está ocorrendo produção de peças, pois, na sétima hora de trabalho, temos:
A produção da sétima hora é maior do que a produção da terceira hora de trabalho, mas isso não
acontece com relação à razão de produção, pois a função que analisa a produção das peças
envolve variáveis associadas aos funcionários, tempo de serviço e maquinário, portanto as
funções são diferentes nas duas horas analisadas.  
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Videoaula: Derivação de funções básicas
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No vídeo da aula você verá que, a partir da de�nição de derivada, é possível  compreender que, de
acordo com a formação de cada função, pode-se estabelecer regras para sua derivação. Os
grá�cos também podem ser utilizados para mostrar a inclinação da reta em cada um dos casos.
Com a aplicação em uma produção de peças, você aprenderá o que os valores da função, assim
como sua derivada em determinado ponto, podem representar.  
Saiba mais
Se você quiser aprender a realizar grá�cos no software Geogebra, realize a atividade apresentada
na p. 81 de O desenvolvimento de uma sequência de atividades para a abordagem do conceito
de derivada de uma função utilizando o software Geogeobra.  
https://core.ac.uk/download/pdf/322641689.pdf
https://core.ac.uk/download/pdf/322641689.pdf
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Referências
AMORIM, F. V. O desenvolvimento de uma sequência de atividades para a abordagem do conceito
de derivada de uma função utilizando o software geogeobra. Revista ENCITEC, v. 2, n. 3, p. 77-89,
jan.jun, 2012. Disponível em: https://core.ac.uk/download/pdf/322641689.pdf. Acesso em: 26
out. 2022. 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo  A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.  
IEZZI, G.; MURAKAMI, C.; MACHADO, N. J. Fundamentos de Matemática Elementar. v. 8, 7. ed.
São Paulo: Editora Atual, 2013.  
PRADO, M. V. B.; FERNANDES, R. K.; BONI, K. T. Cálculo diferencial e integral. Londrina: Editora e
Distribuidora Educacional S. A., 2015.
Aula 5
Revisão da unidade
Estudando funções através de limites e derivadas
https://core.ac.uk/download/pdf/322641689.pdf
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Nas aulas desta unidade, foram apresentados os conceitos de limite e derivada de uma função,
os quais nos permitem estudar o comportamento e funcionamento de uma função associada à
proximidade de um valor estabelecido.  
Ao analisarmos o limite de uma função, estamos veri�cando qual valor essa função apresenta à
medida que nos aproximamos de x, denotando o cálculo do limite de uma função como: 
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Assim, temos que L é o valor do limite da função f(x) quando o valor de x tende a a, mas,
dependendo da função alisada, não podemos a�rmar que
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pois a função f(x) pode não ser contínua. Quando isso acontece, outra forma de calcular o limite
de uma função é utilizar os limites laterais, quando veri�camos a proximidade do valor pela
direita ou pela esquerda de x, respectivamente, como:
Ao utilizarmos o in�nito no cálculo do limite de uma função, seja como solução ou quando x
tende a in�nito, podem aparecer indeterminações como, por exemplo,
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mas isso não nos impossibilita, pois podemos utilizar manipulações algébricas, propriedades e
teoremas para resolver o problema.  
Antes de relembrarmos os conceitos de derivada, vamos falar sobre a continuidade de uma
função, pois consideramos uma função f(x) contínua em um determinado ponto a, se:  
1. f (x) é de�nida no ponto a, isto é, existe f(a).
2. existe 
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3.
A garantia da continuidade de uma função f(x) em um determinado ponto nos permite encontrar
a derivada dessa função no mesmo ponto. Então, considerando o ponto x0, a sua derivada é
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dada por: 
A derivada é dada pelo cálculo do limite da taxa de variação, dado pelo quociente entre a
diferença f(x) – f(x0) e x – x0 que são, respectivamente, o incremento da função e o incremento
da variável x.  
Ao aproximarmos X cada vez mais de x0, estamos tendendo o incremento da variável x (Δx) a
zero; com isso, podemos escrever a derivada de uma função como: 
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Geometricamente, a derivada de uma função em um ponto é dada pela reta tangente que passa
pelo ponto; com sua representação grá�ca, temos:  
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Figura 1 | Expressão grá�ca da derivada de uma função. Fonte: elaborada pela autora.
Temos no grá�co a função f(x); os valores de x e x0, com x ≠ x0; a reta s, secante à parábola, que
passa pelos pontos P0 (x0, f(x0)) e P (x, f(x)); e a reta t, tangente a f(x) passando pelo ponto P0. À
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medida que aproximamos o ângulo α do ângulo β, temos: 
Após a abordagem de todos esses conceitos, podemos calcular a derivada de uma função
através das regras de derivação estudadas, como: a derivada de uma constante, derivada da
soma ou subtração e derivada da potência.   
Por �m, vamos calcular a reta tangente à curva f(x) = x² - 3x no ponto em que a ordenada é igual
a 4 e a abscissa é negativa.  
Quando nos referimos a uma ordenada igual a 4, signi�ca que f(x) = 4. Assim, para encontrar a
abscissa (o valor de x), temos: 
Resolvendo a equação do 2º grau, temos: x1 = 4 e x2 = -1, mas como a abscissa é negativa, então,
o ponto é dado por P (-1,4). 
Para de�nir a equação da reta tangente, vamos calcular a derivada nesse ponto utilizando a
derivada da potência, a derivada da subtração e a derivada do produto de uma constante por uma
função; assim, temos: 
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A derivada no ponto x = -1 é:
Então, a equação da reta tangente é dada por: 
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Videoaula: Revisão da unidade
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No vídeo desta aula, você irá rever os conceitos de limites e derivada de uma função através de
suas de�nições, propriedades e teoremas, que auxiliam no cálculo do limite quando há
indeterminações ou quando há uso do in�nito. No estudo da derivada, a representação grá�ca é
muito importante para visualização das retas tangente e secante e também para a compreensão
da taxa de variação. Ao �nal, você verá a resolução de uma aplicação que mostrará como utilizar
as regras de derivação com alguns conteúdos explorados. Anime-se para aprofundar o seu
conhecimento!
Estudo de caso
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Para aprimorar sua aprendizagem, vamos utilizar os conceitos relacionados à derivada de uma
função para solucionar um problema de uma empresaque administra a distribuição de água em
uma cidade. Para planejar a manutenção e/ou limpeza dos reservatórios de água, é necessário o
esvaziamento total do reservatório. Algumas variáveis são muito importantes para serem
pensadas. Por exemplo: para evitar o desperdício de água, deve-se fazer uma transferência da
água de um reservatório para outro em funcionamento, garantindo que o trabalho que será
realizado só seja iniciado após o esvaziamento total do reservatório. Outra questão a ser
investigada é o tempo de execução para o escoamento de toda a água do reservatório, evitando
que mais de um reservatório esteja sendo esvaziado ou recebendo água de reservatórios que
estão passando pela transferência de água.  
Com o objetivo de atingir os passos para um bom trabalho, foi de�nida uma função que
representa o volume do reservatório (em litros) em relação ao tempo (em horas) de escoamento,
dada por: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
A partir dessa função do volume do escoamento (V(t)), pode-se analisar, com relação ao tempo
(em horas), a quantidade de água (em litros) que está sendo transferida de um reservatório para
outro, proporcionando o esvaziamento completo do reservatório que receberá o serviço. Com os
conhecimentos estudados através da taxa de variação, velocidade instantânea e derivada de
uma função podemos analisar qual será a taxa de variação média do volume do escoamento de
água em um determinado tempo ou durante um intervalo de tempo.  
Com a utilização da função do volume do escoamento de água do reservatório (V(t)), vamos
determinar:  
1. Qual é a taxa de variação média do volume de água durante as 3 primeiras horas de
escoamento, quando a água está sendo transferida de um reservatório para outro? 
2. Qual a taxa de variação do volume de água para um tempo qualquer? 
3. Qual a quantidade de água que sai do reservatório nas primeiras 5 horas de escoamento?
Re�ita
Para encontrar a solução dos itens apresentados no estudo de caso, é importante saber que, em
alguns itens, você precisa entender a diferença entre derivada e taxa de variação de uma função.
Ao resolver um problema, nem sempre existe apenas uma forma para isso, mas a forma mais
fácil ou que utiliza os conceitos estudados. Além disso, conceitos iniciais relacionados ao estudo
de funções fazem parte dessa resolução e você pode ser capaz de relacionar conceitos básicos
vistos no Ensino Médio com estes, apresentados no Cálculo Diferencial e Integral. 
Videoaula: Resolução do estudo de caso
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
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Para calcular a taxa de variação média do volume de escoamento de água durante as 3 primeiras
horas, vamos utilizar o conceito da taxa de variação de uma função, na qual: 
Como estamos querendo saber sobre as 3 primeiras horas, temos que o tempo inicial é igual a
zero, isto é, t0 = 0 e tempo �nal é igual a 3; assim:
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Temos que a variação média do volume nas 3 primeiras horas é de - 3.395 litros por hora. Esse
valor apresenta sinal negativo porque o volume de água no reservatório está diminuindo em
relação ao tempo.  
Agora, se quisermos representar a taxa de variação do volume para um tempo qualquer, vamos
calcular a derivada da função V(t). Assim, obtemos:  
Utilizando a função derivada da função V(t), denotada por V’(t), podemos calcular o valor da taxa
de variação em 3 horas de escoamento; assim:
O que difere o valor encontrado quando calculamos a taxa de variação média do volume do
escoamento de água em 3 horas para a taxa de variação em 3 horas é que, no primeiro caso,
estamos calculando a média de escoamento dentro do intervalo de tempo investigado, ou seja,
trata-se da média aritmética da quantidade de escoamento de água do início (t=0) até a hora 1,
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
depois a hora 2, e assim por adiante. Já no segundo caso, trata-se da quantidade de água que
está sendo escoada no instante analisado, isto é, na terceira hora. 
Finalmente, quando se quer saber a quantidade de água que sai do reservatório nas primeiras 5
horas de escoamento, precisamos calcular a diferença entre o volume �nal (t=5) e o volume
inicial (dada no tempo zero, isto é, t=0). Nesse caso, não precisamos necessariamente utilizar
nenhum dos conceitos abordados relacionados ao estudo de derivadas, mas sim a função que
determina o volume do escoamento de água; com isso, temos:
Então, a quantidade de água escoada do reservatório nas primeiras 5 horas é de 16.625 litros.
Resumo visual
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Fonte: elaborado pela autora.
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Referências
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
IEZZI, G.; MURAKAMI, C.; MACHADO, N. J. Fundamentos de Matemática Elementar. v. 8, 7. ed.
São Paulo. Editora Atual, 2013.  
PRADO, M. V. B.; FERNANDES, R. K.; BONI, K. T. Cálculo diferencial e integral. Londrina: Editora e
Distribuidora Educacional S. A., 2015.
,
Unidade 3
Regras de Derivação
Aula 1
Derivada do produto e quociente
Introdução
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Olá, estudante! 
Nesta aula você aprenderá sobre as regras de derivação do produto e do quociente. A regra do
produto é utilizada para calcular a derivada de um produto de funções, ou seja, de uma
multiplicação entre funções. Já a regra do quociente, ajuda a calcular a derivada de uma divisão
de funções, ou seja, o quociente de funções diferenciáveis. 
Ao �nal desta aula espera-se que você seja capaz de realizar derivadas de funções utilizando a
regra do produto e do quociente, e saiba utilizar tais conceitos em aplicações relacionadas à sua
pro�ssão.  
Estes conceitos serão amplamente utilizados na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral e em
outras disciplinas ao longo do curso. Desse modo, desejo a você bons estudos, dedicação e
esforço.
Derivada do produto
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
No estudo que você vem desenvolvendo sobre derivadas, já percebeu que é possível calcular a
derivada de uma função por uma forma mais simpli�cada, que é por meio do uso de fórmulas
de�nidas. Nesta aula, veremos como calcular a derivada quando temos uma multiplicação entre
duas funções e uma divisão entre duas funções, por meio da regra do produto e do quociente,
respectivamente. 
É natural você questionar se a derivada de um produto entre funções é o produto das derivadas
dessas funções. Desse modo, veja o exemplo a seguir. 
Exemplo 1:
Sejam
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
a.
b.
No item a foi calculado o produto das derivadas, ou seja, primeiramente derivou-se cada função e
os resultados foram multiplicados. Já no item b, primeiro obteve-se o resultado da multiplicação
entre as funções e depois a derivada deste resultado.  
Como você pode observar, há diferença nas soluções obtidas entre as resoluções dadas
anteriormente. Sendo assim, é de grande importância conhecer as regras de derivação para
resolver corretamente estes problemas.   
Aqui estamos interessados em obter a derivada do resultado da multiplicação entre funções, ou
seja, a derivada do produto de funções.   
Regra do produto  
Sejam duas funções diferenciáveis, ou seja, onde existem suas derivadas para todos os pontos
do seu domínio. A derivada do produto dessas duas funções é o produto da primeira função pela
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
(vezes) derivada da segunda função, somado como o produto da segunda função pela (vezes)
derivada da primeira função. Ou seja, para f(x) e g(x) diferenciáveis: 
Exemplo 2:  
Seja
Então sua derivada é:
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 3:  
Seja
Então sua derivada é: 
Da mesma maneira que no produto, a derivada de um quociente entre funções não é o quociente
das derivadasdessas funções, como exempli�cado a seguir.  
Exemplo 4:  
Sejam
f′(x) = (2x3 − 1) ⋅ (x4 + x2)′+(2x3 − 1)′⋅(x4 + x2) =
= (2x3 − 1) ⋅ (4x3 + 2x) + 6x2 ⋅ (x4 + x2) =
= 8x6 + 4x4 − 4x3 − 2x + 6x6 + 6x4 =
= 14x6 + 10x4 − 4x3 − 2x
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
a.
b.
No item a foi calculado o quociente das derivadas, ou seja, primeiramente derivou-se cada
função e os resultados foram divididos. Já no item b, primeiro obteve-se o resultado da divisão
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
entre as funções e depois a derivada deste resultado.  
Como você pode observar, há diferença nas soluções obtidas entre as resoluções anteriores.
Sendo assim, é de grande importância conhecer as regras de derivação para resolver
corretamente estes problemas.  
Regra do quociente  
Sejam duas funções diferenciáveis, ou seja, onde existem suas derivadas para todos os pontos
do seu domínio. A derivada do quociente entre duas funções é a função do denominador pela
(vezes) derivada da função do numerador menos a função do numerador pela (vezes) derivada
da função do denominador; tudo sobre (divididos) o quadrado da função do denominador. Ou
seja, para f(x) e g(x) diferenciáveis: 
Exemplo 5:   
Seja
Então sua derivada é: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 6:  
Seja
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Então sua derivada é: 
Desse modo, você aprendeu como calcular a derivada de uma função que esteja escrita na forma
de um produto ou de um quociente de outras duas funções. 
Derivada do quociente
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Além de calcular a derivada de uma função, podemos também aplicá-la a um ponto. Veja o
exemplo a seguir.   
Exemplo 1:  
Seja
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Calcule f’(1), ou seja, a derivada da função f(x) aplicada no ponto x = 1. 
Para x = 1 temos:
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Desse modo,
Do ponto de vista geométrico, quando aplicamos a derivada de uma função y = f(x) a um ponto
(x, y) o resultado corresponde à tangente do ângulo formado pela intersecção entre a reta e a
curva da função y = f(x), isto é, o coe�ciente angular da reta tangente à curva. Veja, nos exemplos
a seguir, como utilizamos o conceito da derivada para encontrar a reta tangente à curva num
determinado ponto.  
Exemplo 2:  
Encontre a reta tangente à curva
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Para se encontrar a reta tangente à curva em um determinado ponto, temos que, primeiramente,
achar o seu coe�ciente angular. O coe�ciente angular da reta tangente ao grá�co de uma função
é dado pela sua derivada aplicada no ponto. Desse modo, calculamos a derivada da função y. 
Para x = 2 temos:
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Agora que encontramos o coe�ciente angular da reta
vamos encontrar a reta tangente à curva no ponto (2, 0), que é dada através da equação da reta: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Desse modo, obtemos a reta tangente à função y no ponto (2, 0). O grá�co a seguir representa a
função y, na cor verde; e a reta tangente à curva no ponto (2, 0), na cor azul.  
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Figura 1 | Grá�co da função e reta tangente a curva no ponto (2, 0). Fonte: elaborada pela autora.
Exemplo 3:  
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Encontre a reta tangente à curva
no ponto (2, 10). 
Novamente, para encontrar a reta tangente à curva em um determinado ponto, temos que,
primeiramente, achar o seu coe�ciente angular, dado pela derivada aplicada no ponto. Desse
modo, calculamos a derivada da função y.  
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Para x = 2 temos
Assim, a reta tangente à curva no ponto (2, 10) é dada através da equação da reta: 
Desse modo, obtemos a reta tangente à função y no ponto (2, 10). O grá�co a seguir representa a
função y, na cor verde; e a reta tangente à curva no ponto (2,10), na cor azul. 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Figura 2 | Grá�co da função e reta tangente à curva no ponto (2, 10). Fonte: elaborada pela autora.
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Assim, você aprendeu que, mediante o uso das regras da derivada do produto e do quociente,
podemos utilizar a derivada aplicada a um ponto da função para encontrar a reta tangente à
função nesse ponto. 
Derivação de produto e quociente de funções
O cálculo de derivadas é aplicado para resolução de problemas nas mais diversas áreas do
conhecimento. Uma das aplicações mais conhecidas diz respeito ao cálculo da velocidade
instantânea e da aceleração instantânea de um objeto.  
A velocidade instantânea v(t) de um objeto no instante t é dada pela derivada da função f(t), que
descreve a posição do objeto no instante t, ou seja: v(t)=f’(t). Já a aceleração instantânea a(t) de
um objeto no instante t é dada pela derivada da função velocidade v(t), ou seja: a(t)=v’(t). Desse
modo, a partir de uma função que descreve a trajetória de um objeto, você pode calcular sua
velocidade e sua aceleração em um determinado instante através do uso de derivadas. Vejamos,
a seguir, um exemplo dessa aplicação.  
Exemplo 1:  
Uma partícula percorre um trajeto obedecendo à equação
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
que determina sua posição S, em metros, em relação ao tempo t, em segundos. Obtenha a sua
velocidade e sua aceleração no instante t = 5 s. 
Como visto, a velocidade instantânea é dada pela derivada da função posição. Desse modo: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Desse modo, a velocidade da partícula no instante t = 5 é
ou seja, 6m/s. 
Para encontrar a função que descreve a aceleração da partícula você deve calcular a derivada da
função velocidade. Ou seja: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Sendo assim, a aceleração da partícula no instante t = 5 é 
ou seja, 2m/s2.  
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Outra possibilidade de utilização de derivada é para calcular a taxa de variação de uma função y
= f(x) em relação à x em um determinado instante. Vejamos, a seguir, um exemplo dessa
aplicação.   
Exemplo 2:  
Uma companhia telefônica quer estimar o número de novas linhas residenciais que deverá
instalar em um determinado mês. No início de janeiro, tal companhia possuía 100000 assinantes,
cada um com uma média de 1,2 linhas. A companhia estimou que o crescimento das assinaturas
seguiria uma taxa de 1000 novas assinaturas por mês e, pesquisando os assinantes existentes,
descobriu que cada um pretendia instalar, em média, 0,01 linha telefônica nova até o �nal
daquele mês. Estime o número de novas linhas que a companhia deverá instalar até o �nal de
janeiro, calculando a taxa de crescimento das linhas no começo do mês. 
Seja NA(t) o número de assinantes e NL(t) o número de linhas telefônicas por assinante em um
instante t, em que t é medido em meses com t = 0 correspondente ao início de janeiro. Então o
número total de linhas TL(t) é dado pelo número de assinantes multiplicado pelo número de
linhas por assinante, ou seja,
O número de novas linhas que a companhia deverá instalar até o �nal de janeiro consiste em
calcular a taxa de crescimento das linhas no começo do mês, ou seja, TL’(0).  
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Como você viu, a derivada pode representar a taxa de crescimento de um determinado conceito.
Desse modo, neste exemplo, NA’(0) representa a taxa de crescimento das novas assinaturas por
mês, e NL’(0) a taxa média de linhas. Assim, para t = 0, com NA (0) = 100000, NA’(0) = 1000, NL(0)
= 1,2 e NL’(0) = 0,01; temos: 
Portanto, a companhia precisou instalar aproximadamente 2200 novas linhas telefônicas no mês
de janeiro.  
Desse modo, você pôde observar que o uso das regras da derivada do produto e do quociente
são importantes no cálculo de situações reais. 
Videoaula: Derivada do produto e quociente
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computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativopara assistir mesmo sem conexão à internet.
Olá, estudante!  
Neste vídeo você verá o resumo dos conceitos abordados na aula sobre as regras de derivada do
produto entre duas funções e do quociente entre duas funções, além de alguns exemplos para
ajudar na �xação do conteúdo.   
Venha conferir! 
Saiba mais
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Para saber mais sobre as regras do produto e do quociente, acesse o conteúdo Derivada de
soma, produto e quociente de funções, onde você encontrará exemplos sobre cada uma das
propriedades vistas nesta aula.
Referências
https://cursos.ime.unicamp.br/disciplinas/calculo/derivada/soma-produto-e-quociente-de-derivadas/derivada-de-soma-produto-e-quociente-de-funcoes2
https://cursos.ime.unicamp.br/disciplinas/calculo/derivada/soma-produto-e-quociente-de-derivadas/derivada-de-soma-produto-e-quociente-de-funcoes2
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A. 6. ed. Pearson Educación, 2007. 
GIBIM, G. F. B. Cálculo diferencial e integral I. Editora e Distribuidora Educacional S. A., 2015. 
PRADO, M. V. B.; FERNANDES, R. K.; BONI, K. T. Cálculo I. Editora e Distribuidora Educacional S. A.,
2015.  
STEWART, J. Cálculo, volume 1. 7. ed. Pioneira Thomson Learning, 2001. 
Aula 2
Regra da cadeia
Introdução
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Olá, estudante! 
Nesta aula, você aprenderá sobre uma regra de derivação muito especial: a regra da cadeia, que é
utilizada para calcular a derivada de uma função composta, ou seja, quando a função que
desejamos derivar é resultado da composição entre outras duas funções.  
Ao �nal desta aula, espera-se que você seja capaz de realizar derivadas de funções utilizando a
regra da cadeia, e que saiba utilizar tais conceitos em aplicações relacionadas à sua pro�ssão.  
Esses conceitos serão amplamente utilizados na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral e em
outras disciplinas ao longo do curso. Desse modo, desejo a você bons estudos, com dedicação e
esforço. 
Introdução à regra da cadeia
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
No estudo que você vem desenvolvendo sobre derivadas, já percebeu que é possível calcular a
derivada de uma função de forma mais simpli�cada, que é por meio do uso de fórmulas
de�nidas. Nesta aula, veremos como calcular a derivada quando temos uma função resultante
da composição entre outras duas funções, utilizando a regra da cadeia.   
Primeiramente, vamos relembrar o que é uma função composta.  
Sejam as funções
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Se a
então, podemos calcular g(f(x)) para todo 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
A função composta de f e g é a função
de�nida por
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Veja um exemplo:  
Exemplo 1:  
Sejam
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
a.
b.
Note que
Desse modo, podemos de�nir a regra de derivação quando a função dada é uma função
composta. 
Regra da cadeia  
Sejam as funções y = g(u) e u = f(x) diferenciáveis, ou seja, onde existem suas derivadas para
todos os pontos do seu domínio. Seja a função composta g(f(x)). Sua derivada é obtida através
do produto entre a derivada da função de fora (g(u)) pela (vezes) derivada da função de dentro
(f(x)). Ou seja: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Vamos veri�car a de�nição acima, através dos exemplos a seguir.  
Exemplo 2:  
Seja
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Sua derivada é calculada por
ou seja, a derivada da função de fora (derivada em relação à potência), pela derivada da função
de dentro (função do segundo grau). Desse modo, temos que a derivada da função v(x) é dada
por: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 3:  
Seja
Podemos reescrever a função h(x) como sendo
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Sua derivada é calculada por
ou seja, a derivada da função de fora é a derivada em relação à potência, pela derivada da função
de dentro que é a função do segundo grau. Desse modo, temos que a derivada da função h(x) é
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
dada por: 
Exemplo 4:  
Seja
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Sua derivada é calculada por
ou seja, a derivada da função de fora é a derivada em relação à potência pela derivada da função
de dentro, que é a função do segundo grau. Desse modo, temos que a derivada da função f(x) é
dada por: 
Exemplo 5:  
Seja
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Podemos reescrever a função g(x) como
Sua derivada é calculada por
ou seja, a derivada da função de fora é a derivada em relação à potência, pela derivada da função
de dentro que é a função do segundo grau. Desse modo, temos que a derivada da função g(x) é
dada por: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Desse modo, você veri�cou que é possível calcular a derivada de uma função que esteja escrita
na forma de uma composição entre outras duas funções através da regra da cadeia.
Derivada da função composta
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
A regra da cadeia pode ser utilizada juntamente com outras regras de derivação com as quais
você já teve contato ao longo da disciplina, como, por exemplo, a regra do produto e do
quociente. Veja os exemplos a seguir. 
Exemplo 1:  
Seja
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Para calcular a derivada da função f(x) devemos aplicar, primeiramente, a regra do produto, já que
é a operação entre as funções e, depois, utilizar a regra da cadeia. Desse modo, temos que a
derivada de f(x) é dada por:
Após aplicar a regra do produto, você pode observar que, para resolver as derivadas indicadas,
podemos utilizar a regra da cadeia. Assim, o resultado da derivada de f(x) é obtido por:
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 2:  
Seja
Primeiramente, podemos reescrever a função f(t) como
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Para calcular a derivada da função f(t) devemos aplicar, primeiramente, a regra do produto, já que
esta é a operação entre as funções e, depois, utilizar a regra da cadeia. Desse modo, temos que a
derivada de f(t) é dada por: 
Após aplicar a regra do produto, você pode observar que, para resolver as derivadas indicadas,
podemos utilizar a regra da cadeia. Assim, o resultado da derivada de f(t) é obtido por: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 3:  
Seja
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Primeiramente, podemos reescrever a função f(r) como
Para calcular a derivada da função f(r) devemos aplicar, em princípio, a regra do produto, já que
ela é a operação entre as funções e, depois, utilizar a regra da cadeia. Desse modo, temos que a
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
derivada de f(r) é dada por
Após aplicar a regra do produto, você pode observar que, para resolver as derivadas indicadas,
podemos utilizar a regra da cadeia. Assim, o resultado da derivada de f(r) é obtido por: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 4:  
Seja
Para calcular a derivada da função g(x) devemos aplicar, primeiramente, a regra da cadeia,
depois, a regra do quociente, pois a operação da divisão entre as funções está dentro da
operação potência. Desse modo, temos que a derivada de g(x) é dada por:  
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Após aplicar a regra da cadeia, você pode observar que, para resolver a derivada indicada,
precisamos utilizar a regra do quociente. Assim, o resultado da derivada de g(x) é obtido por: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 5:  
Seja
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Primeiramente, podemos reescrever a função g(s) como
Desse modo, para calcular a derivada da função g(s) devemos aplicar, primeiramente, a regra da
cadeia, depois a regra do quociente, pois a operação da divisão entre as funções está dentro da
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
operação potência. Desse modo, temos que a derivada de g(s) é dada por:  
Após aplicar a regra da cadeia, você pode observar que, para resolver a derivadaindicada,
precisamos utilizar a regra do quociente. Assim, o resultado da derivada de g(s) é obtido por:
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Assim, você pode entender que, dependendo da função, é preciso aplicar mais de uma regra de
derivação para obter sua derivada.
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplos de aplicação da regra da cadeia
O cálculo de derivadas é aplicável na resolução de problemas nas mais diversas áreas do
conhecimento, sendo o cálculo da velocidade instantânea e da aceleração instantânea de um
objeto um dos mais conhecidos.   
Vamos relembrar: 
A velocidade instantânea v(t) de um objeto no instante t é dada pela derivada da função f(t), que
descreve a posição do objeto no instante t, ou seja:
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Já a aceleração instantânea a(t) de um objeto no instante t é dada pela derivada da função
velocidade v(t), ou seja
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Você viu anteriormente a resolução de problemas envolvendo velocidade instantânea e
aceleração instantânea através da aplicação das regras do produto e do quociente para o cálculo
das derivadas. Vejamos, a seguir, um exemplo da resolução desses problemas, utilizando a regra
da cadeia, que você aprendeu nesta aula.   
Exemplo 1:  
Seja a função
a trajetória descrita por um objeto, calcule a velocidade e a aceleração instantâneas no momento
x.  
Primeiramente, podemos reescrever a função f(x) por
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Desse modo, a velocidade v(x) em que esse objeto se encontra no instante x é dada pela
derivada da função trajetória f(x). 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Assim, também podemos calcular a aceleração a(x) em função do instante x. Para isso, basta
derivarmos a função velocidade v(x). 
Exemplo 2:  
A equação do movimento de uma partícula pode ser escrita através da função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
na qual a distância (s) é descrita em metros e o tempo (t) é descrito em segundos. 
1. Determine o instante em que a velocidade dessa partícula é de
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Como você já viu, a função velocidade pode ser expressa pela derivada da função movimento.  
Podemos reescrever a função movimento s(t) como
Desse modo, a velocidade pode ser expressa pela função: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Queremos encontrar em que momento a partícula terá uma velocidade igual a
ou seja,  
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Portanto, a velocidade de
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
é alcançada no instante t = 6s. 
2. Qual a distância percorrida pela partícula até o instante encontrado no item a? 
Encontramos no item a que o instante em questão é t = 6s. Então, queremos encontrar qual
distância a partícula percorreu até o instante de 6 segundos, ou seja, s (6). Desse modo,
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Portanto, após 6 segundos, a partícula percorreu 2 metros. 
3. Calcule a aceleração da partícula no instante t = 2s. 
Como você já viu, a função aceleração pode ser expressa como a derivada da função
velocidade.  
A função velocidade pode ser escrita como
Desse modo, a função aceleração é expressa por: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Queremos encontrar a aceleração da partícula no instante t = 2s, ou seja, a(2). 
Ou seja, no instante t = 2s a partícula está desacelerando a uma taxa de, aproximadamente,
0,022m/s2.  
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Desse modo você pôde observar que o uso das regras da derivada do produto e do quociente são
importantes no cálculo de situações do dia a dia.
Videoaula: Regra da cadeia
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para assistir mesmo sem conexão à internet.
Olá, estudante! 
Neste vídeo, você verá o resumo dos conceitos abordados na aula sobre a regra da cadeia, que é
uma regra de derivação utilizada quando temos uma função composta. Verá também alguns
exemplos para ajudar na �xação do conteúdo.  
Venha conferir! 
Saiba mais
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Saiba mais sobre a Regra da Cadeia, com exemplos sobre o conteúdo desta aula.
Referências
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A. 6. ed. São Paulo: Pearson Education, 2007. 
GIBIM, F. F. B. Cálculo Diferencial e Integral I. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S. A.,
2015. 
PRADO, M. V. B.; FERNANDES, R. K.; BONI, K. T. Cálculo I. Londrina: Editora e Distribuidora
Educacional S. A., 2015.  
STEWART, J. Cálculo. v. 1, 7 ed. [S. l.]: Pioneira Thomson Learning, 2001.
Aula 3
Derivada exponencial e logarítmica
Introdução
http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/regrcadeia/regcadeia.html
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Olá, estudante. 
Nesta aula, você aprenderá como calcular a derivada quando temos funções exponenciais e
funções logarítmicas. Além disso, vale lembrar que, para algumas funções, é necessário aplicar
mais do que uma regra de derivação para obter sua derivada. 
Ao �nal desta aula, espera-se que você seja capaz de realizar derivadas de funções exponenciais
e logarítmicas, e que saiba utilizar tais conceitos em aplicações relacionadas à sua pro�ssão.  
Esses conceitos serão amplamente utilizados na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral e em
outras disciplinas ao longo do curso. Desse modo, desejo a você bons estudos. 
Derivada exponencial
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Nesta aula, você vai aprender mais duas regras para obter a derivada, agora, para funções
exponenciais e funções logarítmicas.  
Primeiramente, vamos relembrar o que é uma função exponencial. 
Chamamos de função exponencial de base a a função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
que associa a cada número real x o número real
sendo a um número real, tal que
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Desse modo,
Assim, podemos de�nir a derivada de uma função exponencial.  
Derivada da função exponencial 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Para
com
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
temos que a sua derivada é dada por
Ou seja, a derivada da função exponencial é a própria função exponencial vezes o logaritmo
neperiano (ln) da base da função.  
Tem-se um caso particular da derivada para uma função exponencial quando a base da função é
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
ou seja, o número neperiano. Com isso, para
onde
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
é o número neperiano, temos que
Exemplo 1:  
Seja
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Então, sua derivada é
Exemplo 2:  
Seja
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Então, sua derivada é 
Agora, vamos relembrar o que é uma função logarítmica.  
Chamamos de função logarítmica de base a a função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
que associa a cada número real x o número real
sendo a um número real, tal que
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Desse modo,
Assim, podemos de�nir a derivada de uma função logarítmica.  
Derivada da função logarítmica 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Para
com
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
temos que a sua derivada é dada por:  
onde
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
é o número neperiano. Ou seja, a derivada da função logarítmica é 1 sobre o logaritmando vezes
o log de mesma base, mas com logaritmando
Vale ressaltar que
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
ou seja, o logaritmo do número neperiano na base a é o mesmo que o logaritmo natural de a.
Desse modo
Têm-se um caso particular da derivada para uma função logarítmica quando usamos o ln, ou
seja, o logaritmo natural. Com isso, para
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
temos que
onde
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
é o número neperiano.   
Exemplo 3:  
Seja
Disciplina
Cálculo Diferencialfunção linear é dado por
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
em que sua representação grá�ca corta o plano cartesiano na origem (0, 0). 
A função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
 trata-se de uma função linear, pois seu coe�ciente “b” é igual a zero. Observe sua representação
grá�ca:
Figura 9 | Representação grá�ca função linear. Fonte: elaborada pela autora.
Conforme mostra o grá�co, a reta da função linear
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
corta o eixo x das abscissas na origem (0, 0). Para melhor compreender a função a�m e linear, a
seguir, abordaremos algumas situações-problema que podem ser aplicadas em seu dia a dia.  
Funções polinomiais e a�m
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Agora que você já estudou sobre a de�nição, propriedades e representação grá�ca de uma
função a�m, vamos abordar sua utilização em uma situação-problema. 
Pense na seguinte situação: um taxista cobra em cada corrida, uma bandeirada �xa de R$3,00,
mais um adicional de R$ 2,50 por quilômetro rodado. Neste caso, determine: 
1. A lei de formação da função preço por corrida. 
2. O domínio e a imagem da função preço por corrida. 
3. Representação grá�ca do preço por corrida para 2km, 3km e 4km.  
4. Se o taxista cobrou R$ 30,50 numa corrida, quantos quilômetros ele percorreu? 
Para resolvermos o problema precisamos relembrar os conceitos relacionados à função a�m,
vamos lá! 
1. A lei de formação da função preço por corrida. 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Primeiramente, observe que nessa situação a taxa constante, ou seja, o coe�ciente linear, é o
valor �xo para início da corrida, que é equivalente a R$3,00. Por sua vez, o valor que varia de
acordo com a quantidade de quilômetro rodado “x” é equivalente a R$ 2,50.   
Assim, a lei de formação da função que representa a função preço por corrida: 
Temos que f(x) é nossa variável dependente, ou seja, o preço por corrida referente a quantidade
quilômetros rodados “x”, que é nossa variável independente. 
2. O domínio e a imagem da função preço por corrida.
Ao analisar a lei de formação
dessa função podemos dizer que seu domínio são os números inteiros, pois a função existe para
qualquer “x” real. A imagem dessa função também são os números reais, pois a função pode
assumir qualquer valor real dependendo do valor de “x”. 
3. Representação grá�ca do preço por corrida para 2km, 3km e 4km.  
Precisamos construir a representação grá�ca da função
Para isso, vamos utilizar os valores de x= (2, 3, 4) para encontrar os valores de f(x), ou seja, y.  
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
x f(x)= 3 + 2,5x y
2 f(2)= 3 + 2,5 . 2 = 3 + 5 = 8 8
3 f(3)= 3 + 2,5 . 3 = 3 + 7,5 = 10,5 10,5
4 f(4)= 3 + 2,5 . 4 = 3 + 10 = 13 13
 Quadro 2 | Cálculo para valores de x e y. Fonte: autora, 2022. 
Ao encontrarmos os pares ordenados (x, y) para as quantidades de quilômetros rodados com
seus respectivos preços por corrida, construímos a representação grá�ca. Importante ressaltar
que os valores de “x” foram localizados no eixo das abcissas, ou seja, na horizontal, e os valores
de “y” foram localizados no eixo das ordenadas, ou seja, na vertical. Observe os pontos A(2, 8,5),
B(3, 11,5), C(4, 14,5). 
Figura 10 | Representação grá�ca. Fonte: autora, 2022.
4. Se o taxista cobrou R$ 30,50 numa corrida, quantos quilômetros ele percorreu? 
Para resolver esse problema novamente utilizaremos a lei de formação, mas neste caso vamos
substituir o valor de R$ 30,50 no lugar de f(x), que é o preço total da corrida, observe: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Assim, uma corrida de R$ 30,50 percorreu 11 quilômetros.
Videoaula: Função a�m
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Olá, estudante!  
Você irá aprender sobre o conceito da função a�m, sua de�nição e propriedades, e construir e
interpretar sua representação grá�ca. Vamos também conhecer a função linear e calcular o zero
da função, além de aplicar esses conhecimentos em situações práticas do seu dia a dia.  
Vamos lá! 
Bom estudo! 
Saiba mais
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Para saber mais sobre função a�m, acesse o artigo Estudo de função a�m através da
modelagem matemática, de Soraya Martins Camelo.
Referências
http://www.dme.ufcg.edu.br/PROFmat/TCC/Soraya.pdf
http://www.dme.ufcg.edu.br/PROFmat/TCC/Soraya.pdf
http://www.dme.ufcg.edu.br/PROFmat/TCC/Soraya.pdf
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
ANTON, H. Cálculo. v. I, 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. 
CAMELO, S. M. Estudo de função a�m através da modelagem matemática. 2013. 49f. TCC
(Bacharelado) - Universidade Federal de Campina Grande, Centro de Ciências e Tecnologia.
Campina Grande-PB, 2013. 
CARAÇA, D. C. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Editora Gradiva publicações,
1951. 
DANTE, L. R. Matemática. 1. ed. São Paulo: Ática, 2008. 
STEWART, J. Cálculo. v. 1, 4. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
Aula 2
Função quadrática
Introdução
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Caro estudante, vimos anteriormente a de�nição da função a�m, assim como suas
representações, características e aplicações. Agora, nesta aula, você irá aprofundar ainda mais
os estudos sobre as funções a partir das funções quadráticas.   
As funções quadráticas podem ser aplicadas também em situações do nosso dia a dia, como: no
lançamento de projéteis de foguetes, na superfície parabólica presente nos espelhos dos faróis
automotivos, nos radares de velocidade que utilizam as propriedades óticas da parábola, entre
outros. 
Vamos, então, de�nir uma função quadrática e suas aplicações, além de nos aprofundar em
propriedades. Por �m, solucionaremos alguns problemas que podem ser aplicados em nosso dia
a dia. Vamos lá! 
Estrutura da função quadrática
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
A função quadrática pode ser aplicada em diversas situações do nosso dia a dia e nos auxiliar na
resolução de situações-problema. Mas, antes de realizar algumas aplicações, vamos ver sua
de�nição. 
Podemos de�nir uma função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, como qualquer função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
dada por uma lei da seguinte forma: 
a, b e c são números reais e
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
o coe�ciente a é, obrigatoriamente, diferente de 0). Conforme veremos mais adiante, o grá�co de
uma função quadrática é representado por uma curva, denominada parábola, que pode ter a
concavidade voltada para cima ou para baixo. Do mesmo modo que vimos na função a�m, na
função quadrática também temos que o domínio dessa função é o conjunto dos números reais,
limitado ao espaço ocupado pela parábola, e a imagem também é composta pelo conjunto dos
números reais.  
Vejamos um exemplo de função quadrática: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Nessa função quadrática, temos que os coe�cientes são:
Os valores dos coe�cientes b e c também podem ser iguais a zero e, quando isso acontece, a
equação do segundo grau (ou quadrática) será considerada incompleta. Observe os exemplos: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Quando
temos que
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Quando
temos que
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Outra característica das funções quadráticas ou do 2º grau é em relação aos métodos para
encontrar o zero da função, também chamado de raiz da função. Dada a função f de A em B,
chamamos raiz (ou zero) da função todo elemento de A cuja imagem é zero, ou seja,
Para resolver uma equação incompleta do 2º grau, podemos fazer das seguintes formas: 
Considere a função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
em que
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Logo, a raiz ou zero da função quadrática será
Considere a função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
em que
Disciplina
Cálculo Diferencial ee Integral
Então, sua derivada é 
Exemplo 4:  
Seja
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Então, sua derivada é
Como você viu anteriormente, algumas funções são resultado da composição de outras duas
funções. Logo, podemos ter uma função composta que seja constituída por uma função
exponencial cujo expoente seja outra função. Nesse caso, utilizaremos a regra da cadeia para
obter a derivada dessa função. Veja o exemplo a seguir.  
Exemplo 5: Seja a função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Trata-se de uma função exponencial na qual, no expoente, há uma função do segundo grau.  
Utilizando a regra da cadeia, a derivada da função f(x) é dada por
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
ou seja, a derivada da função exponencial (função de fora) vezes a derivada da função do
segundo grau (função de dentro). Desse modo, a derivada da função f(x) é: 
Observe que ln3 representa, aproximadamente, 1,1. Logo, atente-se para não cometer o erro de
multiplicar (4x + 3) por 3. Para evitar tal erro, você pode deixá-lo indicado ao �nal da expressão,
assim como na resolução apresentada.  
Também podemos ter uma função composta na qual uma função logarítmica tenha, em sua
constituição, outra função em seu logaritmando. Nesse caso, utilizaremos a regra da cadeia para
obter a derivada dessa função. Veja o exemplo a seguir.  
Exemplo 6:  
Seja a função
Trata-se de uma função logarítmica na qual, em seu logaritmando, há uma função do segundo
grau. 
Utilizando a regra da cadeia, a derivada da função v(s) é dada por: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
ou seja, a derivada da função logarítmica (função de fora) vezes a derivada da função do
segundo grau (função de dentro). Desse modo, a derivada da função v(s) é: 
Assim, você pode calcular a derivada de funções que envolvem função exponencial e função
logarítmica.
Derivada logarítmica
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Você aprendeu ao longo da disciplina que, quando aplicamos a derivada de uma função y = f(x) a
um ponto (x,y), o resultado corresponde à tangente do ângulo formado pela intersecção entre a
reta e a curva da função y = f(x), isto é, o coe�ciente angular da reta tangente à curva. Desse
modo, também é possível encontrar a reta tangente à curva em um determinado ponto para
funções exponenciais e funções logarítmicas. Veja os exemplos a seguir.  
Exemplo 1:  
Encontre a reta tangente à curva
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
no ponto (0, 1). 
Para encontrar a reta tangente à curva em um determinado ponto, temos que, primeiramente,
encontrar o seu coe�ciente angular. O coe�ciente angular da reta tangente ao grá�co de uma
função é dado pela sua derivada no ponto.  
Para calcular a derivada de f(x), precisamos utilizar a regra da cadeia, pois a função é composta
e determinada por uma função exponencial e uma função do segundo grau. Assim, sua derivada
é calculada por: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Para x = 0 temos:
Agora que encontramos o coe�ciente angular da reta
vamos encontrar a reta tangente à curva no ponto (0, 1), que é dada através da equação da reta. 
O grá�co a seguir representa, respectivamente, a função f(x), na cor verde, e a reta tangente à
curva no ponto (0, 1), na cor azul. 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Figura 1 | Grá�co da função e reta tangente à curva no ponto (0, 1). Fonte: elaborada pela autora.
Exemplo 2:  
Encontre a reta tangente à curva
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
no ponto (0, 0).  
Para encontrar a reta tangente à curva em um determinado ponto temos que, primeiramente,
encontrar o seu coe�ciente angular. O coe�ciente angular da reta tangente ao grá�co de uma
função é dado pela sua derivada no ponto.  
Para calcular a derivada de f(t) precisamos utilizar a regra do produto, pois a função é
determinada pelo produto entre uma função exponencial e uma função do segundo grau. Assim,
sua derivada é calculada por: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Para t = 0 temos:
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Agora que encontramos o coe�ciente angular da reta
vamos encontrar a reta tangente à curva no ponto (0, 0), que é dada através da equação da reta. 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
O grá�co a seguir representa, respectivamente, a função f(t), na cor verde e a reta tangente à
curva no ponto (0, 0), na cor azul. 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Figura 2 | Grá�co da função e reta tangente a curva no ponto (0, 0). Fonte: elaborada pela autora.
Exemplo 3:  
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Encontre a reta tangente à curva
no ponto (2, 3).  
Para encontrar a reta tangente à curva em um determinado ponto temos que, primeiramente,
encontrar o seu coe�ciente angular. O coe�ciente angular da reta tangente ao grá�co de uma
função é dado pela sua derivada no ponto.  
Para calcular a derivada de g(x) precisamos utilizar a regra da cadeia, pois a função é composta
e determinada por uma função logarítmica e uma função do primeiro grau. Assim, sua derivada é
calculada por: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Para x = 2 temos:
Agora que encontramos o coe�ciente angular da reta
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
vamos encontrar a reta tangente à curva no ponto (2, 3), que é dada através da equação da reta: 
O grá�co a seguir representa, respectivamente, a função g(x), na cor verde e a reta tangente à
curva no ponto (2, 3), na cor azul. 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Figura 3 | Grá�co da função e reta tangente a curva no ponto (2, 3). Fonte: elaborada pela autora.
Desse modo, você aprendeu que também podemos encontrar a reta tangente à curva em um
determinado ponto quando temos funções exponenciais e logarítmicas.
Representação grá�ca das derivadas exponencial e logarítmica.
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Como você vêm observando nas aulas, o cálculo de derivadas é aplicável na resolução de
problemas nas mais diversas áreas do conhecimento. Veja os exemplos a seguir, nos quais as
funções exponenciais e logarítmicas representam situações do dia a dia.  
Exemplo 1:  
Um ponto móvel tem velocidade variável de acordo com a função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
em m/s. Encontre a aceleração do ponto móvel no instante t = 2s. 
Nas aulas anteriores, você aprendeu que a função velocidade pode ser obtida através da derivada
da função movimento; e que a função aceleração é resultado da derivada da função velocidade.
Desse modo, temos que a função aceleração é dada por: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Como queremos encontrar a aceleração no instante t = 2s, então
Ou seja, no instante t = 2s a partícula está acelerando a uma taxa de, aproximadamente,
12,5m/s2  
Exemplo 2:  
A quantidade de bactérias presentes em uma cultura controlada (N(t)), no instante t (em horas),
pode ser calculada através da função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
1. Qual a quantidade inicial de bactérias? 
A quantidade inicial de bactérias é dada no instante t = 0h.
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Portanto, a quantidade inicial é de 150 bactérias. 
2. Qual a quantidade de bactérias depois de 1 hora?  
A quantidade de bactérias, após 1 hora, é dada por t = 1h. 
Portanto, após 1 hora, haverá, aproximadamente, 209 bactérias. 
3. Qual a velocidade instantânea de crescimento no instante t = 1? 
A função velocidade pode ser obtida através da derivada da função que relaciona a quantidade
de bactérias em relação ao tempo, ou seja, 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Para t = 1 temos que
Portanto, a velocidade de crescimento da cultura é de, aproximadamente, 70 bactérias/hora.  
Exemplo 3:  
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
O modelo Count é uma fórmula empírica utilizada para predizer a altura de uma criança em idade
pré-escolar. A altura h(x) (em centímetros) na idade x (em anos) para
pode ser aproximada pela função 
Desse modo, qual a altura e a taxa de crescimentoprevistos quando uma criança atinge a idade
de 2 anos? 
A altura prevista é calculada utilizando x = 2, ou seja
Portanto, a altura prevista para uma criança que atinge dois anos de idade é de,
aproximadamente, 86,8 centímetros. 
Para o cálculo da taxa de variação prevista, basta calcular a derivada da função crescimento para
a idade igual a 2 anos. Desse modo
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Para x = 2 temos que
Portanto, aos dois anos, uma criança cresce cerca de 9,7 centímetros/ano.  
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Desse modo você pôde observar que o uso das regras para calcular a derivada de funções
exponenciais e funções logarítmicas são importantes no cálculo de situações reais.  
Videoaula: Derivada exponencial e logarítmica
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Neste vídeo, você verá o resumo dos conceitos abordados na aula sobre a derivada de uma
função exponencial e de uma função logarítmica, além de alguns exemplos para ajudar na
�xação do conteúdo.  
Venha conferir! 
Saiba mais
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Saiba mais sobre a Derivada de uma função exponencial e sobre a derivada de uma Função
logarítmica, com exemplos dos conteúdos desta aula. 
Referências
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A. 6. ed. São Paulo: Pearson Education, 2007. 
GIBIM, F. F. B. Cálculo Diferencial e Integral I. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S. A.,
2015. 
PRADO, M. V. B.; FERNANDES, R. K.; BONI, K. T. Cálculo I. Londrina: Editora e Distribuidora
Educacional S. A., 2015.  
STEWART, J. Cálculo. v. 1, 7 ed. [S. l.]: Pioneira Thomson Learning, 2001. 
Aula 4
Derivadas trigonométricas e derivadas sucessivas
Introdução
https://embuscadosaber.com/derivada-de-uma-funcao-exponencial/
https://embuscadosaber.com/derivada-de-funcoes-logaritmicas/
https://embuscadosaber.com/derivada-de-funcoes-logaritmicas/
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Olá, estudante. 
Nesta aula, você aprenderá como calcular a derivada de funções trigonométricas. Lembre-se que,
para algumas funções, é necessário aplicar mais de uma regra de derivação para obter sua
derivada. Você também irá aprender sobre derivadas sucessivas, conteúdo que também será
abordado na unidade seguinte desta disciplina. 
Ao �nal desta aula, espera-se que você seja capaz de realizar derivadas de funções
trigonométricas e derivadas sucessivas e saiba utilizar tais conceitos em aplicações
relacionadas à sua pro�ssão.  
Esses conceitos serão amplamente utilizados na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral e em
outras disciplinas ao longo do curso. Desse modo, desejo a você bons estudos, com dedicação e
esforço. 
Derivadas trigonométricas
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Como você vem aprendendo durante o curso, para cada tipo de função temos a de�nição do
cálculo de sua derivada. Nesta aula, você vai aprender como calcular a derivada de funções
trigonométricas e derivadas sucessivas.   
Primeiramente, vamos relembrar quais são as funções trigonométricas utilizadas nesta aula.   
Além das funções seno
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
e cosseno 
podemos escrever, a partir delas, as funções tangente
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
cossecante
secante
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
e cotangente 
Veja:
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Agora, vamos relembrar a relação fundamental da trigonometria. Trata-se de uma relação de
grande importância e que será utilizada ao longo da aula. 
Finalmente, vamos aprender a calcular a derivada de funções trigonométricas.  
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Derivada da função seno 
Para
temos que a sua derivada é dada por
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 1:  
Seja
Então, sua derivada é
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Derivada da função cosseno 
Para
temos que a sua derivada é dada por
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 2:  
Seja
Então, sua derivada é
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
A partir das de�nições das derivadas das funções seno e cosseno podemos obter a derivada da
função tangente. Veja o exemplo a seguir:  
Exemplo 3:  
Calcule a derivada da função 
Podemos reescrever a função f(x) como
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Desse modo, temos uma função na forma de um quociente entre funções e, para obter a sua
derivada, basta utilizar a regra da derivada do quociente. Assim, a derivada da função f(x) é: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Derivada da função tangente 
Para
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
temos que a sua derivada é dada por
(conforme você pôde veri�car no exemplo anterior).  
Exemplo 4:  
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Sej 
Derivada da função cossecante 
Para
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
temos que a sua derivada é dada por
Exemplo 5:  
Seja
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Então, sua derivada é
Derivada da função secante 
Para
temos que a sua derivada é dada por
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 6:  
Seja
Então, sua derivada é
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Derivada da função cotangente 
Para
temos que a sua derivada é dada por
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 7:  
Seja
Então, sua derivada é
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Agora, vamos aprender sobre as derivadas sucessivas.  
Derivadas sucessivas 
Seja f(x) uma função diferenciável, ou seja, na qual existem suas derivadas para todos os pontos
do seu domínio. Se f’(x) também for diferenciável, então sua derivada é chamada de derivada de
segunda ordem de f, e é representada por f’’(x).
Exemplo 8:  
Calcule a derivada de segunda ordem de
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Temos que a derivada de f é dada por: 
Então, a derivada de segunda ordem de f é: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 9:  
Calcule a derivada de segunda ordem de
Temos que a derivada de g é dada por:
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Então, a derivada de segunda ordem de g é: 
Observe que, nesse exemplo, a função g’(x) trata-se de uma função composta por uma potência
(função de fora) e pela função trigonométrica (função de dentro). Com isso, ao calcularmos a
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
derivada de segunda ordem de g(x), foi preciso utilizar a regra da cadeia, que você já aprendeu,
mas que será explorada para as funções trigonométricas no próximo bloco.  
Assim, podemos estender o conceito de derivadas sucessivas para ordem n; ou seja, a derivada
de ordem n de uma função f(x), representada por
é obtida derivando-se a derivada de ordem n-1 de f.  
Exemplo 10:  
Calcule a derivada de ordem 5 da função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Desse modo, você pode calcular a derivada de funções trigonométricas e derivadas sucessivas.
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Derivadas sucessivas
Como você vem observando no decorrer das aulas, algumas funções são resultado da
composição de outras duas funções. Logo, podemos ter uma função composta que seja
constituída por uma função trigonométrica juntamente com outra função, seja através da
potência da função trigonométrica ou da aplicação da função trigonométrica a outra função. Em
ambos os casos, podemos utilizar a regra da cadeia para obter a derivada dessa função. Veja os
exemplos a seguir.  
Exemplo 1:  
Calcule as derivadas. 
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A função f(x) é uma função composta na qual a função trigonométrica é aplicada a uma função
potência. Desse modo, para calcular sua derivada, é preciso utilizar a regra da cadeia, na qual a
derivada é resultante da derivada da função seno (função de fora) vezes a derivada da função
potência (função de dentro). Assimtemos: 
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Primeiramente,
Portanto, a função g(x) é uma função composta em que a função potência está sendo aplicada à
função trigonométrica. Desse modo, o cálculo de sua derivada pode ser realizado de duas
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maneiras: através da regra da cadeia (item i), na qual a derivada é resultante da derivada da
função potência (função de fora) vezes a derivada da função trigonométrica (função de dentro);
ou através da regra do produto entre duas funções (item ii), já que
Observe as duas resoluções.  
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ii)
Observe que ambas as resoluções (i e ii) retornam o mesmo resultado, porém, é importante
observar que, se a potência fosse maior do que 2, resolver pela regra da cadeia seria menos
trabalhoso do que pela regra do produto. 
Além disso, atente-se à diferença entre os itens a e b: no primeiro, a potência pertence apenas ao
x e, no segundo, a toda função trigonométrica.  
Exemplo 2:  
Calcule a derivada de
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Cálculo Diferencial e Integral
Primeiramente,
Portanto, a função g(v) é uma função duplamente composta, em que a função potência está
sendo aplicada à função trigonométrica, que, por sua vez, é aplicada à uma função do primeiro
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grau. Desse modo, tem-se que sua derivada é calculada pela derivada em relação à potência
vezes a derivada da função seno vezes a derivada da função do primeiro grau. Assim, temos: 
Exemplo 3:  
Calcule a derivada de
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Primeiramente, podemos reescrever a função h(u) como
Desse modo, temos uma função na qual a primeira parcela de h(u) trata-se de uma função
composta, a função tangente é aplicada a uma função do primeiro grau e que, para calcular sua
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derivada, é preciso utilizar a regra da cadeia. A segunda parcela de h(u) é uma função potência,
na qual usamos a regra da potência no cálculo de sua derivada.  
Assim, a derivada da função h(u) é dada por: 
Uma função composta também pode ser resultante da derivada de outra função, como você viu
no Exemplo 9 do bloco anterior. Nele, tínhamos a função
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e queríamos calcular sua derivada de segunda ordem. Ao calcular a primeira derivada, o
resultado foi a função composta 
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na qual, para calcular a derivada de segunda ordem, foi necessário utilizar a regra da cadeia,
obtendo-se
Portanto, neste bloco, você aprendeu que podemos ter funções compostas que possuem
funções trigonométricas.
Grá�co seno e cosseno
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Você aprendeu, durante as aulas, que a velocidade instantânea v(t) de um objeto no instante t é
dada pela derivada da função f(t), que descreve a posição do objeto no instante t, ou seja
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á a aceleração instantânea a(t) de um objeto no instante t é dada pela derivada da função
velocidade v(t), ou seja,
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Desse modo, a partir de uma função que descreve a trajetória de um objeto , você pode calcular
sua velocidade e sua aceleração em um determinado instante através do uso de derivadas. 
Nesta aula, você aprendeu sobre as derivadas sucessivas. Assim, podemos reescrever a função
que descreve a aceleração instantânea de um objeto através da derivada de segunda ordem da
função que descreve a posição do objeto no instante t. Desse modo, temos: 
f(t) como a posição do objeto no instante t. 
v(t) = f’(t) como a velocidade instantânea do objeto no instante t. 
a(t) = f’’(t) como a aceleração instantânea do objeto no instante t.  
Veja os exemplos a seguir.  
Exemplo 1:  
Um corpo em uma mola, que vibra horizontalmente sobre uma superfície lisa, possui sua
equação de movimento como
na qual t está em segundos e s em centímetros. Calcule a velocidade e a aceleração do corpo no
instante
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Cálculo Diferencial e Integral
Como você viu, a velocidade v(t) pode ser descrita como a derivada de primeira ordem da função
posição, e a aceleração a(t) pela derivada de segunda ordem da função posição. Assim, temos: 
Para
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Portanto, o corpo está desacelerando no instante
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 2:  
Um objeto na extremidade de uma mola vertical é esticado 4 cm além de sua posição no repouso
e solto no tempo t = 0 segundos. Sua posição no tempo t é descrita pela função
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Encontre a velocidade e a aceleração instantâneas no tempo t e use-as para analisar o
movimento do objeto. 
Para calcular a velocidade e a aceleração instantâneas desse objeto vamos utilizar as derivadas
de primeira e de segunda ordem da função posição, respectivamente. Assim:
O grá�co a seguir representa as funções posição (s(t), na cor rosa), velocidade (v(t), na cor azul)
e aceleração (a(t), na cor verde). Observando o grá�co, temos que o objeto oscila desde o ponto
mais baixo (s = 4 cm) até o mais alto (s = - 4 cm), e que o período de oscilação é
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que é o período da função cosseno, função que descreve sua posição ao longo do tempo. 
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Figura 1 | Grá�co das funções posição (s(t)), velocidade (v(t)) e aceleração (a(t)). Fonte: Stewart (2001).
De acordo com a Figura 1, a velocidade é máxima quando 
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ou seja, quando
Assim, o objeto move-se mais rápido quando passa pela posição s = 0. Sua velocidade
instantânea é 0 quando
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ou seja, no ponto mais alto e no mais baixo. Já a aceleração instantânea é 0 quando s = 0; e
possui seu maior módulo nos pontos mais altos e mais baixos. 
Desse modo, você pôde observar que as funções trigonométricas podem representar situações
do dia a dia e que o conceito de derivadas sucessivas pode facilitar os cálculos dessas situações
reais
Videoaula: Derivadas trigonométricas e derivadas sucessivas
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Caro estudante, neste vídeo, você verá o resumo dos conceitos abordados na aula sobre a
derivada de uma função trigonométrica e sobre as derivadas sucessivas e verá alguns exemplos
para ajudar na �xação do conteúdo.  
Venha conferir! 
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Saiba mais
Saiba mais sobre as Derivadas de funções trigonométricas e sobre as Derivadas sucessivas, com
exemplos sobre os conteúdos desta aula.
Referências
http://factosfera.blogspot.com/2015/12/exercicios-resolvidos-sobre-regra-da.html
http://factosfera.blogspot.com/2015/12/exercicios-resolvidos-sobre-regra-da.html
http://tics.ifsul.edu.br/matriz/conteudo/disciplinas/cal/uc/2/
http://tics.ifsul.edu.br/matriz/conteudo/disciplinas/cal/uc/2/
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A. 6. ed. São Paulo: Pearson Education, 2007. 
GIBIM, F. F. B. Cálculo Diferencial e Integral I. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S. A.,
2015. 
PRADO, M. V. B.; FERNANDES, R. K.; BONI, K. T. Cálculo I. Londrina: Editora e Distribuidora
Educacional S. A., 2015.  
STEWART, J. Cálculo. v. 1, 7 ed. [S. l.]: Pioneira Thomson Learning, 2001.
Aula 5
Revisão da unidade
Regras de derivação
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Olá, estudante. 
Nesta unidade você aprendeu sobre as várias regras de derivação e suas aplicações. Vamos
relembrá-las.  
Regra do produto  
Sejam duas funções diferenciáveis f(x) e g(x), temos que a derivada do produto é dada pela
função f(x) vezes a derivada da função g(x) somada à derivada da função f(x) pela função g(x).
Assim:  
Exemplo 1:  
Calcule a derivada da função
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Regra do quociente  
Sejam duas funções diferenciáveis f(x) e g(x), temos que a derivada do quociente é dada pela
derivada da função f(x) vezes a função g(x) subtraída da função f(x) pela derivada da função g(x),
tudo dividido pela função g(x) elevada ao quadrado. Assim: 
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Exemplo 2:  
Calcule a derivada da função
Regra da cadeia  
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Sejam as funções y = g(u) e u = f(x) diferenciáveis. E a função composta g(f(x)). Sua derivada é
obtida através do produto entre a derivada da função de fora (g(u)) pela (vezes) a derivada da
função de dentro (f(x)).  
Exemplo 3:  
Calcule a derivada da função
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Cálculo Diferencial e Integral
Podemos reescrever a função u(v) como 
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Cálculo Diferencial e Integral
Derivada da função exponencial 
Para
temos que a sua derivada é dada por
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Cálculo Diferencial e Integral
Caso particular: para
temos que
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Exemplo 4:  
Calcule a derivada da função
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Derivada da função logarítmica 
Para
temos que
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Caso particular: para
temos que
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Exemplo 5:  
Calcule a derivada da função
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Derivada da função seno 
Para
temos que a sua derivada é dada por
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Cálculo Diferencial e Integral
Derivada da função cosseno 
Para
temos que a sua derivada é dada por
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Derivada da função tangente 
Para
temos que a sua derivada é dada por 
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Derivada da função cossecante 
Para
temos que a sua derivada é dada por
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Cálculo Diferencial e Integral
Derivada da função secante 
Para
temos que a sua derivada é dada por
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Cálculo Diferencial e Integral
Derivada da função cotangente 
Para
temos que a sua derivada é dada por
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 6: calcule a derivada da função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Derivadas sucessivas 
Seja f(x) uma função diferenciável. Se f’(x) também for diferenciável, então sua derivada é
chamada de derivada de segunda ordem de f, e é representada por f’’(x).  
Seguindo esse raciocínio, temos que
Exemplo 7:  
Para
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Dessa forma, com o �m desta unidade, espera-se que você consiga calcular as derivadas
indicadas, além de aplicar tais conceitos em situações do dia a dia.
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Videoaula: Revisão da unidade
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Olá estudante!  
Neste vídeo, você verá o resumo dos conceitos abordados nesta unidade: regras de derivação do
produto e do quociente; regra da cadeia; regras de derivação de funções exponencial, logarítmica
e trigonométrica; e as derivadas sucessivas, além de um exemplo para ajudar na �xação do
conteúdo.   
Venha conferir! 
Estudo de caso
Para contextualizar sua aprendizagem sobre o uso das derivadas em situações do dia a dia, veja
a seguinte situação: 
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Imagine que você trabalha em uma empresa e que seja o responsável por um determinado setor.
Dentre as atribuições, você precisa avaliar os custos de produção de um item que é produzido
em seu setor para que a empresa determine o valor de venda, de forma a alcançar os lucros
desejados. 
O custo de produção de uma empresa está relacionado ao número de itens produzidos que, por
sua vez, tem sua quantidade previamente de�nida de acordo com a demanda a ser atendida.
Porém, em alguns casos, não é possível produzir a quantidade exata de itens de�nidos,
geralmente por restrições operacionais de máquinas, matéria prima e/ou mão de obra; produz-se
uma determinada quantidade de itens em um determinado período (por exemplo, uma máquina
que produz 10 itens por hora e que deve �car ligada por 4 horas consecutivas; ao ser acionada,
produziria 40 itens a cada acionamento, independentemente do tamanho da demanda). Nesse
caso, o comum é produzir o menor número de itens excedentes, de modo que a demanda seja
atendida, já que a estocagem também gera custos às empresas. Além disso, o custo de
produção de itens inclui outros custos gerais indiretos, como aluguel, manutenção das máquinas,
matérias-primas, e mão de obra. 
Desse modo, sabendo que o custo de produção do item de sua responsabilidade é de�nido, em
unidades monetárias, pela função
de�na qual a taxa de crescimento dos custos de produção quando são produzidos 1000 itens. A
partir dessa taxa, como é possível deduzir qual será o custo, caso seja produzido um item a
mais?
Re�ita
Olá estudante. 
Disciplina
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Este estudo de caso é um exemplo prático de como as derivadas podem auxiliar, tanto em
situações do dia a dia, como em situações da sua vida pro�ssional. 
Observe que, a partir da função custo, você pode calcular o custo da produção de um
determinado número de itens x, mas não é esta função que mostra qual taxa tal custo cresce de
acordo com o número de itens produzidos. Lembre-se que, durante as aulas, você aprendeu que
a taxa de variação de uma função em um determinado ponto é dada pela derivada da função
aplicada ao ponto. 
Desse modo, veja como podemos prever o custo de um determinado produto sem a necessidade
de calcular o seu custo real, obtendo uma boa aproximação. 
Videoaula: Resolução do estudo de caso
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A função do custo de produção (C(x)) varia de acordo com as x unidades produzidas do produto.
Se o número de itens produzidos aumenta de x1 para x2, haverá um custo adicional na produção
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resultante da diferença entre o custo de produção de x1 e x2, ou seja: 
Comumente, a variação no número de produtos produzidos por uma empresa tende a ser
pequena, ou seja,
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pois a produção é sempre planejada de maneira a atender uma demanda prevista, sem gerar
grandes estoques, pois isso onera as empresas. Com isso, de�nimos o custo marginal, que é a
taxa de variação instantânea do custo em relação ao número de itens produzidos.  
Como você aprendeu durante as aulas, quando queremos encontrar a taxa de crescimento de
uma função, calculamos sua derivada. Com o resultado da derivada é possível calcular a taxa
instantânea para um ponto especí�co. Desse modo, para a função custo
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temos que o custo marginal
é calculado pela derivada da função custo, ou seja,
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Observe que a função custo é composta por três parcelas; para a primeira e para a segunda
parcelas, será necessário utilizar a regra da cadeia para encontrar as suas derivadas. Para a
última parcela, basta aplicar a derivada da potência.  
Assim, o custo marginal é dado por:  
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Então, o custo marginal da produção de 1000 itens é: 
Ou seja, o custo é de 7979,98/item.  
Com isso, temos a taxa que os custos de produção vêm apresentando quando queremos
produzir 1000 itens, que é de 7979,98 por item. Assim, podemos prever que, ao produzir o 1001o
item, seu custo de produção também será próximo a 7979,98.  
Ao calcular o custo real de produção do 1001o item, temos: 
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Ou seja, o custo real de produção do 1001o item é 7983,98.  
Com isso, a diferença entre o custo marginal (custo previsto) e o custo real de produçãodo
1001o item é de apenas 4 unidades monetárias (valor baixo quando comparado ao valor de
produção unitário do item).  
Assim, podemos concluir que a análise através do custo marginal é uma boa aproximação para
os custos de produção.  
Resumo visual
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Referências
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FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A. 6. ed. São Paulo: Pearson Education, 2007. 
GIBIM, G. F. B. Cálculo Diferencial e Integral I. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S. A.,
2015. 
PRADO, M. V. B.; FERNANDES, R. K.; BONI, K. T. Cálculo I. Londrina: Editora e Distribuidora
Educacional S. A., 2015.  
STEWART, J. Cálculo. v. 1, 7. ed. [S. l.]: Pioneira Thomson Learning, 2001. 
,
Unidade 4
Otimização da Derivada
Aula 1
Derivada implícita e taxa relacionada
Introdução
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A história do cálculo perpassa a busca em descrever o comportamento dos fenômenos físicos. 
É nesse contexto que nossa aula começa. Abordaremos as chamadas taxas relacionadas, que
são as relações estabelecidas entre as várias taxas de variação de um determinado fenômeno
físico.  
É comum que esses modelos matemáticos, que expressam fenômenos da natureza, não sejam
apresentados por equações explícitas ou simpli�cadas, o que nos leva à necessidade de
trabalhar com equações implícitas e, consequentemente, seus processos de derivação. Além
disso, pela complexidade das equações envolvidas nos modelos, apresentaremos as técnicas de
derivação para expressões com expoentes racionais. 
Esse é o contexto da nossa aula. Bons estudos! 
Derivação implícita
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Sempre que temos uma função escrita na forma
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dizemos que y é uma função explícita de x, pois podemos isolar a variável dependente de um
lado e a expressão da função do outro. Mas, fazer esse tipo de ajuste na equação, muitas vezes,
não é possível ou é mais complicado quando precisamos resolver um problema que envolve
derivadas.  
Nesses casos, trabalhamos com o que é chamado a função implícita de x e utilizamos a regra da
cadeia como técnica de derivação.  
Seja a equação
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Observa-se que
é uma função explícita de
Disciplina
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pois podemos escrever
Entretanto, a equação
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de�ne a mesma função, pois, isolando
obtemos
Disciplina
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Quando escrita na forma
dizemos que
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é uma função em relação a 
Disciplina
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Exemplo 1 
Dada a equação
determine
Disciplina
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Solução: 
Para não esquecermos que
é função em relação a
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podemos escrever a equação como
Assim, derivando ambos os lados em relação a
Disciplina
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obtemos
ou
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Caso derivássemos a equação na sua forma explícita, 
obteríamos exatamente o mesmo resultado.   
Exemplo 2 
Disciplina
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Dada a equação
determine
Disciplina
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Solução: 
Note que a expressão y’ é uma função de x, logo, adotaremos a notação y(x) para evidenciar a
necessidade da aplicação da regra da cadeia.  
Derivando ambos os lados em relação a
temos:
Muitas aplicações necessitam desse tipo de derivação, como, por exemplo, problemas de
otimização e problemas que envolvem taxas relacionadas. A capacidade de resolver uma
derivada de forma implícita também nos ajuda a entender o comportamento de algumas
funções.  
As taxas relacionadas permitem que avaliemos equações que apresentam mais de uma taxa de
variação instantânea conectadas entre si por uma mesma variável independente, sendo que
essas expressões podem estar na forma implícita. 
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Dessa forma, novamente temos a regra da cadeia como umas das principais ferramentas de
cálculo para solucionar problemas que envolvem taxas relacionadas.   
Suponha que duas variáveis
sejam funções de outra variável
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Podemos interpretar as derivadas
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como as taxas de variação instantânea de
em relação a
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Em certas aplicações,
podem estar relacionadas por uma equação como 
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Diferenciando essa equação implicitamente em relação a
obtemos: 
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ou seja, 
Disciplina
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As derivadas
são chamadas de taxas relacionadas, pois estão relacionadas por uma equação. Tal equação
pode ser usada para achar uma das taxas, quando a outra é conhecida.  
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Por exemplo, a velocidade é uma taxa de variação de um deslocamento em relação ao tempo.
Assim, é possível interpretar as taxas de variação
como velocidades instantâneas.  
As derivadas podem representar diferentes taxas de variação, dependendo do contexto .  
Podemos citar, além da velocidade, a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo,
dentre outras.  
Outro problema muito comum, quando possuímos um modelo matemático que representa algum
fenômeno da natureza, está no fato de que as equações que o compõem costumam ser bastante
complexas. Nesse sentido, apresentamos a técnica para derivar equações com expoentes
racionais. Na verdade, em nada difere um expoente racional de um expoente inteiro e, por isso,
podemos aplicar com bastante simplicidade a regra da potência dada por: 
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Contudo, se o expoente é racional, faz-se: 
Exemplo 3 
Duas variáveis
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são funções de uma variável
e estão ligadas pela equação 
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Solução: 
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ou
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Com isso, conseguimos relacionar duas variáveis, x e y, em relação ao tempo, t, através de suas
taxas de variação. 
Expoentes racionais
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Como vimos, a derivação implícita é uma técnica de derivação utilizada para calcular a derivada
quando não temos uma expressão apresentada de maneira explícita ou quando o processo de
transformação de uma expressão implícita em explícita é muito trabalhoso.  
A derivada implícita também pode ser utilizada para obter as derivadas das funções
trigonométricas inversas. A seguir, veja o processo para obter a derivada de
Disciplina
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usando a derivação implícita.  
Exemplo 4 
Seja a função
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calcule
Solução: para utilizar a derivação implícita, isola-se o x. Então:
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Aplica-se a derivada em relação a x em ambos os lados da equação, da seguinte forma: 
A derivada do lado esquerdo da expressão é resolvida aplicando a derivada da identidade
dada por:
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A derivada do lado esquerdo da expressão é uma função na variável y, dependente de x.
Desse modo, ao aplicar a regra da cadeia, obtém-se: 
Por �m, substitui-se os resultados encontrados em  
obtendo
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Isolando o termo
encontramos:
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Ainda podemos usar a relação trigonométrica fundamental dada por
além da relação
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para simpli�car esse resultado. Assim: 
Portanto, a derivada de
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Tendo claro que a derivação implícita e a derivação de funções com expoentes racionais são
técnicas de derivação que podem ser necessárias como ferramenta para resolver problemas que
envolvem taxas relacionadas,traremos, na sequência, um passo-a-passo que pode auxiliá-lo a 
resolver questões dessa natureza..  
Estratégias para resolver problemas de taxas relacionadas  
Passo 1: represente gra�camente a situação problema, identi�cando as variáveis que serão
adotadas na construção do modelo matemático (avaliar se pode ser aplicado ao problema). 
Passo 2: identi�que as taxas de variação que são conhecidas (fornecidas) e a taxa de variação
que deve  ser encontrada. 
Passo 3: determine uma equação que relacione a quantidade, cuja taxa de variação deve ser
encontrada, com a quantidade cuja taxa de variação é conhecida. 
Passo 4: derive ambos os lados dessa equação em relação à variável tempo, utilizando-se da
regra da cadeia. 
Passo 5: calcule essa derivada em um determinado ponto.  
Exemplo 1 
Um estudo ambiental, realizado em um bairro, sugere que a concentração média diária de
monóxido de carbono no ar é
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partes por milhão quando a população é
milhares de residentes. Estima-se que, daqui
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anos, a população do bairro será de
mil residentes. Qual será a taxa de variação do monóxido de carbono no ar, em função do tempo,
daqui a 3 anos?   
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Passo 1: desenhe uma �gura e classi�que as quantidades que variam. 
(não se aplica) 
Passo 2: identi�que as taxas de variação que são conhecidas (fornecidas) e a taxa de variação
que deve ser encontrada. 
A taxa fornecida: (nenhuma) 
A taxa a ser encontrada
para
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Variáveis do problema: concentração C(p) e população P(t) 
Passo 3: determine uma equação que relacione a quantidade, cuja taxa de variação deve ser
encontrada, com a quantidade cuja taxa de variação é conhecida. 
Concentração média diária de monóxido de carbono no ar:
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População do bairro
Passo 4: derive ambos os lados dessa equação em relação à variável tempo, utilizando-se da
regra da cadeia. 
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Precisamos derivar a função
em relação à variável p 
Assim, reescrevendo, tem-se: 
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Passo 5: calcule esta derivada em um ponto apropriado para obter a resposta 
Derivando
em função de t, tem-se: 
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Substituindo as informações dadas: 
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Aplicando esse resultado para
 obtemos
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Como
então,
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Aplicando esse resultado para
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Cálculo Diferencial e Integral
obtemos
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Retornando ao problema, tem-se que: 
Tem-se: 
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partes por milhão por ano. 
Nesse exemplo, utilizamos os três conceitos principais dessa aula: as taxas relacionadas, a
derivação implícita e a derivação de funções com expoentes racionais.  
Derivada implícita e taxa relacionada
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A seguir, traremos dois modelos matemáticos aplicados a situações práticas. Lembre-se que os
modelos são simpli�cações de estruturas reais, portanto muitas variáveis são desconsideradas
no processo de simpli�cação.  
Aplicação 1 
Um tumor é modelado por uma esfera de raio r. Se o raio do tumor mede, atualmente, r = 0,5 cm e
está diminuindo à taxa de 0,01 cm por mês, devido ao tratamento que está sendo aplicado,
determine a taxa de variação do volume do tumor.  
Solução: segundo o enunciado do problema, tem-se a taxa de regressão do tumor dada por
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(o sinal negativo indica que o raio está diminuindo com o passar do tempo) e o raio da esfera que
descreve o tumor dado por 0,5 cm. A partir desses dados, deve-se determinar
ou seja, a taxa de variação do volume em relação ao tempo. 
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Usando a equação do volume de uma esfera, tem-se
Note que o problema está relacionado à variável tempo, portanto  é necessário derivar a equação
em função do tempo. Ainda, é importante lembrar que um número inteiro também pode ser
escrito na sua forma fracionária e que a regra da potência para derivadas se aplica da mesma
maneira para os dois casos. Assim, usando a regra da cadeia, tem-se que: 
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Substituindo os valores dados, tem-se: 
O volume do tumor está diminuindo a uma velocidade de 0,0314 cm/mês.   
Aplicação 2 
Os trilhos são per�s de aço, dispostos de forma paralela entre si, formando as vias-férreas onde
circulam os trens. Os trilhos são montados sobre dormentes de madeira ou concreto armado, por
isso são feitos com um espaçamento para a dilatação, de modo a não envergarem com ganho de
calor ou retraírem com a queda da temperatura. A dilatação não é um fenômeno visível e varia de
acordo com o material e a temperatura.   
Suponha que o trilho tenha 10 metros de comprimento e 65,09 mm de largura, sendo seu formato
aproximado a um retângulo.   
Quando a temperatura atinge
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esse material apresenta uma taxa de variação do comprimento
e da largura
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Sabendo que a temperatura máxima na região analisada atinge, em média
determine a taxa de variação da área superior do trilho. 
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Solução: para resolver esse problema, é necessário determinar a taxa de variação do
comprimento em relação à temperatura.  
Segundo o enunciado do problema, temos as seguintes informações: 
c = 10 m = 100 cm (comprimento do trilho). 
l = 65,09 mm = 6,509 cm (largura do trilho). 
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Cálculo Diferencial e Integral
Considerando que a área do retângulo é dada por
(produto do comprimento pela largura) e tanto o comprimento quanto a largura dependem da
temperatura, então, para encontrar a taxa de variação da área, é necessário determinar a derivada
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do produto. Assim,
Substituindo os valores dados na equação acima, tem-se que: 
Logo, a variação da área em relação à temperatura será de 6,609 cm2/Co. 
Dessa forma, percebemos a importância das ferramentas do cálculo diferencial integral para
modelar e resolver situações práticas ao nosso redor.
Videoaula: Derivada implícita e taxa relacionada
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dA
dT
= 0,001(6,509) + 1000(0,001) = 1,006509
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Nesta aula, vamos trazer o conceito de taxas relacionadas e resolveremos uma aplicação sobre
esse assunto.  
Para isso, necessitamos de algumas técnicas de derivação, também chamadas de ferramentas
de cálculo. Portanto, veremos o processo de derivação implícita. 
Ao �nal da aula, você estará apto a identi�car problemas que envolvem taxas relacionadas e
saberá resolvê-los. 
Saiba mais
Sugerimos como ferramenta grá�ca para a visualização de grá�cos de funções o software de
geometria dinâmica Geogebra online. 
Referências
https://www.geogebra.org/?lang=pt
https://www.geogebra.org/?lang=pt
https://www.geogebra.org/?lang=pt
https://www.geogebra.org/?lang=pt
https://www.geogebra.org/?lang=pt
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. et al. Cálculo. v.1. Rio de Janeiro: Grupo A, 2014. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 12
set. 2022 
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. v. 1, 6. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2018. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/. Acesso em: 12
set. 2022.  
STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/. Acessoem: 12 set. 2022. 
Aula 2
Máximos e mínimos
Introdução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/
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Na engenharia existem muitas aplicações que nos levam a questionamentos, tais como: qual o
custo mínimo de produção, qual a carga máxima que uma viga suporta, qual a velocidade
máxima atingida, dentre outros. Essa área é descrita, matematicamente, pelo que chamamos de
problemas de otimização.  
É comum que em um problema de otimização precisemos determinar pontos de máximo e/ou de
mínimo da função que descreve o modelo representado. Para isso, é necessário que consigamos
identi�car esses pontos e avaliar o comportamento da função com relação aos chamados
pontos de in�exão, ou seja, pontos onde a função muda o seu comportamento. Todos esses
conceitos são descritos por meio de derivadas. 
Nesta aula, estudaremos os pontos chamados de máximos e mínimos de uma função e
descreveremos os testes ou critérios para identi�car tais pontos.  
Vamos, então, ao estudo do cálculo diferencial. 
Máximos e mínimos globais
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Gra�camente, quando a derivada de uma função em um ponto especi�cado é igual a zero, temos
uma reta tangente a essa função que é paralela ao eixo das abscissas. Esse resultado
matemático responde a muitos questionamentos em modelos de otimização. 
Dessa forma, vamos estudar essa teoria para conseguirmos aplicá-la. 
Para começar, precisamos de�nir alguns conceitos que serão base para a construção dos
chamados máximos e mínimos de uma função. Partiremos da análise do crescimento ou
decrescimento dessa função em pontos conhecidos.   
Uma função é dita crescente quando: 
seja
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uma função de�nida em um intervalo
A função
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é crescente no intervalo
se:
Disciplina
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sempre que 
para todo
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Figura 1 | Funções crescentes. Fonte: elaborada pela autora.
Note que as retas tangentes aos pontos
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possuem o ângulo de inclinação entre 0 e 90º. Qualquer reta tangente a
crescente tem inclinação positiva, ou seja,
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Através da relação entre a inclinação da reta tangente em um ponto especi�cado com a derivada
dessa mesma função neste ponto de tangência temos que
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A tangente será positiva quando o ângulo estiver no intervalo entre 0 e 90º. Esse resultado indica
que o coe�ciente angular será positivo nesses mesmos intervalos.   
Como o coe�ciente angular é a derivada da função no ponto de tangência, pode-se garantir que a
função é crescente sempre que a derivada da função for positiva.  
Uma função é decrescente quando: 
Seja
uma função de�nida em um intervalo
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A função
é decrescente no intervalo
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se
sempre que
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para todo
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Figura 2 | Funções decrescentes. Fonte: elaborada pela autora.
Note que as retas tangentes aos pontos
possuem o ângulo de inclinação entre 90 e 180º. Nesse caso, qualquer reta tangente à
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decrescente tem inclinação negativa, ou seja,
Considerando
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então, a função f(x) será decrescente sempre que a sua derivada for negativa.  
Resumindo: podemos analisar o crescimento e o decrescimento de uma função, no intervalo
através do sinal da derivada de primeira ordem:  
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Se no intervalo
tem-se
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então
é crescente em
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Se no intervalo
tem-se
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então,
é decrescente em
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O ponto intermediário entre um intervalo de crescimento e decrescimento de uma função é
chamado de ponto crítico. Vejamos a seguir essa de�nição. 
De�nição 1 
Se
for um número do domínio da função f e se
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não existir, então,
será chamado de ponto crítico de f. 
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Figura 3 | Pontos críticos. Fonte: elaborada pela autora.
Vamos veri�car a aplicação dessa de�nição nos exemplos abaixo. 
Exemplo 1: 
Ache os pontos críticos da função f de�nida por
Solução: 
Derivando, temos que: 
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Os pontos críticos serão encontrados fazendo
Neste exemplo, utilizaremos o grá�co da função (sugerimos o uso do software Geogebra para
desenhar o grá�co da função. Veja no Saiba mais o endereço eletrônico dessa ferramenta) para
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encontrar as raízes da função de
Para isso, observe a �gura a seguir: 
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Figura 4 | Zeros da função f'. Fonte: elaborada pela autora.
Observe que, quando x = – 1, temos f’(x) = 0 e, quando x = 0, temos que f’(x) não existe. Ambos (–
1 e 0) estão no domínio de f; logo, podemos dizer que – 1 e 0 são pontos críticos de f. 
A imagem a seguir apresenta os grá�cos de f(x) e f’(x). 
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Figura 5 | Grá�co de f e f´ . Fonte: elaborada pela autora.
Note que a identi�cação de x=-1 como ponto crítico permite que calculemos o valor para f(-1)=-3,
obtendo, com isso, o ponto B=(-1,-3), que é um ponto crítico de f(x).  
Exemplo 2: 
Seja
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calcule os pontos críticos de f. 
Solução: 
assim, se f’(x) = 0, temos que
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Logo, x = –1 e x = –2. Como –1 e –2 estão no domínio de f, então, podem ser denominados
pontos críticos de f.  
Como vimos, a derivada permite avaliar a função quanto ao seu crescimento ou decrescimento
em intervalos conhecidos. Como consequência, o ponto que divide esses intervalos é chamado
ponto crítico da função. Mas, será que podemos dizer que esses serão os pontos máximos e
mínimos? Veremos na sequência a resposta a essa questão.
Máximos e mínimos locais
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Dentro das aplicações que envolvem conceitos matemáticos é comum que precisemos calcular,
para uma função f em um intervalo pré-determinado, o maior valor de f(x) ou o menor valor para o
intervalo. Problemas de otimização, por exemplo, usam exatamente esse conceito.   
O maior valor da função nesse intervalo é chamado de valor (ou ponto) máximo absoluto e o
menor valor da função no intervalo é chamado de valor (ou ponto) mínimo absoluto. 
A função f terá um valor máximo absoluto em um intervalo se existir algum número c no intervalo
tal que f(c) ≥ f(x) para todo x no intervalo. Nesse caso, f(c) será o valor máximo absoluto de f no
intervalo. 
Os dois teoremas que veremos na sequência embasam a aplicação de máximos e mínimos de
funções.  
Teorema 1: Teorema do Valor Médio (TVM) 
Se f for contínua em [a, b] e derivável em ]a, b[, então, existirá pelo menos um c em ]a, b[ tal que 
Geometricamente, se s é uma reta passando pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)), existirá pelo menos
um (c, f(c)) com aseja contínua no intervalo fechado [a, b]. 
Ela seja derivável no intervalo aberto ]a, b[. 
f(a) = f(b) = 0. 
Então, existe um número c no intervalo (a, b), tal que f’(c) = 0 
Demonstração 
Primeiro caso: f(x) = 0 para todo x [a, b]. Então, f’(x) = 0 para todo x (a, b), logo, qualquer
número entre a e bpode ser tomado como c.  
Segundo caso: f(x)não se anula para todo x ]a, b[. 
Como f é contínua no intervalo fechado [a, b], então f tem um valor de máximo e um valor de
mínimo absoluto em [a, b].  
Terceiro caso: f(a) = 0 e f(b) = 0.  
f(x) não é zero x (a, b). Logo, f terá um valor máximo absoluto positivo em algum
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de (a, b), ou um valor mínimo absoluto negativo em algum
de  (a, b) ou ambos.  
Assim, para
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conforme o caso, existe um extremo absoluto em um ponto interior ao intervalo [a, b]. Logo, o
extremo absoluto f(c) é também um extremo relativo e, como por hipótese existe f’(c), segue que
f’(c) = 0. 
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Figura 6 | Máximo e mínimo relativos. Fonte: elaborada pela autora.
As de�nições nos mostram como avaliar a existência de valores máximos e mínimos de funções,
que podem ser observados na Figura 6. 
De�nição 2 
A função f terá um valor máximo relativo em c se existir um intervalo aberto contendo c, no qual
f(x) esteja de�nida, tal que f(c) ≥ f(x) para todo x nesse intervalo.  
De�nição 3 
A função f terá um valor mínimo relativo em c se existir um intervalo aberto contendo c, no qual
f(x) esteja de�nida, tal que f(c) ≤ f(x) para todo x nesse intervalo. 
Os grá�cos a seguir representam as de�nições enunciadas. 
Figura 7 | Grá�cos representativos de máximos e mínimos locais, respectivamente. Fonte: elaborada pela autora.
Vamos veri�car a aplicação dessas de�nições no exemplo a seguir. 
Exemplo 3 
Dada f(x) = 4x3 – 9x. Analise as condições das hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo
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Figura 8 | Grá�co da função f(x) = 4x3 – 9x e representação dos pontos críticos respectivamente máximo e mínimo local.
Fonte: elaborada pela autora.
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Note que o intervalo foi escolhido adotando os pontos de máximo e mínimo absolutos dessa
função. Assim, temos como ponto de máximo absoluto o ponto D e como ponto de mínimo
absoluto o ponto E. Para calculá-los, basta fazer
Assim, teremos
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É importante compreender os teoremas que estruturam o conceito de máximos e mínimos da
função e, se possível, suas demonstrações, pois eles são a base para a resolução dos chamados
“problemas de otimização” e auxiliam no aprendizado não só desta unidade, mas de todo cálculo
diferencial e integral.
Testes para derivadas
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Se a função f tiver um máximo ou mínimo relativo em c, então, f tem um extremo relativo em c.
Através da aplicação do Teorema do Valor Médio (TVM) é possível encontrar os possíveis c para
os quais existe um extremo relativo. 
A condição de anulamento da derivada em um ponto c, contido no intervalo (a, b), é necessária,
mas não é su�ciente para que c seja um extremo relativo. Isso ocorre porque f só terá extremos
relativos quando f´(x)=0, mas o contrário não é verdadeiro. Ou seja, a derivada de uma função
pode resultar em zero, sem que esse seja um extremo relativo.  
Vamos veri�car esses resultados no exemplo a seguir. 
Exemplo 4: 
Considere
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Veri�que se f tem extremo relativo. 
Solução: 
assim, f’(0) = 0. Dessa forma, a derivada de f no ponto
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é igual a zero, mas f não é derivável nesse ponto, ou seja, não possui extremo relativo nesse
ponto. 
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Figura 10: Grá�co das funções f(x), f’(x) e f’’(x). Fonte: elaborada pela autora.
A seguir, apresentaremos os chamados testes da primeira e da segunda derivada, que resumem
os conceitos vistos até o momento. 
Critério da derivada de primeira ordem (Teste da primeira derivada) 
Esse critério está relacionado ao comportamento de crescimento e de decrescimento da
função.  
Seja f uma função contínua em um intervalo fechado
que possui derivada em todo ponto do intervalo aberto
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exceto, possivelmente, em um ponto
Se
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para todo
para todo
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então,
tem um máximo local em
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Se
para todo
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para todo
então
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tem um mínimo local em
Se a função cresce antes de chegar no ponto crítico e decresce após passar pelo ponto crítico,
esse ponto crítico é um ponto de máximo local da função. De forma análoga, se a função
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decresce antes de chegar no ponto crítico e cresce após passar pelo ponto crítico, esse ponto
crítico é um ponto de mínimo local da função. 
Figura 10 | Teste da primeira derivada. Fonte: elaborada pela autora.
Critério da derivada de segunda ordem (Teste da segunda derivada) 
Se
no intervalo
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então
 é um provável ponto de máximo ou de mínimo local em
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então,
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tem um mínimo local em
no intervalo
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então
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tem um máximo local em
no intervalo
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Exemplo: determine os pontos extremos de
utilizando o teste da derivada segunda. 
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Solução: inicialmente, deve-se determinar os pontos críticos. Para isso, deriva-se a função uma
vez e iguala-se a zero, assim:
As raízes dessa equação são
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que são os pontos críticos. 
Derivando novamente, tem-se:
Avaliando em x=-2, tem-se
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quer dizer que, nesse ponto, a função é côncava para baixo, então, esse ponto é um ponto de
máximo local da função. 
Avaliando em x=2, tem-se
indicando que nesse ponto a função é côncava para cima; então, esse ponto é um ponto de
mínimo local da função.  
Figura 11 | Função  
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Fonte: elaborada pela autora.
Ambos os critérios podem ser utilizados para determinar máximos e mínimos de função,
dependendo da facilidade de derivar e de analisar os intervalos. 
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Os pontos de extremos locais, máximo e mínimo local, podem ser utilizados para determinar
máximos e mínimos de funções, mas as aplicações limitam o intervalo em que os valores podem
ser analisados. Nesse caso, deve-se avaliar os pontos que limitam o intervalo da função.
Videoaula: Máximos e mínimos
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Nesta aula, vamos trazer o conceito de máximos e mínimos de funções através dos testes de
derivação.  
Resolveremos um problema que permitirá a aplicação do critério da segunda derivada, que
possibilitará a análise dos pontos de máximo ou mínimos (locais ou globais). 
Ao �nal da aula, você estará apto a identi�car problemas que envolvem máximos e mínimos,
locais e globais, e aplicar os testes de derivação. 
Saiba mais
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Cálculo Diferencial e Integral
Para reforçar o conteúdo da aula, sugerimos o material intitulado Teste da primeira derivada.
Com ele você poderá ver mais exemplos a respeito desse tema
Referências
http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/maxmin/mm02.htm#:~:text=Se%20a%20derivada%20de%20f,ponto%20de%20m%C3%ADnimo%20para%20fDisciplina
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ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. et al. Cálculo. v.1. Rio de Janeiro: Grupo A, 2014. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 12
set. 2022 
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. v. 1, 6. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2018. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/. Acesso em: 12
set. 2022.  
HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo - Um curso moderno e suas aplicações. 11. ed. Rio de
Janeiro: Grupo GEN, 2015. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2909-2/  Acesso em: 19 set.
2022.  
STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/. Acesso em: 12 set. 2022. 
TESTE da primeira derivada. Matemática Essencial. UEL. [s. d.]. Disponível em:
http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/maxmin/mm02.htm#:~:text=Se%20a
%20derivada%20de%20f,ponto%20de%20m%C3%ADnimo%20para%20f  Acesso em: 15 nov.
2022.
Aula 3
Concavidade e pontos de in�exão
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2909-2/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/
http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/maxmin/mm02.htm#:~:text=Se%20a%20derivada%20de%20f,ponto%20de%20m%C3%ADnimo%20para%20f
http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/maxmin/mm02.htm#:~:text=Se%20a%20derivada%20de%20f,ponto%20de%20m%C3%ADnimo%20para%20f
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Introdução
Na engenharia existem muitas aplicações que nos levam a questinamentos, como: qual o custo
mínimo de produção, qual a carga máxima que uma viga suporta, qual a velocidade máxima
atingida, dentre outros. Essa área é descrita matematicamente pelo que chamamos de
problemas de otimização.  
É comum que, em um problema de otimização, precisemos determinar pontos de máximo e/ou
de mínimo da função que descreve o modelo representado. Para isso, é necessário que
consigamos identi�car esses pontos e avaliar o comportamento da função com relação aos
chamados pontos de in�exão, ou seja, pontos onde a função muda o seu comportamento. 
Com a identi�cação dos pontos de in�exão também é possível avaliar a função com relação a
concavidades formadas em subintervalos de seu domínio.  
Nesta aula, identi�caremos essas regiões onde há a mudança de concavidade e também os
pontos de in�exão, quando existirem. 
Bons estudos.
Analisar concavidades algebricamente
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Na unidade anterior, aprendemos a identi�car, através da análise da primeira derivada, os
intervalos de crescimento e/ou decrescimento de uma função. 
Assim, temos que: 
Seja f contínua no intervalo I: 
Se
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para todo x interior a
então, f será estritamente crescente em
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Se
para todo x interior a
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então, f será estritamente decrescente em
Vejamos um rápido exemplo dessa avaliação: 
Exemplo 1: 
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Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
Esboce o grá�co de f e determine os intervalos de crescimento e decrescimento dessa função. 
Solução: 
Seja
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então
Se �zermos
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 obteremos as raízes
Assim, f’(x) > 0 em
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Como f é contínua, segue que f é estritamente crescente em
é estritamente decrescente em
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A Figura 1 apresenta os grá�cos de f(x) e f’(x) 
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Figura 1 | Grá�cos de f e f’. Fonte: elaborada pela autora.
Para analisar o intervalo de concavidade de uma função
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ou seja, se a função é côncava para cima ou côncava para baixo, utilizamos a derivada de
segunda ordem (teste da segunda derivada).  
Se
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no intervalo
então, a função é côncava para cima em
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Se
no intervalo
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então, a função é côncava para baixo em
Assim, para avaliar a concavidade de uma função, é necessário calcular tanto a derivada de
primeira ordem, obtendo assim os pontos críticos e os domínios de crescimento (ou
decrescimento) da função, quanto calcular a derivada de segunda ordem, classi�cando os
pontos críticos em máximos e mínimos (se existirem). 
A seguir, veremos um exemplo que permite avaliar a concavidade de uma função. 
Exemplo 2:  
Usando o teste da segunda derivada, avalie a concavidade de
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Solução: 
Calculando as derivadas de primeira e de segunda ordem de f(x) obtemos: 
Avaliando a derivada de segunda ordem em
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ou seja, as raízes de f(x) obtemos: 
Se
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no intervalo
então, a função é côncava para cima em
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Se
no intervalo
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então, a função é côncava para baixo em
Note que não foi possível determinar os extremos para os intervalos
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pois ainda precisaremos compreender mais uma de�nição para isso. Veremos como calcular
esses valores a partir da próxima de�nição.  
De�nição 1 
Temos um ponto de in�exão,
de f(x), tal que
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é contínua, se
não existe.   
É o ponto de in�exão que demarca (delimita) a mudança de concavidade.  
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Com essa informação, veremos no exemplo a seguir o cálculo para o ponto de in�exão e a
determinação dos intervalos
do Exemplo 2: 
Exemplo 3: 
Seja a função 
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apresentada no Exemplo 1, calcule o ponto de in�exão e os intervalos onde a concavidade está
voltada para cima
e para baixo
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Solução: 
Temos que
Como
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então, fazendo
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é o ponto de in�exão. 
Agora, voltando aos resultados do exemplo anterior, podemos de�nir os intervalos
logo: 
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Se
então, a função é côncava para cima em
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Se
então, a função é côncava para baixo em
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que podem ser observados na Figura 2: 
Figura 2 | Grá�cos de f e f’’ . Fonte: elaborada pela autora.
Vimos nos exemplos acima o cálculo de pontos de in�exão e concavidade de funções com o uso
das derivadas.
Analisar concavidades gra�camente
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Vamos montar um esquema de passos para avaliar uma função que será analisada tanto
algebricamente quanto gra�camente. 
A Tabela 1 determina os passos que serão adotados: 
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Tabela 1 | Passo a passo para avaliação de funções. Fonte: elaborada pela autora.
A seguir, faremos um exemplo seguindo esses passos. 
Exemplo 4: 
Dada a função
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determine: 
1. Pontos críticos 
Os pontos críticos de f(x) são calculados a partir da expressão
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Tendo
e fazendo
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obtemos
Observamos esses valores no grá�co a seguir: 
Lembrando que 
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são as raízes de f’(x), logo
pontos críticos de f apresentados.
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Cálculo Diferencial e IntegralFigura 3 | Pontos críticos de f(x). Fonte: elaborada pela autora.
1. Os intervalos onde a função cresce ou decresce 
Derivando a função
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lembrando que as raízes de f’’ já foram calculadas no passo anterior. 
Tabela 2 | Intervalos da função f(x). Fonte: elaborada pela autora.
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Note que os valores
são valores de cada um dos intervalos, escolhidos para veri�cação. Dessa forma, quando, por
exemplo, assumimos o intervalo
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e calculamos para
o valor para
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conseguimos veri�car o que se a�rma no teste da primeira derivada. 
Note que
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Figura 4 | Intervalos de crescimento e decrescimento de f(x). Fonte: elaborada pela autora.
3. Os extremos relativos (máximos e mínimos) 
Conhecidos os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento da função e, em
conjunto, usando o teste da segunda derivada, podemos encontrar o ponto de máximo e de
mínimo da função
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Assim, temos 
logo: 
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onde 
são as raízes de
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portanto, pontos críticos de
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Figura 5 | Máximo e mínimo local. Fonte: elaborada pela autora.
4. Ponto de in�exão e concavidade 
Igualando a segunda derivada de
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a zero,
obtemos o ponto de in�exão. 
Logo, o ponto de in�exão
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Com o ponto de in�exão calculado, determinamos os intervalos que apresentam concavidade
para cima e para baixo. 
Tabela 3 | Concavidade da função f(x). Fonte: elaborada pela autora.
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5. Grá�co de f(x)  
Note que a ferramenta grá�ca (Geogebra) adotada para representar os grá�cos em cada passo,
permitiram que fôssemos visualizando os resultados. Contudo, nem sempre temos esse tipo de
ferramenta disponível. Assim, a análise feita nos passos anteriores permite que, ao chegarmos
no passo 5, possamos compreender a estrutura do grá�co dessa função. 
Figura 6 | Grá�co de f(x). Fonte: elaborada pela autora.
Assim, temos as derivadas como uma importante ferramenta de construção de grá�cos de
funções e análise. 
Pontos de In�exão de uma função
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A seguir, resolveremos uma aplicação com o uso da teoria vista anteriormente. 
Exemplo 5:  
Na produção de fármacos, existe a necessidade de se calcular o tempo de resposta de um
volume de medicamento após sua aplicação e o tempo em que essa quantidade permanece
produzindo o efeito desejado antes da aplicação de uma nova dose. Essa abordagem é
necessária para que possa ser computado o volume da próxima dose e o espaçamento entre
doses. Para esse cálculo, faz-se um estudo que avalia a concentração do medicamento aplicado
ao longo do tempo, sendo que a concentração é uma unidade que relaciona a massa com o
volume (mg/ml).  
Suponha que a concentração S (mg/ml)  de um determinado medicamento na corrente
sanguínea de um paciente possa ser calculada através da expressão: 
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onde t é o tempo em horas. 
A função S(t) re�ete um aumento gradual dessa concentração e uma queda acentuada da
quandidade de medicamento na corrente sanguínea. 
Estime o tempo t para a obtenção do ponto de in�exão. Avalie se essa função possui pontos de
máximo e/ou mínimo no intervalo
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e analise o signi�cado físico desses pontos nesse problema. Avalie também a concavidade de
S(t) para
Solução: 
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Pontos de in�exão são calculados quando a derivada de segunda ordem é nula. Já para a análise
de pontos de máximo e mínimo precisamos dos testes da primeira e segunda derivadas.  
Assim, o primeiro passo nesse problema é encontrar as funções
Logo: 
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Para nos auxiliar no cálculo de raízes de equações exponenciais, já que o foco dessa aula não
está neses cálculos, usaremos um software de geometria dinâmica que permite o cálculo das
raízes e a visualização grá�ca dessas funções. Deixamos a descrição desse software no Saiba
mais desta unidade.  
Fazendo
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Figura 7 | Grá�co de S(t) e S’(t). Fonte: elaborada pela autora.
Portanto, temos um ponto crítico para a função S(t) quando t=3,2189 
Calculando a segunda derivada nesse ponto, obtemos: 
logo, temos um ponto de máximo da função quando
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Agora, precisamos encontrar o ponto de in�exão. Para isso, 
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Figura 8 | Grá�co de S(t) e S’’(t). Fonte: elaborada pela autora.
Com isso, podemos concluir que: 
Quando
Logo a concentração máxima de medicamento na corrente sanguínea será encontrada após
3,2189 horas, sendo essa concentração igual a 12,5 mg/ml. 
O ponto de in�exão nos mostra quando a curva de concentração começa a subir. Assim, quando
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horas, a concentração começa a subir até o seu pico máximo, que se dá 3,2189 horas após a
aplicação do medicamento. 
Videoaula: Concavidade e pontos de in�exão
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computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo
para assistir mesmo sem conexão à internet.
Nesta aula, vamos trazer o conceito de concavidades e pontos de in�exão de uma função,
apresentados no contexto de uma aplicação. Ao �nal da aula, você estará apto a identi�car e
resolver problemas que envolvem a análise de concavidades e pontos de in�exão, com o uso de
derivadas de primeira e segunda ordem. 
Saiba mais
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Sugerimos como ferramenta grá�ca para a visualização de grá�cos de funções o software de
geometria dinâmica Geogebra online. Com ele, também é possível calcular as raízes e pontos
especí�cos de uma função conhecida.  
Também indicamos uma calculadora online gratuita para auxiliar e comparar resultados:
Symbolab. 
Referências
https://www.geogebra.org/?lang=pt
https://pt.symbolab.com/solver/derivative-calculator
Disciplina
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GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. v. 1, 6. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2018. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/. Acesso em: 12
set. 2022.  
HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo - Um curso moderno e suas aplicações. 11. ed. Rio de
Janeiro: Grupo GEN, 2015. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2909-2/.  Acesso em: 19 set.
2022.  
STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/. Acesso em: 12 set. 2022. 
Aula 4
Otimização
Introdução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2909-2/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Nesta unidade de aprendizagem, usaremos as técnicas de derivação aprendidas ao longo da
disciplina para resolver problemas de indeterminação no cálculo do limite de funções. Para esse
�m, apresentaremos a chamada Regra de L’Hôspital, idealizada pelo matemático Bernoulli.  
Além disso, aplicaremos os conceitos e as técnicas de derivação para resolver problemas de
otimização, também chamados de aplicações. Nesse contexto utilizaremos, principalmente, os
testes da primeira e segunda derivadas, análise de pontos críticos, veri�cação da concavidade de
funções e pontos de in�exão. 
Misturaremos teoria e prática, aproximando osIntegral
Logo, a raiz, ou zero, da função quadrática será
ou
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Outro método para encontrar a raiz de uma função quadrática, seja ela completa ou incompleta, é
a partir da fórmula de Bhaskara, em que a, b e c são os coe�cientes da equação: 
O discriminante é igual a: 
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Dependendo do valor do discriminante, podemos determinar a quantidade de raízes que a função
quadrática tem; observe: 
Se
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a função apresenta duas raízes reais e iguais, tangenciando o eixo das abscissas (eixo x). 
Se
a função contém duas raízes reais e diferentes, e a parábola intercepta o eixo das abscissas em
dois pontos distintos.  
Se
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a função não contém raízes reais e a parábola não intercepta o eixo das abscissas. 
Para melhor compreender a aplicação da fórmula, vejamos como encontrar a raiz (ou solução)
da função quadrática
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Primeiramente, temos que considerar: 
Assim, os coe�cientes serão: 
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Determinando o discriminante: 
De acordo com o discriminante, como
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teremos duas raízes distintas e reais.  
Substituindo na fórmula, temos: 
Logo, a raiz, ou zero, da função quadrática será
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ou
Conforme vimos, a função quadrática, ou função do 2º grau, tem suas especi�cidades, além de
suas ferramentas para encontrar suas raízes. A seguir, nos aprofundaremos ainda mais no
assunto, abordando sua representação grá�ca.
Composição de funções quadráticas
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Cálculo Diferencial e Integral
Conforme vimos, a função quadrática, assim como a função a�m, também apresenta uma lei de
formação e pode ter duas raízes reais distintas, uma raiz única ou nenhuma raiz real. Agora, para
melhor compreendermos o assunto, abordaremos a construção e interpretação do grá�co de
uma função quadrática. 
Quando estamos trabalhando com funções, a construção e interpretação de grá�cos são
necessárias, uma vez que cada função tem a sua representação grá�ca e, independentemente do
tipo de função, é fundamental conhecermos: plano cartesiano; par ordenado; eixo das abscissas
(x); e eixo das ordenadas (y). 
O grá�co de uma função do segundo grau é chamado de parábola. Ao construir o grá�co de uma
função quadrática, notaremos sempre que: 
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Figura 1 | Coe�ciente a 0), temos o ponto mínimo
da função e, quando a parábola tem concavidade voltada para baixo (aconceitos teóricos aprendidos com a resolução
de problemas reais. 
Sejam muito bem-vindos ao estudo do cálculo diferencial!  
Formas indeterminadas
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Existem sete indeterminações no contexto do cálculo diferencial e integral que, constantemente,
são discutidas e descrevem limites de funções.  
Duas delas são obtidas a partir de um quociente, sendo
suas representações matemáticas. Tem-se também a multiplicação
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a subtração
A seguir apresentamos de qual limite de funções cada uma dessas representações deriva: 
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Algumas dessas indeterminações podem ser resolvidas por meio de simpli�cações, como
exemplo, substituições por produtos notáveis, uso de limites fundamentais ou aplicação de
racionalização de denominadores. Vejamos a seguir alguns exemplos: 
Exemplo 1: 
Determine os limites a seguir:
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Solução:  
Aplicando uma substituição direta na tentativa de resolução desse limite, nota-se que existe uma
indeterminação do tipo
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Dessa forma, utilizaremos o artifício matemático da racionalização de frações.  
Portanto,
Observe na �gura abaixo que em
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a função não tem solução. Esse resultado está apresentado na tabela ao lado do grá�co. 
Figura 1 | Grá�co de
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Fonte: elaborada pela autora.
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Solução:  
Por apresentar indeterminação do tipo
neste caso, utiliza-se o artifício matemático do limite fundamental
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então, deve-se arrumar o limite de modo que possa ser aplicada a substituição: 
Portanto,
Disciplina
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Observe na �gura a seguir que em
a função não tem solução. Esse resultado está apresentado na tabela ao lado do grá�co. 
Figura 2 | Grá�co de
Disciplina
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Fonte: elaborada pela autora.
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Por apresentar indeterminação do tipo
neste caso, utiliza-se o artifício matemático do limite do termo de maior grau. Portanto deve-se
dividir o numerador e o denominador por
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Portanto,
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Observe na �gura a seguir que para valores muito grandes de x, a função tende a
Esse resultado pode ser observado analisando o grá�co da função (em azul) que se aproxima da
assíntota (cinza tracejada)
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quando
Figura 3 | Grá�co de
Disciplina
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Fonte: elaborada pela autora.
Nos três exemplos anteriores conseguimos usar algum artifício algébrico com o objetivo de sair
das indeterminações do tipo
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Todavia, para alguns limites, nenhum dos artifícios vistos anteriormente são su�cientes. Um
exemplo é o caso
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O matemático Johann Bernoulli descobriu uma propriedade que permite calcular limites desse
tipo. Essa descoberta consiste em perceber que, na vizinhança de um ponto, pode-se comparar o
quociente de duas funções com o quociente de suas derivadas, desde que determinadas
hipóteses estejam satisfeitas. Essa descoberta foi chamada de Regra de L’Hôspital, por ter sido o
Marquês de L’Hôspital (aprendiz de Bernoulli) quem a publicou. Segue a de�nição da regra de
L’Hôspital.   
De�nição 1 (STEWART, 2017) 
Sejam
duas funções contínuas e deriváveis em um intervalo
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conhecido, com
para todo
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Considere ainda que x pertence a uma vizinhança V tal que
 Com essas condições satisfeitas, duas indeterminações podem ocorrer: 
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1. Indeterminação do tipo
Seja
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Se houver
�nito ou in�nito, então, existe 
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2.Indeterminação do tipo
Seja
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Se houver 
�nito ou in�nito, então existe
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e pode ser determinado por meio de:  
Caso a indeterminação persista repete-se o processo até eliminar a indeterminação.  
No próximo bloco resolveremos exemplos aplicando esta regra.
Regra de L'Hôspital
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Como vimos, a regra de L’Hôspital permite que resolvamos o limite de funções apesar de
possíveis indeterminações.  
Vimos também que
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não pode ser resolvido apenas com técnicas de simpli�cação. Vejamos, então, como resolvê-lo
aplicando L’Hôspital:  
Exemplo 2: 
Resolva o limite
Solução:  
Aplicando a substituição direta, encontraremos uma indeterminação do tipo . Portanto é possível
aplicar a regra de L’Hôspital: 
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Logo,
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Resolveremos na sequência, alguns dos limites de funções vistos no bloco anterior, mas que
agora serão resolvidos aplicando a regra de L’Hôspital.  
Exemplo 3: 
Determine os limites a seguir, utilizando a regra de L’Hôspital: 
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Solução:
Portanto,  
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Solução: 
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Nesse ponto, a função ainda apresenta indeterminação do tipo
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Logo, aplica-se a regra de L’Hôspital novamente. 
Portanto,
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Muitas vezes, o limite a ser calculado apresenta indeterminações do tipo
que podem ser transformadas em indeterminações do tipo
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para que a regra de L’Hôspital possa ser aplicada.  
Os próximos exemplos apresentarão algumas dessas situações. 
Exemplo 4: 
Resolva os limites a seguir aplicando a regra de L’Hôspital 
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Solução:  
Esse limite apresenta indeterminação do tipo
porém, não se pode aplicar a regra de L’Hôspital de maneira direta.  
É necessário, em primeiro lugar, preparar o limite de forma que aparece uma indeterminação do
tipo
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O primeiro passo para esse limite é reduzir as duas frações à uma única fração: 
Aplicando uma substituição direta, o limite apresentará uma indeterminação do tipo
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e, portanto, pode-se aplicar a regra de L’Hôspital: 
Nesse ponto, o limite ainda apresenta indeterminação do tipo
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Dessa forma, aplica-se a regra de L’Hôspital novamente. 
Portanto,
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Solução:  
Esse limite apresenta indeterminação do tipo
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Portanto, é necessário preparar o limite de forma que apareça uma indeterminação do tipo
Nesse caso, aplica-se o logaritmo em ambos os lados da função
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Cálculo Diferencial e Integral
para transformar a função exponencial em um produto: 
Aplicando a propriedade de potência do logaritmo tem-se: 
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Isolando y tem-se: 
Assim,  
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Cálculo Diferencial e Integral
Esse limite apresenta indeterminação do tipo
porém, ainda não se pode aplicar a regra de L’Hôspital. Reescrevendo o limite como uma divisão,
apresenta-se uma das indeterminações que possibilitam aplicar essa regra. 
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Devido ao limite apresentar uma indeterminação do tipo
 pode-se aplicar a regra de L’Hôspital:
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Portanto
A técnica utilizada nesse exemplo é similar para indeterminações do tipo
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Problemas de otimização
Disciplina
Cálculo Diferencial e IntegralOs problemas conhecidos como problemas de otimização usam todos os conceitos estudados
nesta disciplina, mas, principalmente, as técnicas e os conceitos de derivação vistos nas seções
anteriores desta unidade.  
Vamos resolver alguns desses problemas.  
Lembre-se: existem outras maneiras de se resolver cada uma dessas aplicações. Assim, desde
que você opte por uma forma matematicamente correta de chegar ao resultado, sua maneira de
resolver pode ser diferente da apresentada nos exemplos a seguir.  
Exemplo 5: 
Uma lata de leite condensado tem o formato de um cilindro reto com a capacidade de 395
gramas que equivale, aproximadamente, a um volume de 320 cm3.  
O fabricante determina a altura e o raio desse cilindro para que tenha custo mínimo de material.  
Sabe-se que a lata é produzida com alumínio, sendo que o custo para o alumínio usado na tampa
e na base é de dez centavos por cm2 e o custo para o material usado na lateral é de cinco
centavos por cm2.  
Determine a altura e o raio da tampa (e base) para que o fabricante tenha um custo mínimo para
a produção da lata. 
Solução: 
Para calcular o volume de um cilíndrico reto usa-se a relação 
V = área da base altura =
onde h é a altura do cilindro e r é o raio da base. 
Temos que nosso cilindro tem volume igual a 320 cm3, portanto 
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Queremos minimizar o custo do material que está relacionado a área da lata, sendo que o custo
do material usado para a base do recipiente e para a tampa é de dez centavos por cm2 e o custo
do usado para a parte lateral é de cinco centavos por cm2. 
Dessa forma, podemos plani�car nossa lata cilíndrica de forma que a área da base (círculo) terá
um custo e a área da lateral (do retângulo) terá outro custo, que somados nos dão a equação: 
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Figura 4 | Plani�cação de um cilindro circular reto. Fonte: elaborada pela autora.
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Logo, tenho uma função em relação ao raio r. Fazendo
encontramos os pontos críticos para a função. 
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Fazendo
encontraremos as raízes de
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Portanto, considere r = 2,9425 cm 
Como desejamos um custo mínimo, precisamos garantir que em
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teremos um ponto de mínimo local. Assim, fazemos
Dessa forma, como
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então tem-se um ponto de mínimo em
quando
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Figura 5 | Grá�co das funções
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Fonte: elaborada pela autora.
Logo, sabemos que para obter custo mínimo, sendo
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 substituindo, teremos então
Você pôde perceber que usamos diretamente os conceitos de derivadas para analisar situações
do dia a dia e, com isso, tirar resultados importantes para a solução de problemas, chamados de
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problemas de otimização. 
Videoaula: Otimização
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo
computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo
para assistir mesmo sem conexão à internet.
Neste vídeo vamos trazer o conceito de otimização. Para isso, selecionamos uma aplicação que
dependerá de técnicas de derivação vistas ao longo das seções que compõem esta unidade,
além de conceitos desta seção. Ao �nal da aula, você estará apto a identi�car problemas de
otimização e saberá resolvê-los. 
Saiba mais
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Sugerimos como ferramenta grá�ca para a visualização de grá�cos de funções o software de
geometria dinâmica GeoGebra on-line.   
O material Taxas Relacionadas e Máximos, de Araújo é rico em exemplos de problemas de
otimização, sendo que a maior parte deles está resolvido, auxiliando na prática e �xação do
conteúdo. Assim, sugerimos que você acesse, e tente resolvê-los.   
Para saber um pouco mais sobre a vida de L’Hôspital e Bernoulli, sugerimos dois materiais. O
primeiro, Guillaume François Antoine Marquis de L'Hospital (1661-1704), e o segundo Johann
Bernoulli (1667 - 1748).
Referências
CONNALY, HUGHES-HALLETT, GLEASON, et al. Funções para modelar variações – uma
preparação para o cálculo. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.  
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração. 6. ed.,
rev. e ampl. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.  
GOLDSTEIN, L. J. et al. Matemática aplicada. Porto Alegre: Grupo A, 2012. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788540700970/. Acesso em: 30 set. 2022.  
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. v. 1, 6. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2018. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/. Acesso em: 28
set. 2022. 
LIMA, E. L. Meu professor de matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2011.  
MAOR, E. e: a história de um número. Record: Rio de Janeiro, 2008.  
https://www.geogebra.org/?lang=pt
https://www.geogebra.org/?lang=pt
http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/taxarel/listaRelRat.html
http://ecalculo.if.usp.br/historia/lhospital.htm
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788540700970/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/
Disciplina
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STEWART, J. Cálculo. v. 1. Tradução da 8ª edição norte-americana. São Paulo: Cengage Learning
Brasil, 2017. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/.
Acesso em: 28 set. 2022.
Aula 5
Revisão da unidade
Ferramentas para a otimização e resultados
Nesta unidade trabalhamos com diversas técnicas de derivação tendo como foco a resolução de
problemas.  
Alguns desses problemas tinham como base o conceito de taxas relacionadas. Nesse sentido,
vimos as técnicas para derivação implícita, pois muitos dos modelos matemáticos gerados por
esse tipo de aplicação não permitem uma redução da variável escolhida com facilidade. Assim:
expressões como 
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Cálculo Diferencial e Integral
foram derivadas implicitamente usando para isso a regra da cadeia e outras técnicas de
derivação já conhecidas.  
A equação (1) é uma equação com duas variáveis. Podemos derivá-la em relação a uma terceira
variável, por exemplo
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Cálculo Diferencial e Integral
obtendo assim taxas relacionadas de
em relação a
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Cálculo Diferencial e Integral
Para isso devemos aplicar a derivação implícita, obtendo a equação: 
Esse exemplo é um típico problema de taxas relacionadas.  
A seguir enunciamos um segundo exemplo sobre esse conceito. 
Exemplo 1: 
Uma criança está empinando uma pipa que voa a uma altura de 20 m. Esta mesma pipa se move
horizontalmente a uma velocidade de 3 m/s.  
Desejamos saber a velocidade da linha que está sendo “solta”, quando o comprimento da linha
desenrolada for de 25 m. 
Pensando na construção do modelo matemático, relembramos a seguir uma estratégia vista
nesta unidade: 
Passo 1: Representar gra�camente a situação problema, identi�cando as variáveis que serão
adotadas na construção do modelo matemático (avaliar se pode ser aplicado ao problema). 
Passo 2: Identi�que as taxas de variação que são conhecidas (fornecidas) e a taxa de variação
que deve ser encontrada. 
Passo 3: Determine uma equação que relacione a quantidade, cuja taxa de variação deve ser
encontrada, com a quantidade cuja taxa de variação é conhecida. 
Passo 4: Derive ambos os lados desta equação em relação à variável tempo utilizando-se da
regra da cadeia. 
Passo 5: Calcule esta derivada em um determinado ponto. Outro foco importante da nossa
unidade foi a construção de técnicas e análise grá�ca de funções, culminando no uso desses
resultados para a solução de problemas de otimização. 
Problemas de otimização são aqueles nos quais procura-se maximizar ou minimizar alguma de
suas variáveis, por exemplo:maximizar o lucro, minimizar os custos, entre outros. 
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Cálculo Diferencial e Integral
Nesse sentido, vimos como identi�car intervalos de crescimento e decrescimento, pontos
críticos, pontos de máximo e mínimo, pontos de in�exão e concavidade de funções em intervalos
determinados, usando para isso as derivadas.  
Assim, de�nimos testes que permitem analisar e encontrar esses pontos, testes estes chamados
de teste da primeira e da segunda derivada. 
O próximo exemplo representa um problema prático de otimização.
Exemplo 2:
O total de vendas 
(em milhares de dólares) de uma companhia, está relacionado com a quantidade de dinheiro 
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Cálculo Diferencial e Integral
que a companhia gasta anunciando seus produtos pela fórmula:
A companhia quer identi�car quanto deve gastar de forma a maximizar suas vendas. 
Para resolver este exemplo, lembre-se do passo a passo descrito nas nossas aulas:  
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Passo 1: Encontrar os pontos críticos usando o teste da primeira derivada. 
Passo 2: Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. 
Passo 3: Encontrar os máximos e mínimos locais usando para isso o teste da segunda derivada. 
Passo 4: Encontrar os pontos de in�exão usando as raízes da segunda derivada.  
Por �m, trabalhamos com a regra de L’Hôspital que permite a resolução de limites de funções
que apresentam indeterminação matemática. 
O próximo exemplo contextualiza a necessidade do uso da regra de L’Hôspital. Veja a seguir. 
Exemplo 3: 
Para estudar o aprendizado em animais, um estudante de psicologia realizou um experimento em
que um rato teve que atravessar várias vezes o mesmo labirinto. Suponha que na enésima
tentativa o estudante obteve a seguinte função relacionando o número de tentativas com o
tempo:  
onde
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é quantidade de vezes que o rato atravessa o labirinto.  
O estudante deseja saber o que acontece com este tempo quando o número
de tentativas aumenta in�nitamente. 
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Aqui nesse exemplo usaremos a ideia de limite de uma função quando a variável desta mesma
função cresce tendendo a “mais” in�nito.  
Esses três exemplos serão resolvidos no nosso vídeo da aula, mas sugerimos que sejam
desenvolvidos por você antes mesmo de assistir ao vídeo. Assim, poderá tirar suas dúvidas e
identi�car se é necessário retomar o estudo em algum trecho do material. 
Videoaula: Revisão da unidade
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Neste vídeo, vamos resolver e analisar os três exemplos enunciados no material que resume a
unidade de aprendizagem, permitindo assim que você identi�que quais são as técnicas e os
conceitos necessários na resolução de diferentes aplicações. Os problemas escolhidos serão
resolvidos aplicando técnicas aprendidas na Unidade 4 desta disciplina, portanto, temos como
intuito a recapitulação desses conceitos, permitindo, assim, uma melhor compreensão dos
temas abordados.
Estudo de caso
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Para contextualizar sua aprendizagem propomos a resolução de um problema de otimização. 
Sim, já resolvemos alguns. Mas agora, esse será resolvido exclusivamente por você, testando
assim sua capacidade de interpretar o problema e aplicar os conceitos aprendidos na unidade.  
Dessa forma vamos contextualizá-lo. 
Imagine-se como o gerente de uma importante fábrica de calçados. Como é de se esperar de
uma boa fábrica, existem diversos controles de qualidade para minimizar gastos e maximizar a
produção.  
Nesse processo de otimização, sua equipe de marketing calculou que
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meses após o início de uma campanha publicitária,
centenas de pares de calçados foram vendidos, sendo que a função que rege essa relação é
dada por:  
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Além disso, outra relação foi construída, pois a equipe de marketing queria entender qual foi o
gasto com a campanha publicitária que levou a uma venda máxima de calçados. Nessa análise,
identi�caram a seguinte função que relaciona o gasto x (expresso em uma unidade de milhar a
cada uma unidade do grá�co), com a quantidade de pares vendidos P(x) (centenas de pares): 
Sabendo que o valor gasto permitiu que a fábrica chegasse a sua venda máxima, você, como
gerente da fábrica, pediu que a equipe lhe informasse qual foi o valor gasto para que a venda
fosse máxima e após quantos meses isso ocorreu.  
Como a equipe conhecia as funções que modelam esses fenômenos, rapidamente lhe trouxeram
os resultados o que lhe causou um certo espanto. 
Quais foram os resultados trazidos e o que lhe chamou a atenção?
Re�ita
Note que o estudo de caso é composto por duas funções que não estão relacionadas pela
mesma variável. 
Re�ita se o resultado de uma função pode ser usado para obter os resultados da outra. 
Podemos usar técnicas de derivação, mas seria possível resolver essa prática com alguma outra
ferramenta?
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Videoaula: Resolução do estudo de caso
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A primeira função expressa a relação entre a quantidade de pares vendidos e o tempo
transcorrido (em meses). 
Assim, é possível saber, em cada mês, quantas centenas de sapatos foram vendidos. Por
exemplo, se calcularmos a quantidade de centenas de sapatos vendidos em um mês, temos:  
Logo, temos quase cinco centenas de calçados vendidos a cada mês. 
Contudo, precisamos saber qual o valor gasto para que se tenha uma quantidade máxima de
calçados vendidos. Para isso precisaremos estudar a segunda função informada. 
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Se queremos saber para qual valor de x obteremos P(x) máximo, precisamos aplicar os testes da
primeira e da segunda derivada. Assim: 
Igualando
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obtemos os pontos críticos de P. Logo:
Assim,
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é um ponto crítico de
Para saber se ele é um ponto de máximo, calculamos a segunda derivada de P. Logo: 
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Pelo teste da segunda derivada, quando
temos um ponto de máximo. Como
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é menor do que zero para qualquer x, então o ponto crítico de P(x) é um ponto de máximo. 
Assim concluímos que a venda máxima de calçados se dará quando o gasto for igual a R$
6000,00. 
Contudo, o problema pede que encontremos após quantos meses isso aconteceu. A função que
relaciona a quantidade de calçados e os meses já foi apresentada. Assim, se soubermos quantas
centenas de calçados foram vendidos com um gasto de R$ 6000,00, conseguiremos descobrir
após quanto tempo isso ocorreu. 
Para saber a quantidade de calçados basta substituir
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Logo, o resultado será
centenas de calçados. 
Esse resultado será comparado com função
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pois desejamos saber para qual valor de
o resultado
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Assim fazemos: 
E, portanto,
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Note que usamos as regras de derivação em uma das funções e a outra função serviu para que
pudéssemos calcular o tempo (em meses). 
O que surpreendeu o gerente da fábrica foi a coincidência entre os grá�cos da função
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e
que possuem o mesmo ponto de máximo da função.
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Figura 1 | Funções descritas no estudo. Fonte: elaborada pela autora.
Esse problema poderia ter sido resolvido apenas gra�camente com o uso de alguma ferramenta
computacional,como exemplo o Geogebra on-line. Segue aqui o endereço eletrônico da Figura.
Resumo visual
https://www.geogebra.org/graphing/xxrmbesg
https://www.geogebra.org/graphing/xxrmbesg
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Cálculo Diferencial e Integral
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Referências
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Cálculo Diferencial e Integral
ANTON, H. et al. Cálculo. v. 1. Rio de Janeiro: Grupo A, 2014. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 12 set. 2022
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. v. 1, 6. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2018. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/. Acesso em: 28
set. 2022.
HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo - Um curso moderno e suas aplicações. 11. ed. Rio de
Janeiro: Grupo GEN, 2015. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2909-2/. Acesso em: 19 set. 2022
STEWART, J. Cálculo. v. 1. Tradução da 8ª edição norte-americana. São Paulo: Cengage Learning
Brasil, 2017. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/.
Acesso em: 28 set. 2022.
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2909-2/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/Diferencial e Integral
Agora, substituiremos no y do vértice: 
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Assim, a altura máxima que a bola atingirá será de 15 metros. 
3. Em quanto tempo a bola atinge a altura máxima? 
Para resolver essa questão, precisamos determinar em quanto tempo a bola atinge a altura
máxima, ou seja, o
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Assim, a bola atingirá a altura máxima em 30 décimos de segundo.  
Para complementar ainda mais o assunto, o grá�co a seguir representa as coordenadas do
vértice da parábola com o ponto de máximo dessa função, onde pode-se observar
(representados gra�camente) o xv (x do vértice) e o yv (y do vértice).  
Figura 9 | Ponto máximo da função. Fonte: elaborada pela autora.
4. Após quanto tempo decorrido do lançamento a bola atinge o solo?                      
Para encontrarmos o tempo decorrido entre o lançamento e o momento em que a bola atinge o
solo, precisamos determinar o valor de x quando f(x) = 0, ou seja, sua raiz. Para isso, temos: 
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Cálculo Diferencial e Integral
Como temos uma equação do segundo grau incompleta, vamos resolver da seguinte forma:
Assim, temos a primeira raiz: 
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E a segunda raiz: 
Portanto, como queremos saber quando a bola, após lançamento, atingirá o solo,
desconsideraremos o valor do tempo x’=0, pois nesse momento deu-se o início do lançamento.
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Assim, após decorridos 60 décimos de segundos, a bola atinge o solo. 
Videoaula: Função quadrática
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo
computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo
para assistir mesmo sem conexão à internet.
Olá, estudante!  
Você irá aprender sobre o conceito da função quadrática ou do 2º grau, sua de�nição,
propriedades, construir e interpretar sua representação grá�ca. Vamos também conhecer sobre o
ponto de máximo e mínimo, calcular a raiz da função, além de aplicar esses conhecimentos em
situações do cotidiano.  
Vamos lá! 
Bom estudo! 
Saiba mais
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Para saber mais sobre função quadrática acesse o artigo Explorando a Função Quadrática com o
Software Wimplot, de Rocha e Miragem.  
Referências
https://www.seer.ufrgs.br/renote/article/view/18105/0
https://www.seer.ufrgs.br/renote/article/view/18105/0
https://www.seer.ufrgs.br/renote/article/view/18105/0
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
ANTON, H. Cálculo. v. I, 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. 
CARAÇA, D. C. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Editora Gradiva publicações,
1951. 
DANTE, L. R. Matemática. 1. ed. São Paulo: Ática, 2008. 
ROCHA, J.; MIRAGEM, F. F. Explorando a Função Quadrática com o Software Winplot. RENOTE,
Porto Alegre, v. 8, n. 3, 2010. Disponível em:
https://www.seer.ufrgs.br/index.php/renote/article/view/18105. Acesso em: 20 nov. 2022. 
STEWART, J. Cálculo. v. 1, 4. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016. 
Aula 3
Função exponencial e Logarítmica
Introdução
https://www.seer.ufrgs.br/index.php/renote/article/view/18105
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Caro estudante, nesta aula, você irá compreender algumas relações existentes entre as funções
exponencial e logarítmica, a partir de problemas que fazem parte do nosso dia a dia.  
Encontramos as funções exponencial e logarítmicas nas mais diversas situações, como, por
exemplo: crescimento ou decrescimento característico de alguns fenômenos da natureza,
medição de magnitude de terremotos, evolução do cálculo de juros, decaimento radioativo de
substâncias químicas, entre outros. 
Vamos estudar as propriedades algébricas e a de�nição das equações exponencial e logarítmica,
a construção dos seus respectivos grá�cos e algumas de suas aplicações, além de nos
aprofundarmos nas suas especi�cidades e cálculos. Por �m, iremos solucionar algumas
situações que podem ser aplicadas em seu contexto acadêmico, pro�ssional e pessoal. Vamos
lá! 
Propriedades algébricas
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
As funções exponencial e logarítmica são inversas entre si e suas aplicações são utilizadas nas
mais diversas situações do nosso dia a dia, como: na taxa de crescimento de uma colônia de
bactérias, na aplicação de juros compostos na Matemática, no carregamento de bateria de
aparelhos celulares, entre outros.  
Antes de abordarmos as funções exponencial e logarítmica, veremos sobre algumas
propriedades algébricas básicas, tais como as propriedades de potenciação e logaritmo, que
servirão de subsídio para o avanço dos estudos dessas funções.  
A potenciação trata-se de uma operação matemática que facilita a multiplicação de números
iguais. Sua forma generalizada é escrita como “aⁿ”, em que: 
“a” é denominado base, na qual escrevemos o número que será multiplicado
repetidamente.  
“n” é denominado expoente, que representa a quantidade de vezes que a base será
multiplicada por ela mesma. 
Para elevar um número ao outro, basta saber ler a potência: 
4²:  Lê-se “quatro elevado ao quadrado”  
Como o 4 está na base e o 2 no expoente, logo: 4² = 4 x 4 = 16. 
Para que uma potência exista, é obrigatório que a base não seja zero, ou seja, a ≠ 0. Outras regras
podem ser explicitadas da seguinte forma: 
Para todo número elevado a 0, o resultado será 1.  
Exemplo:
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Cálculo Diferencial e Integral
Sempre que o expoente for 1, o resultado será a própria base. 
Exemplo:
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Todo número negativo entre parênteses, com expoente par, tem resultado positivo. 
Exemplo:
Todo número negativo entre parênteses, com expoente ímpar, tem resultado negativo. 
Exemplo:
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Cálculo Diferencial e Integral
Quando temos expoente com número negativo, é preciso aplicar o inverso do número. 
Exemplo: 
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A partir da potenciação, também podemos resolver uma equação exponencial, considerada uma
expressão algébrica, que possui uma igualdade e pelo menos uma incógnita em um de seus
expoentes.  
Para resolver uma equação exponencial, precisamos igualar suas bases para que,
consequentemente, seus expoentes também sejam iguais. Vejamos um exemplo: 
Precisamos deixar as bases 3 e 81 iguais; para isso, vamos fatorar 81 e deixar na base 3. Logo,
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Cálculo Diferencial e Integral
Agora que já vimos as principais propriedades que envolvem a potenciação, conheceremos as do
logaritmo.  
O logaritmo é de�nido como um número de base "a'', no qual "a" é uma base de valor positivo (a >
0) e sempre diferente de 1. Nesse tipo de equação, ligado a determinado valor de b tem-se um
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expoente igual a x, que é a potência da base que resulta justamente no valor de b. Isto é: 
Em que,  
“a” é a base do logaritmo. 
“b” é o logaritmando. 
“x” é o logaritmo.  
Observe alguns exemplos: 
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Para resolver esse logaritmo, vamos aplicar suas propriedades: 
Nesse ponto, chegamos em uma equação exponencial. Para sua resolução, precisamos deixar
suas bases iguais; consequentemente, seus expoentes também serão iguais. 
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Assim, o valor do
Agora que já vimos as propriedades algébricas que envolvem a potenciação e os logaritmos,
podemos abordar as de�nições das funções exponencial e logarítmica.  
Disciplina
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De acordo com Stewart (2016), as funções exponenciais são da forma: 
Consideremos b=1 e x=n, vamos analisar o que signi�ca dizer
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Assim temos
ou seja, a base é multiplicada por ela n vezes. 
Já a função logarítmica, de acordo com Stewart (2016), é dada pela lei
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Para melhor conhecermos tais funções, a seguir, serão apresentadas suas representações
grá�cas.  
Estrutura/de�nição da função logarítmica
Agora que você jáviu algumas das propriedades que envolvem uma equação exponencial e
logarítmica, vamos aprofundar ainda mais o assunto, abordando a construção dos grá�cos de
uma função exponencial e logarítmica.  
A função exponencial ocorre frequentemente em modelos matemáticos que representam
situações da natureza e da sociedade, sendo possível explicar, por meio dessa função, por
exemplo, o crescimento populacional, o decaimento radioativo e a ação de alguns remédios no
organismo. 
Por exemplo: considere que uma cultura de bactérias começa com 500 indivíduos e dobra de
tamanho a cada hora. Temos, portanto: 
t = 0 500 bactérias  
t = 1 500.2 = 500.21 = 1000 bactérias  
t = 2 500.2.2 = 500.22 = 2000 bactérias  
t = 3 500.2.2.2 = 500.2³ = 4000 bactérias  
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Cálculo Diferencial e Integral
t = n 500.2n bactérias  
Assim, temos que a função que descreve o crescimento dessa colônia de bactérias é C(t)=
500.2n, em que n é o tempo e C(t) é a quantidade de bactérias, logo, trata-se de uma função
exponencial.  
Agora que já vimos uma forma de aplicação da função exponencial, vamos entender como se
dão as suas representações grá�cas possíveis em um comparativo com a representação grá�ca
de uma função a�m constante, conforme segue: 
Figura 1 | Grá�co das funções exponenciais (“a” e “b”) versus grá�co da função a�m constante (“c”). Fonte: elaborada pela
autora.
Neste caso, temos que: 
1. Se a > 1, temos uma função exponencial crescente. 
2. Se 0construção e interpretação de sua representação grá�ca. Vamos também aplicar
esses conhecimentos em situações práticas do seu dia a dia.  
Vamos lá! 
Bom estudo
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Saiba mais
Para saber mais sobre função exponencial e logarítmica, acesse a dissertação Função
exponencial e logarítmica.  
Referências
https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/143477/silva_rf_me_sjrp_sub.pdf?sequence=6&isAllowed=y
https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/143477/silva_rf_me_sjrp_sub.pdf?sequence=6&isAllowed=y
https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/143477/silva_rf_me_sjrp_sub.pdf?sequence=6&isAllowed=y
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
ANTON, H. Cálculo. v. I, 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. 
CARAÇA, D. C. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Editora Gradiva publicações,
1951. 
DANTE, L. R. Matemática. 1. ed. São Paulo: Ática, 2008. 
SILVA, R. F. Função exponencial e logarítmica. 2016. 121f. Dissertação (Mestrado Pro�ssional em
Matemática em Rede Nacional) - Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Estadual
Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Presidente Prudente, 2016. 
STEWART, J. Cálculo. v. 1, 4. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016. 
Aula 4
Funções trigonométricas
Introdução
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Caro estudante, nesta unidade você irá compreender sobre algumas relações existentes entre as
funções trigonométricas, bem como a construção do ciclo trigonométrico e a de�nição de graus
e ângulos.  
Em nosso cotidiano podemos encontrar diversas situações que podem ser aplicadas às funções
trigonométricas, como, por exemplo: oscilações de ondas e cordas, fenômenos periódicos, como
a claridade do sol, variação de temperaturas, frequência cardíaca, entre outras.  
Neste conteúdo, você conhecerá a composição de um ciclo trigonométrico, compreenderá a
conversão entre graus e radianos e também aprenderá sobre as funções trigonométricas seno,
cosseno e tangente. Também será abordada a representação e interpretação grá�ca de cada
uma dessas funções. Por �m, solucionaremos três problemas que podem ser identi�cados no
nosso dia a dia. Vamos lá! 
Funções trigonométricas e ciclo trigonométrico
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Antes de adentrarmos às funções trigonométricas, você sabe o que é trigonometria? A palavra
trigonometria vem do grego, tri (três), gonos (ângulo) e metron (medir), ou seja, signi�ca a
medição dos três ângulos (STEWART, 2016). A trigonometria é muito utilizada, desde sua
concepção, para resolver problemas geométricos que relacionam ângulos e distâncias. 
A função trigonométrica é composta a partir das razões trigonométricas (as possíveis divisões
entre as medidas dos dois lados de um triângulo) e, especi�camente nesta seção, abordaremos
as seguintes funções:  
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Cálculo Diferencial e Integral
O domínio dessas funções trigonométricas é o conjunto dos números reais, ou seja, cada número
real é associado ao seno, cosseno e à tangente da função. Tais funções, envolvem as relações
do triângulo retângulo em função de um determinado ângulo. Observe a �gura a seguir
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Cálculo Diferencial e Integral
Figura 1 | Triângulo retângulo. Fonte: Souza (2013).
Com relação ao triângulo retângulo, temos a hipotenusa que é dada pelo segmento OA e em
relação ao ângulo, o cateto oposto que é dado pelo segmento AB e o cateto adjacente que é
dado pelo segmento OB. A partir disso, temos as seguintes relações trigonométricas: 
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Cálculo Diferencial e Integral
Em nosso dia a dia, encontramos diversas situações que se repetem após um determinado
intervalo, como: dias da semana, horas, fases da Lua, radiação eletromagnética, molas, entre
outras. As funções trigonométricas são periódicas e se movem em um ciclo trigonométrico,
sendo que a projeção dos pontos que a compõem sobre o eixo y ou sobre o eixo x formam um
movimento cíclico.  
Um ciclo trigonométrico é composto de uma circunferência com o centro no ponto (0,0) e raio
unitário, de medida igual a 1, com dois eixos perpendiculares: vertical e horizontal, cruzando no
centro, formando quatro quadrantes, conforme �gura a seguir:
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Figura 2 | Ciclo trigonométrico. Fonte: elaborada pela autora.
No ciclo trigonométrico utilizamos medidas a partir de arcos ou ângulos. Um arco completo
possui 360 graus e o 1° grau é igual a 60 minutos. Já a medida de um arco completo, em
radianos, envolve a razão entre o comprimento e o raio da circunferência, ou seja: 
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De acordo com Oliveira (2014) a medida de um ângulo em radianos depende de uma unidade de
comprimento. Tais relações entre arcos e ângulos possibilitou a ampliação das razões
trigonométricas do triângulo retângulo para as funções trigonométricas de�nidas nos reais. Para
melhor compreender essa relação, observe a Figura 3.  
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Figura 3 | Ciclo trigonométrico com graus e radianos. Fonte: elaborada pela autora.
A partir da �gura 3, é possível ver a relação entre graus e radianos, com suas respectivas
coordenadas no eixo x (horizontal) e eixo y (vertical).  Vejamos um exemplo de conversão de
medidas em radianos para graus.
Exemplo: Converter
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para graus.  
Para converter medidas em radiano para graus, vamos utilizar a regra de três e a relação já
previamente conhecida de que
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Logo,
corresponde a 120°. 
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Agora, vamos fazer o processo inverso, transformar uma medida que está em graus para uma
medida em radianos. 
Exemplo: Converter 60º para radiano  
Para converter a medida de graus para radianos, vamos utilizar a regra de três e a relação de que
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Logo, 60º corresponde a
Medidas de arcos e radianos
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Agora que você já viu as principais características das relações trigonométricas e compreendeu
a relação entre as medidas em graus e radianos, vamos nos aprofundar nos estudos sobre as
funções seno, cosseno e tangente.  A partir do ciclo trigonométrico, é possível representar essas
funções, partindo-se de um ângulo com raio de uma unidade, cujas coordenadas são projetadas
no eixo das abscissas x e no eixo das ordenadas y, formando um triângulo retângulo. Observe a
Figura 4. 
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Figura 4 | Funções trigonométricas no ciclo trigonométrico. Fonte: Oliveira (2014).
A partir do ciclo trigonométrico, e considerando que a hipotenusa vale uma unidade, podemos
interpretar as razões do seno, cosseno e tangente. 
Seno: teremos como base o eixo vertical y, portanto a razão do seno será o mesmo valor do
cateto oposto CO em relação à hipotenusa HIP: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
A representação grá�ca da função seno tem o formato de uma curva chamada senoide, que
possui as seguintes características: 
O domínio da função pertence ao conjunto dos números Reais. 
A periodicidade é de 2π rad. 
A imagem da função será entre [1,-1]. 
O valor máximo é igual a “1” e o valor mínimo é igual a “-1”. 
A amplitude será igual a 1. 
A função apresenta sinal positivo no 1º e 2º quadrantes. 
A função apresenta sinal negativo no 3º e 4º quadrantes. 
Para construção do grá�co da função f(x)=senx, atribuímos valores de x para encontrarmos os
respectivos f(x), ou seja, y. 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Quadro 1 | Valores substituídos na função. Fonte: elaborado pela autora.
O eixo vertical correspondente à ordenada, identi�cada como seno, e a representação grá�ca da
função seno se repete no intervalo de 0 a 2π rad ou de 0° a 360°. Já o eixo horizontal é o eixo x
das abscissas.  
Figura 5 | Função seno. Fonte: Oliveira (2014).
Cosseno: teremos como base o eixo horizontal x, portanto a razão do cosseno será o mesmo
valor do cateto adjacente CA em relaçãoà hipotenusa HIP: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
A representação grá�ca da função cosseno será uma curva denominada cossenoide com as
seguintes características: 
A função apresenta sinal positivo quando x pertence ao 1º e 4º quadrantes. 
A função apresenta sinal Negativo quando x pertence ao 2º e 3º quadrantes. 
O Período é de 2 rad. 
O domínio da função pertence ao conjunto dos números Reais. 
A imagem da função será entre [-1,1]. 
Para construir o grá�co f(x)= cosx, atribuímos valores de x para encontrarmos os respectivos f(x),
ou seja, y. 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Quadro 2 | Valores substituídos na função. Fonte: elaborado pela autora.
O eixo horizontal é correspondente à abcissa e identi�cada como eixo dos cossenos. Sua
representação grá�ca é: 
Figura 6 | Função cosseno. Fonte: Oliveira (2014).
Tangente: teremos como base o eixo vertical y e o eixo horizontal x, portanto a razão da tangente
será o mesmo valor do cateto oposto CO em relação ao cateto adjacente CA: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
A função tangente trata-se de uma função real de variável, tal que x pertence ao conjunto dos
números Reais, e sua representação grá�ca é denominada tangentoide, com as seguintes
características: 
O sinal da função é positivo no 1º e 3º quadrantes. 
O sinal de função é negativo no 2º e 4º quadrantes. 
Tem o período em πrad. 
O domínio da função será
Para construir o grá�co de f(x)= tgx, atribuímos valores de x para encontrarmos os respectivos
f(x), ou seja, y. 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Quadro 3 | Valores substituídos na função. Fonte: elaborado pela autora.
Observe a representação grá�ca da função tangente: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Figura 7 | Função tangente. Fonte: Oliveira (2014).
Observe no grá�co da função tangente que a função é periódica, com período, e para valores
múltiplos de
a tangente não está de�nida.
Função seno, cosseno e tangente
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Vamos veri�car três situações-problema que envolvem a de�nição, propriedades e representação
grá�ca das funções trigonométricas. 
Situação 1: em determinada cidade do litoral do estado de São Paulo, a maré alta ocorreu à meia-
noite. A altura da água no porto dessa cidade é uma função periódica, pois oscila regularmente
entre maré alta e maré baixa. 
A altura f(t), em metros, da maré, nesse dia, pode ser obtida, aproximadamente, pela fórmula:  
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Cálculo Diferencial e Integral
Considerando que t é o tempo decorrido, em horas, após a meia noite, determine a altura da maré
em 3 horas? 
Solução: Para resolver o problema, precisaremos dos conhecimentos relacionados à função
cosseno. Assim, para determinar a altura da maré no tempo de 3 horas, vamos considerar t = 3h
e substituir na função que modela esse fenômeno. 
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Cálculo Diferencial e Integral
Temos que
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
portanto: 
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Cálculo Diferencial e Integral
Logo, a altura da maré no tempo de 3 horas será de 2 metros.  
Situação 2: com o intuito de aumentar a produção de alimentos em uma cidade, a coordenadora
da secretaria de agricultura encomendou uma análise sobre as potencialidades do solo nessa
localidade. Na análise da temperatura do solo, foram realizadas medições em intervalos de uma
hora.  
Tais medições mostraram que a temperatura T, medida em graus Celsius, e o tempo t, medido em
horas decorridas após o início das observações, relacionavam-se a partir do seguinte modelo:  
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Cálculo Diferencial e Integral
A partir do modelo criado no decorrer das análises, qual a temperatura do solo às 16horas,
considerando-se que o início das observações se deu à 0hora?  
Solução: primeiramente iremos utilizar o modelo matemático apresentado no problema e
substituir t = 16h. 
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Cálculo Diferencial e Integral
Temos que
portanto: 
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Assim, a temperatura do solo, às 16horas, será de 31ºC.  
Situação 3: as ondas sonoras se propagam em formato de ondas periódicas e estão
constantemente presentes em nosso cotidiano. A rádio PM envia uma transmissão via ondas
sonoras que pode ser modelada a partir do grá�co da função a seguir:   
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Cálculo Diferencial e Integral
Figura 8 | Função modelo das ondas sonoras. Fonte: elaborada pela autora.
Considerando a representação grá�ca e os conhecimentos relacionados às funções
trigonométricas, determine qual função refere-se à curva modelada.  
Solução: ao analisarmos o grá�co, identi�camos que seu comportamento é o de uma senoide,
pois ele passa pelo ponto de origem (0,0) e sen(0) = 0. 
Também concluímos que quando temos que f(x) = 1. 
Assim, sendo
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Cálculo Diferencial e Integral
encontraremos o valor de a, lembrando que o ângulo cujo
é o ângulo
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Cálculo Diferencial e Integral
Substituindo a = 2 em
temos que a função que representa a curva é
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Videoaula: Funções trigonométricas
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Olá, estudante!  
Você irá aprender sobre o conceito das funções trigonométricas, sua de�nição, ciclo
trigonométrico e interpretar sua representação grá�ca. Vamos também aplicar esses
conhecimentos em situações práticas do seu dia a dia.  
Bons estudos! 
Saiba mais
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Cálculo Diferencial e Integral
Para saber mais sobre função trigonométrica, veja a dissertação Funções Trigonométricas ou
Função Trigonométrica: Uma análise histórica e institucional no Ensino Médio, de Letícia Santos
Meneses.  
Referências
http://www.biblioteca.uesc.br/biblioteca/bdtd/201720008D.pdf
http://www.biblioteca.uesc.br/biblioteca/bdtd/201720008D.pdf
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
ANTON, H. Cálculo. v. I, 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. 
CARAÇA, D. C. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Editora Gradiva Publicações,
1951. 
DANTE, L. R. Matemática. 1. ed. São Paulo: Ática, 2008. 
OLIVEIRA, C. A. C. de. Trigonometria: o radiano e as funções seno, cosseno e tangente. 2014. 77
f. Dissertação (Mestrado pro�ssional em Matemática) – Programa de Pós-Graduação em
Matemática, Centro de Ciência e Tecnologia, Universidade Federal de Campina Grande, Paraíba,
2014. 
SOUZA, T. S. de et al. Um estudo da extensão do seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo
para funções de domínio real. 2013. TCC (Graduação em Matemática) - Universidade Federal de
Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Florianópolis, 2013. 
STEWART, J. Cálculo. v. 1, 4. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016. 
Aula 5
Revisão da unidade
Estudo das funções
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Olá, estudante! Você verá algumas das principais características e propriedades das funções
a�m, quadrática, exponencial, logarítmica e trigonométrica. Conforme vimos ao longo do nosso
estudo, as funções podem ser utilizadas em diversas situações do nosso dia a dia, desde a
relação entre a quantidade de um determinado produto e o seu preço, no lançamento de um
projétil, no crescimento da população de uma colônia de bactérias, na oscilação de ondas, entre
outras.  
Antes de falar especi�camente sobre cada uma das funções em estudo nesta unidade, é
importante lembrar-nos que uma função f refere-se a uma lei que associa, a cada elemento x em
um conjunto A, um elemento f(x), em um conjunto B.  
Podemos classi�car as funções de acordo com algumas características. Uma função f(x), a�m
ou polinomial do 1º grau
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Cálculo Diferencial e Integral
que se relaciona no conjunto dos números reais) apresenta a seguinte lei de formação: 
Tal que, os coe�cientes “a” e “b” são números reais, e
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Cálculo Diferencial e Integral
ou seja, “a” precisa ser diferente de zero. O grá�co de uma função a�m pode ser representadopor
uma reta crescente, decrescente ou constante.  
Já uma função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, também de�nida no conjunto dos
números reais,
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
é representada pela seguinte lei de formação: 
Temos que a, b e c são números reais e
(o coe�ciente “a” é diferente de 0). O grá�co de uma função quadrática é representado por uma
curva, denominada de parábola, que pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo. 
Em relação às funções exponenciais, a variável “x” encontra-se no expoente, e representamos
sua lei a partir da seguinte relação: 
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Cálculo Diferencial e Integral
Em que o coe�ciente “b” deve ser diferente de 0
e o coe�ciente “a” deve ser maior que zero e diferente de um 
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Cálculo Diferencial e Integral
Importante ressaltar que para calcular a potência consideramos
ou seja, a base é multiplicada por ela n vezes.  
A inversa da função exponencial é a função logarítmica, qual é dada pela seguinte lei de
formação: 
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Cálculo Diferencial e Integral
Em que a base do logaritmo sempre é diferente de um e maior do que zero 
e o valor de x deve ser um número real positivo, com exceção do zero. 
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Cálculo Diferencial e Integral
Por �m, temos a função trigonométrica, qual vamos considerar as razões trigonométricas do
seno, do cosseno e da tangente: 
Essas funções trigonométricas apresentam comportamento periódico e o seu domínio é o
conjunto dos números reais, sendo que cada número real será associado ao seno, ao cosseno e
à tangente.
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Cálculo Diferencial e Integral
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Olá, estudante! Os estudos relacionados às funções podem nos auxiliar na resolução de
problemas das mais diversas áreas do conhecimento, bem como facilitar a compreensão de
alguns fenômenos. Diante desse contexto, vamos abordar alguns conceitos importantes e
algumas propriedades sobre as funções a�m, quadrática, exponencial, logarítmica e
trigonométrica. Vamos lá?
Estudo de caso
Para contextualizar sua aprendizagem pense na seguinte situação: numa indústria alimentícia,
um determinado produto tem um custo �xo de R$ 5,00 para sua produção, mais um adicional de
R$ 2,00 por unidade produzida. Neste caso, determine: 
A lei de formação da função custo. 
Representação grá�ca da função custo com valores de x= (0, 1, 2, 3). 
Qual o custo para produzir 1500 produtos nesta indústria alimentícia? 
Se a indústria gastou R$ 3555,00 no custo de produção, quantos produtos foram
produzidos? 
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Cálculo Diferencial e Integral
______
Re�ita
Olá, estudante! Também podemos utilizar as funções para o estudo do lançamento de um
projétil, calculando desse modo, sua altura máxima e em qual momento ele pode atingir o solo!  
Videoaula: Estudo de caso
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Resolução 
Para resolvermos o problema precisamos relembrar os conceitos relacionados à função a�m,
vamos lá! 
A lei de formação da função custo. 
Primeiramente, observe que nessa situação a taxa constante, ou seja, o coe�ciente linear, é o
valor do custo �xo para produção do produto, que é equivalente a R$ 5,00. Por sua vez, o valor
que varia de acordo com a quantidade de produto “x” é equivalente a R$ 2,00.   
Assim, a lei de formação da função que representa o custo de produção do produto é: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Temos que f(x) é nossa variável dependente e representa o custo total da produção de uma
quantidade de produtos produzidos. Já a variável “x”, é nossa variável independente. 
Representação grá�ca da função custo com valores de x = (0, 1, 2, 3). 
Precisamos construir a representação grá�ca da função
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Cálculo Diferencial e Integral
Para isso, vamos utilizar os valores de x= (0, 1, 2, 3) para encontrar os valores de f(x), ou seja, y 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
 Quadro 1 | Cálculo para os valores de x e y. Fonte: elaborado pela autora.
Ao encontrarmos os pares ordenados (x, y) para as quantidades de produtos produzidos com
seus respectivos custos, construímos a representação grá�ca. Importante ressaltar que os
valores de “x” foram localizados no eixo das abcissas, ou seja, na horizontal, e os valores de “y”
foram localizados no eixo das ordenadas, ou seja, na vertical. Observe os pontos A(0, 5), B(1, 7),
C(2, 9), D(3, 11)
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Cálculo Diferencial e Integral
Figura 1 | Representação grá�ca. Fonte: elaborada pela autora.
Qual o custo para produzir 1500 produtos nesta indústria alimentícia? 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Para encontrarmos o valor do custo para produzir 1500 produtos nesta indústria podemos utilizar
a lei de formação para facilitar os cálculos.  
Assim, o valor do custo de produção de 1500 produtos nesta empresa será de R$ 3005,00. 
Se a indústria gastou R$ 3555,00 no custo de produção, quantos produtos foram
produzidos? 
Para resolver esse problema novamente utilizaremos a lei de formação, mas neste caso vamos
substituir o valor de R$ 3555,00 no lugar de f(x), que é o custo total, observe: 
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Cálculo Diferencial e Integral
Assim, com R$ 3555,00 foram produzidos 1775 produtos.  
Resumo visual
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Fonte: elaborada pela autora.
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Referências
ANTON, H. Cálculo. v. I, 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.  
CARAÇA, D. C. Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa: Editora Gradiva publicações,
1951. 
DANTE, L. R. Matemática. Volume único. 1. ed. São Paulo: Ática, 2008. 
STEWART, J. Cálculo. v. 1, 4. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016. 
,
Unidade 2
Limites e Derivadas
Aula 1
Introdução ao estudo de limites
Introdução
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
No conteúdo de cálculo, o estudo do limite é o primeiro assunto, pois esse conceito é base para o
estudo das derivadas e integrais que serão apresentados posterio r mente. Nesta aula, será
apresentad a a de�nição de limite, as propriedades relativas a limites e o Teorema do Confronto , 
muito utilizad o em casos especiais de funções. Para calcular algo inde�nido, como, por exemplo,
quando temos
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
podemos utilizar a ideia de limite para encontrar uma solução. Por isso, esse conteúdo é muito
importante para resolução de problemas que apenas com os estudos básicos de matemática
não podem ser resolvidos. Calcular o limite de uma função signi�ca encontrar o valor
aproximado da possível solução. Vamos juntos adentrar no maravilhoso mundo dos limites.
Limite e limites laterais
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Cálculo Diferencial e Integral
Na disciplina de cálculo, o estudo de limite tem como objetivo investigar o comportamento de
uma função à medida que ela se aproxima de x. O limite de uma função refere-se ao
comportamento de uma função quando ela se aproxima de um determinado valor. Vamos utilizar
um grá�co para apresentar o conceito de limite de uma função.   
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
Figura 1 | Limite de uma função. Fonte: elaborada pela autora.
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Cálculo Diferencial e Integral
Com o uso do grá�co podemos perceber que, à medida que nos aproximamos de a, os valores
estão mais próximos de L, tanto à esquerda quanto à direita. Intuitivamente, podemos dizer que
uma função f(x) tem um limite L, quando x tende para um valor a. A de�nição do limite é dada
por: 
De�nição: seja I intervalo aberto ao qual pertence o número real a isto é,
e seja f(x) uma função de�nida para
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Cálculo Diferencial e Integral
dizemos que o limite de f(x), quandox se aproxima de a, é igual a L, onde: 
Isso signi�ca que L é o valor do limite da função f(x) quando o valor de x tende a a. 
Não podemos a�rmar que
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Cálculo Diferencial e Integral
quando calculamos o limite de uma função, pois algumas funções podem não ser de�nidas em
a, mas, quando assim o forem, então temos
Desse modo, podemos escrever que:
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Cálculo Diferencial e Integral
Portanto, dizemos que a função f(x) é contínua no ponto a. 
Outra forma de calcular o limite de uma função, principalmente quando a função não é contínua,
é utilizando limites laterais.  
Os limites laterais são calculados quando x se aproxima de a pela direita e pela esquerda.
Utilizando símbolos, temos: 
Limite lateral pela direita:
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Cálculo Diferencial e Integral
Limite lateral pela esquerda:
Os limites laterais de uma função f(x) quando x tende a a apresenta um teorema, de�nido a
seguir, que nos diz que, quando os limites laterais são iguais, existe o limite da função em a. 
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Cálculo Diferencial e Integral
Teorema: se f(x) é de�nida em um intervalo aberto que contêm a, exceto no ponto a, então
Além dos teoremas apresentados, podemos encontrar o limite das funções utilizando as
seguintes propriedades:  
Considerando
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Cálculo Diferencial e Integral
temos: 
Limite de uma constante:
Limite da multiplicação por uma constante:
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Limite da soma:
Limite da diferença:
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Cálculo Diferencial e Integral
Limite do produto:
Limite do quociente:
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Cálculo Diferencial e Integral
Limite da potenciação:
para n um número inteiro, positivo 
consequentemente:
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Cálculo Diferencial e Integral
Limite da radiciação:
para n um número inteiro 
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Cálculo Diferencial e Integral
Existem muitas outras propriedades para calcular o limite, mas essas são as mais importantes e
que vamos utilizar no decorrer do conteúdo. 
Para �nalizarmos os estudos iniciais sobre limites, vamos estudar o Teorema do Confronto. Esse
teorema considera 3 funções f(x), g(x) e h(x) e para todo x em um intervalo aberto contendo
a exceto em x = a, se tivermos
então:
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Cálculo Diferencial e Integral
com isso temos:
Esse teorema nos explica que, se uma função, neste caso g(x), está entre outras duas funções
que têm o mesmo limite, então essa função também tem o mesmo valor para o limite. Por isso,
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral
esse teorema também é conhecido como Teorema do Sanduíche. 
Propriedades dos limites
Uma das questões sobre o estudo de limites é saber em quais situações ele pode ser utilizado.
Vamos a um exemplo: para a fabricação de um aparelho eletrônico, um engenheiro deve criar um
termostato que mantenha uma temperatura constante. Durante o desenvolvimento percebeu-se
que alguns dos diferentes termostatos apresentam variações em relação à temperatura
esperada. Veja um grá�co das funções relacionadas a dois desses diferentes termostatos. 
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Cálculo Diferencial e Integral
Figura 2 | Funcionamento dos termostatos. Fonte: elaborada pela autora.
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Cálculo Diferencial e Integral
A função em azul representa um termostato que, quando ligado, atinge a temperatura esperada
com mais facilidade, mas que, após decorrido um determinado tempo, começa a cair. Já a
função em verde representa um termostato que demora mais para começar o aquecimento, mas
que, por sua vez, tende a manter a temperatura próxima da esperada, representada pela linha
pontilhada. O objetivo do engenheiro é obter um termostato que chegue mais rápido à
temperatura desejada e com a menor oscilação possível. Para isso, é necessário estudar o que
acontece ao longo do tempo, calculando o limite da função referente ao funcionamento do
aparelho. Espero que, a partir dessa explicação, você consiga entender a importância do limite.
Agora, utilizando uma função, vamos explorar os conteúdos apresentados.  
Considerando a função:
o Quadro 1 apresenta os valores dos pontos (x,f(x)). 
Quadro 1 | Valores da função f(x). Fonte: elaborado pela autora.
Gra�camente, a função é apresentada por: 
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Figura 3 | Função quadrática e estudo do limite. Fonte: elaborada pela autora.
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Cálculo Diferencial e Integral
Fazendo uma análise dos resultados apresentados da função f(x), veri�camos que quando o
valor de x está próximo de 2, temos que
Você percebe que, quanto mais próximo o valor de x está de 2, mais próximo o valor da função
�ca de 1? Com isso, podemos dizer que, à medida que x tende a 2, a função f(x) tende a 1. Assim,
temos que o limite de f(x), quando x tende a 2, é 1. Utilizando os termos matemáticos,
escrevemos da seguinte forma: 
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Cálculo Diferencial e Integral
Agora, atribuindo valores de x próximos a 2, para a função
temos: 
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Quadro 2 | Valores da função f(x) para valores próximos a 2. Fonte: elaborado pela autora.
Esse quadro apresenta os limites laterais da função f(x) e podemos veri�car que, ao nos
aproximarmos de
tanto pela esquerda quanto pela direita, o valor de x tende a 1. Assim, temos:
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Vamos a um exemplo em que a função não é contínua.  
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Figura 4 | Função descontínua. Fonte: elaborada pela autora
Para calcular
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vamos usar o teorema dos limites laterais: 
Através do grá�co, perceba que a função não está de�nida quando x=1, o que signi�ca que a
função não tem uma continuidade em todos os pontos. Mesmo com essa indeterminação nesse
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Cálculo Diferencial e Integral
valor de x, podemos determinar o limite nesse ponto por conta dos seus limites que são iguais.  
Para utilizar as propriedades de limites vamos calcular o limite das funções contínuas. Calcule o
limite da função: 
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Cálculo Diferencial e Integral
Para o cálculo desse limite, as propriedades utilizadas são o limite da soma, da potenciação e da
multiplicação por uma constante. O uso das propriedades é amplamente explorado no estudo do
limite de uma função, assim como na aplicação do Teorema do Confronto, que será apresentado
a partir da relação entre as funções
e de sua representação grá�ca.        
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Figura 5 | Aplicação do Teorema do Confronto. Fonte: elaborada pela autora.
Temos as funções
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Cálculo Diferencial e Integral
Mesmo sem determinar a função g(x), é possível calcular
e, para isso, vamos calcular o
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Cálculo Diferencial e Integral
Ao calcular o limite das funções f(x) e h(x), foram utilizadas as propriedades do limite da
potenciação e o limite de uma constante. Com a utilização da de�nição do teorema e através da
observação grá�ca, podemos determinar que.
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Teorema do confronto
Vamos aprimorar o estudo do limite de uma função com a aplicação de alguns exemplos. No
primeiro, vamos utilizar as propriedades para calcular
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Cálculo Diferencial e Integral
Para calcular o limite dessa função, podemos substituir o valor de x e utilizar as propriedades.
Nesse exemplo, foram utilizadas as propriedades do limite da soma, limite de uma constante,
limite da potenciação e limite da radiciação. 
Para o estudo dos limites laterais, vamos calcular o limite das funções: 
Calculando o limite lateral da função, temos: 
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Os limites laterais da função f(x) foram calculados substituindo o valor de x = 1, de acordo com
as especi�cações da função e uso das propriedades de limite. Como os limites laterais são
iguais, então:
A representação grá�ca da função f(x), utilizada para calcular esses limites laterais, é dada por: 
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Figura 6 | Limites laterais iguais. Fonte: elaborada pela autora.
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