Cálculo Diferencial e Integral II

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Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Unidade 1
Introdução às Integrais e suas Aplicações
Aula 1
A integral de Riemann
Introdução
Olá, estudante!
Nesta primeira aula, daremos os primeiros passos ao estudo das integrais. Será apresentada
uma forma geométrica de tratar as integrais e alguns métodos úteis para obter os cálculos das
integrais. Dentro das engenharias, as integrais são uma das ferramentas matemáticas
fundamentais. Essa ferramenta, a integral, tem relação com as áreas sobre curvas, e essas áreas
servirão de base para diversas aplicações, como o cálculo de cargas, a mensuração de volumes,
a determinação de áreas curvilíneas, momentos de inércia, o estudo das deformações, os
centros de gravidade, entre outras. 
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A integral será uma das principais ferramentas para os estudos teóricos da engenharia. Veremos
algumas aplicações interessantes e que lhe ajudarão na compreensão da importância do estudo
das integrais. Então, vamos nos dedicar a esses estudos! Vamos começar agora? E não se
esqueça, você será acompanhado em todo o processo. 
Bons estudos!
Método de Riemann
As integrais estão diretamente relacionadas com as derivadas e com o cálculo de áreas sob as
curvas. Primeiramente, já pensou em como calcular a área abaixo de uma curva? Se essa curva
for reta, é fácil, pois basta relacionar com triângulos ou retângulos e fazer as relações
adequadas, conforme exempli�cado na Figura 1. 
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Figura 1 | Exemplos de �guras com lados que são curvas retas. Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 342).
Entretanto, não é tão fácil encontrar a área de uma região com lados curvos (como na Figura 2).
As tradicionais fórmulas de áreas não são úteis para determinar áreas em casos de �guras
curvilíneas, sendo assim, são necessárias ferramentas mais elaboradas. 
Figura 2 | Região delimitada pela função contínua
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Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 342).
Para calcular a área
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abaixo da curva
utilizaremos as integrais; a área
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acima apresentada pode ser calculada pela integral: 
Essa integral é lida como: a área S é igual à integral de�nida de
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é o sinal de integração,
é a função que será integrada (o integrando),
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são os limites de integração inferior e superior e
é o símbolo do diferencial que indica qual variável da função será integrada. 
Para resolver o cálculo da integral, existem algumas técnicas. Um desses métodos é o Método
de Riemann. Uma soma de Riemann é uma aproximação da área abaixo de uma curva, dividindo-
a em múltiplos retângulos. Riemann pensou que poderia obter a área
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dividindo-a em
retângulos, em que cada retângulo terá comprimento com tamanho
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sendo que cada um teria uma altura
cada área seria a multiplicação entre o comprimento e a altura, então
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e, por �m, a área
seria, aproximadamente, a soma das áreas desses retângulos (veja a Figura 3). 
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Figura 3 | Representação do Método de Riemann dividindo a área em retângulos. Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p.
346).
Dessa forma, teríamos que: 
Contudo, estudante, essa soma é uma aproximação. Para obter um valor preciso, seriam
necessários muitos retângulos e, assim, se tornaria muito complicado obter o cálculo da integral.
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Felizmente, há um teorema que facilita o processo, o qual é tão importante que é conhecido
como Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema diz que, se
é uma função contínua (sem quebras) de
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então, 
onde
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é qualquer primitiva de
isto é, uma função tal que
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A primitiva seria a função que, após ser derivada, originará
Note que esse teorema permite encontrar a área da região
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de uma forma muito fácil, sem a necessidade de se calcular a soma de áreas de um número
enorme de retângulos pelo Método de Riemann, mas apenas utilizando a primitiva da função
envolvida. Em adicional, podemos notar que o Teorema Fundamental do Cálculo estabelece a
relação entre as derivadas (cálculo diferencial) e as integrais (cálculo integral), sendo que ambas
surgiram de diferentes motivações. As derivadas surgiram a partir do problema de se encontrar a
reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto as integrais surgiram a partir do problema de
se encontrar a área sob uma curva. Pode até não parecer, mas esses dois problemas possuem
uma relação e estão intimamente relacionados, sendo que o processo de diferenciação e
integração são processos inversos. Visto que a integral de uma função
será 
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isto é, ao integrar a função
isto é, ao integrar a função
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Lembrando que, ao derivar a primitiva
temos como resultado a função
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Por falar nisso, estudante, chamamos de integral de�nida se há os intervalos de integração
e chamamos de integral inde�nida quando não há esses intervalos.  
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Como curiosidade, vale saber que o sinal de integração, que é um “s espichado”, é referente ao “s”
de soma, no caso, fazendo uma referência à soma de Riemann.
Integração
Sabemos que Riemann calculava as integrais de�nidas utilizando somas de retângulos. Veja, na
Figura 4, a aproximação para
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retângulos, sendo que, conforme a quantidade de retângulos aumenta, mais precisão é obtida.
Note, ainda, que, conforme aumentamos a quantidade de retângulos, os comprimentos dos
retângulos
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�cam cada vez menores.  
Figura 4 | Aproximação da área pelo Método de Riemann com
retângulos 
Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 346).
Dessa forma, intuitivamente, se for possível fazer in�nitos retângulos, a área da integral será
exata. Para realizar essa construção, podemos recorrer à ferramenta dos limites, e assim
teremos exatamente que 
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Pode �car tranquilo, não resolveremos diretamente esse limite. O cálculo desse limite costuma
ser complexo. Normalmente, escolhemos um valor su�ciente de
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e calculamos a soma de Riemann. A soma de Riemann, apesar de não ser precisa, pode ser
utilizada em diversos contextos, inclusive, nas engenharias, há situações que devemos recorrer à
essa soma, em especial, quando conhecemos os valores de
mas não conhecemos exatamente a função
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que forma os valores de
Felizmente, o Teorema Fundamental do Cálculo resolve com exatidão os cálculos de integrais
de�nidas em um intervalo de
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Contudo, antes, é preciso compreender melhor a integração de uma função, que é a operação
inversa da diferenciação. Isto é, se eu derivar uma função e, depois, realizar a integração dela,
voltaremos à função original, aquela antes da derivação, chamada de primitiva. Considere a
função
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Ao derivar essa função, obteremos 
então, se aplicarmos a integração, teremos que obter
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Dessa forma, teríamos em notação matemática: 
Esse foi o processo de integração da função
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Agora, veja a função
Sua derivada também é
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Cálculo Diferencial e Integralforma, você deve ter concluído que a integral
é, de fato, uma ferramenta muito importante.
Videoaula: Resolução do estudo de caso
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É o momento de resolver o estudo de caso. Relembrando brevemente, você tem um cliente que
deseja saber a área de praça. Ele lhe contou uma história interessante sobre o projeto da praça:
ela tem um formato especí�co, que foi baseado em uma região matemática compreendida entre
duas curvas. Após isso, o cliente lhe apresentou o esboço desse esquema da praça, com as
curvas consideradas para a inspiração de seu formato. Por �m, pediu sua ajuda para calcular a
área dessa praça, sendo um pedido urgente. 
Então, você recebeu o pedido do cliente e lhe informou que é fácil de resolver o problema, pois,
dadas as funções, é prático calcular as áreas por elas. Veja novamente o esboço da praça,
mostrado anteriormente na Figura 3. 
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Figura 3 | Esboço da praça e das curvas na qual a praça é baseada. Fonte: elaborada pelo autor.
Colocaremos a mão na massa e resolveremos o problema. Relembrando o conteúdo dessa
unidade, é muito simples determinar a área. Nesse caso, temos uma região delimitada por duas
curvas e retas verticais. Logo nessa situação, fazemos a integração da função que delimita a
região superiormente subtraindo a função que está delimitando inferiormente a área, com os
limites de integração adequados das retas verticais. Levando em consideração o esboço da
nossa praça, temos que a curva superior é
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a função que limita inferiormente é
sendo que as retas verticais que delimitam a região são
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Portanto, utilizando integrais, a área da praça será dada pela expressão: 
Agora, resolvendo a integral, teremos: 
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Logo, a área da praça é exatamente 6,8 unidades quadradas de área. No nosso caso, o cliente
informou que o urbanista utilizava centenas de metros para determinar seus projetos. Então,
devemos multiplicar 6,8 por 10.000, pois
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Portanto, a área da praça é de
Dessa forma, caro estudante, por um método simples, conseguimos obter a área de uma região
somente conhecendo as curvas que a delimitam. Pode ser que, na prática, não seja exatamente
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dessa forma, mas diversos softwares usam o conceito de integrais para determinar áreas. Além
disso, se for possível aproximar uma determinada região por funções matemáticas, podemos
determinar a área dela. Lembrando que o conceito de área não �ca restrito apenas às superfícies;
ele também pode se aplicar em forças, densidade, probabilidades, energia, entre outras.
Resumo visual
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Figura 4 | Síntese conceitual. Fonte: elaborada pelo autor.
Referências
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ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo. v. 1. Porto Alegre, RS: Bookman, 2014. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 26 dez.
2022. 
PRADO, S. do; PRADO, S. T. G. do; OLIVEIRA, L. de. Uma proposta diferenciada para o estudo de
aplicações de integrais. Anais do Salão Internacional de Ensino, Pesquisa e Extensão, v. 9, n. 1,
fev. 2020. Disponível em:
https://periodicos.unipampa.edu.br/index.php/SIEPE/article/view/85573. Acesso em: 26 dez.
2022. 
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo Volume I. São Paulo, SP: Cengage Learning Brasil,
2021. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 26 dez. 2022. 
ZILL, D. G. Equações diferenciais: com aplicações em modelagem. 10. Ed. São Paulo, SP:
Cengage Learning Brasil, 2016. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522124022/. Acesso em: 26 dez. 2022. 
,
Unidade 2
Regras Avançadas de Integração e Coordenadas Polares
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/
https://periodicos.unipampa.edu.br/index.php/SIEPE/article/view/85573
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522124022/
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Aula 1
Cálculo de volume de sólido de revolução
Introdução
Nesta aula, usaremos as integrais para calcularmos volumes. Sim, é isso mesmo! As integrais
não são aplicadas apenas no cálculo de áreas. Para isso, trabalharemos com os chamados
sólidos de revolução, que são descritos pela rotação de uma função em torno de um eixo no
plano cartesiano bidimensional.  
Assim, na primeira parte do nosso material, descreveremos os conceitos que embasam essa
teoria. Após essa etapa, resolveremos aplicações dessa teoria, auxiliando a �xar o conteúdo. Na
última parte da aula, ampliaremos nosso conhecimento de cálculo de volumes usando mais do
que uma função para a construção de nossos sólidos de revolução.  
Esse é o enfoque da nossa aula. Misturaremos teoria e prática, aproximando os conceitos
teóricos aprendidos com a resolução de problemas. 
Desejamos a você, estudante, boas-vindas ao estudo do cálculo integral!
Introdução à estimativa de volumes
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A ideia de um sólido de revolução é poder imaginar uma �gura plana construída por meio de uma
função
limitada em um intervalo aberto
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que, ao “girar” (rotacionar) em torno de um dos eixos do plano cartesiano, gera um sólido. Esse
sólido carrega o nome que dá sua origem: sólido de revolução. 
Figura 1 | Diversos tipos de sólidos de revolução.
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As imagens estão representando sólidos originados pela rotação em torno do eixo x, porém
também podemos avaliar rotações ao redor do eixo y, como pode ser observado nas �guras a
seguir.
Figura 2 | Rotação em torno dos eixo y.
Aplicaremos o conceito de integral para calcular o volume desses sólidos. Iniciaremos essa
representação por um método conhecido como “volume por fatiamento”. 
A ideia por traz dessa técnica é a de fatiar um sólido ao longo do seu domínio com uma
espessura tão pequena quanto possível (in�nitesimal) e somar todas as áreas dessas secções
transversais ao longo desse domínio.  
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Figura 3 | Volume por fatiamento. Fonte: Stewart (2017, p. 389).
Note que o domínio é particionado de forma similar às somas de Riemann. Dessa forma, se for
possível somar todas as áreas geradas pela intersecção entre o sólido,
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e um plano
perpendicular ao eixo das abscissas, será possível obter o volume de
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Assim, seja um sólido
gerado pela rotação de uma função
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em torno do eixo das abscissas, com domínio conhecido. Seja também a área
formada pela interseção entre um plano
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perpendicularmente ao eixo
e o sólido
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conforme a Figura 3. Analise a �gura a seguir:  
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Figura 4 | Área da seção transversal. Fonte: Stewart (2017, p. 390).
Considerando que
é tão pequeno quanto possível, então o volume de
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será dado por
Agora, seja a função
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rotacionada em torno do eixo
no intervalo
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Figura 5 | Função
rotacionada em torno do eixo das abscissas
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Fonte: geogebra. Acesso em: 27 dez. 2022.
Aplicar o fatiamento nesse sólido é particioná-lo em discos, de acordocom as �guras a seguir. 
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Figura 6 | Sólido de revolução particionado em discos. Fonte: geogebra. Acesso em: 27 dez. 2022
E com os discos reunidos: 
Figura 7 | Sólido de revolução particionado em discos para  
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Fonte: geogebra. Acesso em: 27 dez. 2022.
Note que, ao fatiarmos esse sólido, a área
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gerada, com
é a área de um círculo.  
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Figura 8 | Sólido de revolução particionado em discos. Fonte: adaptada de Stewart (2017, p. 392).
Na geometria plana, a área de círculos é dada pela equação
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portanto, se conhecermos o raio de cada fatia (ou disco) ao longo do domínio determinado,
poderemos aplicar a Equação 1.  
Como o raio
desse círculo será exatamente a função
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então a Equação 1 passa a ser escrita da forma: 
A mesma ideia pode ser aplicada quando a rotação se dá em torno do eixo
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A diferença, nesse caso, é que o volume será construído a partir de seções transversais ao sólido,
perpendiculares ao eixo das ordenadas. Dessa forma, não teremos
mas, agora, trabalharemos com
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Essa mudança transforma a Equação 1 em 
Onde:
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E, com isso, para funções
que rotacionam em torno do eixo
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teremos  
No próximo bloco, resolveremos exemplos aplicando essa regra. 
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Volume por discos perpendiculares ao eixo x e ao eixo y
Neste bloco, resolveremos alguns exemplos aplicando o cálculo de volumes por discos com
rotação em torno do eixo
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e do eixo
Vejamos o primeiro exemplo.  
Exemplo 1: encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
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da região sob a curva
Note que esse exemplo foi iniciado no bloco anterior. Agora, vamos resolvê-lo. 
Solução: quando fatiamos o sólido gerado pela rotação de
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em torno do eixo das abscissas, no intervalo para
entre 0 e 4, obtemos discos de raio
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logo podemos somar todos esses discos usando  
Portanto, teremos 
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Figura 9 | Volume do sólido de revolução de
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Fonte: geogebra. Acesso em: 27 dez. 2022.
Exemplo 2: encontre o volume do sólido obtido quando a região sob a curva
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e acima do intervalo
é rotacionada em torno do eixo
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Solução: para resolver esse exemplo, basta extrair os dados do enunciado e resolver a expressão
assim: 
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Figura 10 | Revolução de
Fonte: geogebra. Acesso em: 27 dez. 2022.
Agora, resolveremos um exemplo em que a função rotaciona em torno do eixo das ordenadas.
Vamos avaliá-lo.  
Exemplo 3: calcular o volume de um sólido gerado pela rotação da função
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em torno do eixo
no intervalo
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Solução: note que desejamos rotacionar a função
em torno de
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Portanto, temos
mas, como o domínio em
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Figura 11 | Área da região que será rotacionada em torno de y. Fonte: elaborada pela autora.
Logo, usando
escrevemos: 
O último exemplo desse bloco permitirá que encontremos o volume de uma esfera, estudado,
geralmente, na área da geometria espacial, ainda no ensino médio. 
Exemplo 4: rotacione uma região semicircular de raio
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e calcule o volume da esfera gerada por essa revolução.   
Figura 12 | Área da região que será rotacionada em torno de
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Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 445).
Solução: a equação de uma circunferência é dada pela expressão
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Assim, a metade superior dessa circunferência será representada pela função
Com isso, conseguimos calcular o volume de uma esfera quando a função
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rotaciona em torno do eixo das abscissas. Logo, fazemos: 
Dessa forma, conseguimos aplicar as integrais no cálculo de volumes de estruturas que têm
seus contornos descritos por funções. 
Cálculo de volume de sólidos de rotação
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Neste bloco, resolveremos exemplos em que o volume será descrito pela rotação de duas
funções em torno de um dos eixos principais
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Essa técnica é chamada de volume por arruelas, mas em quase nada se diferencia de tudo o que
já de�nimos nessa aula. Vamos entender! 
Ao calcularmos a área, aplicando o conceito de integrais, entre duas curvas
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contínuas, chegaremos à seguinte expressão
com
O que desejamos agora é rotacionar essa área em torno do eixo das abscissas.   
Figura 13 | Grá�cos de
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Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 445).
Note que obteremos um sólido com um furo central.  
Figura 14 | Grá�cos de
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Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 445).
Partindo do mesmo princípio adotado para o volume em discos, fazendo, assim, cortes nesse
sólido por planos perpendiculares ao eixo
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obteremos uma área chamada de arruela. 
A área de cada arruela será dada por
Portanto, usando a mesma lógica aplicada no cálculo do volume por discos, teremos
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Onde:
Note, na �gura a seguir, que
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é o raio da circunferência maior, enquanto
é o raio da circunferência menor.  
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Figura 15 | Raio das circunferências. Fonte: elaborada pela autora.
Para o cálculo de volume por arruelas perpendiculares ao eixo
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teremos duas funções do tipo
Logo, para calcular esse volume, fazemos 
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Com:
Note que
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é o raio da circunferência maior, enquanto
é o raio da circunferência menor.   
Exemplo 5: calcule o volume do sólido de revolução em torno do eixo
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obtido pela rotação de
Solução: analisaremos, inicialmente, as funções que descrevem a região que será rotacionada.
Assim, temos: 
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Figura 16 | Região entre
Fonte: elaborada pela autora.
Como
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fazemos:
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No próximo exemplo, também calcularemos o volume por arruelas, mas, agora, com rotação das
funções em torno do eixo das ordenadas.  
Exemplo 6: calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da área formada pelas
funções
Solução: note que a função fornecida é
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portanto, em primeiro lugar, precisamos calcular a função
logo temos: 
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Como
Essa região �cará determinada como pode ser observado na �gura a seguir.  
Figura 17 | Região
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Fonte: elaborada pelaautora.
Como desejamos rotacionar essa área em torno de
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teremos que o raio externo da arruela será igual a
e o raio interno da arruela terá raio
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Logo, 
Vimos, portanto, que, além de calcularmos o volume de uma única função sendo rotacionada,
podemos rotacionar regiões construídas por mais do que uma função. Outras variações ainda
podem ser pensadas para o cálculo de volumes de revolução.  
Videoaula: Cálculo de volume de sólido de revolução
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Neste vídeo, abordaremos o conceito volume de sólidos de revolução. Para isso, calcularemos o
volume de sólidos gerados pela rotação de funções em torno dos eixos
por técnicas conhecidas como volume por discos e volume por arruelas. Ao �nal da aula, você
estará apto a identi�car e resolver problemas que envolvam o cálculo de volume de sólidos de
revolução.
Saiba mais
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Sugerimos, como ferramenta grá�ca para a visualização de grá�cos de funções, o software de
geometria dinâmica chamado de GeoGebra.  
Ao longo da aula, construímos diversas �guras usando essa ferramenta computacional. Seguem
alguns desses direcionamentos: 
Construção de sólidos de revolução.  
Secção de sólidos. 
Volume por discos.  
Indicamos também a calculadora on-line Symbolab. Com ela, é possível veri�car se os cálculos
que você fez estão corretos.  
Além dessa ferramenta, sugerimos a leitura do artigo Usando o Geogebra para o ensino de
sólidos de revolução. 
Referências
https://www.geogebra.org/?lang=pt
https://www.geogebra.org/m/mX8a9qgq
https://www.geogebra.org/m/nc8x8rr3
https://www.geogebra.org/m/wgqwmy9h
https://periodicos.ufsm.br/cienciaenatura/article/download/25400/pdf
https://periodicos.ufsm.br/cienciaenatura/article/download/25400/pdf
Disciplina
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ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo. v. 1. Porto Alegre, RS: Grupo A, 2014. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 25 out. 2022. 
STEWART, J. Cálculo - Volume 1. São Paulo, SP: Cengage Learning Brasil, 2017. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/. Acesso em: 25 out. 2022.
Aula 2
Integração por partes e mudanças de variáveis
Introdução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/
Disciplina
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No cálculo diferencial e integral, percebemos que muitas funções primitivas não podem ser
encontradas diretamente com a aplicação de técnicas de integração mais simples, como a regra
da potência para integrais. Certas manipulações algébricas são necessárias para se obter tais
funções, por exemplo, podemos usar a regra da cadeia para integrais, ou, simplesmente, a regra
da substituição de variáveis. Em alguns casos, a regra da substituição de variáveis também não é
su�ciente, então, utilizamos o que chamamos de integração por partes. Nesta unidade de
aprendizagem, aprenderemos essas técnicas. 
Seja muito bem-vindo ao estudo do cálculo integral! 
Integração por partes
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Algumas integrais, de�nidas ou inde�nidas, dependem de ajustes algébricos, como a adoção de
mudanças de variáveis, para que sejam resolvidas. Nesse contexto, aparece um importante
teorema do cálculo chamado de “Regra da cadeia para integrais”. De maneira prática, ele é usado
como técnica de resolução para integrais. Enunciaremos esse teorema na sequência e
apresentaremos sua demonstração.  
Teorema 1: seja
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uma função diferenciável com sua imagem em um intervalo
Suponha que
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seja uma função de�nida em
e que
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e que
seja uma função primitiva de
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 em
Então: 
Demonstração: 
Por hipótese, 
Pela regra da cadeia para diferenciação, 
Substituindo (1) em (2), 
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Onde 
Se
for uma função diferenciável, cuja imagem é um intervalo
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for contínua em
então
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Dessa forma, se
então
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Note que a demonstração apresenta o caminho que adotaremos para encontrarmos funções
primitivas através de uma substituição de variáveis. Descrevemos, a seguir, um passo a passo
para aplicação: 
Passo 1: Identi�car
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e comparar com
Passo 2: Derivar os dois lados dessa equação em relação a
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Passo 3: Isolar
Passo 4: Substituir na integral
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pelo resultado encontrado no terceiro passo. 
Passo 5: Simpli�car a função, de forma que restem apenas elementos da variável
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Passo 6: Resolver a integral em relação a
Passo 7: Voltar esse resultado para a variável
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A seguir, temos um exemplo dessa aplicação:  
Exemplo 1: calcule
Solução: 
Passo 1:  
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Passo 2: 
Passo 3: 
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Passo 4: assim, temos 
Passo 5: simpli�cando, obtemos 
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Passo 6: resolvendo para
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Passo 7: voltando a equação para
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Com isso, aplicamos a regra da cadeia para integrais, também chamada de método da
substituição de variáveis. Note que resolvemos uma integral inde�nida, mas o mesmo raciocínio
pode ser usado para as integrais de�nidas, ou seja, com domínio de integração conhecido. 
Em alguns casos, a regra da cadeia para integrais não é su�ciente para encontrarmos a primitiva
de uma função. Nesse caso, podemos usar uma regra conhecida como “integração por partes”. 
Tomando como referência as obras de Anton, Bivens e Davis (2014) e Stewart (2017),
entenderemos esse processo. 
Suponhamos
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de�nidas e deriváveis num mesmo intervalo
determinado. Temos 
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Assim, isolando
obtemos:
Agora, suporemos que
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admite primitiva em
Note que
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é uma primitiva de
portanto
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também admitirá primitiva em
Logo 
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que é a regra da integração por partes. 
A Equação 6 é comumente denotada por: 
onde
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A seguir, resolveremos um exemplo aplicando essa técnica.  
Exemplo 2: calcule
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Solução: como realizaremos uma substituição de variáveis e alguns ajustes algébricos antes
mesmo de começarmos a resolver a integral, é interessante deixarmos um quadro explicativo
com esses ajustes. Segue o nosso quadro explicativo: 
Como
então: 
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OBS.: é necessário acrescentar a constante de integração “C”, todas as vezes que resolvermos
integrais inde�nidas. 
Com a integração por partes, é possível resolver muitos problemas envolvendo integrais. 
No próximo bloco, resolveremos diversos exemplos aplicando ambas as técnicas vistas neste
bloco. 
Teorema da Mudança de variáveis
Pensaremos, agora, na aplicação da regra da cadeia para integrais em casos em que temos
integrais de�nidas,ou seja, conhecemos o domínio de integração. 
Nesse caso, quando comparamos
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com
precisamos tomar o cuidado de ajustar os intervalos de integração para essa nova função.
Assim, se
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for contínua em um intervalo
conhecido e
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for contínua na imagem de
teremos:
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Observe que o intervalo de integração precisou ser ajustado em relação à mudança de variável. É
importante que �que claro que, tanto a mudança de variável como o ajuste do intervalo, não
alteram o valor �nal da área a ser encontrada. Portanto, geometricamente, tanto
fornecerão a mesma área �nal. Vejamos um passo a passo para resolução: 
Passo 1: identi�car
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 e comparar com
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Passo 3: derivar os dois lados dessa equação em relação a
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Passo 4: isola
(OBS.: usamos a variável
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como padrão, mas poderia ser qualquer outra variável). 
Passo 5: substituir na integral
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pelo resultado encontrado no quarto passo, como também os novos intervalos de integração. 
Passo 6: simpli�car a função, de forma que restem apenas elementos da variável
Passo 7: resolver a integral em relação a
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Perceba que, nesse caso, não precisamos retornar para a variável original, pois, como
conhecemos os intervalos de integração, o resultado será numérico. 
Segue um exemplo que será discutido após a resolução: 
Exemplo 3: determine a área A da função
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Solução: 
Passo 1: 
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Passo 2:
Passo 3: Como
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Passo 4:
Passo 5: 
Disciplina
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Passo 6:
Passo 7: 
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Figura 1 | Comparação entre áreas. Fonte: elaborada pela autora.
Chamamos a atenção para as áreas encontradas na Figura 1. Geometricamente, elas são
diferentes, mas a área total é igual. Neste caso,
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No próximo exemplo, usaremos as duas técnicas para resolver o mesmo exemplo. 
Exemplo 4: conhecendo a função
encontre a primitiva de
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Solução: a primitiva de
é dada por
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Logo, basta integrar a função
Assim, fazendo
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teremos
Substituindo na integral, teremos: 
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mas
então 
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Note que ainda não conseguimos resolver essa integral de maneira direta. Para resolvê-la,
usaremos a integração por partes. Como a variável u já foi usada, chamaremos as partes de t e
dk. Logo, 
Portanto,
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Então, 
Quando precisamos integrar funções trigonométricas, é comum usarmos a integração por
partes.  
Vejamos a resolução desse exemplo na sequência.  
Exemplo 5: calcule
usando integração por partes. 
Solução: 
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Nesse ponto, aplicamos a integração por partes: 
Logo, 
Note que temos uma integral na resposta que apresenta o mesmo grau de di�culdade da integral
inicial. Contudo, nessa etapa, usaremos a identidade trigonométrica
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para conseguirmos �nalizar o processo de integração.  
Como temos
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dos dois lados da igualdade, podemos organizar esse termo do lado esquerdo da igualdade: 
Assim, 
E por �m, 
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Observe que, nesse exemplo, usamos uma identidade trigonométrica, porém também era
possível aplicar uma segunda integração por partes, resolvendo, assim,
O resultado obtido seria exatamente o mesmo. Sugerimos que você teste esse caminho indicado
e compare os resultados.
Mudança de variáveis
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Resolvemos, nos blocos anteriores, exemplos com o uso da integração por partes, em que o
domínio não era conhecido. No caso de integrais de�nidas, o processo se mantém o mesmo.
Dessa forma, não precisamos nos preocupar com o ajuste dos intervalos de integração, como é
feito na regra da substituição de variáveis. 
Pensando em um passo a passo para a integração por partes, temos: 
1. Precisamos escolher qual parte será chamada de
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e qual parte será chamada de
Para essa escolha, é interessante que
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possa ser integrada facilmente, caso contrário, a integração por partes não se justi�ca. 
2. De�nidos
devemos derivar
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em relação a
e integrar
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em relação a
A ideia é transformar a integral
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m uma integral mais simples
3. Por �m, resolvemos
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Note que a parte mais importante da integração por partes é a escolha de quem serão as
funções
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Alguns critérios podem ser levantados nesse caso, contudo não existe uma regra. Na tentativa de
facilitar essa escolha, alguns matemáticos costumam usar a seguinte relação: 
Seja um conjunto de funções do tipo: 
1. Logarítmicas. 
2. Inversas de trigonométricas. 
3. Algébricas. 
4. Trigonométricas. 
5. Exponenciais. 
Uma estratégia que costuma dar certo é escolher como função
as funções dos itens com menor numeração em relação à função que será adotada como
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Exemplo 6: seja a integral
Solução: temos uma função exponencial,
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e uma trigonométrica,
Assim, faremos: 
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Passo 1:
Passo 2: 
Observe que usamos o quadro resumo para auxiliar na identi�cação das funções. 
Passo 3: 
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Precisamos aplicar mais uma vez a integração por partes, pois o nosso resultado ainda contém
uma integral que não pode ser resolvida. Assim, fazemos para
Passo 1: 
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Passo 2:  
Passo 3: 
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Logo, 
Portanto, 
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Observe o grá�co da área formado por essa função. 
Figura 2 | Comparação entre áreas. Fonte: elaborada pela autora.
Portanto, algumas vezes, será necessário aplicar a integração por mais do que uma vez. Em
outros momentos, podemos usar duas técnicas associadas, como a integração por partes e por
substituição. 
Observação: trouxemos uma sugestão para a seleção das funções
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contudo reforçamos que a proposta descrita não é uma regra. Quando tivermos
por exemplo, na mesma classe de funções, precisaremos testar variações para essa escolha. 
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Videoaula: Integração por partes e mudanças de variáveis
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Neste vídeo, trabalharemos com duas técnicas de integração que permitem que encontremos a
primitiva de funções nos mais diversos casos. Infelizmente, não podemos usá-las para todos os
casos, mas entendê-las nos dá mais ferramentas para resolver integrais de�nidas e inde�nidas. 
A regra da cadeia para integrais, ou substituição de variáveis, é uma técnica simples de ser
aplicada. Já a integraçãopor partes é um pouco mais trabalhosa, mas nem por isso é difícil, e ela
permite que encontremos o resultado de integrais bastante complexas, dentre elas, algumas
integrais trigonométricas. Sendo assim, resolveremos alguns exemplos, para que não �quem
dúvidas com relação a esse tema. Ao �nal da aula, você estará apto a identi�car e resolver
integrais que necessitem da aplicação da integração por substituição ou da integração por
partes.
Saiba mais
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Sugerimos, como ferramenta grá�ca para a visualização de grá�cos de funções, o software de
geometria dinâmica chamado de GeoGebra.  
Também sugerimos o site do WolframAlpha. Com ele, você poderá veri�car os resultados de
suas integrais e visualizar o grá�co dessas funções. Apesar de a ferramente estar em língua
inglês, você pode utilizar o recurso de tradução automática do seu navegador, se preferir.
Referências
https://www.geogebra.org/?lang=pt
https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/calculus-and-analysis
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ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo. v. 1. Porto Alegre, RS: Grupo A, 2014. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 25 out. 2022. 
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo – Vol. 1. 6. ed. Rio de Janeiro, RJ: Grupo GEN, 2018.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/. Acesso em:
26 out. 2022. 
STEWART, J. Cálculo – Volume 1. São Paulo, SP: Cengage Learning Brasil, 2017. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/. Acesso em: 25 out. 2022.
Aula 3
Curvas em coordenadas polares
Introdução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/
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A escolha pelo uso de um sistema de coordenadas especí�co se dá, na maior parte das vezes,
devido à facilidade na representação das funções que serão descritas nesse sistema. Dessa
forma, faz muito sentido usar, para representar curvas, um sistema de coordenadas que tenha
seu referencial no ângulo formado por essa curva com algum eixo de referência e no raio dessa
curva também em relação a esse mesmo eixo.  
Em particular, essa situação que descrevemos existe e chama-se sistema de coordenadas
polares. Nessa mesma lógica, uma esfera pode ser expressa em um sistema de coordenadas
esféricas; um cilindro pode ser representado por um sistema de coordenadas cilíndricas; uma
elipse �ca facilmente representada por um sistema de coordenadas elípticas. 
Nessa aula, trabalharemos com a transformação de coordenadas de um sistema cartesiano
bidimensional ortogonal para um sistema de coordenadas polares e veremos como relacionar
essa descrição com as chamadas curvas paramétricas.  
Seja muito bem-vindo ao estudo do cálculo diferencial e integral! 
Transformação de coordenadas cartesianas
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Existem diferentes sistemas de coordenadas. O sistema de coordenadas polares pode ser
comparado em importância ao sistema de coordenadas cartesianas, devido à sua gama de
utilizações. 
No sistema de coordenadas polares no plano, as coordenadas de um ponto P são compostas por
uma distância e uma medida de ângulo em relação a um ponto �xo e a um raio �xo (semieixos). 
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Figura 1 | Coordenadas polares. Fonte: elaborada pela autora.
O ponto �xo é chamado de polo (origem), representado pela letra
O raio �xo é chamado de eixo polar (reta polar) e é representado por
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A cada ponto P do plano, são associadas suas coordenadas polares
descritas da seguinte forma: 
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Assim, para escrever uma coordenada polar no plano, é necessário saber a distância em relação
à origem �xada e para qual direção se deve caminhar para atingir este ponto.  
Observação: por convenção, o ângulo
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é medido no sentido anti-horário. 
No caso de
ser negativo,  teremos que
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pertencem à mesma reta que passa por
e estão a uma distância
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a partir de
como é possível ver na Figura 2. 
Assim: 
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Se
está no mesmo quadrante que
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Se
ele está no quadrante do lado oposto ao polo.
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Figura 2 | Representação de pontos em coordenadas polares. Fonte: elaborada pela autora.
Dessa forma, podemos idealizar uma mudança de coordenadas, passando de coordenadas
cartesianas para coordenadas polares. 
Para isso, usaremos a mesma origem para ambos os sistemas de coordenadas. Como
semieixos de referência, adotaremos a parte positiva do eixo
conforme a �gura a seguir: 
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Figura 3 | Mudança de coordenadas. Fonte: elaborada pela autora.
Sabe-se que  
Logo, como
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podemos escrever
Note que
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O grá�co de uma equação polar
é descrito através de todos os pontos P que têm pelo menos uma representação
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cujas coordenadas satisfazem a equação. 
A seguir, apresentamos alguns grá�cos descritos por equações polares. 
1. Seja a equação
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Essa é uma reta paralela ao eixo polar. Sabemos que
logo em coordenadas cartesianas temos a equação
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Fonte: elaborada pela autora.
As coordenadas cartesianas da reta
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são do tipo
Transformando em coordenadas polares: 
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Como
podemos escrever: 
Resolvendo cada uma das colunas, encontramos: 
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Logo, podemos concluir que em coordenadas polares teremos
A equação
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2. é uma reta perpendicular ao eixo polar.  
Figura 5 | Grá�co para
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Fonte: elaborada pela autora.
O grá�co
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é uma reta perpendicular ao eixo polar
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Então,
Em coordenadas cartesianas, a reta
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tem pares ordenados do tipo
que, transformando em coordenadas polares:  
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Observe que essas manipulações nos permitem montar diferentes curvas, em diferentes
quadrantes no plano cartesiano. 
Grá�cos
Como vimos, em geral,
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representa um círculo com centro
E se a circunferência não estiver centrada na origem, por exemplo, centrada em
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A equação cartesiana da circunferência com centro em
que contém a origem será: 
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Como
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podemos substituir em (1), logo 
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Quando
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tem-se de (2) que
Sabemos que
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Como
Figura 6 |
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Fonte: elaborada pela autora.
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Quando
tem-se de (2) que  
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Sabemos que
Figura 7 |
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Fonte: elaborada pela autora.
Como
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Logo, temos uma circunferência de raio
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unidades. 
Na sequência, apresentaremos algumas equações genéricas para as principais curvas polares
trabalhadas nas obras de cálculo diferencial e integral. 
Limaçon:
Exemplo 1 
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Para visualizar mais casos, variando os valores de
acesse a Calculadora Grá�ca do Geogebra.  
https://www.geogebra.org/graphing/baxtttzb
https://www.geogebra.org/graphing/baxtttzb
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Rosácea
Exemplo 2 
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Ainda, podemos encontrar na literatura curvas polares chamadas de Lemniscatas, cujas
equações são
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Também, temos as espirais de Arquimedes e muitas outras curvas, as quais não têm apenas um
apelo estético importante, mas também são usadas em aplicações em diversas áreas do
conhecimento. 
Com todas essas construções, percebemos que o uso de coordenadas polares ao invés de
coordenadas cartesianas costuma ser a escolha prática na construção de curvas. 
Dentre essas curvas, também se encontram as elipses e as hipérboles, sobre as quais,
geralmente, aprendemos no ensino médio usando coordenadas cartesianas.  
Seções cônicas, como elipses e hipérboles, também podem ser escritas em coordenadas
polares. Considere a �gura a seguir: 
Figura 12 | Hipérbole no sistema cartesiano. Fonte: elaborada pela autora.
Note que a �gura apresenta duas retas em destaque, as retas F e D. A reta F é a distância entre o
foco da hipérbole e um ponto dela. Já a reta D é a distância desse mesmo ponto, P, até o eixo
diretriz dessa cônica. A excentricidade da hipérbole é dada por
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Para escrevermos a hipérbole usando coordenadas polares, adotaremos que um dos focos será
coincidente com o polo do sistema polar, conforme a �gura a seguir:
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Figura 13 | Hipérbole no sistema polar. Fonte: elaborada pela autora.
Como posicionamos um foco no polo, a distância F, no sistema de coordenadas polares, será
dada por
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Se a reta diretriz estiver à direita do polo, teremos 
Como
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Substituindo esse resultado em (4), obtemos: 
A Equação 5 é a equação polar de uma hipérbole quando a reta diretriz está à direita do polo. 
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Usando o mesmo princípio, é possível obter as equações quando a reta diretriz está à esquerda,
ou acima ou abaixo.  
O processo que aplicamos para a hipérbole é válido para as demais cônicas: elipse, parábola e
para a própria circunferência. 
Círculos, elipses e hipérboles
Vamos supor que uma partícula
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se desloca na curva
onde
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é o tempo. Assim, podemos dizer que a posição da partícula depende do tempo, que é um
parâmetro dessa curva, ou seja, cada ponto
depende de
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Portanto, dizemos que uma partícula que tem sua posição de�nida por equações paramétricas
se move ao longo de uma curva na direção em que
aumenta. 
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É comum, nesse contexto, que o trajeto da partícula apareça direcionado por setas, como vemos
na Figura 14. 
Figura 14 | Curva C. Fonte: elaborada pela autora.
A curva
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não é uma função do tipo
porque
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possui para cada
mais de um correspondente em
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Dessa forma, se �zermos o teste da reta vertical, ou seja, se traçarmos uma reta vertical sobre
essa reta interceptará
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em mais de um único ponto. 
Assim, uma curva plana, parametrizada, é uma curva do tipo 
onde
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é o intervalo de
Em geral, considera-se que a variável
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representa o tempo e que a função
representa a posição de uma partícula que se desloca no plano. 
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Nem sempre o parâmetro adotado será o tempo. Podemos escrever, por exemplo, uma curva
parametrizada a partir da expressão
que representa a conversão que usamos quando passamos as coordenadas de um sistema
cartesiano para coordenadas de um sistema polar. Nesse caso, assumiremos que
é uma constante.  
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Você já ouviu falar da Tautócrona? É uma curva cicloide que possui características muito
interessantes. Se você colocar dois objetos sobre ela em pontos diferentes, esses objetos
chegarão ao centro dessa curva ao mesmo tempo. 
Figura 15 | Tautócrona com vários objetos. Fonte: Wikimedia Commons.
Seja uma curva traçada por um ponto
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posicionado no arco de um círculo, quando este gira ao longo de uma reta (eixo das abscissas),
como pode ser observado na Figura 16. 
Vamos supor que, inicialmente, o ponto P está na origem com um ângulo de rotação
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e que o raio desse círculo vale
Quando o círculo começa a rolar pelo eixo
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esse ângulo gira
radianos, como podemos ver na Figura 16.  
Figura 16 | Giro de
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radianos
Fonte: elaborada pela autora.
Como esse círculo está em contato com o eixo
dizemos que a distância que ele girou a partir da origem foi de
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Assim, o centro do círculo será
Agora, sejam
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as coordenadas de
Usando como referência a Figura 16, temos que 
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Nota:
Com isso, obtemos as equações paramétricas da cicloide e, como vimos, a rampa tautócrona é
uma curva cicloide. 
Portanto, representar curvas através de equações paramétricas nos auxilia no processo de
cálculo e representação e, ainda, possibilita a conversão dessa equação do sistema de
coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas polares
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Videoaula: Curvas em coordenadas polares
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Nesta aula, falaremos da relação entre as coordenadas polares e as curvas parametrizadas.
Curvas paramétricas são uma importante ferramenta computacional e de modelagem
matemática. Dessa forma, descreveremos gra�camente alguns modelos de curvas envolvendo
mudança de coordenadas de um sistema cartesiano para um sistema polar e discutiremos esses
resultados pensando em implementação computacional através da parametrização. Ao �nal da
aula, você estará apto a resolver problemas que apresentem a necessidade de conversão para o
sistema de coordenadas polares. 
Saiba mais
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Sugerimos, como ferramenta grá�ca para a visualização de grá�cos de funções, o software de
geometria dinâmica chamado de GeoGebra.  
Para saber um pouco mais sobre as formas polares cônicas, sugerimos o material intitulado
Coordenadas polares, de Frensel e Delgado.
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo. v. 1. Porto Alegre, RS: Grupo A, 2014. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 25 out. 2022. 
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo – Vol. 1. 6. ed. Rio de Janeiro, RJ: Grupo GEN, 2018.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/. Acesso em:
6 out. 2022. 
STEWART, J. Cálculo – Volume 1. São Paulo, SP: Cengage Learning Brasil, 2017. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/. Acessoem: 25 out. 2022. 
Aula 4
Integração por substituição trigonométrica
Introdução
https://www.geogebra.org/?lang=pt
https://www.professores.uff.br/katiafrensel/wp-content/uploads/sites/115/2017/08/ga2-aula4.pdf
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Nesta aula, usaremos as técnicas de integração para generalizar a integração de algumas
funções trigonométricas. A integração por partes e a regra da substituição de variáveis para
integrais serão a base na nossa manipulação algébrica.  
Além disso, trabalharemos com o cálculo do comprimento de curvas usando parametrização e
coordenadas polares, para que possamos aplicar esse resultado no cálculo de áreas de curvas
escritas em coordenadas polares. A parametrização aparece como uma importante ferramenta
tanto para a conversão de um sistema cartesiano para um sistema polar como para o
pensamento da implementação computacional dessas funções. 
Misturaremos teoria e prática, aproximando os conceitos teóricos aprendidos com a resolução
de problemas. 
Seja muito bem-vindo ao estudo do cálculo diferencial e integral II! 
Integrais em coordenadas polares
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Começaremos essa seção resolvendo um exemplo. A ideia é aplicar as técnicas de integração
que conhecemos para encontrar a primitiva de uma função trigonométrica, para que, na
sequência, possamos generalizar o resultado obtido. 
Assim, seja nosso exemplo: 
Exemplo 1: resolva a integral
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Solução: como vimos nas nossas aulas, essa integral pode ser resolvida através da integração
por partes.  
Usando a identidade trigonométrica
Logo, 
Sendo assim, de�niremos quem serão as partes
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Logo, 
Ainda, com o intuito de resolvermos exemplos que permitam que façamos uma generalização,
resolveremos o exemplo a seguir: 
Exemplo 2: resolva a integral
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Portanto,
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Com isso, fazemos: 
Aplicando a integração por partes, teremos: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Assim,  
Logo, 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Observe que, nos dois exemplos, temos um padrão similar. Contudo, será que essa regra é válida
para n ímpar? Faremos dois exemplos na sequência para veri�car.  
Exemplo 3: encontre a família de funções primitivas para a função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Solução: usando o mesmo princípio adotado nos dois primeiros exemplos, temos: 
Note que, neste exemplo, será necessário usar a regra da substituição de variáveis.  
Assim,  
Logo,  
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Agora, usando as mesmas regras de integração, resolveremos a integral
Exemplo 4: partiremos da aplicação da identidade trigonométrica já descrita nos outros
exemplos. Dessa forma, temos: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Usando a regra da substituição de variáveis em
teremos: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Logo, 
Assim: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Com isso, temos dois padrões que se repetem, sendo um para funções potência pares e outro
para funções potência ímpares. Conseguimos descrever esses resultados através de fórmulas de
recorrência, como se segue:  
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
e
Essa lógica também é válida para as funções potência de tangentes e secantes: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
e
Note que construímos regras que generalizam a resolução de integrais trigonométricas que
seguem certos padrões. Contudo, essas regras não precisam ser decoradas, pois, com as
técnicas de integração conhecidas, em particular, as técnicas da integração por partes e
substituição de variáveis, conseguimos resolver essas mesmas integrais. A lógica da
generalização é agilizar o processo de cálculo e identi�car padrões que podem ser aplicados em
casos especí�cos. 
Método da substituição trigonométrica
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Nesse bloco, falaremos de integração de curvas polares. 
Para compreendermos o cálculo do comprimento de uma curva descrita por uma função polar,
precisamos, inicialmente, entender o desenvolvimento da equação do comprimento para curvas
paramétricas.  
Assim, descreveremos esse conceito para, na sequência, aplicarmos essa teoria às coordenadas
polares. 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
expressa pela equação que relaciona a integral das diferenciais em relação a
Para entender esse conceito, assumiremos a curva
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Figura 1 | Curva C e comprimento L. Fonte: elaborada pela autora.
Considere
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
um arco de comprimento in�nitesimal.  
O triângulo que aparece na Figura 1 e que está ampliado na Figura 2 nos permite escrever 
Como
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
então 
Figura 2 | Comprimento in�nitesimal
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Fonte: elaborada pela autora.
No exemplo a seguir, aplicaremos essa teoria.  
Exemplo 5: seja a função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Calcule o comprimento de arco do grá�co dessa função nesse intervalo. 
Solução: sabendo que
podemos escrever 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Resolvendo essa integral, obtemos 
Figura 3 | Curva L,
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Fonte: elaborada pela autora.
Agora, suponha que
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
com
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Isso signi�ca que
é percorrida uma vez, da esquerda para a direita, quando t aumenta de
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Assim, 
Como
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
temos 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Teorema 1: se uma curva
for descrita pelas equações paramétricas
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
for percorrida exatamente uma vez, quando
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
é
No exemplo a seguir, calcularemos o comprimento de uma curva cicloide. 
Exemplo 6: calcule o comprimento de arco da cicloide dada por
Disciplina
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Solução: calculando as derivadas de x e y em relação a t, obteremos 
Portanto, 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Aqui pensaremos em como calcular essa integral. Para isso, usaremos a identidade
Dessa forma,  
Logo, assumindo a equação: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Se
é um parâmetro, teremos
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Usando a regra do produto e derivando em relação a
obteremos
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Assim, como
escrevemos 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Logo, 
Com isso, escrevemos 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Desa�o 1: encontre o comprimento de arco da cardioide de equação
no intervalo fechado
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Figura 4 | Cardioide de equação polar
e equação paramétrica
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Fonte: elaborada pela autora.
Esse desa�o será resolvido na nossa videoaula. 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Aplicação em cálculo de área sob curvas
Para trabalharmos com o conceito de área de uma região escrita em coordenadas polares,
consideraremos uma função contínua e não negativa
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
contida em um intervalo fechado
Assumiremos que a região
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
está delimitada pela curva
e pelas retasDisciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
conforme Figura 5 e
Figura 5 | Área entre as curvas
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Fonte: elaborada pela autora.
O princípio usado para a obtenção da área se dá com o uso da integral de Riemann. Assim,
consideraremos, inicialmente, uma partição
Figura 6 | Valor de
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Fonte: elaborada pela autora.
Temos, então, subintervalos da forma
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Seja
um valor de
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
A medida em radianos do ângulo entre as retas
será denotada por
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
O número de unidades de área na área do setor circular de raio
unidades e ângulo centra
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
radianos é dada por 
Assim, uma aproximação para a área
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
total de
é dada por
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Assumindo que, quanto menor
mais próximo da área real de R será a aproximação, então por Riemann escrevemos:  
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Ainda, podemos dizer que, observando a Figura 6, a aproximação melhora quando
mas a soma em (9) são somas de Riemann para a função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
logo 
Portanto, dizemos que a área da região R pode ser calculada por 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Onde
Exemplo 7: calcule a área limitada por um laço da rosácea de quatro pétalas
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
apresentada na �gura a seguir.  
Figura 7 | Rosácea de quatro pétalas. Curva polar
equação paramétrica
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Cálculo Diferencial e Integral II
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Fonte: elaborada pela autora.
Solução: a área da região limitada pelo laço pintado de cinza (laço do lado direito) será calculada
entre os raios
Portanto, podemos escrever 
Sabendo que
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
é uma função par, temos que 
Com isso, obtivemos a área de uma das pétalas da rosácea descrita pela curva polar
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Cálculo Diferencial e Integral II
Videoaula: Integração por substituição trigonométrica
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Nesta aula, resolveremos o desa�o proposto para o cálculo do comprimento de arco de um
cardioide em coordenadas polares. Também, falaremos da integração de funções
trigonométricas e da generalização de algumas regras que permitem calcular a integral dessas
funções. Ao �nal da aula, você estará apto a identi�car quais são as situações que podem ser
resolvidas através de coordenadas polares, assim como será capaz de aplicar diferentes
técnicas de integração nos mais variados problemas.
Saiba mais
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Sugerimos, como ferramenta grá�ca para a visualização de grá�cos de funções, o software de
geometria dinâmica chamado de GeoGebra.  
Além do Geogebra, indicamos uma calculadora online chamada Symbolab, a qual traz muitas
ferramentas de cálculo importantes e, dentre elas, calculadoras para validar resultados de
derivadas e integra.
Referências
https://www.geogebra.org/?lang=pt
https://pt.symbolab.com/
https://pt.symbolab.com/solver/calculus-calculator
https://pt.symbolab.com/solver/calculus-calculator
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo. v. 1. Porto Alegre, RS: Grupo A, 2014. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 25 out. 2022. 
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo – Vol. 1. 6. ed. Rio de Janeiro, RJ: Grupo GEN, 2018.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/. Acesso em:
26 out. 2022 
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C.; DOERING, C. I. Cálculo. v. 1. Porto Alegre, RS: Grupo A, 2018. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582604601/. Acesso em: 29
out. 2022. 
STEWART, J. Cálculo – Volume 1. São Paulo, SP: Cengage Learning Brasil, 2017. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/. Acesso em: 25 out. 2022. 
Aula 5
Revisão da unidade
Coordenadas polares e sólidos de revolução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582604601/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Nesta unidade, trabalhamos com as regras de integração conhecidas como Regra da
substituição de variáveis e Integração por partes. Além disso, vimos o processo de conversão
entre sistemas de coordenadas, em particular, a conversão de um sistema cartesiano
bidimensional para um sistema de coordenadas polares. 
Todas essas regras e técnicas são desenvolvidas com o intuito de resolver problemas da
matemática, das engenharias, da tecnologia, entre outras áreas.  
Para o cálculo do volume de sólidos obtidos por rotações de funções em torno do eixo das
abcissas, estudamos o método chamado de Volume por discos, que é descrito pela equação: 
Para obter o volume de um sólido gerado pela rotação de uma função em torno do eixo das
ordenadas, é necessário conhecer o intervalo de integração para essa função. Dessa maneira,
desenvolvemos a expressão  
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Em alguns casos, o sólido de revolução pode ser obtido pela rotação de uma área gerada por
mais do que função. A técnica que permite o cálculo do volume desse sólido é chamada de
Volume por arruelas. Na nossa unidade, desenvolvemos a expressão que permite esse cálculo
tanto para a rotação em torno do eixo
como para a rotação em torno do eixo
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
A seguir, temos, respectivamente, ambas as expressões:  
onde
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
e
com
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Como todos esses processos envolvem a resolução de integrais, trabalhamos com técnicas que
permitem a substituição de variáveis ou a reescrita em partes da integral original, para que
obtenhamos uma integral mais simples para ser resolvida. 
Diante dessa necessidade, aprendemos o processo de integração por substituição, que está
descrito, passo a passo, a seguir. 
Se
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Cálculo Diferencial e Integral II
for uma função diferenciável, cuja imagem é um intervalo
então
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Então: 
Passo 1: identi�car
e comparar com
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Passo 2: derivar os dois lados dessa equação em relação a
Passo 3: isolar
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Passo 4: substituir na integral
pelo resultado encontrado no terceiro passo. 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Passo 5: simpli�car a função, de forma que reste apenas elementos da variável
Passo 6: resolver a integral em relação a
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Passo 7: voltar esse resultado para a variável
Também, demonstramos a aplicação da técnica chamada Integração por partes, que pode ser
rapidamente descrita nos seguintes passos: 
Seja a integral 
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Cálculo Diferencial e Integral II
então: 
Passo 1: identi�car
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
e comparar com
Passo 2: ajustar os intervalos de integração de forma que se
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Passo 3: derivar os dois lados dessa equação em relação a
Passo 4: isolar
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
(OBS.: usamos a variável
como padrão, mas poderia ser qualquer outra variável). 
Passo 5: substituir na integral
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
pelo resultado encontrado no quarto passo. Substituir tambémos novos intervalos de
integração. 
Passo 6: simpli�car a função, de forma que reste apenas elementos da variável
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Passo 7: resolver a integral em relação a
Por �m, identi�camos que a conversão entre sistemas de coordenadas pode facilitar a resolução
de algumas integrais, principalmente, quando se deseja integrar curvas, como circunferências,
cardioides, entre outras.   
Para essa última análise, aprendemos a converter funções escritas no sistema cartesiano para o
sistema polar de coordenadas, em que teremos 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
O que pode ser observado na �gura a seguir: 
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Cálculo Diferencial e Integral II
Figura 1 | Mudança de coordenadas. Fonte: elaborada pela autora.
No nosso vídeo da aula, resolveremos algumas aplicações usando essas técnicas.  
Videoaula: Revisão da unidade
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Neste vídeo, resolveremos exemplos que envolvem a mudança de coordenadas para o sistema
polar. Dentre esses exemplos, trabalharemos a obtenção de áreas e volumes usando integrais,
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Cálculo Diferencial e Integral II
que poderão ser resolvidas, se necessário, através das técnicas descritas na unidade ou de
outras técnicas de integração já conhecidas. Portanto, temos como intuito a recapitulação
desses conceitos, permitindo, assim, uma melhor compreensão dos temas abordados.
Estudo de caso
Para contextualizar sua aprendizagem, usaremos os conceitos aprendidos para resolver uma
importante questão relacionada a superfícies geradas pela rotação de funções em torno de um
eixo especi�cado. 
Um exemplo nesse sentido é a superfície gerada pela rotação de uma parábola
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
em um intervalo conhecido I, em torno do eixo das ordenadas. Essa estrutura é chamada de
paraboloide elíptico ou paraboloide de revolução e pode ser vista na �gura a seguir.  
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Cálculo Diferencial e Integral II
Figura 2 | Paraboloide elíptico. Fonte: geogebra. Acesso em: 28 dez. 2022.
Na primeira aula desta unidade, vimos o cálculo do volume para esse tipo de sólido de
revolução.  
Contudo, neste estudo de caso, queremos descobrir a área dessa superfície de revolução. 
Isso se dá, pois superfícies com essa característica são extremamente aplicadas em diversos
contextos práticos. Por exemplo, antenas parabólicas possuem esse formato, porque uma das
propriedades da parábola é a de fazer convergir qualquer onda recebida para seu ponto focal,
ampliando, assim, o sinal da onda recebida. 
Um paraboloide elíptico nada mais é do que uma reunião de uma in�nidade de parábolas, ou
como de�nimos, a rotação de uma parábola em torno de um eixo conhecido. 
Os telescópios re�etores usados atualmente nos mais importantes observatórios do mundo são
construídos a partir de uma ideia de Issac Newton (1643-1727), aplicando o princípio de re�exão
de ondas, e possuem o formato de um espelho curvo (paraboloide).   
O telescópio espacial Hubble também é um dos exemplos de utilização de lentes e espelhos no
formato de paraboloides. 
Figura 3 | Telescópio Hubble. Fonte: Wikimedia Commons.
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Cálculo Diferencial e Integral II
Alguns paraboloides podem ser observados na natureza, como é o caso de alguns fungos, como
podemos ver na �gura a seguir:
Figura 4 | Fungos. Fonte: Shutterstock.
De acordo com Lima (2012), as aplicações desse tipo de superfície remontam à Antiguidade,
tendo Arquimedes como um dos nomes relacionados a esse estudo. 
Diante dessas informações, queremos desenvolver uma expressão (fórmula matemática) para o
cálculo da área de uma superfície de revolução obtida pela rotação de uma parábola em torno do
eixo das ordenadas.  
Sendo assim, precisamos calcular a área da superfície gerada pela rotação da função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Com essas informações, calcule a superfície de revolução descrita.
Re�ita
Para calcular a área de superfícies discretizadas, podemos usar conceitos já aprendidos, como
área lateral de cilindros, cones e troncos de cones. Re�ita sobre a possibilidade de uso dessas
expressões para gerar a expressão que permite o cálculo de superfícies de revolução.  
Será possível aproveitar cálculos já realizados nas aulas dessa unidade, por exemplo, a
expressão do comprimento de arco, para desenvolvermos a expressão para a área de superfícies
de revolução? 
Essa é outra re�exão que apontamos para construir a resolução desse estudo de caso.
Videoaula: Resolução do estudo de caso
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Queremos calcular a área da superfície de um sólido de revolução gerado pela rotação da função
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Cálculo Diferencial e Integral II
em torno do eixo das ordenadas no intervalo para y entre 0 e 4. 
Sabemos que a área da superfície de um cilindro circular reto é calculada por
sendo r o raio da base desse cilindro e h a altura do cilindro.  
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Partindo dessa analogia, veri�camos que, ao rotacionar uma função em torno de um eixo das
abscissas, a área da superfície de revolução será o somatório de uma in�nidade de áreas de
cilindros geradas pela discretização do domínio
com tamanho in�nitesimal e, portanto, com n tendendo a zero
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Figura 5 | Superfície de revolução. Fonte: Stewart (2017, p. 498).
Assim, sabendo que o comprimento de um arco é calculado
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
e este será a altura de cada um desses cilindros e, ainda, que o raio de cada arco é dado por
podemos escrever que a área da superfície de cada arco será
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Cálculo Diferencial e Integral II
Portanto, 
Aplicando o mesmo conceito usado na soma de Riemann, escrevemos 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Logo, 
Adaptando essa expressão para a rotação da função g(y) em torno do eixo y, no intervalo para y
entre c e d, teremos 
Com isso, e tendo a função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Assim, 
Simpli�cando essa expressão 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
E, portanto, 
Aplicando a regra da substituição de variáveis para integrais, teremos
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Ainda, quando
Assim, 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais, teremos 
Logo, a área da superfície de revolução será
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
unidades de área.
Resumo visual
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Referências
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo. v. 1. Porto Alegre, RS: Grupo A, 2014. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 25 out. 2022. 
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo – Vol. 1. 6. ed. Rio de Janeiro, RJ: Grupo GEN, 2018.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/. Acesso em:
6 out. 2022. 
LIMA, E. L. A matemática do ensino médio – volume 2. 10. ed. Rio de Janeiro, RJ: SBM 2012. 
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C.; DOERING, C. I. Cálculo. v. 1. Porto Alegre, RS: Grupo A, 2018. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582604601/. Acesso em: 29
out. 2022.   
STEWART, J. Cálculo – Volume 1. São Paulo, SP: Cengage Learning Brasil, 2017. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/. Acesso em: 25 out. 2022.  
,
Unidade 3
Funções de Várias Variáveis e Derivadas Parciais
Aula 1
Funções de várias variáveis
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582604601/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522126859/
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Introdução
Olá, estudante!
Na aula de hoje, trabalharemos com o conceito de funções de duas e três variáveis, bem como
avaliar situações em que esses conceitos são necessários, por exemplo, para descrever o custo
que uma empresa tem para produzir dois tipos diferentes de produtos. Observe que, nesse
exemplo, a função é utilizada para descrever uma relação de dependência entre três grandezas
(custo, produto 1 e produto 2). Fique atento a essa ideia, pois ela é fundamental para
entendermos o conceito de funções de duas ou mais variáveis reais. A partir desse conceito,
esperamos que você, estudante, tenha compreensão de como utilizá-lo para descrever situações
que possam emergir no seu campo pro�ssional e para associá-lo a outros conceitos, como o de
derivadas parciais, que será visto nas nossas próximas aulas. 
Lembre-se de que estudar cálculo diferencial e integral requer a prática de exercícios e uma
rotina de estudos!  
Signi�cado de variáveis
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Imagine que você esteja analisando os custos de produção de uma empresa de componentes
eletrônicos. A empresa produz dois tipos de produtos, resistores e transistores, sendo que há um
custo �xo para manter a empresa produzindo, bem como um custo unitário para a produção de
cada um desses produtos. Observe que, nessa situação, temos uma relação de dependência
entre o custo de produção total e os custos unitários de cada produto. Essa relação de
dependência entre grandezas é a ideia central do conceito de funções. Outro aspecto importante
que podemos analisar a partir dessa situação é a ideia de variável, para isso, tente responder às
perguntas: qual a quantidade produzida de resistores? E de transistores? No problema, não �ca
evidente qual é essa quantidade, sendo que ela pode variar dependendo de certas condições.
Assim, o conceito de variável está diretamente ligado à ideia de valores desconhecidos que
podem variar. Não confunda o conceito de incógnita e variável, pois a incógnita representa uma
quantidade desconhecida que satisfaz uma determinada equação, já as variáveis representam
quantidades desconhecidas, mas que variam. Assim, podemos dizer que a ideia de variável e de
relação de dependência são centrais para entender funções. 
Notou a semelhança dessa situação com outras situações que você já se deparou em seus
estudos anteriores? Pois bem, o conceito de funções de duas ou mais variáveis é uma extensão
do conceito de função de uma variável real, que você já estudou em outras disciplinas. Vamos
relembrar qual a de�nição de função de uma variável real? 
Segundo Stewart (2013b), uma função é uma lei que associa cada elemento
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Cálculo Diferencial e Integral II
pertencente ao conjunto
denominado de domínio, a um único elemento, chamado
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Cálculo Diferencial e Integral II
pertencente ao conjunto
denominado de contradomínio. Em nossos estudos, consideramos que o conjunto
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Cálculo Diferencial e Integral II
e o conjunto
são conjuntos de números reais, além disso, falamos que
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
é o valor da função
A imagem de
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é obtida ao substituirmos todos os valores possíveis de
isto é, que pertencem ao domínio na lei de formação da função.
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são denominadas variáveis da função, sendo que
depende da variável
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ou seja,
é a variável dependente e
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é a variável independente.  
Agora que você já relembrou o conceito de função de uma variável real, faremos um paralelo
desse conceito com o de funções de duas ou mais variáveis reais. A partir da nossa situação
inicial, podemos perceber que a função custo depende de duas variáveis: a quantidade produzida
de resistores
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e a quantidade de transistores
além do custo �xo. Nesse sentido, podemos dizer que uma função de duas variáveis é composta
por uma variável dependente e duas variáveis independentes. Portanto, podemos de�nir uma
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função
de duas variáveis reais como sendo uma lei que associa cada par ordenado
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de um conjunto
denominado de domínio, a um único valor real
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denominado de imagem. Frequentemente, escrevemos
em que
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é a variável dependente e
são as variáveis independentes. 
Naturalmente, podemos dizer que uma função
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de três variáveis é uma lei que associa cada tripla ordenada
pertencente a um domínio
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a um único número real denotado por
Considerando essas de�nições, nosso foco daqui para frente é estudar as propriedades de
funções de duas variáveis por meio de exemplos. Além disso, interpretaremos situações
cotidianas utilizando esses conceitos.  
Funções de duas variáveis
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Anteriormente, trabalhamos com os conceitos de variáveis e de funções de duas e três variáveis
reais. Agora, nosso foco é explorar as propriedades envolvendo esses conceitos. Retomaremos a
nossa situação sobre a análise do custo de produção da empresa.  
Consideraremos que o custo �xo de produção é de R$ 4.000,00 e que o custo de produção
unitário para os resistores é de R$ 4,00 e dos transistores é de R$ 6,00. Com base nessas
informações, como podemos expressar matematicamente a relação entre o custo total e a
quantidade de produtos produzidos?  
O primeiro passo é identi�car as variáveis do problema. Lembre-se de que elas são parte
fundamental da de�nição de função. Nesse problema, podemos representar a quantidade
produzida de resistores por
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e a quantidade de transistores por
A lei de formação relacionará essas variáveis e o custo da produção. Assim, temos que o custo
total de produção pode ser denotado pela função
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em que
é o custo total da produção e esse depende da quantidade produzida de ambos os produtos. 
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Ao trabalharmos com funções de duas variáveis, é preciso se atentar ao signi�cado de “calcular
a função no ponto dado”. Ao dizermos isso, queremos encontrar a imagem de
dado um par ordenado
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e para isso basta substituirmos os valores de
na lei de formação. 
Por exemplo, suponhamos que sejam produzidas 400 unidades de resistores e 600 unidades de
transistores. Qual será o custo total de produção da empresa? Nesse problema, devemos
calcular a função
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no ponto
logo devemos substituir
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por 400 e
por 600: 
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Assim, o custo total de produção é de R$ 9.200,00. No caso dessa situação, devemos ter atenção
ao domínio da função. Em linhas gerais, podemos dizer que o domínio da função é o conjunto de
pares ordenados em que a função é de�nida. Nesse caso, não é possível produzir quantidades
negativas de produtos, portanto
devem assumir sempre valores positivos. Fique tranquilo, pois em nossa próxima aula
exploraremos esse conceito de domínio de uma função de duas variáveis. 
Até o momento, abordamos o conceito de função de duas variáveis, então, agora, analisaremos
uma situação em que são envolvidas três variáveis. Lembre-se de que as ideias que estão
associadas às funções de duas variáveis também são válidas para funções de três variáveis.
SuponhaII
contudo, se aplicarmos a ideia de integração acima, obteremos como primitiva
Isso está errado? Não! Pois, de forma geral, a integral de uma função será dada por 
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lido como a integral de
mais uma constante. Sendo que,
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é uma constante real qualquer e, ao derivar a primitiva
A constante é adicionada ao resultado, pois qualquer constante na função primitiva, ao derivar,
será 0, e assim ela não aparece em
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mas é sempre necessário adicioná-la quando estamos calculando a integral inde�nida de função.
Portanto, a notação correta para a integral de
é 
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Para determinar a constante
precisamos de informações adicionais sobre a função primitiva, pois esse
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pode ser qualquer constante real. Lembrando que a constante
só aparece na integral inde�nida (aquela que não tem os limites de integração), enquanto na
integral de�nida podemos omitir a constante
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Agora que conhecemos o processo de integração, voltaremos ao Teorema Fundamental do
Cálculo, escrito por 
onde
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é qualquer primitiva de
Podemos escrever o Teorema Fundamental do Cálculo utilizando a notação
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e assim teríamos 
Comumente, ainda podemos encontrar as notações
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Assim, a integral da função
de 1 até 2 será dada por:
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Foi feito o processo de integração da função
(veja que, aqui, não é necessária a constante
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então, agora, é necessário substituir em
e fazer a subtração, obtendo: 
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Portanto, a integral da função
de 1 até 2 é 14.  
É importante fazer uma distinção cuidadosa entre integral de�nida e inde�nida. Uma integral
de�nida
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é um número, enquanto uma integral inde�nida
é uma função (ou uma família de funções, por causa da constante
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Veja que apresentamos uma exempli�cação apenas para compreender e interpretar melhor os
conceitos relativos à integração e o Teorema Fundamental do Cálculo, mas outras
exempli�cações serão feitas nas aplicações
Teorema fundamental do cálculo e integrais primitivas
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Consideraremos a função
Assim, pela ideia de integral, estamos procurando a área
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representada na Figura 5
Figura 5 | Representação geométrica da integral da função
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Fonte: elaborada pelo autor.
Para começar esse cálculo, utilizaremos o Método de Riemann com
retângulos, então, o comprimento de cada retângulo será  
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Dessa forma, o primeiro retângulo terá base que começa em 1 e vai até 1,5; o segundo retângulo
terá base de 1,5 até 2; o retângulo seguinte terá base de 2 até 2,5; por �m, o quarto retângulo
começará em 2,5 indo até 3,0. Agora, vale destacar que os retângulos podem ser construídos
com alturas à esquerda, à direita e centradas. Veja, na Figura 6, a diferença geométrica entre
elas. 
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Figura 6 | Representação geométrica de cada construção de retângulos do Método de Riemann. Fonte: elaborada pelo autor.
Na soma à esquerda, a altura dos retângulos pega os valores da base começando pela esquerda
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na soma à direita, as alturas
são construídas pegando os valores mais à direita de cada base
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na soma centrada, os valores serão os meios de cada base
Calcularemos a integral para cada uma dessas: 
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Soma à esquerda, teremos que a integral será aproximadamente: 
Soma à direita, teremos que a integral será aproximadamente:
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O resultado igual à soma à esquerda é apenas uma coincidência da função, pois ela é simétrica;
em geral, o resultado é diferente.  
Soma centrada, teremos que a integral será aproximadamente: 
Em geral, o valor da soma centrada é mais precisa que à esquerda e à direta. Em seguida,
utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo para determinar o valor exato da integral. 
Utilizaremos o teorema para resolver a integral, mas, para aplicar o teorema, devemos conhecer a
primitiva da função
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para isso, pensaremos por partes. Primeiramente, qual a função que, ao derivar, obtemos
É a função
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Então, a primitiva de
De forma geral, temos que
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A constante K sempre aparece na integração inde�nida, mas, na hora de aplicar no Teorema
Fundamental do Cálculo, podemos omiti-la. Para as funções
suas respectivas primitivas serão
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De fato, ao derivar
obtemos as funções
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assim,
Logo, teremos que a integral da função
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será:
Agora que calculamos a integral e encontramos a primitiva da função
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podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Veja: 
Caro estudante, depois de encontrar a primitiva ao aplicar o teorema, é necessário substituir toda
a função integrada no limite de integração superior (no caso,
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e, depois, subtrair substituindo toda a função integrada pelo limite de integração inferior (no
caso, 
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Dessa forma, o valor exato da integral é 6, logo a área S tem medida de seis unidades quadradas.
Se compararmos o resultado do teorema fundamental do cálculo com os métodos de Riemann
resolvidos, veremos que o resultado da integral pela soma centralizada é mais preciso. Para
efeito de comparação, a seguir, apresentamos o grá�co da integral pela soma centralizada com
retângulos. 
Figura 7 | Representação geométrica dos retângulos da soma de Riemann para 
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Fonte: elaborada pelo autor.
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É possível ver que realmente a soma de Riemann se aproxima da verdadeira integral, e com
apenas oito retângulos já temos uma boa aproximação.
Videoaula: A integral de Riemann
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Neste vídeo, você verá a base introdutória sobre integrais. Começaremos com a ideia do cálculo
das integrais pelo método da soma de Riemann, que divide a área sobre uma curva em
retângulos e, depois, soma essas áreas. Na sequência, apresentaremos a integral como uma
operação inversa a derivada. Por �m, caro aluno, será revelado a você uma das bases de todo o
cálculo diferencial e integral, o Teorema Fundamental do Cálculo. 
Saiba mais
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Estudante, pode ser um bom momento ler (ou reler) Uma apresentação do Cálculo no livro de
Stewart, Clegg e Watson (2021, p. xxix), no qual se discutem ideias uni�cadoras do cálculo, em
especial, sobre áreas.  Nesse mesmo livro, vale fazer uma leitura complementar a seus estudos
com a Seção 5.1, na qual se faz uma discussão completa sobre o Método de Riemann. 
Em adicional, um texto interessante para compreender uma breve aplicação inicial de integrais na
engenharia é UMA PROPOSTA DIFERENCIADA PARA Oque uma empresa de embalagens descartáveis fabrica três tamanhos de caixas:
pequena, média e grande. Sabe-se que a empresa tem um custo �xo de R$ 6.000,00 e que o
custo para fabricar uma caixa pequena é de R$ 1,00, uma caixa média é de R$ 2,50 e uma caixa
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grande é de R$ 4,00. Qual seria o custo da empresa se fossem fabricadas mil unidades de cada
tipo de caixa? 
O primeiro passo é identi�car as variáveis envolvidas no problema, as quais, nesse caso, seriam a
quantidade de caixas pequenas produzidas
a quantidade de caixas médias
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e a quantidade de caixas grandes
Sabemos que o custo depende de um custo �xo de R$ 6.000,00 mais o custo por unidade
produzida, assim, o custo pode ser dado pela função
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Agora, temos que calcular o custo para produção de mil unidades de cada tipo; para isso, basta
substituirmos as variáveis por 1000. 
Logo, a empresa tem um custo de R$ 13.500,00 para produzir mil unidades de cada tipo de
caixa. 
 Observe como é importante a intepretação da situação para a representação algébrica de uma
função. Com isso, chegamos ao �nal da segunda parte da nossa aula, espero que tenha gostado.
Funções de três variáveis
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Agora é o momento de utilizarmos o conceito de funções de duas variáveis reais na prática. Para
isso, resolveremos um problema de modelagem matemática. Em termos gerais, a modelagem
matemática se preocupa em descrever diferentes fenômenos por meio de um modelo
matemático, que pode ser considerado como sendo uma função.  
Suponhamos que uma empresa fabrica dois tipos de bicicletas, as de passeio e as elétricas. O
custo para a produção de uma bicicleta de passeio é de R$ 200,00, e de uma bicicleta elétrica é
de R$ 350,00; além desses custos, a empresa tem um custo �xo de manutenção de R$ 5.000,00.
Considere que todas as bicicletas produzidas foram vendidas, sendo que o preço de venda da
bicicleta de passeio é de R$ 400,00, e da bicicleta elétrica é de R$ 700,00. Sabendo que a função
lucro é dada pela diferença entre a função receita e a função custo, qual a função que descreve o
lucro dessa empresa? Qual será o lucro da empresa se forem produzidas 100 unidades da
bicicleta de passeio e 50 unidades da bicicleta elétrica?  
Para resolver esse problema, seguiremos os seguintes passos: 
Primeiro passo: identi�car as variáveis envolvidas no problema. 
Nesse problema, temos como variáveis independentes a quantidade produzida de bicicletas de
passeio
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e a quantidade de bicicletas elétricas
Como variáveis dependentes, temos o custo de produção 
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a receita
e o lucro
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Segundo passo: determinar a lei de formação da função custo
O problema nos fornece a informação de que a empresa tem um custo �xo de manutenção de R$
5.000,00 e o custo unitário de produção da bicicleta de passeio é de R$ 200,00 e da bicicleta
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elétrica é de R$ 350,00. Como o custo depende da quantidade produzida e do custo unitário mais
o custo �xo, assim  
Terceiro passo: determinar a lei de formação da função receita
O problema nos fornece a informação de que o preço de venda da bicicleta de passeio é de R$
400,00 e da bicicleta elétrica é de R$ 700,00. Além disso, a função receita é dada pelo valor
unitário de venda de cada tipo de bicicleta vezes a quantidade vendida, que, nesse caso, é a
mesma que a quantidade produzida. Logo, 
Quarto passo: determinar a lei de formação da função lucro
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Sabemos que a função lucro é dada pela diferença entre a função receita e a função custo,
assim, temos: 
Nesse passo, encontramos a reposta da nossa primeira pergunta, que era determinar a função
lucro, isto é,
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A partir da lei de formação, temos condições de encontrar o lucro da empresa quando forem
produzidas 100 unidades da bicicleta de passeio e 50 unidades da bicicleta elétrica, conforme
mostra o nosso quarto passo. 
Quinto passo: calcular o lucro quando
Para isso, temos que substituir os valores de
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na lei de formação da função
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Portanto, o lucro da empresa será de R$ 32.500,00 quando forem produzidas 100 bicicletas de
passeio e 50 bicicletas elétricas. Perceba que a função lucro variará de acordo com a quantidade
produzida de cada um dos tipos de bicicleta.  
A partir dessa situação, podemos perceber que o conceito de funções pode ser utilizado para
descrever diferentes situações cotidianas que envolvam uma relação de dependência entre
variáveis.  
Com esse exemplo, encerramos nossa aula sobre o conceito de funções de duas e três variáveis
reais. Espero que tenha gostado!
Videoaula: Funções de várias variáveis
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computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo
para assistir mesmo sem conexão à internet.
Nesta videoaula, temos como objetivo entender o conceito de funções de duas e três variáveis.
Portanto, iniciaremos de�nindo esse conceito e destacando suas principais características. Ao
�nal, analisaremos matematicamente uma situação relacionada ao lucro de uma empresa
utilizando o conceito de função de duas variáveis.  
Saiba mais
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O conceito de função de duas variáveis é fundamental para o desenvolvimento de outros
conceitos relacionados ao cálculo diferencial e integral e de outras áreas. A computação é uma
das áreas em que podemos utilizar as funções de duas variáveis. O artigo intitulado Estudo do
efeito dos parâmetros genéticos de um algoritmo genético na solução otimizada e no tempo de
convergência em uma função de duas variáveis relaciona o conceito de função de duas variáveis
e algoritmos genéticos (ramo de pesquisa da computação evolucionária).
Referências
https://www.peteletricaufu.com.br/static/ceel/doc/artigos/artigos2013/ceel2013_076.pdf
https://www.peteletricaufu.com.br/static/ceel/doc/artigos/artigos2013/ceel2013_076.pdf
https://www.peteletricaufu.com.br/static/ceel/doc/artigos/artigos2013/ceel2013_076.pdf
https://www.peteletricaufu.com.br/static/ceel/doc/artigos/artigos2013/ceel2013_076.pdf
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Cálculo Diferencial e Integral II
STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2013a. 
STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2013b. 
Aula 2
Grá�cos de superfícies
Introdução
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Olá, estudante!
Espero que esteja bem. Nesta aula, daremos continuidade aos nossos estudos sobre funções de
duas ou mais variáveis. Chegou o momento de nos aprofundarmos nos conceitos de domínio e
imagem de uma função desse tipo, além de realizarmos uma interpretação grá�ca dessas
funções. Ao �nal da aula, esperamos que você, estudante, tenha compreensão de como utilizar
os conceitos de domínio, imagem e representações grá�cas na análise e interpretação de
situações, visto que é essencial a análise da função para, depois, realizar outros processos, como
a derivação. 
Lembre-se de que estudar cálculo diferencial e integral requer a prática de exercícios e uma
rotina de estudos!
Funções com n variáveis
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Você já aprendeu que uma função de duas variáveis é de�nida como sendo uma lei que associa
cada par ordenado
de um conjunto
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denominado de domínio, a um único valor real
denominado de imagem. Observe que o domínio e a imagem possuem uma importância nessa
de�nição, logo faz-se necessário explorarmos esses dois conceitos. Você se lembra o que são
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Cálculo Diferencial e IntegralII
domínio e imagem? Para isso, considere a função
de uma variável dada por
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Essa função está de�nida para qualquer valor real de ? Se , qual o valor que a função assume?
Perceba que a função
não é de�nida para
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pois, em matemática, não existe divisão por zero, assim, essa função não assume nenhum valor
quando
Com base nesse exemplo, podemos dizer que o domínio de uma função é o conjunto de valores
em que essa função está de�nida. Dessa forma, para uma função
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de duas variáveis, o domínio seria todo o conjunto de pares ordenados
em que a função é de�nida. Para a determinação do domínio de uma função, é preciso que você
se lembre de que: 
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Não existe divisão por zero. 
Não existe raiz de índice par de número negativo. 
Não existe logaritmo de número negativo ou zero. 
Logo, os pares ordenados que se originam de uma dessas condições, no interior da função
estudada, devem ser excluídos do domínio da função. 
Por exemplo, determinemos o domínio da função
Como a função
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é de�nida por uma raiz quadrada, temos que a função que se encontra dentro do radical não
pode resultar em um valor negativo, logo
Podemos, então, dizer que o domínio
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é dado por
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Já a imagem é o conjunto de todos os valores que se relacionam a algum elemento do domínio,
isto é, os valores que a função assume ao substituirmos os valores do domínio em sua lei de
formação. A função
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por exemplo, tem como imagem valores de maiores que zero, isto é,
Uma estratégia que podemos utilizar para determinar a imagem de uma função é avaliarmos a
sua representação grá�ca. Segundo Stewart (2013), o grá�co de uma função
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de duas variáveis com domínio
é o conjunto de todos os pontos
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tal que
O grá�co da função
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é dado por:
Figura 1 | Representação grá�ca da função f. Fonte: elaborada pela autora.
O grá�co apresentado na Figura 1 nos permite visualizar que a função só assume valores
maiores que zero, conforme já discutimos.  
Outra forma de visualizarmos uma função de duas variáveis é por meio de suas curvas de
contorno. De acordo com Stewart (2013), os matemáticos pegaram esse método de visualização
emprestado dos cartógrafos, que se refere a um mapa de contorno, em que os pontos com
elevações constantes são ligados, formando, assim, as curvas de nível ou curvas de contorno.
Dada uma função
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de duas variáveis, as curvas de nível são aquelas com a equação
em que
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é uma constante. Podemos dizer que as curvas de nível
são cortes da função
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no plano horizontal
que são projetados sobre o plano
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As curvas de nível para a função
são representadas por circunferências no plano
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Lembre-se de que a equação de uma circunferência é dada por
assim, se
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temos 
Isso representa uma circunferência de raio 1. A Figura 2 ilustra as curvas de níveis da função. 
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Figura 2 | Mapa de contorno da função f. Fonte: elaborada pela autora.
Considerando essas de�nições, nosso foco daqui para frente é estudar esses conceitos por meio
de exemplos. Bons estudos! 
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Domínio e imagem de funções de várias variáveis
Anteriormente, estudamos as de�nições a respeito de domínio, imagem e representação grá�ca
de funções de duas variáveis. Agora, nosso foco é explorar particularidades desses conceitos.
Quando temos uma função
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composta por mais de uma função, por exemplo,
temos que nos atentar ao seu domínio, pois tanto a função que compõe o numerador quanto a
que compõe o denominador possuem restrições de existência. Assim, o domínio da função
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deve considerar as duas restrições. O numerador da função
é dado por uma função logarítmica, e essa só é de�nida para valores maiores que zero, logo o
domínio de
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Esse domínio pode ser representado por todos os pontos que estão à direita da reta
epresentado pela área em azul, conforme ilustra a Figura 3. 
Figura 3 | Representação grá�ca do domínio de
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Fonte: elaborada pela autora.
Ao avaliarmos a função
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temos que seu denominador deve ser diferente de zero e que a função dentro da raiz deve ser
maior que zero, assim
A Figura 4 ilustra quais pontos pertencem a esse domínio. 
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Figura 4 | Representação grá�ca do domínio de
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Fonte: elaborada pela autora.
Como cada uma das funções possui um determinado domínio, devemos encontrar a interseção
entre os domínios, e esse será o domínio da função
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Temos que 
assim, o domínio será
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que na representação grá�ca corresponde às regiões hachuradas, conforme ilustrado na Figura
5. 
Figura 5 | Representação grá�ca do domínio de
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Fonte: elaborada pela autora.
Quando você for analisar o domínio desse tipo de funções, isto é, funções compostas, não se
esqueça de olhar para a interseção dos domínios, isto é, os valores que satisfazem a todas as
funções. Para �car mais clara essa ideia, trabalharemos com um outro exemplo. 
Exemplo: seja a função
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determine: 
1. O seu domínio e o esboce gra�camente. 
2. A imagem da função. 
3. O grá�co da função
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1. Como no numerador temos uma função com radical par, a função que se encontra dentro
do radical deve ser maior ou igual a zero, ou seja,
Portanto, o domínio
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da função do numerador é
A função do denominador também contém um radical, logo a função que se encontra dentro do
radical deve ser maior que zero, porém, como o radical encontra-se no denominador, esse não
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pode ser zero, assim
Logo, o domínio
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da função do numerador é
Agora, você deve realizar a interseção entre
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para encontrar o domínio de
assim
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A Figura 6 ilustra esse domínio.  
Figura 6 | Representação grá�ca do domínio de
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Fonte: elaborada pela autora.
2. Agora que encontramos o domínio da função
vamos determinar sua imagem? Para isso, analisaremos sua lei de formação. A função é dada
por
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Observe que, para que a função exista, tanto o numerador quanto o denominador têm que
assumir valores positivos, logo a imagem da função
são todos os valores reais maiores ou iguais a zero, isto é,
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3. Com base no domínio e na imagem da função
podemos esboçar seu grá�co, conforme ilustra a Figura 7. 
Figura 7 | Representação grá�ca de
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Fonte: elaborada pela autora.
Com isso então, encerramos a segunda parte de nossa aula. Espero que você tenha gostado! 
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Curvas de nível e grá�cos de superfícies
Chegamos à última parte de nossa aula, em que nosso objetivo é trabalhar com uma aplicação
das funções de duas variáveis e sua representação grá�ca em uma situação prática. Então, para
aplicar os conceitos aprendidos anteriormente, consideraremos que você esteja realizando o
estudo matemático sobre o relevo de Minas Gerais. Após suas pesquisas, você descobriu que ele
é composto por muitos morros e serras, sendo a Serra do Curral uma das muitas existentes no
estado
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Figura 8 | Serra do Curral em Minas Gerais. Fonte: Pixabay.
Durante suas pesquisas, você encontrou um matemático que realizou um estudo dos morros
dessa serra. Com base em dados coletados, ele determinou um modelo matemático que fornece
a altura de um morro dessa serra dado a sua base
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e o seu declive
a saber 
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De posse dessa função, você �cou curioso para saber qual a sua representação grá�ca e se essa
realmente se assemelha a um morro.  
Para construirmos a representação grá�ca dessa função, primeiro, analisaremos qual o seu
domínio e qual a sua imagem.
A função  
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é uma função racional, cujo denominador deve ser diferente de zero, assim,
Observe que, independentemente do valor que
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assumam, nunca teremos
visto que todo número elevado ao quadrado é um número positivo e a soma de dois números
positivos sempre resulta em um número positivo. Logo, para qualquer valor de
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temos
o que nos permite concluir que o domínio de
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Sabemos que o conjunto imagem da função são os valores que ela assume quando substituímos
valores arbitrários para
Assim para quaisquer valores de
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temos um valor positivo para , sendo quenunca assumirá o valor zero, e o maior valor que poderá
assumir é 1, portanto
Com base nessas informações, podemos construir a representação grá�ca para a função
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Figura 9 | Representação grá�ca da função
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Fonte: elaborada pela autora.
De posse dessa imagem, você pode concluir que a representação grá�ca da função proposta
pelo matemático se assemelha muito não só a morros da Serra do Curral mas também a
diferentes tipos de morros e montanhas espalhados pelo Brasil.  
Não satisfeito apenas com a análise tridimensional da função, você decidiu analisar o mapa de
contorno dessa superfície. Sabemos que, para construir esse mapa, é necessário realizarmos
cortes horizontais na altura
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e avaliarmos sua projeção no plano
Assim, avaliaremos as projeções quando
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Para
temos  
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Tal equação representa a origem
Para
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temos 
Tal equação representa uma circunferência de raio 1. 
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Para
temos  
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Tal equação representa uma circunferência de raio
Para
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temos
Tal equação representa uma circunferência de raio 2. 
Representando essas equações no plano
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temos o seguinte mapa de contorno. 
Figura 10 | Mapa de contorno da função
Fonte: elaborada pela autora.
Com essa situação-problema, encerramos nossa aula sobre domínio, imagem e grá�cos de
funções de duas variáveis reais. Espero que tenha gostado. Até nossa próxima aula!  
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Videoaula: Grá�cos de superfícies
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo
computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo
para assistir mesmo sem conexão à internet.
O nosso objetivo, nesta videoaula, é explorar o domínio, a imagem e os grá�cos de funções de
duas variáveis. Para isso, iniciaremos nossa aula com algumas de�nições e, depois,
resolveremos alguns exemplos de como encontrar domínio e imagem de funções de duas
variáveis. 
Saiba mais
O estudo de uma função de duas variáveis requer que saibamos construir e interpretar sua
representação grá�ca. Como estamos trabalhando no espaço
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os softwares podem ser uma importante ferramenta nesse estudo. O GeoGebra é um software
livre, que possui uma janela 3D, sendo possível construir grá�cos de funções de duas variáveis.
Acesse o site dessa ferramenta e clique em INICIAR CALCULADORA. Logo após, será aberta a
calculadora grá�ca. Para você mudar para a janela 3D, basta clicar no canto superior esquerdo e
mudar para Calculadora 3D, conforme ilustra a Figura 11. 
Figura 11 | Janela principal do GeoGebra. Fonte: elaborada pela autora.
https://www.geogebra.org/
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Cálculo Diferencial e Integral II
Depois disso, é só você digitar a função no campo ENTRADA que o software construirá o seu
grá�co. Esse software tem também aplicativo para Android e IOS, então você pode construir os
grá�cos utilizando o seu celular. 
Referências
STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2013. 
Aula 3
Derivadas parciais e de ordem superior
Introdução
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Cálculo Diferencial e Integral II
Olá, estudante!
Espero que esteja bem! Em nossas aulas anteriores, estudamos sobre as funções de duas e três
variáveis. Agora, chegou o momento de estudarmos sobre as derivadas dessas funções. Para
isso, será necessário que você se lembre de todas as regras de derivação de funções de uma
variável real, pois elas serão essenciais para o nosso estudo. Ao �nal dessa aula, esperamos que
você seja capaz de interpretar o signi�cado de uma derivada parcial, bem como resolver
situações e problemas que envolvam o cálculo dessas derivadas. 
Lembre-se de que estudar cálculo diferencial e integral requer a prática de exercícios e uma
rotina de estudos!
De�nição de derivadas parciais
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Em estudos anteriores, você já aprendeu que a derivada de função de uma variável real está
associada ao problema das taxas de variação. A de�nição da derivada de uma função de duas
variáveis é semelhante à de�nição para uma variável, a diferença é que agora avaliaremos duas
variáveis ao invés de apenas uma. Portanto, considere que
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Cálculo Diferencial e Integral II
seja uma função de duas variáveis
além disso, suponha que o valor de
Disciplina
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seja mantido �xo, por exemplo, fazendo
sendo
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uma constante, enquanto  variamos o valor de
Com isso, consideraremos uma função com uma única variável
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a saber
Logo, se a derivada de
Disciplina
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existe, a chamaremos de derivada parcial de
em relação a
Disciplina
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no ponto
e a denotaremos por
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Cálculo Diferencial e Integral II
Portanto
Por de�nição, temos:  
Disciplina
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Como
teremos:
Analogamente, a derivada parcial de
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sendo de�nida por 
Logo,
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são as derivadas parciais de primeira ordem no ponto
de uma função
Disciplina
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de duas variáveis. Além da notação utilizada anteriormente, podemos utilizar outras notações
para representar as derivadas parciais de primeira ordem de uma função. Considere
assim, temos 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Agora que já vimos a de�niçãodas derivadas parciais de primeira ordem de uma função de duas
variáveis, podemos realizar uma intepretação do seu signi�cado. Primeiro, é preciso que você se
lembre do signi�cado da derivada para funções de uma variável. Sabemos que se
o valor de
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pode ser interpretado tanto como uma taxa de variação de
em relação a
Disciplina
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no ponto
quanto como a inclinação, isto é, o coe�ciente angular da reta tangente ao grá�co de
Disciplina
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no ponto
As interpretações das derivadas parciais são análogas. Para ver isso, considere a função
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que é representada por uma superfície
Agora, suponha que
Disciplina
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é a interseção de
com o plano
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e que
é a interseção de
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com o plano
conforme ilustra a Figura 1
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Figura 1 | Superfície S e suas retas tangentes. Fonte: Anton et al. (2014, p. 929).
A derivada
pode ser interpretada como a inclinação da reta tangente à curva
Disciplina
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no ponto
como a inclinação da reta tangente à curva
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no ponto
Segundo Anton et al. (2014, p. 930), “dizemos que
Disciplina
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é a inclinação da superfície na direção de
é a inclinação da superfície na direção
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Além disso
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em relação a
ao longo da curva 
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a taxa de variação de
em relação a
Disciplina
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ao longo da curva
Disciplina
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Até o momento, vimos sobre as derivadas parciais de primeira ordem, mas será que uma função
de duas variáveis possui derivadas de ordem superior? A resposta é sim! Considerando uma
função
Disciplina
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podemos derivar duas vezes a função em relação a
duas vezes em relação a
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
uma vez em relação a
e o resultado em relação a
Disciplina
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ou ainda uma vez em relação a
e o resultado em relação a
Disciplina
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sendo as duas últimas denominadas de derivadas parciais mistas. Assim, as quatro possíveis
derivadas de segunda ordem da função
são
Com bases nessas de�nições, nosso foco daqui para frente é o cálculo das derivadas parciais e,
para isso, resolveremos diferentes exemplos.  
Interpretação das derivadas parciais
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Anteriormente, vimos que a de�nição formal de derivadas parciais é dada por meio dos limites
acima, porém, na prática, você utilizará todas as regras de derivação para função de uma variável,
visto que, ao mantermos uma das variáveis �xas, transformamos a função de duas variáveis em
apenas uma variável. A seguir, apresentamos as principais regras de derivação para funções de
uma variável, então �que atento a elas, pois você as usará durante toda a nossa aula
Disciplina
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Além dessas regras, lembre-se de que, para calcular a derivada parcial de uma função de duas
variáveis, mantemos uma dessas variáveis �xas. Seja 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Para determinar
considere
Disciplina
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como sendo uma constante e derive
em relação a
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Para determinar
considere
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
como sendo uma constante e derive
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Para �carem mais claras essas ideias, trabalharemos com alguns exemplos. 
Exemplo 1: calcule as derivadas de primeira ordem da função
Primeiro, calcularemos a derivada da função
Disciplina
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em relação a
Logo, consideraremos a variável
Disciplina
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como sendo uma constante. Assim, 
Observe que, para derivar o termo
Disciplina
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utilizamos a regra
usamos a regra
Disciplina
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é considerado como constante; para derivar o termo
é considerado um valor constante. 
Utilizaremos um raciocínio análogo para encontrar a derivada parcial da função
Disciplina
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em relação a
Para esse cálculo, consideraremos a variável
Disciplina
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como sendo uma constante. Logo,  
Observe que, para derivar o termo
Disciplina
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pois
é considerado um valor constante; para derivar o termo
Disciplina
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em que
é considerado como constante; para derivar o termo
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Portanto, as derivadas de primeira ordem da função
Exemplo 2: calcule as derivadas de segunda ordem da função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Primeiro, temos que calcular as derivadas de primeira ordem dessa função. Assim, a derivada de
será dada por: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
A derivada de
será dada por: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Agora, derivaremos novamente, assim, a derivada de
será dada por:
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
A derivada de
será dada por: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
A derivada de
será dada por
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
A derivada de
será dada por
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Observe que as derivadas mistas
são iguais, isso acontece porque
Disciplina
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são funções polinomiais e essas funções são contínuas em toda parte. Segundo Anton et. al
(2014) se uma função
de duas variáveis tem as derivadas
Disciplina
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contínuas em toda parte, então
para quaisquer valor de
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Exemplo 3: considere
Determine a inclinação da superfície
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
e a inclinação da superfície
Sabemos que a inclinação de uma superfície na direção de uma determinada coordenada é dada
pela derivada parcial da superfície. Assim, temos que a inclinação da superfície
Disciplina
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será dada pela derivada parcial de
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Esse resultado signi�ca queestá decrescendo a uma taxa de três unidades a cada unidade de
Analogamente, temos que a inclinação da superfície
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
será dada por
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Esse resultado signi�ca queestá decrescendo a uma taxa de três unidades a cada unidade de
Com esses exemplos, encerramos a segunda parte da nossa aula. Bons estudos!  
Derivadas parciais de ordem superior
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Chegamos à última parte de nossa aula. Agora, utilizaremos os conceitos vistos anteriormente
para analisar e interpretar uma situação prática. Para isso, suponha que esteja sendo realizado
um experimento para avaliar a variação do volume de objetos com diferentes formatos. Sabe-se
que para um desses objetos o volume pode ser dado pela função  
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
em que
é a altura inclinada desse objeto.  
A partir dessas informações, pede-se que: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
1. Determine a taxa de variação instantânea de
permanecer constante. 
2. Determine a taxa de variação instantânea de
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
permanecer constante. 
3. Determine a taxa de variação de
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II4. Determine a taxa de variação de
Antes de iniciarmos a solução, perceba que, nos itens, pede-se para calcular a taxa de variação
ou a taxa de variação instantânea, mas o que isso quer dizer? Nós já estudamos que uma
interpretação das derivadas parciais é a de taxa de variação, assim, nos quatro itens, teremos
que encontrar as derivadas parciais da função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
dada. Observe que a função
é uma função composta, assim precisaremos utilizar a regra da cadeia, que é dada por
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Para derivarmos essa função, é preciso que a reescrevamos utilizando a propriedade
assim nossa função será reescrita como
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
1. Nesse item, pede-se que seja determinada a taxa de variação instantânea de
em relação a
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
se
permanecer constante, isto é, que calculemos a derivada parcial de
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
em relação a
Ao avaliarmos a função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
podemos perceber que, além de existir uma função composta, há uma multiplicação de duas
funções
portanto, além da regra da cadeia, teremos que utilizar a regra do produto,
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Aplicando as regras, temos 
Logo, a taxa de variação instantânea de
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
em relação a
será dada por
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
2. Pede-se que seja determinada a taxa de variação instantânea de
em relação a
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
se
permanecer constante, isto é, que calculemos a derivada parcial de
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
em relação a
Nesse caso, não precisaremos utilizar a regra do produto, pois estamos avaliando a função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
 considerando que
será um valor constante, assim,
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
será tratado como constante. Logo,
será dada por: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Logo, a taxa de variação instantânea de
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
em relação a
será dada por
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
3. Nesse item, pede-se que determinemos a taxa de variação de
e
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
seja um valor constante de
isto é,
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Para tal, precisamos substituir os valores 16 e 10 na derivada
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
4. Por �m, pede-se para determinar a taxa de variação de
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
e
isto é
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Para tal, precisamos substituir os valores 16 e 10 na derivada
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Com esse exemplo, encerramos nossa aula sobre derivadas parciais. Espero que tenha gostado.
Até nossa próxima aula!  
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Cálculo Diferencial e Integral II
Videoaula: Derivadas parciais e de ordem superior
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo
computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo
para assistir mesmo sem conexão à internet.
Nesta videoaula, exploraremos o conceito de derivadas parciais de funções de duas variáveis
reais. Para isso, iniciaremos nossa aula com a de�nição de derivada parcial, discorreremos sobre
sua intepretação e apresentaremos as notações que podem ser utilizadas. Ao �nal, resolveremos
exemplos sobre o cálculo das derivadas parciais de primeira e segunda ordem.  
Saiba mais
O conceito de derivadas parciais será importante para você no estudo de outras disciplinas do
seu curso, assim, é fundamental que você domine todas as regras de derivação e entenda o
signi�cado de uma derivada parcial. Para isso, sugiro que coloque em prática o que aprendeu
nessa aula e resolva exercícios que envolvam o cálculo de derivadas parciais de primeira e
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
segunda ordem. Tenho uma ótima sugestão: leia o volume 2 do livro Cálculo, de James Stewart,
disponível na sua biblioteca virtual, em Minha Biblioteca. A Seção 14.3 dessa obra é dedicada às
derivadas parciais e, ao �nal, há uma série de exercícios, selecione alguns deles e faça-os. E uma
dica: resolva os exercícios ímpares, pois, ao �nal do livro, existem as respostas, assim você pode
conferir se acertou nos cálculos!
Referências
ANTON, H. et al. Cálculo. v. 2. Porto Alegre, RS: Bookman, 2014. 
STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2013.  
STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2016. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522126866/pageid/0. Acesso em:
24 jan. 2023. 
Aula 4
Derivada direcional
Introdução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522126866/pageid/326
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522126866/pageid/326
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522126866/pageid/0
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Olá, estudante! Espero que esteja bem! Na aula anterior, estudamos as derivadas parciais em
relação à variável 
e em relação à variável
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
isto é, em direção aos eixos
A derivada parcial em relação a
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
nos fornece a inclinação da reta tangente à superfície
e paralela ao plano
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
e a derivada em relação a
nos fornece a inclinação da reta tangente à superfície
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
e paralela ao plano
Mas, será que é possível calcular a taxa de variação de uma função em qualquer direção? Nessa
aula, estudaremos que é possível realizar esse cálculo. Portanto, ao �nal, esperamos que você
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
seja capaz de resolver problemas que envolvem o cálculo da taxa de variação de uma função de
duas variáveis em uma determinada direção, isto é, o cálculo da derivada direcional de uma
função de duas variáveis. 
Lembre-se de que estudar cálculo diferencial e integral requer a prática de exercícios e uma
rotina de estudos!
Derivadas direcionais
Você já estudou que as derivadas parciais de uma função nos fornecem taxas de variação dessa
função na direção dos eixos coordenados. E se quiséssemos calcular taxas de variação de uma
função em relação a qualquer direção? Para isso, precisaremos do conceito de derivada
direcional. Considere
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
uma função de duas variáveis, cujo domínio
além disso, considere um ponto
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
pertencente a esse domínio. Se temos um vetor unitário
então a derivada direcional de
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
na direção do vetor
será dada por  
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
se o limite existir.  
Analisaremos a derivada direcional para dois casos, quando o vetor é dado por
Para o primeiro vetor, temos a seguinte derivada direcional:  
Observe que essa derivada direcional é exatamente a derivada parcial da função em relação a
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Logo, quando
Analogamente, quando
Disciplina
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temos 
isto é,
Disciplina
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Nesse sentido, podemos dizer que as derivadas parciais da função
em relação a
Disciplina
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ão casos especiais das derivadas direcionais. 
Se uma função
Disciplina
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é diferenciável em um ponto, então as derivadas direcionais dessa função existem em qualquer
direção e sentido nesse ponto, podendo ser calculadas em termos de derivadas parciais de
primeira ordem da função. Logo, temos que, se
possui derivada em
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
éum vetor unitário, então a derivada direcional
será dada por 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Lembre-se de que para o cálculo da derivada direcional o vetor deve ser unitário, o que signi�ca
que seu módulo deve ser igual a 1, ou seja,
Caso o vetor não seja unitário, basta fazermos
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Além dessa forma, um vetor unitário
no plano
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
pode ser expresso como
em que
Disciplina
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Considerando essa nova forma de escrever um vetor unitário, outra forma de expressar a
derivada direcional de uma função em
na direção do vetor
Disciplina
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é
Agora que já vimos as formas de calcular uma derivada direcional, focaremos em como
podemos interpretá-la geometricamente e analiticamente. 
Geometricamente, podemos interpretar a derivada direcional como sendo a inclinação da
superfície
Disciplina
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na direção de
no ponto
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
conforme ilustra a Figura 1. 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Figura 1 | Interpretação geométrica da derivada direcional. Fonte: Anton et al. (2014, p. 960).
Podemos perceber que o valor da derivada direcional
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
depende tanto do ponto
assim, se �xarmos um ponto nessa superfície, a sua inclinação variará de acordo com a direção
e o sentido
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
conforme ilustra a Figura 2. 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Figura 2 | Inclinação da superfície quando �xamos um ponto. Fonte: Anton et al. (2014, p. 961).
Segundo Anton et al. (2014), a interpretação analítica da derivada direcional é de uma taxa de
variação instantânea de
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
em relação à distância na direção e no sentido de
no ponto
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Com base nessas de�nições, nosso foco daqui para frente é o cálculo das derivadas direcionais
por meio da resolução de diferentes exemplos. 
Interpretação geométrica das derivadas direcionais
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Anteriormente, vimos que as derivadas direcionais podem ser interpretadas como taxas de
variação de uma função em direção a um determinado vetor unitário, podendo ser calculada pela
fórmula
Agora, chegou o momento de explorarmos alguns exemplos de como realizar o cálculo das
derivadas direcionais. 
Exemplo 1: seja a função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Calcule a derivada direcional dessa função no ponto dado na direção do vetor
Para encontrar a derivada direcional, precisamos, primeiro, determinar as derivadas parciais de
primeira ordem da função no ponto dado. Assim, a derivada em relação a
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
A derivada da função em relação a
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
será dada por: 
O segundo passo é veri�car se o módulo do vetor
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Como o módulo do vetor é 1, podemos calcular a derivada direcional: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Logo, a taxa de variação da função
na direção do vetor
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Exemplo 2: seja a função
Calcule a derivada direcional da função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Para encontrar a derivada direcional, precisamos, primeiro, determinar as derivadas parciais de
primeira ordem da função no ponto dado. Assim, a derivada em relação a
A derivada da função em relação a
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
O segundo passo é veri�car se o módulo do vetor
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Perceba que o módulo do vetor dado não é 1, assim, antes de calcular a derivada direcional,
temos que escrever esse vetor em sua forma unitária, para isso, devemos escrever o vetor na
forma
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Agora, podemos calcular a derivada direcional: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Logo, a taxa de variação da função
Exemplo 3: seja a função
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Calcule a derivada direcional no ponto
e na direção indicada pelo ângulo
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Primeiro, calcularemos as derivadas parciais de primeira ordem da função
Disciplina
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O próximo passo é calcularmos as derivadas no ponto dado:
Disciplina
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O problema informou que a derivada deve ser calculada na direção indicada pelo ângulo
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Assim, temos que o vetor será dado por:
Logo, a derivada direcional será dada por: 
Disciplina
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Assim, a taxa de variação da função
Nesses exemplos, vimos como calcular a derivada direcional para funções de duas variáveis
reais. Será que é possível calcular a derivada direcional de uma função com três variáveis reais?
Sim, é possível, e o seu cálculo é feito de maneira análoga ao feito para funções de duas
variáveis. Seja
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
uma função diferenciável em
e o vetor unitário
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
a derivada direcional
será dada por
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Por exemplo, seja a função
determinaremos a taxa de variação dessa função no ponto
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Primeiro, temos que encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função: 
O próximo passo é calcularmos as derivadas no ponto dado: 
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O vetor informado possui módulo igual a 1, assim a derivada direcional será dada por: 
Com esses exemplos, encerramos a segunda parte da nossa aula! 
Derivadas direcionais e parciais
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Cálculo Diferencial e Integral II
Chegamos à última parte de nossa aula. Agora, utilizaremos os conceitos vistos anteriormente
para analisar e interpretar uma situação prática. Suponha que, em uma determinada região do
espaço, a temperatura do ar seja dada pela função: 
Considerando que um avião está, nesta região, localizado no ponto
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e que o piloto deseja resfriar o motor da aeronave o mais rapidamente possível, em que direção
deve voar? 
Nesse problema, devemos identi�car para qual direção o avião deve voar para que seu motor
resfrie o mais rápido possível. Sabemos que as derivadas direcionais nos fornecem a taxa de
variação de uma função em um determinado ponto na direção de um vetor, assim, para resolver
esse problema, será necessário investigar algumas características da derivada direcional. 
A derivada direcional da função
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que caracteriza a temperatura do ar no ambiente em que o avião se encontra, indica a taxa de
variação da temperatura no espaço, de acordo com a direção considerada. Sabemos que a
derivada direcional é dada po
Porém, podemos reescrever a derivada direcional como
ou seja, a derivada direcional será dada pelo produto escalar entre os vetores
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denominado de vetor gradiente, cujas coordenadas são dadas pelas derivadas parciais de
primeira ordem da função. Temos que o produto escalar entre dois vetores
pode ser calculado da seguinte maneira
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Sabemos que
Admitindo que
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são não nulos, o termo
será o responsável pelo sinal assumido pelo produto escalar, pois os módulos dos vetores são
sempre positivos.
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Sabemos que o valor máximo atingido pelo
então a derivada direcional assume o valor máximo quando
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são vetores de mesmo sentido.De modo análogo, a derivada direcional assume o valor mínimo
quando
são vetores de sentidos opostos, ou no caso em que
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Em nosso problema, o piloto deseja resfriar o motor deste avião o mais rápido possível, então ele
deverá voar em uma direção oposta ao vetor gradiente, isto é, o vetor
Logo, devemos considerar que
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será dada por
Para determinarmos esse vetor, temos que encontrar as derivadas parciais da função
Assim, temos:
Como o avião está localizado no ponto
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teremos: 
Portanto, para resfriar o motor o mais rápido possível, o avião deve voar na direção do vetor 
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A partir desse estudo podemos calcular a derivada direcional no ponto 
na direção indicada pelo ângulo
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visto que é para esse ângulo que a derivada direcional assume o seu valor mínimo. Logo, o vetor
será dado por
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Considerando o vetor gradiente 
a derivada direcional será dada por
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Observe, então, que a taxa de variação da temperatura no ponto 
Com esse exemplo, encerramos nossa aula sobre derivadas direcionais. Espero que tenha
gostado. Bons estudos! 
Videoaula: Derivada direcional
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Nesta videoaula, exploraremos o conceito de derivadas direcionais, isto é, analisaremos a taxa de
variação de uma função em um determinado ponto em direção de um vetor unitário. Para isso,
iniciaremos com a de�nição de derivada direcional e discorreremos sobre sua intepretação. Ao
�nal, resolveremos exemplos sobre o cálculo das derivadas direcionais.
Saiba mais
O conceito de derivadas direcionais será importante para o estudo de outras disciplinas do seu
curso, assim, é fundamental que você entenda o seu signi�cado e saiba calculá-la. Para isso,
sugiro que coloque em prática o que aprendeu nessa aula e resolva exercícios que envolvam o
cálculo de derivadas direcionais, tanto para funções de duas variáveis reais quanto para funções
de três variáveis reais. Tenho uma ótima sugestão: leia o volume 2 do livro Cálculo, de Howard
Anton et al., disponível na sua biblioteca virtual em Minha Biblioteca. A Seção 13.6 dessa obra é
dedicada às derivadas direcionais e, ao �nal, há uma série de exercícios. Selecione alguns deles e
faça-os! E uma dica: resolva os exercícios ímpares, pois, no �nal do livro, existem as respostas,
assim você pode conferir se acertou os cálculos
Referências
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788582602461/pageid/419
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788582602461/pageid/419
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788582602461/pageid/419
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788582602461/pageid/419
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788582602461/pageid/419
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788582602461/pageid/419
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
ANTON, H. et al. Cálculo. v. 2. Porto Alegre, RS: Bookman, 2014. 
STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2013. 
Aula 5
Revisão da unidade
Função de duas variáveis e suas derivadas parciais
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Cálculo Diferencial e Integral II
Olá, estudante! Espero que esteja bem! Nesta unidade, estudamos sobre as funções de duas ou
mais variáveis e suas derivadas parciais. Nesse momento, destacaremos os principais aspectos
dos conceitos vistos durante nossas aulas. 
Em um primeiro momento, discutimos sobre função de duas variáveis. Lembre-se de que uma
função é uma relação entre variáveis e, no caso da função de duas variáveis, temos uma relação
entre todo par ordenado
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pertencente ao conjunto
denominado de domínio, a um único elemento
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pertencente ao conjunto
denominado de contradomínio. No que se refere ao domínio, é importante que você se atente ao
fato de que não existe divisão por zero, não existe raiz de índice par de número negativo e não
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Cálculo Diferencial e Integral II
existe logaritmo de número negativo ou zero. Assim, quando você for analisar o domínio de
funções de duas ou mais variáveis, você deve excluir os pares, ou termos ordenados que se
originam de uma dessas situações. Já a imagem de uma função são todos os valores possíveis
que a função pode assumir quando substituímos valores arbitrários do domínio em sua lei de
formação. Uma forma de avaliarmos a imagem de uma função de duas variáveis é por meio do
seu grá�co, que é de�nido como o conjunto de todos os pontos
Em um segundo momento, discutimos sobre as derivadas parciais de uma função de duas
variáveis. Quando você estiver calculando a derivada parcial, deve-se atentar ao fato de que,
quando derivamos em relação a uma variável, a outra consideramos como sendo constante.
Assim, se estiver calculando a derivada parcial em relação a
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isto é,
você mantém constante a variável
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Analogamente, se estiver calculando a derivada parcial em relação a
você mantém constante a variável
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Cálculo Diferencial e Integral II
Para o cálculo das derivadas parciais de primeira ordem de uma função de duas variáveis, isto é, 
você pode utilizar todas as regras de derivação de função de uma variável, visto que, quando
mantemos uma das variáveis constante, transformamos a função de duas variáveis em apenas
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uma variável.  
Quando necessário, você pode calcular as derivadas parciais de segunda ordem de uma função
de duas variáveis e, para isso, deve calcular as derivadas parciais considerando as derivadas de
primeira ordem. Quando fazemos isso, podemos ter as seguintes derivadas de segunda ordem:
Por �m, discutimos sobre as derivadas direcionais, que são utilizadas para calcular taxas de
variação de uma função em relação a qualquer direção. Portanto, se
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possui derivada em
é um vetor unitário, então a derivada direcional
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será dada por
Assim, encerramos o nosso pequeno resumo dos conteúdos de nossa unidade. Espero que você
tenha gostado!
Videoaula: Revisão da unidade
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Neste vídeo de revisão, temos como objetivo entender quais são os principais conceitos
matemáticos abordados na nossa unidade. Assim, em um primeiro momento, retomaremos as
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principais características das funções de duas variáveis, destacando a determinação do domínio
e imagem dessas funções. Em um segundo momento, retomaremos também os principais
aspectos relacionados ao conceito de derivadas parciais de primeira e segunda ordem. Por �m,
discutiremos sobre as derivadas direcionais. 
Estudo de caso
Para contextualizar sua aprendizagem, suponha que você faça parte de um grupo formado por
jovens pro�ssionais de diferentes áreas, de uma startup relacionada à indústria 4.0, utilizando
seus conhecimentos de engenharia, programação e matemática. Essa startup tem como objetivo
desenvolver softwares que permitam realizar um estudo quantitativo sobre a produção de uma
indústria considerando a quantidade de trabalho, isto é, a quantidade total de horas trabalhadas.
Após um intenso estudo, você encontrouuma função que modela a produção, a saber, a função
de produção de Cobb-Douglas. Essa função foi desenvolvida em 1928 por Charles Cobb e Paul
Douglas e foi baseada em uma visão mais simpli�cada da economia, considerando que a saída
da produção é determinada pela quantidade de trabalho envolvido e pela quantidade de capital
investido. Apesar de existirem outras variáveis que afetam o desenvolvimento da economia, esse
modelo se mostra bastante preciso, por isso, você decidiu utilizá-lo na construção do seu
software. A função Cobb-Douglas se baseia na produção total (valor monetário dos bens
produzidos no ano), na quantidade de trabalho (número total de pessoas-hora trabalhadas em
um ano) e na quantidade de capital investido (valor monetário de máquinas, equipamentos e
prédios). Matematicamente, a função é expressa por 
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em que
é produção total,
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a quantidade de trabalho e
a quantidade de capital investido e
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são parâmetros �xos.
Após a implementação dessa função, você decidiu realizar estudos teóricos.  
Sua primeira tarefa é encontrar o domínio dessa função, visto que, se esse não for considerado
corretamente no momento da implementação da função, teremos problemas no software.
Depois, considerando que
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alcule a produção total em um ano quando a quantidade de capital investido é de R$ 50.000,00 e
a quantidade de trabalho é 2.200 horas. 
Sua segunda tarefa é avaliar a produção marginal em relação à quantidade de trabalho e em
relação à quantidade de capital investido. Depois, encontrar essa produção quando a quantidade
de capital investido é de R$ 50.000,00 e a quantidade de trabalho é 2.200 horas. Para isso,
considere que
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Por �m, você deve avaliar a produção marginal quando a quantidade de capital investido é de R$
50.000,00 e a quantidade de trabalho é 2.200 horas e essa variação está na direção do vetor
Nesse momento, considere também que
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Como você executaria cada tarefa? Quais são os principais conceitos envolvidos nesse estudo
teórico?
Re�ita
A função de produção de Cobb-Douglas é amplamente utilizada na Economia, pois descreve a
forma como os fatores produtivos são combinados. Essa função considera uma visão
simpli�cada desses fatores, considerando apenas o fator capital e o fator trabalho. Ao
analisarmos a produção marginal em relação ao trabalho, estamos calculando a taxa de variação
da produção em relação ao trabalho, ou ainda a produtividade marginal do trabalho.
Analogamente, quando estamos avaliando a produção marginal em relação ao trabalho, estamos
encontrando a taxa de variação da produção em relação ao capital, ou ainda a produtividade
marginal do capital. Com base nesse contexto, nossas re�exões para iniciar a solução do nosso
problema são: com base no que estudamos nessa unidade, quais conceitos você pode utilizar
para realizar cada uma das tarefas propostas? Podemos utilizar as derivadas parciais? Se sim,
quais regras de derivação utilizaremos? Como podemos calcular a taxa de variação em direção a
um determinado vetor? O que é necessário para realizar esse cálculo?
Videoaula: Resolução do estudo de caso
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Antes de iniciarmos a solução do problema, retomaremos suas tarefas. A primeira delas é
encontrar o domínio da função de produção de Cobb-Douglas e calcular o seu valor quando
Sua segunda tarefa é analisar a produção marginal e, depois, calcular essa produção quando
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Sua terceira e última tarefa é avaliar a produção marginal quando
e essa variação está na direção do vetor
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Agora que você já relembrou quais são suas tarefas, vamos colocar a mão na massa e resolvê-
las.  
Primeira tarefa: para encontrarmos o domínio da função, você deve se lembrar de que o domínio
são todos os valores que as variáveis
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podem assumir. Sabemos que a função de produção de Cobb-Douglas é dada por
e que 
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são parâmetros �xos, o domínio dessa função seriam todos os pares ordenados
Porém, essa função modela uma situação relacionada à economia, assim, além dessa análise
matemática, é importante que você considere o signi�cado dessas variáveis.
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refere-se à quantidade de trabalho ao �nal de um ano. Essa quantidade pode ser negativa?
refere-se ao capital investido. Esse capital pode ser um valor negativo? Em ambos os casos, as
variáveis não podem assumir valores negativos, mas podem ser zero, o que acarretaria uma
produção nula. Assim, o domínio dessa função são todos os pares ordenados
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Para calcularmos a produção quando
devemos considerar que
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Realizando as substituições necessárias na função
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Logo, a produção total é de 
Segunda tarefa: nessa tarefa, você deve analisar a produção marginal, isto é, a derivada da
função produção em relação a cada uma das variáveis. Considerando que
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são parâmetros �xos, temos que a derivada parcial da função
em relação a
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será dada por: 
Analogamente, a derivada parcial em relação a
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Será dada por:
Assim, a produtividade marginal do trabalho será dada por 
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e a produtividade marginal do capital será dada por
Agora, temos que calcular essa produtividade marginal do trabalho considerando
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Analogamente, teremos a produtividade marginal do capital:
Portanto, a produtividade marginal do trabalho é de, aproximadamente,
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a produtividade marginal do capital é de, aproximadamente,
Terceira tarefa: nessa tarefa, você deve encontrar a derivada direcional da função dada quando a
variação está na direção do vetor 
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Cálculo Diferencial e Integral II
Para o cálculo da derivada direcional, o primeiro passo é encontrar as derivadas parciais de
primeira ordem no ponto dado. Já realizamos esse passo na tarefa anterior. O segundo passo é
veri�car se o vetor dado é unitário, o que é o nosso caso. Agora, podemos calcular a derivada
direcional:  
Portanto, essa é a produção marginal quando a quantidade de capital investido é de R$ 50.000,00
e a quantidade de trabalho é 2.200 horas e essa variação está na direção do vetor
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Cálculo Diferencial e Integral II
Resumo visual
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Cálculo Diferencial e Integral II
Referências
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Cálculo Diferencial e Integral II
ANTON, H. et al. Cálculo. v. 2. Porto Alegre, RS: Bookman, 2014. 
STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2013.
,
Unidade 4
Aplicações de derivadas parciais e integrais duplas
Aula 1
Vetor gradiente e otimização
Introdução da aula
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Cálculo Diferencial e Integral II
Olá, estudante! Na aula de hoje, trabalharemos com o conceito de vetor gradiente e como utilizá-
lo para resolver problemas que envolvem, por exemplo, mapas topográ�cos, campos escalares e
sistemas de computação algébrica, entre muitas outras aplicações. Matematicamente, o vetor
gradiente basicamente lida com todas as informações referentes à derivada parcial de uma
função de duas ou mais variáveis,sendo uma das ferramentas mais importantes do Cálculo
Diferencial e Integral. Com esse conceito em mãos, esperamos que você, aluno, tenha
compreensão de como utilizá-lo para resolver os estudos de caso que possam emergir no seu
campo de trabalho.
Lembre-se: o estudo do Cálculo Diferencial e Integral requer prática diária e uma rotina, assim
como os exercícios físicos que fazemos para um melhor desempenho do nosso corpo.
Bons estudos! 
O vetor gradiente
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Imagine uma situação em que você tenha por interesse saber a taxa de variação de
temperatura em uma viga que tem suas extremidades em contato com duas paredes (uma à
direita e uma à esquerda) com temperaturas diferentes, sendo uma delas – digamos, a da
direita – mais quente. Naturalmente, a temperatura da viga não será constante em relação
ao espaço e vai crescer da esquerda para a direta ao longo do seu comprimento. Nesta
situação, podemos definir a coordenada   para a extremidade à esquerda e 
  para a extremidade à direita, e, então, como temos apenas uma direção, construímos a
função T que representa a temperatura na posição . Assim, entre dois pontos, distantes a
um comprimento  , teremos uma variação de temperatura . Essa variação de
temperatura na direção da esquerda para a direita recebe o nome de vetor gradiente, e é
definida por:
x = 0 x = L
x
dx dT
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Cálculo Diferencial e Integral II
Observe que o vetor gradiente descrito anteriormente admite apenas uma direção. A nossa
questão é: e se tivermos mais direções, como construímos o vetor gradiente? Neste caso,
vamos supor que tenhamos uma função de duas variáveis  diferenciável. Uma vez
que nosso objetivo é trabalhar com mais de uma direção, podemos escrever a derivada
direcional de f como produto escalar de dois vetores, isto é,
Em que   denota o produto escalar e é um vetor unitário. Ao primeiro vetor dessa
expressão damos o nome de vetor gradiente para duas direções e denotamos por .
Matematicamente, se  é uma função de duas variáveis e , então o vetor gradiente de é
uma função vetorial, , definida por: 
f(x, y)
Duf (x, y) = {fx(x, y), fy(x, y)} ⋅ u
⋅ u
∇f
f x y f
∇f
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Cálculo Diferencial e Integral II
Note que o vetor   é necessariamente uma coleção de todas as derivadas parciais de
ordem 1 de . Para ficar mais claro esse conceito, vamos trabalhar com um pequeno
exemplo.
 
Exemplo:
Seja , qual seria o vetor gradiente de  nas direções  e ?
 
Para responder nossa questão, primeiramente devemos encontrar as derivadas parciais de
ordem 1 de , isto é,
∇f
f
f(x, y) = x2 − xy f i j
f
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Cálculo Diferencial e Integral II
Agora, com base na de�nição de vetor gradiente para duas direções, temos que:
Naturalmente, podemos generalizar o conceito de vetor gradiente para   direções, mas
como fazemos isso? Ora, neste caso, seja  uma função de  variáveis. Então,
uma vez que o vetor gradiente trabalha com todas as derivadas de ordem 1 da função ,
define-se, matematicamente, o vetor gradiente pela n-upla ordenada descrita por:
n
f(x1, … ,xn) n
f
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Note que esse vetor gradiente de�nido tem entrada multidimensional e o resultado também
multidimensional, isto é, ele não pode ter dimensão menor do espaço considerado. E assim
encerramos a primeira parte da nossa aula que traz a de�nição do vetor gradiente. Com essa
de�nição em mãos, o nosso foco daqui para frente é, então, estudar as propriedades do vetor
gradiente, por meio de exemplos. Além disso, vamos trabalhar de forma de aplicá-lo em
situações práticas. 
As propriedades do vetor gradiente
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Cálculo Diferencial e Integral II
Anteriormente trabalhamos com o conceito de vetor gradiente, e neste momento nosso
foco é aprofundar um pouco mais esse conceito, estudando as principais propriedades
desse vetor. Então, para começar, vamos supor que uma função  de duas ou mais variáveis
tenha todas as derivadas direcionais possíveis em um determinado ponto. Naturalmente,
teremos todas as taxas de variação de   em todas as direções. Agora, podemos nos
perguntar: em qual direção  varia de maneira mais rápida e qual seria a taxa máxima de
variação? Para responder ambas as questões, precisamos necessariamente do vetor
gradiente.
 
Uma das propriedades do vetor gradiente nos diz que o valor máximo da derivada direcional
é o módulo do vetor gradiente, , e ocorre quando o vetor unitário   tem a mesma
direção do vetor gradiente, . De fato, sabemos, por definição, que a derivada direcional
pode ser escrita como o produto escalar do vetor gradiente com o vetor , e daí, da
definição de produto escalar, temos que:
Onde   é o ângulo entre   e . Sabemos que o valor máximo do cosseno é 1 e ocorre
necessariamente quando . Então, o máximo de  é  e ocorre necessariamente
quando , ou seja, o vetor unitário , tem exatamente a mesma direção do vetor
gradiente. Para fixar nossas ideias a respeito desse conceito, vamos trabalhar com um
pequeno exemplo.
 
Exemplo:
Se , qual é a taxa de variação de   no ponto   na direção de P até um
ponto ? Além disso, em que direção essa taxa é máxima e qual é o valor máximo
dessa taxa?
 
Para responder a primeira questão, vamos, então, calcular o vetor gradiente. Isto é,
f
f
f
|∇f| u
∇f
u
θ ∇f u
θ = 0 Duf |∇f|
θ = 0 u
f(x, y) = xey f P(2, 0)
Q( 1
2 , 2)
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No ponto , temos que:
Agora, como segundo passo, precisamos determinar o vetor unitário  na direção de P até
Q. Neste caso, da definição de vetor, obtemos que   e o
vetor unitário , então, é descrito por . Portanto, a taxa de variação de  na
direção de P até Q é,
Por outro lado, de acordo com a propriedade anterior, podemos concluir que f aumenta
mais rápido na região do vetor gradiente . Além disso, a taxa máxima de
variação, neste caso, é dada por:
Esse exemplo é um dos problemas mais clássicos de otimização envolvendo a derivada
direcional quando nosso objetivo é encontrar a taxa máxima de variação. Naturalmente,
podemos utilizar o vetor gradiente para outros processos de otimização, como redes neurais em
que se utiliza o negativo do vetor gradiente para otimizar a rede; outro uso desse vetor também é
encontrado em probabilidade quando o objetivo é encontrar o estimador de máxima
verossimilhança; entre muitas outras aplicações.
Para encerrar nossa abordagem das propriedades do vetor gradiente, vamos considerar outras
duas propriedades importantes, que são as seguintes: o gradiente da soma é a soma dos
gradientes (regra da soma), isto é,
P(2, 0)
u
→
PQ
= ( 1
2 − 2, 2 − 0) = (− 3
2 , 2)
u u = f
∇f(2, 0) = 
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Cálculo Diferencial e Integral II
e o gradiente do produto satisfaz à equação:
Com isso então, encerramos a segunda parte de nossa aula. Esperamos que você tenha
gostado! 
O vetor gradiente na prática
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Cálculo Diferencial e Integral II
Chegamos então, à última parte de nossa aula, e nosso objetivo neste momento é trabalhar
com uma aplicação do vetor gradiente em uma situação prática. Então, para aplicar nossos
conceitos aprendidos anteriormente, vamos considerar um problema relacionado à
temperatura em uma determinada região de um mapa topográfico. Assim, suponha que
você está na Região Nordeste do Brasil às 10 horas da manhã de um determinado dia
chuvoso, mas com forte tendência a ficar ensolarado em algumas horas, e deseje realizar
uma pesquisa com o mapa topográfico dessa região.
 
De acordo com a literatura a respeito de mapas topográficos, sabe-se que as curvas
isotérmicas se ligam às localidades que têm a mesma temperatura. Então, suponha que a
temperatura em um ponto   do mapa de contorno (neste caso, um mapa de
contorno no espaço, isto é, com três dimensões) seja obtida pela seguinte função:
Onde   é a temperatura medida em graus Celsius e , , e , em metros. Sabe-se que a
derivada parcial   é a taxa de variação da temperatura em relação à distância de nos
movermos para o leste a partir, por exemplo,da cidade de São Luís; derivada parcial  é a
taxa de variação da temperatura em relação à distância de nos movermos para o sudoeste;
e derivada parcial   é a taxa de variação da temperatura em relação à distância de nos
movermos para o norte.
 
Com o problema contextualizado, suponha que você deseje saber, na sua pesquisa, em qual
direção no ponto  a temperatura tem um aumento mais rápido, e assim fazer uma
previsão do horário em que vai ficar um clima ensolarado. Então, a pergunta que você deve
responder é: qual seria tal direção que isso acontece? Para responder tal questão, é
necessário trabalhar o conceito de vetor gradiente de . Assim, com base na definição de
vetor gradiente, obtemos que o vetor gradiente da função T que representa a temperatura
na região é descrito por:
(x, y, z)
T x y z
Tx
Ty
Tz
(1, 1 − 2)
T
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Ou seja,
Assim, no ponto , temos:
Portanto, a temperatura aumenta mais rapidamente na direção do vetor gradiente 
Agora que sabemos a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente, vamos supor
que nosso objetivo, em relação ao ponto dado, seja saber qual é a taxa máxima de aumento da
temperatura. Então, como fazemos para encontrar tal taxa? Para responder essa questão, basta
(1, 1, −2)
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Cálculo Diferencial e Integral II
calcularmos o módulo do vetor gradiente, uma vez que ele indica a direção de aumento mais
rápido. Isto é,
Portanto, a taxa máxima de aumento de temperatura, nesta situação, é de aproximadamente 4
graus Celsius por metro. E com essa aplicação, encerramos, então, nossa aula sobre o conceito
de vetor gradiente e suas propriedades para aplicações em problemas práticos do cotidiano.
Esperamos que você tenha gostado! 
Videoaula: Vetor gradiente e otimização
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computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo
para assistir mesmo sem conexão à internet.
Nesta aula nosso objetivo é entender o conceito de vetor gradiente e a sua importância em
situações reais. Pensando nisso, iniciamos com o conceito matemático desse vetor e três de
suas principais propriedades. E assim encerramos nossa aula com uma aplicação em um
problema de variação de temperatura em mapas topográ�cos, que é uma aplicação comum
especialmente em engenharia ambiental e, também, na geogra�a.
Saiba Mais
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
O estudo de vetor gradiente é algo grandioso dentro da Matemática e tem muitas aplicações em
praticamente todas as áreas do conhecimento. Neste material abordamos apenas a ponta do
iceberg, trabalhando com aplicação em variação de temperatura. Uma outra aplicação
importante desse conceito, atualmente, é em redes neurais. Para saber um pouco mais sobre o
uso de vetor gradiente em redes neurais, consulte o artigo intitulado "Introdução teórica a Neural
Network – Deep Learning – Parte 2".
Referências
https://medium.com/data-hackers/neural-network-deep-learning-parte-2-introdu%C3%A7%C3%A3o-te%C3%B3rica-e9943e1dfc98
https://medium.com/data-hackers/neural-network-deep-learning-parte-2-introdu%C3%A7%C3%A3o-te%C3%B3rica-e9943e1dfc98
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
STEWART, J. Cálculo. Vol. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2015.
Aula 2
Integrais duplas: introdução
Introdução da aula
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Olá, estudante! Na aula, trabalharemos com o conceito de integrais duplas. As integrais duplas
representam um dos conceitos mais importantes do Cálculo, e podem ser aplicadas em
praticamente todas as áreas do conhecimento. Por exemplo, podemos trabalhar com os cálculos
de volumes de tanques de armazenamento de água, independentemente do formato; com o
momento de inércia de um corpo; com campos magnéticos e elétricos; com densidade de
partículas; estresse e resistência na con�abilidade de equipamentos; entre muitas outras
aplicações. Então, com esse conceito em mãos, esperamos que você tenha compreensão de
como utilizá-lo para resolver situações que envolvam cálculos matemáticos que possam emergir
no seu campo de trabalho.
Lembre-se: o estudo do Cálculo Diferencial e Integral requer prática diária e uma rotina, assim
como os exercícios físicos que fazemos para um melhor desempenho do nosso corpo.
Bons estudos!
O conceito de integral dupla
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Para começarmos nossos estudos de integrais duplas, precisamos revisar o conceito de
integral definida de função de uma variável. Assim, suponha que é uma função definida
em um intervalo  . Então, para explorar o conceito de integral definida, vamos
começar subdividindo o intervalo   em   subintervalos   de comprimento
igual   e escolhendo pontos amostrais   em cada um desses
subintervalos. Agora, podemos formar a soma de Riemann da seguinte maneira:
Se tomarmos o limite dessa soma quando , então obtemos a integral definida de 
 até  da função  pela seguinte equação:
f
a ≤ x ≤ b
[a, b] n [x(i−1), xi]
Sx = (b − a)/n x1
 n → ∞ a
b f
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Nosso objetivo neste momento é expandir esse conceito para uma função de duas variáveis.
Então, para fazermos isso, vamos considerar uma função  de duas variáveis definida em
retângulo fechado definido pela seguinte expressão:
Naturalmente, vamos supor que . Em termos gráficos, o gráfico da função  é
descrito pela superfície com equação   que está acima da região definida pelo
retângulo  e abaixo da curva de . Seja S essa superfície. Então, podemos definir S pela
equação:
Em analogia ao conceito de integral definida de funções de uma variável em que o objetivo,
em geral, era o cálculo de áreas, nossa meta, então, é o cálculo de volumes. Em particular,
estamos interessados em calcular o volume da superfície S construída anteriormente. Logo,
da mesma forma que dividimos o intervalo  em  subintervalos na integral de função
de uma variável, aqui dividiremos a região R em  sub-retângulos. Neste caso, precisamos
dividir o intervalo   do nosso retângulo em   subintervalos   de mesmo
comprimento  e, também, dividir o intervalo  do nosso retângulo em
  subintervalos   de mesmo comprimento . Assim, obtemos
retângulos com área .
Vamos escolher um ponto amostral  em cada retângulo obtido anteriormente.
Note que, neste caso, podemos aproximar a parte da superfície S que está acima de cada
retângulo por um prisma com base   e altura . Então, seguindo esse
procedimento para todos os retângulos, o volume total da superfície S é aproximado por:
f
f(x, y) ≥ 0 f
z = f(x, y)
R f
[a, b] n
n
[a, b] m [x(i−1),xi]
Sx = (b − a)/m [c, d]
n [y(j−1),  yj] Sy = (d − c)/n
SA = SxS y
(xk
(ij),  yk(ij))
Rij f(xk
ij,  ykij)
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
No entanto, nosso objetivo é obter uma aproximação mais eficiente para o volume. Neste
caso, essa aproximação pode ser facilmente obtida quando aumentamos os valores de  e
, isto é, esperamos que o volume seja ótimo se
Essa equação é o que chamamos de integral dupla sobre retângulos para o cálculo de volume de
uma superfície S qualquer. Em notação matemática, podemos escrever esse conceito da
seguinte forma:
E assim encerramos a primeira parte de nossa aula. Perceba que até este momento apenas
expandimos o conceito de integral de�nida para funções de uma variável que era voltado para o
cálculo de áreas para uma visão espacial voltado para o cálculo de volumes. É importante que
você repasse os detalhes dessa expansão que é importante para entender as propriedades das
integrais duplas e, também, como aplicar esse conceito em situações práticas. Bons estudos!
O teorema de Fubini
m
n
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Anteriormente, trabalhamos com a construção do conceito de integral dupla. Nosso objetivo
neste ponto é entender como tal conceito funciona em exemplos práticos e, também,
estudar algumasESTUDO DE APLICAÇÕES DE INTEGRAIS.
Nele, os autores apresentam uma proposta de trabalho, na qual os discentes pesquisam e
veri�cam a aplicação prática das ferramentas do cálculo integral empregadas com elementos do
cotidiano deles.
Referências
PRADO, S. do; PRADO, S. T. G. do; OLIVEIRA, L. de. Uma proposta diferenciada para o estudo de
aplicações de integrais. Anais do Salão Internacional de Ensino, Pesquisa e Extensão, v. 9, n. 1,
fev. 2020. Disponível em:
https://periodicos.unipampa.edu.br/index.php/SIEPE/article/view/85573. Acesso em: 26 dez.
2022. 
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo Volume I. São Paulo, SP: Cengage Learning Brasil,
2021. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 26 dez. 2022.
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786555584097/pageid/30
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786555584097/pageid/377
https://periodicos.unipampa.edu.br/index.php/SIEPE/article/view/85573
https://periodicos.unipampa.edu.br/index.php/SIEPE/article/view/85573
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Aula 2
As integrais imediatas
Introdução
Olá, estudante!
Anteriormente, �zemos uma introdução às integrais, apresentando o conceito de integral como
área de uma região plana abaixo de uma curva, o Método de Riemann e o Teorema Fundamental
do Cálculo. Agora, mostraremos a você algumas integrais imediatas, isto é, compreenderemos
algumas regras que ajudarão no processo de integração e na aplicação do Teorema Fundamental
do Cálculo.
Essas regras serão úteis para resolver problemas futuros, permitindo que, por meio delas, se
obtenha o resultado de integrais mais facilmente. Desse momento para frente, serão essas as
regras que serão aplicadas na resolução de uma grande variedade de integrais e de problemas
envolvendo as integrais. É um momento fundamental no seu estudo das integrais, então dedique-
se! Lembrando que você será acompanhado durante todo o processo.
Bons estudos!
Integrais polinomiais
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Na aula anterior, conceituamos as integrais, logo, nesse momento, conceituaremos alguns tipos
de funções que comumente são encontrados nos estudos de integrais. São as funções
polinomiais, trigonométricas, exponenciais e logarítmicas, nas quais, ao aplicarmos a integração
nelas, as integrais recebem, respectivamente, os nomes de: polinomiais, trigonométricas,
exponenciais e logarítmicas.  
Funções polinomiais e integrais polinomiais 
As funções polinomiais são aquelas de�nidas por expressões polinomiais. Um polinômio é uma
expressão que possui coe�cientes (os números) e variáveis (as letras), em que há apenas as
operações de adição, subtração, multiplicação e potências de números inteiros positivos de
variáveis. Veja, a seguir, algumas funções polinomiais: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Note que em nenhuma dessas funções apareceu termos em que a variável está no denominador,
variáveis dentro de raízes, variáveis com expoentes negativos ou fracionários, como em  
Nessas situações, não temos funções polinomiais.  
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
As integrais de funções polinomiais são conhecidas como integrais polinomiais. Considerando
as funções polinomiais vistas anteriormente, teremos:
Funções trigonométricas e integrais trigonométricas 
As funções trigonométricas são aquelas de�nidas por relações trigonométricas. As principais
funções trigonométricas são a função seno
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Cálculo Diferencial e Integral II
a função cosseno
e a função tangente
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
As funções trigonométricas são funções angulares circulares, isto é, os valores de
são ângulos, que podem ser medidos em graus ou radianos. Contudo, em cálculo, usaremos
somente valores em
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
medidos em radianos. O radiano é uma unidade natural em uma circunferência, pois ele mensura
o comprimento do arco, enquanto os graus medem a abertura do arco. 
As integrais de funções trigonométricas são chamadas de integrais trigonométricas. Veja
algumas: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Funções exponenciais e integrais exponenciais 
Uma função exponencial é aquela na qual a variável está no expoente e a base é sempre um
número maior que zero e diferente de um. Em especial, há o caso em que a base é o número
conhecido como número de Euler, número de Napier ou número exponencial, possuindo valor
aproximado de 2,7183. Assim, algumas funções exponencias são: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
As integrais de funções exponenciais são chamadas de integrais exponencias. Considerando os
exemplos de funções exponenciais apresentados, teremos: 
Funções logarítmicas e integrais logarítmicas 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
As funções logarítmicas são funções do tipo
é a base do logaritmo da função, tal que
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Há diversas aplicações para o logaritmo, entretanto, comumente, é usado para encontrar o valor
do expoente de uma base qualquer. Em outras palavras, as funções logarítmicas são inversas
das funções exponencias. Entre os logaritmos, utilizaremos, em cálculo, especialmente, o
logaritmo natural. O logaritmo natural tem base
tal que
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Cálculo Diferencial e Integral II
onde é normalmente denotado por
Dessa forma, algumas funções logarítmicas são: 
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Cálculo Diferencial e Integral II
Sendo que as integrais de funções logarítmicas recebem o nome de integrais logarítmicas.
Considerando as funções logarítmicas apresentadas, teremos: 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Para resolver essas integrais, podemos utilizar a ideia de inversa da derivada, contudo isso pode
�car muito complicado. Para facilitar esse processo de resolução dessas integrais, veremos, na
sequência, procedimentos que nos auxiliarão na integração.
Integrais trigonométricas
Agora que foram vistas algumas funções e as integrais delas, precisamos aprender como
resolver essas integrais. Para isso, temos certas regras, as quais veremos e explicaremos
detalhadamente. Começaremos com as regras para a integração de polinômios.  
Integrais polinomiais: para integrar os polinômios, precisamos considerar que os
polinômios são formados por constantes
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Assim, precisamos conhecer as regras de integração especí�cas para integrar cada item de
um polinômio.  
Primeiramente, consideraremos o caso das constantes. Se
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Cálculo Diferencial e Integral II
é uma constante real qualquer, teremos que: 
Isso quer dizer que, quando a constante está isolada, a integral dela é a constante
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Cálculo Diferencial e Integral II
multiplicada pela variável que está sendo integrada em 
ou outra variável
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Agora, veremos a regra da integral para as potências de
Se
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
é qualquer constante real, tal que
teremos que:
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Nesse caso, vemos que, para resolver a integral de
aumentamos em 1 o expoente, e aí o novo valor que aparece no expoente também aparecerá
como denominador. Veja que essa regra vem do próprio conceito de antiderivada, pois a derivada
de
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Cálculo Diferencial e Integral II
Se houver uma constante
multiplicando
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
temos que: 
Veja que a constante continua multiplicando, isto é, a constante continua sem alterar no
resultado, ela aparece apenas como uma multiplicação. 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Por �m, é importante dizer que essas regras podem ser combinadas. Para compreender melhor,
veremos os resultados de algumas integrais: 
Integrais trigonométricas: considerando as duas funções trigonométricas básicas (seno e
cosseno), temos que suas integraispropriedades das integrais duplas, especialmente o teorema de Fubini.
Então, para iniciar os estudos desta aula, vamos aplicar o conceito de integrais duplas em
um pequeno exemplo prático.
Exemplo:
Seja  um paraboloide elíptico qualquer, e  um retângulo
qualquer do plano. Com base nesses dois objetos, vamos estimar o volume do sólido S
acima do retângulo R e abaixo do paraboloide elíptico z dividindo R em quatro quadrados
iguais e usando o ponto amostral como o ponto do canto superior direito de cada um
desses quadrados. Neste caso, temos que a área de cada quadrado é necessariamente igual
a 1. Então, com base na definição de integral dupla, temos que o volume de S é descrito por:
z = 16 − x2 − 2y2 R = [0, 2]x[0, 2]
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Cálculo Diferencial e Integral II
Ou seja, o sólido em questão tem um volume de 34 unidades. A questão agora é: essa é a melhor
aproximação? Para veri�car, vamos ver, gra�camente (Figura 1), o que ocorre quando temos 16,
64 e 256 quadrados para nossa aproximação. Perceba que quanto mais prismas utilizamos, mais
próximo do aspecto visual do sólido �camos.
Figura 1 | Aproximações para o cálculo de integral dupla usando 16, 64 e 256 quadrados. Fonte: elaborada pelo autor.
Pela de�nição de integral dupla, nas mesmas condições para o ponto amostral, temos em cada
caso que:
Isto é, com 256 quadrados, a aproximação do volume se tornou mais concisa. Mas será que
é próximo do valor real da área? Para responder essa pergunta, vamos trabalhar com o
conceito de integral iterada, que é uma das propriedades mais importantes fornecida pelo
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Teorema Fundamental do Cálculo. Assim, para entender essa propriedade, suponha então
que   é uma função de duas variáveis integrável no retângulo . Agora,
considere a integral   que indica que x é mantido fixo e a função   é
integrada em relação a   de   até . Essa integral é conhecida com integral parcial em
relação a , e é análoga ao conceito de derivada parcial.
 
Note que como a integral parcial é um número que depende apenas de x, ela define uma
função de x, isto é, . Agora, se integramos a função K em relação a x,
obtemos que:
Essa integral define o tão famoso Teorema de Fubini para integrais duplas.
Matematicamente, tal teorema pode ser escrito como: se   é uma função contínua no
retângulo , então:
E assim encerramos a segunda parte de nossa aula com uma das propriedades mais
importantes para o cálculo de integrais duplas: o Teorema de Fubini. Com essa ferramenta em
mãos, podemos trabalhar de modo mais prático e rápido no cálculo de volumes por meio de
integrais duplas. Esperamos que você tenha gostado! Bons estudos! 
A integral dupla na prática
f R = [a, b]x[c, d]
∫
d
c f(x, y)dy f(x, y)
y c d
y
K(x) = ∫ d
c
f(x, y)dy
f
R = {(x, y)|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Chegamos à parte �nal de nossa aula, e nosso objetivo é trabalhar com uma situação prática
envolvendo o conceito de integrais duplas. Suponha que esteja estudando os fatores ambientais
a respeito da possível precipitação de neve em uma determinada região da Rússia. Sabe-se que o
excesso de neve pode trazer alguns problemas operacionais na cidade, especialmente para os
meios de transporte. Então, seu objetivo é ter uma noção da precipitação média de neve na
região em questão. Assim, suponha que o mapa de contorno seja dado pela Figura 2 a seguir.
Qual seria a precipitação média de neve nessa região?
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Figura 2 | Mapa de contorno da precipitação de neve, em polegadas, em uma determinada região da Rússia. Fonte: elaborada
pelo autor.
Para responder essa questão, podemos trabalhar com o ponto de origem no canto sudoeste
do mapa de contorno da região. Então,  e  e  é a queda de
neve, em polegadas, no local x quilômetros para leste y quilômetros para norte do ponto de
origem. Se R é o retângulo que representa a região, então a precipitação média de neve é
descrita pela seguinte integral:
0 ≤ x ≤ 388 0 ≤ y ≤ 276 f(x, y)
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Cálculo Diferencial e Integral II
em que . Como não conhecemos a forma da função f,
então não podemos aplicar o teorema de Fubini, no entanto, podemos trabalhar com a
estimação usando retângulos. Neste caso, vamos dividir, por exemplo, a região R em 16 sub-
retângulos de tamanhos iguais tal que a área de cada sub-retângulo é dada por
km². Então, com base no mapa de contorno, podemos estimar o
valor f no ponto central de cada sub-retângulo, isto é,
Portanto, a queda de neve média é descrita por:
ou seja, a região em questão recebeu uma média de aproximadamente 13 polegadas de
neve. Vamos supor agora que conhecemos a forma funcional de f, isto é, suponha que f seja
dada pela seguinte expressão: . Com base nessa expressão, qual seria a
precipitação média de neve nessa região? Neste caso, então, podemos trabalhar com o
teorema de Fubini. Sabendo que a integral dupla de f é descrita por:
Temos, então, pelo teorema de Fubini que:
A(R) = 388 ⋅ 276 = 107088km2
SA = 1
16 107088 = 6693
f(x, y) = 1
x+y + 15
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Cálculo Diferencial e Integral II
Uma vez que nosso objetivo é encontrar a queda de neve média, temos que ela é dada pela
seguinte equação:
Portanto, podemos concluir que nossa aproximação por retângulos �cou muito próxima do valor
dado pelo teorema de Fubini.
Em geral, nas aplicações de integrais duplas, trabalharemos com aproximações por retângulos
apenas se não conhecermos, de fato, a forma funcional da função. Do contrário, damos
prioridade ao uso do teorema de Fubini para encontrar uma solução. E com essa aplicação
encerramos, então, nossa aula sobre o conceito de integrais duplas e suas propriedades para
aplicações em problemas práticos do cotidiano. Esperamos que você tenha gostado! 
Videoaula: Integrais duplas: introdução
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computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo
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Cálculo Diferencial e Integral II
para assistir mesmo sem conexão à internet.
Caro estudante, nesta aula nosso objetivo é entender o conceito de integrais duplas e a sua
importância em situações reais. Pensando nisso, iniciamos com o conceito matemático desse
tipo de integral por aproximação de retângulos, e depois trazemos a propriedade mais importante
desse conceito, que é o Teorema de Fubini. Para encerrar nossa aula, vamos trabalhar com uma
aplicação relacionada com queda de neve por meio de mapas topográ�cos, que é uma aplicação
comum no estudo de catástrofes.
Saiba Mais
O cálculo de integrais duplas pode ser um tanto quanto complexo dependendo da função
considerada, mesmo por meio de aproximações por retângulos. Pensando nisso, a Symbolab
criou uma ferramenta gratuita, chamada “Calculadora de Integrais Duplas”, que pode nos auxiliar
com esses cálculos. Essa calculadora é baseada no teorema de Fubini. Vale a pena conhecê-la!
Referências
https://pt.symbolab.com/solver/double-integrals-calculator
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
STEWART, J. Cálculo. Vol. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2015.
Aula 3
Integrais duplas: regiões não retangulares
Introdução da aula
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Olá, estudante! Na aula de hoje, vamos continuar nosso trabalho com o conceito de integrais
duplas. A diferença será o foco. Até então, conhecíamos as integrais duplas com coordenadas
cartesianas em regiões retangulares, no entanto, em certas situações práticas podemos ter
regiões não retangulares que tornam o cálculo de integral um pouco mais complexo. Então,
nosso objetivo é estender o conceito de integral para esses tipos de regiões e aplicá-lo em uma
situação prática relacionada com a área de engenharia. Portanto, esperamos que você, aluno, a
partir dos conceitos apresentados, tenha compreensão de como utilizá-los para resolver
situações que envolvam cálculosmatemáticos que possam emergir no seu campo de trabalho.
Lembre-se: o estudo do Cálculo Diferencial e Integral requer prática diária e uma rotina, assim
como os exercícios físicos que fazemos para um melhor desempenho do nosso corpo.
Bons estudos!
O conceito de integral dupla em regiões gerais
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Em estudos anteriores, nosso foco foi trabalhar com o cálculo de volume para superfícies
definidas em regiões retangulares por meio do conceito de integrais duplas e o teorema de
Fubini. Então, dada uma função de duas variáveis f definida em retângulo fechado
, o volume da superfície
 construída acima desse retângulo é
definida pela seguinte integral dupla:
Nossa questão agora é: e se tivermos uma região mais geral, diferente das regiões retangulares,
como podemos calcular a integral dupla correspondente ao volume dessa região? Para
responder essa questão, vamos de�nir uma região D de forma mais geral, mas supor que ela seja
necessariamente limitada de modo que D possa estar contida em uma região retangular R
(Figura 1).
R = [a, b] × [c, d]
S = {(x, y, z) € R3 0 ≤ z ≤ f(x, y), (x, y) € R}∣
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Figura 1 | Representação grá�ca da região geral D. Fonte: elaborada pelo autor.
A partir da Figura 1, note que D é uma região que será uma região chamada de tipo I, se estiver
entre o grá�co de duas funções contínuas de x. Neste caso, a região D é descrita pelo conjunto
de pontos:
Algumas das representações da região D do tipo I de�nida acima são ilustradas na Figura 2.
Figura 2 | Representações grá�cas da região geral D do tipo I. Fonte: elaborada pelo autor.
Neste caso, para calcularmos a integral nessa região, partimos do teorema de Fubini e a
integral dupla para uma função contínua  de duas variáveis na região D do tipo I é descrita
pela expressão:
f
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Por outro lado, podemos ter D como uma região, chamada de tipo II, que está entre o grá�co de
duas funções contínuas de y (análogo ao grá�co da região do tipo I exposto na Figura 2). Neste
caso, a região D é descrita pelo conjunto de pontos:
Para calcularmos a integral nessa região, partimos do teorema de Fubini e a integral dupla
para uma função contínua   de duas variáveis na região D do tipo II é descrita pela
expressão:
E assim encerramos a primeira parte de nossa aula a respeito de integrais duplas em regiões
mais gerais. Perceba que até este momento apenas expandimos o conceito de volume de
superfície baseado em uma integral dupla para funções de duas variáveis de�nidas em regiões
retangulares para o conceito de volume de superfície baseado em uma integral dupla de�nida em
regiões mais gerais. Essa expansão é fundamental, uma vez que, em situações práticas, seremos
apresentados com uma maior frequência a regiões gerais. Além disso, novamente destacamos a
importância do teorema de Fubini para o cálculo da integral dupla, e a única diferença na
aplicação dele aqui são os limites de integração que agora são baseados em duas funções
contínuas de uma variável. Em suma, é importante que você, estudante, repasse os detalhes
dessa expansão que é importante para entender as propriedades das integrais duplas e, também,
como aplicar esse conceito em situações práticas. Bons estudos!
A interpretação da integral dupla em regiões gerais
f
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Cálculo Diferencial e Integral II
Sabemos que as integrais duplas são extremamente versáteis quando falamos de volume de
superfície. Pensando nisso, anteriormente trabalhamos então com o conceito de volume de uma
superfície de�nida em uma região mais geral. A integral obtida, então, pode ser resolvida
facilmente pelo teorema de Fubini com limites de integração baseados em funções contínuas de
uma variável. Certo, mas qual é nosso objetivo neste momento? Com esse conceito em mãos,
nosso objetivo é entender como tal conceito funciona em exemplos práticos, especialmente no
cálculo de volumes de superfície. Então, para iniciar os estudos dessa aula, vamos criar uma
rotina de execução um pouco mais aprofundada para o cálculo de integrais duplas em regiões
gerais.
Exemplo:
Seja f uma função de duas variáveis definida por . Suponha que nosso objetivo
seja encontrar o volume do sólido abaixo de f mas que seja limitado pelas curvas 
 e  . Como podemos encontrar tal volume?
 
O primeiro passo é desenhar ambas as curvas para entendermos como trabalhar com os
limites de integração. Neste caso, as curvas estão ilustradas na Figura 3.
f(x, y) = y
y = x − 2
x = y2
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Cálculo Diferencial e Integral II
Figura 3 | Região formada pelas curvas limitantes. Fonte: elaborada pelo autor.
Como segundo passo, podemos isolar x na primeira curva que nos implica que .
Substituindo esse valor na segunda curva, obtemos que  que
implica que as curvas se encontram nos pontos (1, – 1) e (4, 2).
Como terceiro passo, devemos definir qual tipo de região estamos lidando, se é do tipo I ou
do tipo II. Se D for uma região do tipo I, a curva limitante superior é , mas a inferior
consiste em duas partes,   para   e   para . Neste
caso, D pode ser expressa como:
.
Por outro lado, se D for uma região do tipo II, então o limitante à esquerda é a curva 
  e o limitante à direita é   para . Então, neste caso, D é dada por:
. Mas em qual dos casos nossa integral é
mais simples de ser resolvida? Ora, embora a integral não seja difícil de ser resolvida, a
x = y + 2
y + 2 = y2 ⇔ y2 − y − 2 = 0
y = √x
y = −√x 0 ≤ x ≤ 1 y = x − 2 1 ≤ x ≤ 4
D = {(x, y)  } ∪ {(x, y)  }0 ≤ x ≤ 1, −√x ≤ y ≤ √x 1 ≤ x ≤ 4,x − 2 ≤ y ≤ √x
x = y2
x = y + 2 −1 ≤ y ≤ 2
D = {(x, y) − 1 ≤ y ≤ 2, y2 ≤ x ≤ y + 2}∣
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Cálculo Diferencial e Integral II
região escrita como uma região do tipo II torna a integral mais simples. Então, vamos adotá-
la para a nossa solução.
Por fim, como último passo, encontramos o volume do sólido em questão de acordo com a
seguinte integral baseada em uma região do tipo II:
É importante que você perceba, neste exemplo, que criamos uma rotina para encontrar a solução
da integral em regiões gerais. Essa rotina servirá de base para outras aplicações, especialmente
em situações práticas que demandam o uso de integrais duplas baseada em regiões gerais e,
também, para ter uma noção de como trabalhar com os mais diversos tipos de limites de
integração quando trabalhamos com essas integrais.
Encerramos, assim, a segunda parte de nossa aula com uma aplicação simples a respeito de
volume de um sólido baseando-se em integrais duplas de uma região geral e no Teorema de
Fubini. Com essa ferramenta em mãos, podemos então expandir nosso conhecimento para
cálculo de volume de uma aplicação do cotidiano de uma superfície de�nida em uma região geral
D que será nosso objeto de estudo em uma próxima aula. Esperamos que você tenha gostado!
Tenha ótimos estudos! 
A integral dupla na prática
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Olá, estudante! Chegamos à parte �nal de nossa aula em que o objetivo é trabalhar com o cálculo
de volumes usando regiões mais gerais por meio das integrais duplas. O cálculo de volume é
muito útil em muitas situações industriais, como em indústria de caldeiras. Neste tipo de
indústria é muito comum estimar o volume necessário da caldeira para aguentar certos níveis de
pressão. Então, para exempli�car, vamos trabalhar com uma situação prática nesse contexto.
Suponha que você deseje projetar uma caldeira industrial para aguentar altas pressões.
Então, como primeiro passo do seu projeto, você necessita definir qual será o volume
necessário da caldeira, e, depois, definir seu custo de produção. Sabendo que o volume ideal
da caldeira pode ser aproximado, em m³ (no caso, unidade de milhar), pelo dobro do volume
da superfície que se encontra abaixo do paraboloide  e acima da região D do
plano  limitada pela reta  e pela parábola , qual seria o volume da caldeira
em questão?
Para responder essa questão, o primeiro passo é de�nir a nossa região D. Neste caso,
precisamos primeiramentesaber em que ponto as curvas se encontram que, neste caso, é obtido
igualando-se as equações da parábola (conforme feito anteriormente) e resolvendo-se em x.
Assim, obtemos que tais pontos são (0,0) e (2,4). Então, como temos duas funções contínuas
de�nidas em x como limitantes, temos, por �m, que a nossa região D é descrita por:
z = x2 + y2
xy y = 2x y = x2
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
que é uma região do tipo I. A nossa questão agora é encontrar o volume da superfície em
questão. Com base no teorema de Fubini para integrais duplas em regiões gerais, temos que o
volume da superfície é descrito pela seguinte equação:
Por meio das técnicas de integração aprendidas lá no Cálculo Diferencial e Integral I, obtemos
que a integral parcial em relação a y é descrita por:
Assim, a nossa integral dupla do volume se reduz a:
que, por meio das técnicas de integração, tem solução descrita por:
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Portanto, o volume da superfície em questão, em m³ (em unidade de milhar), é descrito por
. No entanto, nosso projeto da caldeira nos diz que a caldeira tem o
dobro do volume da superfície que se encontra abaixo do paraboloide  e acima
da região D do plano  limitada pela reta  e pela parábola , então, o volume
da caldeira que precisa ser projetada é de 12342 m³.
Assim encerramos os tópicos da nossa aula sobre integrais duplas para regiões gerais. O foco
foi entender, por meio de duas situações práticas envolvendo área e volume, o uso de integrais
duplas em regiões gerais em práticas do cotidiano industrial que são de suma importância. Além
disso, tivemos por objetivo trazer o teorema de Fubini para o caso mais geral, já que é um dos
teoremas mais importantes do estudo de integrais duplas. Esperamos que você, aluno, tenha
gostado e se sentido motivado para trabalhar com essas questões na prática! 
Videoaula: Integrais duplas: regiões não retangulares
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Olá, estudante! Nesta aula o objetivo é entender o conceito de integrais duplas em regiões gerais
e a sua importância em situações reais. Pensando nisso, iniciamos com o conceito matemático
desse tipo de integral com base em uma região D geral e, em seguida, aplicamos o Teorema de
Fubini para esse tipo de região. Assim, para encerrar nossa aula, trabalharemos com uma
aplicação real em que as integrais duplas gerais são utilizadas.
Saiba Mais
6, 171 × 103 ≈ 6171m3
z = x2 + y2
xy y = 2x y = x2
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Para saber mais e aprofundar os conhecimentos adquiridos, você pode consultar o artigo da
Khan Academy a respeito das integrais duplas em regiões não retangulares, que traz um passo a
passo aprofundado dos conceitos de�nidos nesta aula.
(Dica: o conteúdo indicado está originalmente em língua inglesa, mas se preferir utilize a opção
de tradução automática do seu navegador para ler o texto em língua portuguesa).
Referências
https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/double-integrals-a/a/double-integrals-over-non-rectangular-regions
https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/double-integrals-a/a/double-integrals-over-non-rectangular-regions
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
STEWART, J. Cálculo. Vol. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2015.
Aula 4
Integrais duplas: coordenadas polares
Introdução da aula
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Olá, estudante! Nesta aula, continuaremos nosso trabalho com o conceito de integrais duplas. A
diferença será o foco. Até então, conhecíamos as integrais duplas com coordenadas cartesianas
em regiões retangulares e em regiões não retangulares. Neste momento, nosso foco será
trabalhar com regiões que fogem das coordenadas cartesianas, isto é, vamos trabalhar com as
tão famosas coordenadas polares. Com base nesse conceito, nosso objetivo é estender o
conceito de integral nessas regiões e aplicá-lo em uma situação prática relacionada com a área
de engenharia. Portanto, esperamos que você, a partir dos conceitos aqui apresentados, tenha
compreensão de como utilizá-lo para resolver situações que envolvam cálculos matemáticos que
possam emergir no seu campo de trabalho.
Lembre-se: o estudo do Cálculo Diferencial e Integral requer prática diária e uma rotina, assim
como os exercícios físicos que fazemos para um melhor desempenho do nosso corpo.
Bons estudos!
O conceito de integral dupla em regiões polares
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Caro estudante, nesta aula você terá um novo foco para os estudos de integrais duplas. Mas qual
será esse foco? Ora, nos estudos anteriores, exploramos o conceito de integral dupla em regiões
retangulares e também em regiões mais gerais. No entanto, ainda nos resta uma região para ser
explorada, que é quando a nossa região envolve formato de círculos. Neste caso, para resolver a
integral dupla precisamos de�nir o que são coordenadas polares. Mas antes de de�nir esse
conceito, vamos relembrar as equações da integral dupla nas regiões retangulares e não
retangulares.
Seja f uma função de duas variáveis quaisquer, o cálculo de volume para uma superfície
  construída acima de um retângulo
fechado é descrito pela seguinte integral dupla:
No entanto, se a superfície S está de�nida em uma região mais geral D descrita, por exemplo,
pelo conjunto de pontos:
S = {(x, y, z) € R3 0 ≤ z ≤ f(x, y), (x, y) € R}∣R = [a, b] × [c, d]
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Então, o volume de S é descrito pela expressão:
Neste momento, vamos considerar uma região R ainda mais geral limitada por círculos, isto
é, R é limitada por círculos de equação . Assim, calcular o cálculo da integral
utilizando conhecimentos anteriores baseados em coordenadas retangulares se torna bem
complexo e as vezes até inviável. Como resolver então? Podemos trabalhar com um conceito
chamado de coordenadas polares. As coordenadas polares são definidas e relacionadas
(Figura 1) com as coordenadas retangulares por meio das seguintes expressões:
x2 + y2 = k
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Figura 1 | Relação entre as coordenadas polares e cartesianas. Fonte: elaborada pelo autor.
Em que  representa a variação do raio do círculo e  representa a variação de ângulo do
círculo. Neste caso, a nossa região R pode ser escrita como:
Assim, para calcular a integral dupla baseada em coordenadas polares, dividimos o intervalo
  em m subintervalos   de larguras iguais   e dividimos o
intervalo   em n subintervalos   de larguras . Logo, os
círculos   e ângulos   dividem o retângulo polar R nos retângulos polares
menores . Em outras palavras, realizamos o mesmo procedimento das integrais duplas
r θ
[a, b] [r(i−1), ri] S r = (b − a)/m
[α,β] [θ(j−1), θj] S θ = (β − α)/n
r = ri θ = θi
R(ij)
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
em coordenadas retangulares, só que em coordenadas polares (Figura 2). Portanto, a
integral dupla em coordenada polar é calculada pela expressão:
Figura 2 | Elementos de integração. Fonte: elaborada pelo autor.
Encerramos a primeira parte de nossa aula a respeito de integrais duplas em regiões polares.
Perceba que até este momento apenas expandimos o conceito de integral dupla para regiões
baseadas em círculos. Essa expansão é fundamental, uma vez que, em situações práticas, ser
apresentados com uma maior frequência a regiões circulares em que trabalhar com coordenadas
retangulares pode ser complexo e faz o uso de coordenadas polares muito funcional nestes
casos. É claro que não podemos esquecer que o teorema de Fubini também é fundamental para
integrais duplas polares. Em suma, é importanteque você repasse os detalhes dessa expansão
polar que é essencial para entender as propriedades das integrais duplas polares e, também,
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
como aplicar esse conceito em situações práticas, como no cálculo de volume de tanques
cilíndricos ou mesmo de silos em estudos agrícolas. Bons estudos!
A interpretação da integral dupla em regiões polares
Sabemos que as integrais duplas são extremamente versáteis quando falamos de volume de
superfície. No entanto, para algumas superfícies, podemos ter problemas com as coordenadas
cartesianas, especialmente as que são limitadas por círculos. E o que fazemos nesses casos?
Ora, precisamos de�nir o retângulo polar e as coordenadas polares e, a partir dessas de�nições,
aplicar o teorema de Fubini para resolver a integral. Então, para iniciar nossos estudos dos
conceitos desta aula, vamos entender, por meio de um exemplo e de forma um pouco mais
aprofundada, como funciona o uso das coordenadas polares no estudo de integrais duplas.
Exemplo:
Seja  uma função de duas variáveis. Se f é definida na região R que é
definida por  , descrita na Figura 3, qual é o
valor do volume da superfície gerada dessas condições?
 
f(x, y) = arctg(y/x)
R = {(x, y)  }1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Figura 3 | Região R. Fonte: elaborada pelo autor.
Para responder essa pergunta, primeiramente vamos entender o que acontece com f se
tentarmos calcular o volume por meio de coordenadas cartesianas. Neste caso, teríamos
que a variação para x seria descrita pela distância entre os raios dos círculos  e
, e para y, seria o valor indicado na região R. Mas perceba que esse limite de
integração ainda não nos traz o volume total, e sim uma porção dele. O restante seria
calculado da mesma maneira. Porém, esse não é nosso objetivo do nosso estudo. Queremos
simplificar os cálculos. Então, pensando em simplificação, podemos trabalhar com as
coordenadas polares. Assim, sabendo que as coordenadas polares são definidas e
relacionadas com as coordenadas retangulares por meio das seguintes expressões:
x2 + y2 = 1
x2 + y2 = 4
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Cálculo Diferencial e Integral II
Obtemos que a variação do raio r é descrita por , e a variação do ângulo é descrita
por . Portanto, com base na região , a
integral dupla em coordenadas polares é descrita por:
uma vez que   se . Por meio das técnicas de integração
aprendidas lá no Cálculo Diferencial e Integral I e, também, pelo teorema de Fubini, obtemos
que a integral parcial em relação a r é descrita por:
1 ≤ r ≤ 2
0 ≤ θ ≤ π/4 R = {(r, θ|0 ≤ θ ≤ π/4, 1 ≤ r ≤ 2}
arctg(θ) = θ 0 ≤ θ ≤ π/4
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Cálculo Diferencial e Integral II
Agora, com base nos conceitos de Cálculo Diferencial e Integral I, temos a seguinte solução geral
da integral dupla:
Portanto, o volume em questão é descrito por  unidades de volume. É importante que
você perceba, neste exemplo, que criamos uma rotina para encontrar a solução da integral
em polares. Essa rotina servirá de base para outras aplicações, especialmente em situações
práticas que demandam o uso de integrais duplas baseadas em regiões polares.
Encerramos, assim, a segunda parte de nossa aula com uma aplicação simples a respeito de
volume de uma região limitada por círculos baseando-se em integrais duplas polares e no
Teorema de Fubini. Com essa ferramenta em mãos, podemos expandir nosso conhecimento para
trabalhar com situações práticas industriais, como a construção de caldeiras industriais que têm
formato cilíndrico, e envolve o uso de coordenadas polares. Esperamos que você tenha gostado!
Tenha ótimos estudos! 
A integral dupla polar na prática
3
64 π2
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Cálculo Diferencial e Integral II
Olá, estudante! Chegamos à parte �nal de nossa aula, e o objetivo agora é trabalhar com o
cálculo de volumes usando regiões polares por meio das integrais duplas. O cálculo de volume é
útil em muitas situações industriais e/ou na agricultura, por exemplo, na construção de silos para
armazenamento de sementes. É importante de�nir uma forma apropriada para o silo a �m de que
se tenha armazenamento e�ciente. Então, para exempli�car, vamos trabalhar com uma situação
prática nesse contexto.
Suponha que você deseje projetar uma superfície semelhante a uma cúpula para
armazenamento de grãos agrícolas, isto é, você deseja projetar um silo agrícola com forma
de cúpula. Então, como primeiro passo do seu projeto, você necessita definir qual será o
volume dessa superfície. Sabendo que o volume ideal da superfície pode ser aproximado,
em m³ (no caso, unidade de milhar), pelo sólido limitado acima do cone  e
abaixo da esfera , qual seria o volume ideal para a construção do silo de
seu projeto?
 
 
Para responder essa questão, o primeiro passo é definir a nossa região R. Neste caso,
precisamos, primeiramente, saber que tipo de região é a região R. Perceba que, substituindo
z = √x2 + y2
x2 + y2 + Z 2 = 1
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Cálculo Diferencial e Integral II
o valor de z na equação da esfera, o cone a intercepta quando
, isto é, quando . Então, com base nessas
condições, a nossa região é uma região do tipo polar. Assim, defina:
e daí, a região R em questão é descrita por: .
Neste ponto, vamos encontrar o volume da superfície em questão. Com base no teorema de
Fubini para integrais duplas em regiões polares, temos que o volume do silo é descrito pela
seguinte equação:
x2 + y2 + (√x2 + y2)
2
= 1 x2 + y2 = 1
2
R = {(r, θ 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1/√2}∣
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Cálculo Diferencial e Integral II
Por meio das técnicas de integração aprendidas lá no Cálculo Diferencial e Integral I, obtemos
que o volume do silo que deve ser projetado é dado por:
Portanto, o volume do silo, em m³, é descrito por 610 metros cúbicos. Então, na hora de
dimensionar o projeto, você deve levar em questão as condições para o cálculo do volume do silo
e o custo para a construção desse silo de acordo com o volume encontrado que, neste caso,
seria o volume ideal para o armazenamento de grãos.
Assim encerramos os tópicos da nossa aula acerca das integrais duplas para regiões polares.
Nosso foco foi entender, por meio de uma situação prática envolvendo construção de silo para
armazenamento de grãos, o uso de integrais duplas polares que são fundamentais quando nossa
estrutura tem relação com círculos. Além disso, tivemos por objetivo trazer o teorema de Fubini
também para o caso polar, já que é um dos teoremas mais importantes do estudo de integrais
duplas. Esperamos que você, estudante, tenha gostado e se sentido motivado para trabalhar com
essas cálculos na prática! 
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Cálculo Diferencial e Integral II
Videoaula: Integrais duplas: coordenadas polares
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Caro estudante, nesta aula o objetivo é entender o conceito de integrais duplas em regiões
polares e a sua importância em situações reais. Pensando nisso, iniciamos revisando os
conceitos de integral dupla e estenderemos esse conceito para uma região polar e, em seguida,
traremos a de�nição de coordenadas polares. Assim, para encerrar a aula, trabalharemos com
uma aplicação real em que as integrais duplas polares são utilizadas na prática.
Saiba Mais
Para saber mais e aprofundar os conhecimentos adquiridos, você pode consultar o conteúdo
feito por Waldecir Bianchini, no GeoGebra, a respeito das integrais duplas em regiões polares, que
traz um aspecto visual de como funcionam os conceitos de�nidos nesta aula.
https://www.geogebra.org/m/v4euxbsr
https://www.geogebra.org/m/v4euxbsr
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Referências
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
STEWART, J. Cálculo. Vol. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2015.
Aula 5
Revisão da unidade
O vetor gradiente e as integrais duplas
Disciplina
Cálculo Diferenciale Integral II
Olá, estudante! Agora, nosso objetivo é apresentar um pequeno resumo do que estudamos
no decorrer das nossas aulas anteriores.
O primeiro conceito com o qual vamos trabalhar é o de vetor gradiente. Ele é, basicamente,
um vetor que traz a coleção de todas as derivadas de ordem 1 de uma função de  variáveis,
isto é, seja  uma função de  variáveis, então, define-se matematicamente o
vetor gradiente pela n-upla ordenada descrita por:
n
f(x1, … ,xn) n
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
que é um vetor multidimensional.
 
O segundo conceito de estudo é o de integral dupla. As integrais duplas podem ser definidas
em diversas regiões, e o foco nessa unidade é trabalhar com esse conceito em três regiões:
retangulares, não retangulares (ou gerais), e polares. Vamos resumir, rapidamente, cada
uma dessas regiões.
 
O primeiro tipo de região é a retangular, que pode ser definida matematicamente como:
dada uma função  de duas variáveis, uma região é considerada retangular se a função for
definida em retângulo fechado dado pela seguinte expressão:
Por outro lado, a segunda região, a não retangular (ou geral), pode ser definida
matematicamente como: dada uma função  de duas variáveis, uma região é considerada
não retangular se a função for definida em uma região D dada pela seguinte expressão:
Essa região D é conhecida como região não retangular do tipo I, em que y varia de acordo
com funções contínuas de x. A região D do tipo II tem como única diferença o fato de que,
f
f
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
em vez de y variar de acordo com funções contínuas de x, é o x que varia de acordo com
funções contínuas de y.
 
Por fim, a terceira região, a região polar, pode ser definida matematicamente, como: dada
uma função  de duas variáveis, uma região é considerada polar se a função for limitada por
círculos e for definida em uma região R dada pela seguinte expressão:
que é chamada de retângulo polar. Neste caso, precisamos trabalhar com as coordenadas
polares para resolver a nossa integral. Tais coordenadas são:
f
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Sabendo quais são as principais regiões, precisamos entender como resolver as integrais
duplas nessas regiões. Neste caso, podemos simplificar os cálculos trabalhando com o
Teorema de Fubini, que traz o conceito de integral parcial que é completamente análogo ao
conceito de derivada parcial utilizado no vetor gradiente. Assim, em cada caso, as integrais
são calculadas como:
 
Para região retangular:
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Para região geral (tipo I):
Para região polar:
Encerramos nosso pequeno resumo dos conteúdos desta unidade. Com esses conceitos,
trabalharemos com aplicações práticas e reais em cada uma das aulas que se rementem a essa
unidade. Esperamos que você tenha gostado! Bons estudos! 
Videoaula: Revisão da unidade
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Nesta revisão, o objetivo é entender quais são os principais conceitos matemáticos abordados
na Unidade 4. No primeiro momento, então, vamos começar introduzindo o conceito de vetor
gradiente. Em um segundo momento, vamos trazer o conceito de integral dupla nas principais
regiões que podemos encontrar na prática. Lembre-se: este é apenas um resumo, e é importante
que você veja os detalhes em cada aula dessa unidade!
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Estudo de caso
Muitos fenômenos têm a propriedade de sua observação, repetida sob um conjunto
especificado de condições, conduzir invariavelmente ao mesmo resultado. Por exemplo, se
deixarmos cair uma bola, inicialmente em repouso, de uma altura de d metros através de
vácuo, ela atingirá o solo invariavelmente em  segundos. No entanto, existem
outros fenômenos cuja observação, repetida sob um conjunto especificado de condições,
não conduz sempre ao mesmo resultado. Por exemplo, considere o lançamento de uma
moeda. Se uma moeda é lançada mil vezes, as ocorrências de caras e coroas se alternam de
uma forma aparentemente irregular e imprevisível. Com base nas definições apresentadas,
à primeira vista pode parecer impossível fazer qualquer afirmação válida a respeito dos
experimentos aleatórios. No entanto, na teoria estatística existe uma medida que exprime a
incerteza presente em cada um desses tipos de experimentos, conhecida por probabilidade.
Historicamente, acredita-se os primeiros cálculos da teoria da probabilidade foram
realizados por estudiosos italianos dos séculos XV e XVI, dentre os quais podemos destacar
Frei Luca Pacioli (1445-1517), Niccolo Fontana, mais conhecido como Tartaglia (1499-1557), e
Girolamo Cardano (1501-1576). Eles realizaram estudos nos quais compararam as
frequências dos eventos e estimaram as chances de se ganhar nos jogos de azar, mas não
apresentaram teoremas que se baseassem em alguma teoria.
t = √(2d/g)
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
A probabilidade tem diversas aplicações na engenharia em si. Uma delas, por exemplo, é
considerar um par de variáveis aleatórias X e Y como tempo de vida de dois componentes de
uma máquina industrial projetada por um engenheiro mecânico. Então, para contextualizar
sua aprendizagem, suponha que você vai projetar uma máquina industrial com dois
componentes X e Y, e deseja saber a probabilidade de esses componentes falharem caso a
máquina sofra algum processo de deterioração. Particularmente, você deseja saber a
probabilidade de o primeiro componente sobreviver sete horas ou menos, e o segundo
componente sobreviver duas horas ou mais, pois, por condições do gestor da indústria, é
necessário que o primeiro componente tenha um tempo de falha maior do que o segundo.
Sabendo que a função densidade de probabilidade que governa os tempos de vida dos
componentes é descrita por:
tal que , como calculamos essa probabilidade? Isto é, como calculamos a
probabilidade do primeiro componente sobreviver sete horas ou menos e o segundo
componente sobreviver duas horas ou mais com base nos conceitos aprendidos nessa
unidade, particularmente, utilizando o conceito de integral dupla?
Re�ita
Nos dias atuais, a teoria de probabilidade se tornou o ramo da estatística que é relacionado com
fenômenos aleatórios (ou casuais), sendo a peça-chave para o desenvolvimento de modelos.
Nas últimas décadas, muitos pesquisadores têm se dedicado ao seu estudo devido ao seu
interesse intrínseco, bem como as muitas aplicações bem-sucedidas em muitas áreas das
ciências físicas, biológicas e sociais, na engenharia e no mundo dos negócios. Com base nessa
teoria, então, trouxemos uma aplicação relacionada aos projetos de engenharia. Então, nossa
re�exão, para iniciar a solução de problema, é: com base no conceito de integral aprendido nesta
unidade, existe a possibilidade de resolver o problema de outra forma, por exemplo, com o uso de
coordenadas polares, uma vez que estamos pensando em tempos de falha? Mais
especi�camente, com qual tipo de região estamos lindando, retangular, polar ou geral? Qual
método de integração dupla devemos utilizar?
Videoaula: Resolução do estudo de caso
0 ≤ x, y ≤ 10
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Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo
computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo
para assistir mesmo sem conexão à internet.
Antes de iniciar a solução do problema, vamos retorná-lo. Então, queremos a probabilidade
de o primeiro componente da máquina projetada sobreviver sete horas ou menos e o
segundo componente sobreviver duas horas ou mais de acordo com função densidade de
probabilidade que governa os tempos de vida dos componentes:
tal que . Se há, então, um processo de deterioração nessa máquina, saber
dessa probabilidade pode nos ajudar a reduzir o custo de produção, por exemplo.
Observando a funçãodada, podemos notar que ela representa necessariamente uma
função de duas variáveis. Então, podemos trabalhar com o conceito de integral dupla nesse
caso.
Como primeiro passo, precisamos identificar com qual tipo região estamos lidando para
saber com qual tipo de integral dupla vamos trabalhar. Neste caso, perceba que há
restrições entre x e y que nos induz a seguinte região R:
que é uma região do tipo cartesiana e retangular, já que R define um retângulo fechado.
Então, para calcular a probabilidade em questão, devemos encontrar o volume da superfície
0 ≤ x, y ≤ 10
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Cálculo Diferencial e Integral II
com equação  que está acima da região definida pelo retângulo  e abaixo da
curva de . Sendo S essa superfície, podemos definir S pela equação:
Para encontrar esse volume, podemos dividir a região R em  sub-retângulos. Neste caso,
precisamos dividir o intervalo  do nosso retângulo em  subintervalos  de
mesmo comprimento  e, também, dividir o intervalo  do nosso retângulo
em   subintervalos   de mesmo comprimento . Assim, obtemos
retângulos com área . No entanto, para ter uma melhor aproximação da
probabilidade em questão, precisaríamos de um número grande de retângulos, que pode
gerar um cálculo complexo. Então, como resolvemos nosso problema? Bom, neste caso
podemos trabalhar com o conceito de integral iterada, que é uma das propriedades mais
importantes fornecida pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Assim, para entender essa
propriedade, suponha então que  é uma função de duas variáveis integrável no retângulo
. Então, considere a integral  que indica que x é mantido fixo
e a função   é integrada em relação a   de   até . Essa integral é conhecida com
integral parcial em relação a , e é análoga ao conceito de derivada parcial. Com base
nesse conceito, definimos o teorema de Fubini, que matematicamente pode ser escrito
como: se   é uma função contínua no retângulo ,
então:
Assim, a partir do teorema de Fubini, a probabilidade desejada é descrita por:
Isto é, existe uma probabilidade de 57,87% de que o primeiro componente da máquina
projetada por você sobreviva sete horas ou menos, e de que o segundo componente
z = f(x, y) R
f
n
[0, 10] m [x(i−1),xi]
Sx = 10/m [0, 10]
n [yj−1), yj] S y = 10/n
SA = SxS y
f
R = [a, b]x[c, d] ∫
d
c f(x, y)dy
f(x, y) y c d
y
f R = {(x, y)|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
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Cálculo Diferencial e Integral II
sobreviva duas horas ou mais.
Resumo visual
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Cálculo Diferencial e Integral II
Figura 1 | Condições de resolução de integral dupla por meio do teorema de Fubini. Fonte: elaborada pelo autor.
Referências
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Cálculo Diferencial e Integral II
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
STEWART, J. Cálculo. Vol. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2015.imediatas são dadas por: 
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Cálculo Diferencial e Integral II
Veja como essas integrais são fáceis. Agora, podemos resolver algumas integrais
trigonométricas: 
Integrais exponenciais: escrevendo uma função exponencial como
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Cálculo Diferencial e Integral II
é um número maior que zero e diferente de um. Para integrais exponenciais, temos que a regra
de resolução imediata é dada por 
Note que repetimos a função exponencial, entretanto aparece o
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Cálculo Diferencial e Integral II
no denominador. Em especial, a integral da função
teremos:
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É interessante observar que a integral de
é ela própria.  
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Considerando essas regras para integrais exponencias, veja algumas dessas integrais
resolvidas: 
Integrais logarítmicas: essas integrais são um pouco mais complicadas que as anteriores,
dessa forma, vamos nos restringir aos logaritmos naturais, isto é,
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Assim, temos que:
É uma integral um pouco estranha, mas é assim mesmo. A técnica especí�ca para a resolução
dela será vista mais adiante (exatamente, na Aula 6). Vale destacar que, talvez, tão importante
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quanto a integral logarítmica é a integral que tem como resultado
a qual é 
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O módulo no
garante que não haverá valores negativos para ser calculado no logaritmo, evitando erro
matemático. Veja algumas integrais resolvidas: 
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Cálculo Diferencial e Integral II
Estudante, notou as regras? Faça uma revisão delas e experimente compreender cada uma das
integrais apresentadas. Agora, �que ciente de que todas essas regras podem ser combinadas
para funções com vários tipos juntos. Veja os exemplos na próxima etapa da aula.
Integrais exponenciais e logarítmicas
Nessa parte da aula, resolveremos diversos exemplos de integrais pelas regras vistas
anteriormente, junto à aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo. Para relembrar o teorema,
veja: 
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Não se esqueça de que
é uma antiderivada de
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Cálculo Diferencial e Integral II
É no momento de encontrar essa antiderivada (também chamada de integral inde�nida) que
aplicaremos as regras vistas nessa aula. Essas regras não são as únicas, existem diversas
outras, mas com elas podemos resolver várias situações, pelo menos as situações mais comuns,
nas quais as integrais podem ser aplicadas. Então, começaremos a resolver e analisar os
exemplos. 
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Cálculo Diferencial e Integral II
Nessa resolução, primeiro, encontramos a antiderivada da função, lembrando que não
precisamos da constante ; após, fazemos a substituição dos intervalos de integração, sendo
primeiro o de cima e, depois, o debaixo; em seguida, resolveremos as “continhas”. 
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Cálculo Diferencial e Integral II
Novamente, nesse exemplo, encontramos a antiderivada da função. Após isso, simpli�camos as
expressões, aplicamos o teorema fundamental do cálculo e damos sequência à resolução
numérica da expressão. 
Esse é o primeiro exemplo de integral trigonométrica, então vale destacar que, para resolução de
funções trigonométricas, é fundamental que sejam utilizadas as medidas em radianos, logo
precisamos con�gurar a calculadora para trabalhar dessa forma. Se estiver usando um site ou
um aplicativo, normalmente, ele já trabalhará com o resultado em radianos. Fique atento a isso! 
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Novamente, para encontrar os resultados, utilizamos os radianos. É muito importante estar
atento a esse detalhe. 
Fique atento, pois os resultados das integrais podem ser representados de diversas formas,
inclusive, em formas decimais aproximadas. Para diversas situações, os resultados �cam
complicados de serem simpli�cados ou �cam matematicamente “feios”, assim, comumente,
utilizamos as respostas em decimais. Mas, a apresentação do resultado depende do contexto e
da situação, então preste atenção nisso também! 
Agora, começaremos a trabalhar com integrais com funções exponenciais e funções
logarítmicas. Nos exemplos de integrais exponencias e logarítmicas, exploraremos casos com
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
pois eles são os mais comuns encontrados, considerando as funções exponenciais e
logarítmicas. Vejamos, então: 
Não se esqueça de que a integral de
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é a própria função. Repetimos o
e o número que o está multiplicando também continua. 
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Cálculo Diferencial e Integral II
Apenas para diversi�car, apresentando uma integral com a variável de integração
A variável não é exclusivamente o
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podemos ter outras variáveis, as regras aplicadas são as mesmas e esse é um exemplo. 
Também é importante ver exemplos de integrais que os resultados são logaritmos.  
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Não se esqueça do módulo ao resolver a integral, pois ele garante que o valor dentro do
logaritmo seja positivo.  
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Cálculo Diferencial e Integral II
Lembrando, caro estudante, que podemos combinar todas essas regras vistas. Veja um
exemplo. 
Por �m, é importante comentar que a regra vista para integrais polinomiais pode ser utilizada
também em outras situações, como potências de negativos (exceto com expoente igual a -1) e
para expoentes fracionários. Veja os exemplos a seguir: 
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Cálculo Diferencial e Integral II
E, assim, chegamos ao �m dos exemplos. É importante lê-los, compreendê-los e praticá-los.
Novas regras virão em aulas futuras, e as regras apresentadas aqui serão necessárias. Bons
estudos!
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Videoaula: As integrais imediatas
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo
computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo
para assistir mesmo sem conexão à internet.
Neste vídeo, apresentaremos algumas regras de integração que lhe auxiliarão na resolução de
diversas integrais. Mostramos essas regras básicas e explicações utilizando o Teorema
Fundamental do Cálculo. Essa parte da disciplina é muito importante, visto que as regras
apresentadas serão utilizadas em outras aulas. Espero que aproveite o vídeo e bons estudos! 
Saiba mais
Neste momento, pode ser muito útil para seu conhecimento saber que existem diversas
ferramentas que auxiliam na resolução das integrais e até mesmo apresentam a resolução
completa delas. Sendo assim, indico-lhe um aplicativo gratuito para celular, chamado Photomath.
Ele está disponível em diversos idiomas, inclusive, em português. Nele, é possível digitar as
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.microblink.photomath&hl=pt_BR&gl=US
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.microblink.photomath&hl=pt_BR&gl=US
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integrais e até mesmo tirar fotos delas, e ele apresentará a resolução completa. Isso ajuda muito
nos estudos. Aconselho testar os exemplos apresentados nele. Bons estudos!
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo. v. 1. Porto Alegre, RS: Bookman, 2014. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 26 dez.
2022. 
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo Volume I. São Paulo, SP: Cengage Learning Brasil,
2021. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 26 dez. 2022
Aula 3
Cálculo de áreas sobre e entre curvas
Introdução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/
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Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Olá, estudante!
Chegou o momento de aplicar os conceitos de integrais para calcular a área abaixo de uma curva
ou entre duas curvas. Na primeira aula dessaunidade, compreendemos o conceito da área
abaixo da curva pelo Método de Riemann Apesar de ser um conceito importante, ele deixa de ser
e�ciente em diversas situações. Agora, aplicaremos o Teorema Fundamental do Cálculo para
mensurar o valor de área abaixo e entre curvas, permitindo obter valores precisos com a
aplicação de um esforço muito menor do que o Método de Riemann.  
Sendo a ideia conceitual de área abaixo e entre curvas relevante em diversos contextos e
fundamentos da engenharia, é importante que, nessa aula, você se debruce nos conceitos e nos
exemplos. Dedique-se aos estudos, e não se esqueça de que você será acompanhado em todo
esse processo. 
Bons estudos! 
O problema da área
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Na primeira aula desta unidade, comentamos que facilmente podemos calcular a área de �guras
planas já conhecidas, como triângulos, retângulos, círculos e outras �guras. Entretanto, quando
temos �guras planas que são curvas bem diferentes daquelas que estamos acostumados, pode
�car muito complicado o cálculo dessas áreas. Uma ferramenta muito útil para mensurar essas
áreas são as integrais de�nidas, as quais podem ser usadas para determinar áreas abaixo de
curvas e entre curvas. No caso de área abaixo de uma curva (veja a Figura 1), em que a área é
delimitada com uma curva e por retas, temos uma área cujo cálculo é mais complexo de se
realizar por meio de métodos convencionais.   
Figura 1 | Região delimitada pela função contínua
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Cálculo Diferencial e Integral II
Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 342).
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Cálculo Diferencial e Integral II
Contudo, as integrais de�nidas são muito úteis para determinar essas áreas, apresentando,
inclusive, valores exatos para essa medida. Por meio da integral, a área
apresentada anteriormente pode ser calculada por: 
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Cálculo Diferencial e Integral II
Qualquer área pode ser calculada por meio da integral de�nida, desde que conhecida a função
e seus limites de integração
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Cálculo Diferencial e Integral II
Além dessa situação mais simples com apenas uma curva, podemos nos deparar com situações
em que a área da região plana está entre duas curvas (veja Figura 2). Nessa situação, também
podemos utilizar a integral para determinar a área entre as duas curvas.  
 Figura 2 | Região delimitada pelas funções contínuas
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Cálculo Diferencial e Integral II
Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 409).
Pode até parecer complexo o cálculo da área
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anterior, contudo, por meio de integrais, esse cálculo se torna bem simples. Temos, assim, que a
área
entre as curvas
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Cálculo Diferencial e Integral II
e delimitada pelas retas 
pode ser calculada por 
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Cálculo Diferencial e Integral II
Então, �ca muito fácil calcular a área entre as curvas, apenas precisamos conhecer as curvas e
seus delimitantes. Assim, antes de realizar a operação de integral, é necessário subtrair a função
de cima, no caso
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Cálculo Diferencial e Integral II
da função que está embaixo, a
após isso, podemos realizar a integração. 
Para complementar, vale destacar que as áreas abaixo das curvas não têm apenas uma
interpretação geométrica. A interpretação pode mudar de acordo com o contexto. Veja, a seguir,
algumas situações em que a área abaixo da curva (ou entre curvas) tem um signi�cando
diferente apenas do geométrico. 
Caso seja conhecida a função de velocidade de um objeto, ao integrar essa função em um
intervalo de tempo de
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Cálculo Diferencial e Integral II
temos que a área abaixo da curva pode ser interpretada como o espaço percorrido por esse
objeto no tempo de
Se um objeto se move no sentido positivo ao longo de um eixo coordenado pelo intervalo
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Cálculo Diferencial e Integral II
enquanto sujeito a uma força variável
que é aplicada no sentido do movimento. Então, de�nimos que o trabalho
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realizado pela força sobre o objeto é dado pela área abaixo da curva
no intervalo
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Cálculo Diferencial e Integral II
Conhecendo a função que representa a taxa de absorção ou eliminação de certo produto
(medicamento, poluição, detrito, entre outros), temos que a área abaixo dessas funções no
tempo de
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Cálculo Diferencial e Integral II
é equivalente à quantidade de produto eliminado ou absorvido nesse tempo. 
Essas são algumas das diversas interpretações que podemos citar para o valor de uma área
abaixo da curva. Além dessas citadas, há várias situações em que a área abaixo ou entre curvas
pode ser utilizada, e você, prezado estudante, pode acabar se deparando com elas. Dessa forma,
é importante conhecer as técnicas de integração e suas possíveis interpretações. Além de ser
essencial para a sua formação, também vale como motivação para o estudo do cálculo.  
Na continuação da aula, utilizaremos os métodos vistos nas aulas anteriores para encontrar as
áreas abaixo e entre curvas. 
Método para cálculo de área sobre e entre curvas
Agora, vamos nos aprofundar no estudo das áreas calculadas pelas integrais. Ao realizar esse
processo, uma parte fundamental é conhecer o comportamento da função, então é necessário,
antes de sair integrando e determinando áreas, observar o grá�co da função. Mas, por que isso?
Isso se deve ao fato de que, quando a área que estamos calculando está abaixo do eixo
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Cálculo Diferencial e Integral II
ela produzirá um resultado com valor negativo (vide Figura 3).  
Figura 3 | Sinais de integração considerando a posição em relação ao eixo
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Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 338).
Então, é necessário compreender que as áreas abaixo do eixo
terão valores negativos, e isso interfere no cálculo de área sob a curva, pois, ao calcular
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Cálculo Diferencial e Integral II
da Figura 3, não teremos o valor exato da área compreendida entre a função
Observe o caso a seguir, no qual calcularemos a área compreendida entre
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Cálculo Diferencial e Integral II
Figura 4 | Região delimitada pelas funções contínuas
com extremos que se interseccionam 
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Cálculo Diferencial e Integral II
Fonte: elaborada pelo autor.
Veja que, entre
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a função é positiva, pois está acima do eixo
Para o intervalo entre 
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temos a função sendo negativa, pois está abaixo do eixo
Faremos os cálculos para compreender melhor. Primeiramente, faremos a integral completa com
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variando de
Logo, considerando o intervalo inteiro, temos que a área compreendida entre
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unidades de área. Infelizmente, esse resultado está errado, pois não analisamos o sinal da
integral da função, e isso �ca evidente, pois o resultado do cálculo de área deu negativo, e isso
não tem sentido real. Agora, separaremos em duas regiões de integração,
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 veja os resultados: 
(Con�ra os resultados!) Veja como a primeira integral deu resultado positivo e a segunda
apresentou resultado negativo. É necessário corrigir esse fato para determinar com exatidão a
área desejada. Para resolver esse empecilho, basta juntar as duas áreas, entretanto a área
negativa deve receber um sinal negativo multiplicando, para, assim, obter um valor positivo.
Portanto, a área procurada será: 
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Portanto, o valor real da compreendida entre
e o eixo
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é de 3,0833 unidades de área, �cando evidente que devemos analisar o grá�co para determinar a
área. 
Agora, quando desejamos obter a área entre duas curvas
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só precisamos de�nir qual função está “em cima” e qual está “embaixo”. Se
em todo o intervalode
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então a área entre duas curvas
é dada por 
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A Figura 5 demonstra visualmente a ideia do motivo de que se faz a subtração de
para se obter a área entre essas duas curvas. Pode-se observar que a ideia é que, para mensurar
a área entre elas, retiramos a área abaixo de
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que �ca fora da região de interesse, sobrando apenas a área desejada.  
Figura 5 | Região delimitada pelas funções contínuas
om extremos que se interseccionam 
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 416).
Em algumas situações, é possível que as funções limitantes superior e inferior intersectarem-se
em um ou em ambos os extremos, então, nesses casos, podemos observar que as laterais da
região serão pontos em vez de segmentos de retas verticais (Figura 6). Para esses casos,
precisamos determinar os pontos de intersecção para obter os limites de integração.  
Figura 6 | Região delimitada pelas funções contínuas
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com extremos que se interseccionam 
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 415).
Para encontrar esses pontos de intersecção, devemos resolver a igualdade , obtendo, assim, os
valores de que representam as intersecções das curvas e o(s) limite(s) de integração.
Aplicações no cálculo de área sobre e entre curvas
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Agora chegou a hora de praticar. Vamos lá! 
1. Determinar a área delimitada pela função
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pelo eixo
e pelas retas verticais
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Para determinar essa área, primeiramente, analisaremos o grá�co da função. A Figura 7 exibe o
grá�co da função com a área procurada. Note que a área está totalmente acima do eixo
dessa forma, podemos calculá-la diretamente.  
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Cálculo Diferencial e Integral II
Figura 7 | Região delimitada por
pelo eixo
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e pelas retas verticais
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Fonte: elaborada pelo autor.
Logo, a área será dada por
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com a seguinte solução: 
Portanto, a área procurada tem 14,6667 unidades quadradas. 
2. Determinar a área da região delimitada pela função
Disciplina
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e pelo eixo
Nesse exemplo, não temos as retas que delimitam, então, para encontrar a solução e determinar
a área, é necessário determinar a interseção da função
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com o eixo
para serem os limites de integração. Para encontrar essa interseção, fazemos
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logo
Resolvendo essa equação, obtemos
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(resolução pode ser feita por Bhaskara ou pelo método da soma e produto). O resultado pode ser
visto na Figura 8 e, em adicional, note que a função está inteiramente acima do eixo
então a área procurada será dada por
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Figura 8 | Região delimitada por 
e pelo eixo
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Cálculo Diferencial e Integral II
Fonte: elaborada pelo autor.
Resolvendo a integral e encontrando a área, teremos: 
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Portanto, a área procurada tem 4,5 unidades quadradas. 
3. Mensurar a área da região delimitada pela função
pelo eixo
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e pelas retas verticais
Inicialmente, construiremos o grá�co da função e veremos seu comportamento. A Figura 9
apresenta o grá�co da função. Veja que a função tem uma área com a parte positiva no intervalo
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de
e possui uma área negativa no intervalo de
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Logo, teremos que separar o cálculo da área em duas partes, e a parte negativa deverá ser
subtraída da parte positiva. A área total será dada por 
Figura 9 | Região delimitada por
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pelo eixo
e pelas retas verticais
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Fonte: elaborada pelo autor.
Resolveremos uma integral de cada vez e, depois, subtrairemos, assim,
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e
Portanto, teremos que a área será 
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4. Mensurar a área da região delimitada pelas funções
e pelas retas verticais
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Cálculo Diferencial e Integral II
Agora, temos uma área entre duas curvas. Para determinar a área entre elas, temos que calcular
a integral da função “de cima” menos a função “de baixo”. Na Figura 10, temos o grá�co das duas
curvas, observemos que a função que delimita a região superiormente é 
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delimita inferiormente. Portanto, a área da região procurada será dada por 
Figura 10 | Região delimitada por
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e pelas retas verticais
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Cálculo Diferencial e Integral II
Fonte: elaborada pelo autor.
Resolvendo a integral para determinar a área, temos: 
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Portanto, a área desejada mede 10,9829 unidades quadradas. 
5. Calcular a área da região compreendida entre as funções
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Nesse caso, temos uma região delimitada por duas funções sem as retas que de�nem o intervalo
de integração para o cálculo da área. Então, é necessário encontrar esses valores, para isso,
fazemos
obtendo
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Cálculo Diferencial e Integral II
Ao resolver essa equação, encontramos
e isso pode ser veri�cado na Figura 11. Observando a posição das curvas, teremos que a área
que desejamos calcular é dada por
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Figura 11 | Região delimitada pelas funções contínuas
com extremos que se interseccionam 
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Fonte: elaborada pelo autor.
Resolvendo a integral, teremos
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E assim, chegamos ao nosso último exemplo com área procurada igual 4,5 unidades quadradas.
Videoaula: Cálculo de áreas sobre e entre curvas
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Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo
computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo
para assistir mesmo sem conexão à internet.
Caro estudante, neste vídeo, apresentaremos as ideias para calcular áreas sobre e entre curvas
por meio de integrais. No vídeo, serão expostos alguns conceitos importantes para aplicar as
integrais no cálculo de áreas e alguns exemplos. Fique atento às diferentes formas de curvas que
mostraremos, pois há algumas ideias que serão abordadas em cada tipo de curva. Bons
estudos!  
Saiba mais
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Existem alguns softwares matemáticos que são úteis para o cálculo de área, entre eles, podemos
citar o GeoGebra, que é gratuito, e o Wolfram Alpha, que possui diversas ferramentas gratuitas
on-line. Contudo, há comandos que são necessários para realizar esses cálculos. Felizmente, o
Wolfram tem uma ferramenta on-line muito útil para ver área entre curvas. Nela, basta de�nir as
funções superiores e inferiores e os limites de integração. Com isso, a ferramenta apresentará o
grá�co das funções e o valor da área. Seria importante você testar os exemplos desta aula nele.
Bons estudos! 
Referências
https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=ef0948b387ad96d6e6e7eb08f6761cf
https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=ef0948b387ad96d6e6e7eb08f6761cf
https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=ef0948b387ad96d6e6e7eb08f6761cf
https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=ef0948b387ad96d6e6e7eb08f6761cf
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo. v. 1. Porto Alegre, RS: Bookman, 2014.Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 26 dez.
2022. 
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo Volume I. São Paulo, SP: Cengage Learning Brasil,
2021. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 26 dez. 2022.
Aula 4
Problemas de valores iniciais imediatos
Introdução
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
Chegamos à última aula desta unidade. Nela, trabalharemos um novo assunto: as equações
diferenciais. Agora que conhecemos as integrais e sabemos realizar seus cálculos, utilizaremos
esse conhecimento para poder resolver equações que possuem derivadas. Isso mesmo, teremos
equações com derivadas. Ao invés de encontrarmos valores de x da equação, encontraremos as
funções que originam as derivadas das equações. Pode parecer difícil, mas essa introdução
ajudará você a compreender com facilidade o conceito e a despertar o interesse pelo tema.
As equações diferenciais têm uma in�nidade de aplicações, por exemplo, elas são extremamente
úteis na modelagem matemática, inclusive, na engenharia. São tantas as aplicações que não é
possível cobri-las em apenas uma aula, mas, aqui, faremos uma introdução que lhe permitirá
conhecer e compreender os conceitos básicos dessa incrível ferramenta do cálculo diferencial e
integral. Agora, vamos estudar e praticar o conteúdo novo! Lembrando, estudante, que você será
acompanhado no decorrer de toda a aula.
Bons estudos!
De�nição de equações diferenciais
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Cálculo Diferencial e Integral II
Nessa aula, introduziremos alguns conceitos novos, os quais serão introdutórios, mas muito
importantes para expandir seus conhecimentos. Falaremos sobre as equações diferenciais, para
isso, primeiramente, de�niremos o que elas são. 
Uma equação que contém as derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais funções não
conhecidas em relação a uma ou mais variáveis independentes é chamada de equação
diferencial (ED). Em outras palavras, uma equação diferencial é uma equação em que as
incógnitas são funções que aparecem na equação em forma de derivadas. Veja como exemplo
de ED a equação a seguir: 
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Cálculo Diferencial e Integral II
Nessa equação, temos a derivada primeira e segunda de uma função
assim, ao derivar a função duas vezes e subtrair sua primeira derivada, obtemos como resultado
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Cálculo Diferencial e Integral II
A resolução dessa ED é encontrar a função
que satisfaz essas condições.  
Nessa exempli�cação, utilizamos a notação linha para a derivada
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que ajuda a escrever as EDs de forma compacta. Entretanto, em algumas situações, será útil
utilizar a notação de Leibniz para as derivadas
Disciplina
Cálculo Diferencial e Integral II
A notação de Leibniz pode ser menos conveniente para escrever e imprimir do que a notação
linha, contudo, há a vantagem de explicitar claramente as variáveis dependentes e
independentes. Por exemplo, na equação 
podemos identi�car facilmente
Disciplina
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como uma função desconhecida e
como variável independente dessa função. 
Agora que já conhecemos um pouco sobre a notação de EDs, vamos classi�cá-las: 
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Classi�cação por tipo: uma ED que contém apenas derivadas de uma ou mais funções não
conhecidas com relação a uma ÚNICA variável independente é conhecida como equação
diferencial ordinária (EDO). A ED envolvendo derivadas de uma ou mais funções de duas ou
mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial parcial (EDP). As
equações 
são EDOs. Note que em cada uma dessas equações há apenas uma variável independente. 
As equações seguintes são EDPs: 
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Veja que, nessas equações, há mais de uma variável independente e o símbolo
indica que essa é uma derivada de uma função com duas ou mais variáveis independentes
(essas derivadas serão vistas em aulas futuras). 
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Cálculo Diferencial e Integral II
Observação: com exceção desses exemplos, nessa aula trabalharemos apenas EDOs. Usaremos
o termo equação diferencial e a abreviação ED referindo-se somente a EDOs. 
Classi�cação por ordem: a ordem de uma ED é a ordem da maior derivada na equação. A
seguir, temos, respectivamente, uma EDO de segunda ordem, uma EDO de primeira ordem e
uma EDO de terceira ordem. 
Classi�cação por linearidade: uma ED é linear se ela for linear em todas as funções
desconhecidas. As equações 
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são todas EDs lineares, pois não há funções desconhecidas de forma não linear. Todavia, as
equações seguintes são EDs não lineares:
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Veja que, nessas equações, há termos não lineares nas funções desconhecidas (multiplicação,
trigonométricas e potências).  
As equações diferenciais em modelagem matemática são, provavelmente, uma das principais
aplicações do cálculo. Quando físicos, engenheiros, químicos, entre outros, usam o cálculo, em
uma diversidade de vezes estão analisando uma equação diferencial que tenha surgido no
processo de modelagem de algum fenômeno que eles estejam estudando.  
Embora seja quase impossível encontrar uma fórmula explícita para a solução de uma equação
diferencial, veremos algumas abordagens, inclusive, uma abordagem numérica para a solução. 
Problemas de valores iniciais (PVI)
Caro estudante, já conhecemos algumas nomenclaturas para as equações diferenciais. Foi
possível observar que há uma diversidade enorme de EDs, sendo assim é possível imaginar que
existem também muitas maneiras e métodos para encontrar as soluções das EDs. Nessa aula,
apresentaremos uma técnica de resolução que abrange uma gama de EDs conhecidas como
equações separáveis.  
Uma equação separável é uma EDO de primeira ordem, na qual a expressão para
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pode ser escrita como uma função de
multiplicada por uma função de
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isto é, uma equação separável pode ser escrita na forma 
O termo separável vem do fato de que a expressão pode ser “separada” em uma função de
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e uma função de
A equação anterior pode ser escrita como: 
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onde
Agora, para resolver essa equação, e reescrevendo na forma diferencial, por meio de uma
multiplicação cruzada, teremos:
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dessa forma, colocamos todos os
em um lado da equação e todos os
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do outro lado. É importante dizer que
é uma notação conveniente para esse método, mas essa “divisão” não é uma divisão
propriamente dita, e sim uma notação de derivada. Contudo, para facilitar a resolução,
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consideramos como uma divisão para realizar a multiplicação cruzada. 
Após a reescrita da equação, para �nalizar a solução, é necessário integrar em ambos os lados
da equação, assim: 
Ao resolver essas integrais e fazer as manipulações necessárias, obtemos a solução da equação
separável. Observe que temos integrais inde�nidas, logo é importante a utilização da constante
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no processo de resolução. De fato, ao �m da resolução, haverá constantes genéricas (observar
os exemplos no próximo bloco). Para determinar os valores dessas constantes, recorremos aos
Problemas de Valores Iniciais (PVI). 
Um PVI, ou problema de condições iniciais, é uma ED que é acompanhada do valor da função
objetivo em um determinado ponto, chamado de valor inicial ou condição inicial. Uma
exempli�cação de um PVI seria: 
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Assim, o ponto
é um ponto conhecido da função que desejamos encontrar. Considerandoesse ponto, é possível
encontrar uma função especí�ca que satisfaz a ED e a condição inicial. 
Disciplina
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Infelizmente, nem sempre é possível resolver a maioria das equações diferenciais de forma a
obter uma fórmula exata para a solução do problema. Mas, felizmente, há alguns métodos que
podemos ainda utilizar para obter soluções para a ED. Entre esses métodos, há as abordagens
numéricas e, dentro delas, o Método de Euler é considerado o precursor desses métodos, sendo
um procedimento simples com resultados satisfatórios. Esse método não determina em seu
procedimento uma função, mas, sim, um valor numérico especí�co em determinado ponto da
função que estamos interessados em encontrar na ED. 
Método de Euler: os valores aproximados para a solução do problema de valor inicial 
com passo
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são
Talvez, o enunciado do Método de Euler pode ser complexo, contudo, nas explicações a seguir,
�cará claro como é um método simples de ser utilizado. Nesse método, em geral, quanto menor
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o passo
mais preciso é o valor obtido no �nal. O Método de Euler pode ser utilizado para resolver diversas
EDOs, não necessariamente apenas para equações separáveis. 
Uso de métodos numéricos aplicados a PVI
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É a hora de praticar. Resolveremos alguns problemas envolvendo equações diferenciais. 
1. Investigue se a função
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é uma solução da EDO
Para fazer essa investigação, precisamos mostrar que 
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será uma solução para
isto é, é necessário que a primeira derivada de
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subtraída com três vezes a própria função
terá como resultado o valor 0. Calculando as derivadas de
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temos: 
Dessa forma, substituindo na EDO, 
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Portanto, podemos concluir que
é solução de
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2. Veri�que que a função
onde
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é uma constante real qualquer, é uma solução da EDO
Para a�rmar que
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é uma solução para
precisamos veri�car se a segunda derivada de
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somada à própria função
terá como resultada o 2. Veja as derivadas de
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e
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Assim, teremos que 
Veja que, durante o processo de resolução, realizamos algumas operações com as constantes.
Contudo, é comum que a resposta �nal �que apenas
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pois, ao realizar operações com constantes (no caso �nal de
temos como resultado uma constante (que chamamos apenas de
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Para determinar o valor da constante
onde a condição inicial é
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No problema anterior, obtemos
Pela condição inicial, temos
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Substituindo na equação encontrada, teremos: 
Logo,
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Com esse resultado, quando
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obtemos
Resolva a equação
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dado a condição inicial
Reescrevendo a equação usando a notação de Leibniz: 
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Se
podemos reescrever essa equação como notação diferencial e integrá-la: 
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Buscando resolver a equação em função de
teremos: 
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Veja que
é uma constante também. Agora, considerando a condição inicial
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temos
Substituindo na solução, teremos:
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Logo,
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á foram vistos vários exemplos sobre resoluções analíticas de EDs. Agora, resolveremos
algumas EDs numericamente pelo Método de Euler. 
6. Pelo Método de Euler com o passo 0,5, determine alguns valores aproximados para a
solução do problema de valor inicial  
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Essa EDO é um pouco complexa de resolver, mas o Método de Euler nos ajudará. Para a solução,
temos que
Logo, pelo método, temos para
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Portanto, pelo Método de Euler, temos os valores aproximados para
no caso, calculamos
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Veja que os valores de
aumentam com relação ao passo
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Apenas para comparação, utilizando um software, obtemos valores exatos que
Podemos ver apenas pequenos erros em comparação com os calculados pelo Método de Euler,
mas, considerando a simplicidade do método, temos ótimos resultados.
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Para �nalizar, a�rmamos a você, estudante, que o conteúdo de equações diferenciais é muito
extenso e, às vezes, complexo. Contudo, você acabou de estudar o básico, que é o su�ciente para
uma boa introdução ao conteúdo. 
Videoaula: Problemas de valores iniciais imediatos
Este conteúdo é um vídeo!
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computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo
para assistir mesmo sem conexão à internet.
No vídeo, apresentaremos uma introdução às equações diferenciais, em que você conhecerá
alguns conceitos e nomenclaturas importantes para o estudo desse conteúdo. Apresentaremos
também as equações separáveis, com as ideias para obter suas soluções, e o conceito de
Problemas de Valores Iniciais. Por �m, �nalizaremos comentando sobre métodos numéricos de
resolução para as equações diferenciais.
Saiba mais
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Na prática, as equações diferenciais são utilizadas, geralmente, em pesquisas e, quando vamos
resolvê-las, a forma mais comum é usar softwares matemáticos poderosos. Digo poderosos,
pois nem todos os softwares estão programados para resolução de equações diferenciais. De
forma on-line, podemos utilizar o aplicativo WolframAlpha para obter a resolução dessas
equações. Acesse-o e você terá vários exemplos. A ferramenta é intuitiva de usar, basta escrever
a equação diferencial com a notação de linha e o valor inicial. Apesar de a plataforma estar em
inglês, você pode utilizar a tradução automática do seu navegador se preferir. Teste os exemplos
vistos nessa aula. Bons estudos! 
Referências
https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/differential-equations
https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/differential-equations
https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/differential-equations
https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/differential-equations
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STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo Volume I. São Paulo, SP: Cengage Learning Brasil,
2021. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 26 dez. 2022.  
ZILL, D. G. Equações diferenciais: com aplicações em modelagem. 10. Ed. São Paulo, SP:
Cengage Learning Brasil, 2016. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522124022/. Acesso em: 26 dez. 2022.
Aula 5
Revisão da unidade
Calculando áreas com as integrais
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522124022/
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Olá, estudante! Chegou a hora de relembrar o que foi estudado até aqui. 
Primeiramente, estudamos as integrais. Seja função
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a integral pode ser interpretada como a área 
abaixo da curva
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entre
isto é, 
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Na Figura 1, há a área sombreada
Para determinar essa área, devemos resolver a integral:
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Figura 1 | Região delimitada pela função
por retas verticais e pelo eixo
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Fonte: elaborada pelo autor.
Para resolver a integral e determinar a área
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há alguns métodos. Entretanto, de forma e�ciente e precisa, o Teorema Fundamental do Cálculo
é utilizado. Ele a�rma que: 
onde
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é qualquer primitiva de
isto é,
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é uma função tal que
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Dessa forma, teremos que: 
Veja que, após encontrar a primitiva na primeira linha, foi aplicado o Teorema Fundamental do
Cálculo, substituindo o limite de integração superior na primitiva “menos” o limite de integração
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inferior substituído na primitiva. Portanto, a região sombreada
tem área exata de 2 unidades quadradas.  
Ainda há o caso da área entre duas curvas. Nessa situação, fazemos a integração da função
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que delimita a região superiormente menos a função
que delimita inferiormente a área, com os limites de integração adequados, isto é, 
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Um exemplo está na Figura 2.  
Figura 2 | Região delimitada superiormente pela função
inferiormente por
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e por retas verticais 
Fonte: elaborada pelo autor.
Para determinar a área da imagem, devemos fazer: 
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Então: 
Portanto, a área da região entre as duas curvas é de, aproximadamente, 5,8693 unidades
quadradas de área. Importante lembrar que, em cálculo de integrais trigonométricas, devemos
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utilizar o ângulo medido em radianos. 
Além da aplicação das integrais para obter áreas de curvas, estudamos também as integrais para
resolver equações diferenciais. Uma equação diferencial é uma equação em que as incógnitas
são funções que aparecem na equação em forma de derivadas. As integrais são úteis para
resolver equações diferenciais, em especial, as do tipo separável (aquelas que podemos separar
em duas funções) e com valores iniciais.  
Por exemplo, veja o seguinte problema de valor inicial: 
Nesse problema, estamos procurando uma função
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que vale a igualdade acima. Note que essa é uma equação separável, pois separamos a função
de
Agora, precisamos deixar de um lado somente
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e do outro lado somente
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Integrando ambos os lados, teremos: 
Então, a função que resolve a equação diferencial apresentada é
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Para determinar o valor da constante
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Substituindo na solução, teremos: 
Dessa forma,
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e, portanto, pela condição inicial, temos
Dessa forma, caro estudante, chegamos ao �m da revisão. Espero que as integrais tenham
despertado o seu interesse. Bons estudos!  
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Videoaula: Revisão da unidade
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo
computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo
para assistir mesmo sem conexão à internet.
Nesta unidade, apresentamos as integrais. Iniciamos a unidade introduzindo o conceito de soma
de Riemann para determinar a área abaixo de uma curva e relacionamos essa soma com as
integrais. Além disso, apresentamos o importantíssimo Teorema Fundamental do Cálculo. Após
essa etapa, abordamos e exempli�camos regras para a integração de certas funções. Em
seguida, chegamos ao ápice da unidade, quando mostramos como utilizar as integrais para
determinar áreas sobre e entre curvas. Por �m, falamos um pouco sobre as equações
diferenciais. Agora, assista ao vídeo para reforçar esses conhecimentos! 
Estudo de caso
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Estudante, buscando contextualizar o conteúdo trabalho na unidade e auxiliar sua aprendizagem,
comece imaginando que você é um engenheiro iniciante e recentemente abriu uma empresa para
prestar consultorias em uma região da sua cidade. Em um certo dia, um possível cliente, morador
local e membro da associação de moradores da região, acabou chegando à sua nova empresa à
procura de ajuda. Após se apresentarem, o cliente lhe conta a seguinte história: no bairro, há uma
praça grande e bem conhecida da população. O urbanista que projetou essa parte do bairro,
incluindo a praça, é um grande amante da matemática e, em praticamente em todos seus
projetos, fazia questão de fazer referências aos diversos elementos matemáticos. Dessa forma,
até a praça tem uma história matemática por trás dela: o projeto dela se baseia em uma região
limitada por funções matemáticas (nesse momento, o cliente fez um desenho esboçando a
praça e as curvas matemáticas). 
Figura 3 | Esboço da praça e das curvas na qual a praça é baseada. Fonte: elaborada pelo autor.
Após apresentar o esboço da praça, o cliente lhe faz o seguinte pedido: “Senhor engenheiro, nós,
da associação de moradores, desejamos urgentemente saber a área dessa praça. Precisamos
desse valor para poder apresentar uma reposta a um programa da prefeitura. Você pode nos
ajudar agora?”. Antes de você responder, o cliente acabou lembrando que as unidades de
medidas consideradas pelo urbanista são em centenas de metros. Após isso, ele pergunta
novamente se você pode ajudá-lo.  
Após ouvir tudo o que lhe foi contado, você �cou admirado com a história de como o urbanista
acabou fazendo seu projeto. Nesse momento, você, como um pro�ssional quali�cado, muito bem
formado e com apreço ao cálculo diferencial e integral, primeiramente, agradeceu o cliente pela
procura e, em seguida, lhe disse que era muito fácil ajudar. Ainda, comentou que poderia resolver
o problema imediatamente, devido às condições históricas da praça, sem nem mesmo precisar
sair do escritório. 
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Mas, e agora, como você fará para responder ao cliente sobre a área da praça? Note que essa é
uma pergunta muito interesse. Você não pode deixar esse momento passar, é a hora de mostrar
seus conhecimentos em cálculo diferencial e integral; além disso, é o momento de mostrar
serviço e fazer um cliente importante. Veja que, durante a unidade, exploraremos os conteúdos
necessários para a compreensão adequada desse assunto. Boa atividade!
Re�ita
Você já pensou como se calcula áreas de terrenos com formatos “diferentes"? Isso mesmo,
diferentes! Áreas de formatos triangulares, retangulares, circulares, entre outras formas
conhecidas, podemos calcular utilizando fórmulas amplamente conhecidas, mas áreas que saem
desse padrão necessitam de outras ferramentas. Apesar de haver alguns tipos diferentes de
métodos, as integrais são um dos métodos mais utilizados e recorridos para determinar áreas
com formas gerais. Você deve estar pensando que são os softwares que calculam, e sim, são
eles. Mas, é comum que, na programação desses softwares, existam ferramentas de cálculos de
áreas baseadas em integrais, sendo que, em alguns casos, são utilizadas as funções e, em
outras, aproximações por somas.  
Além dessas ideias de se obter áreas por meio de integrais, essa ferramenta matemática está
presente na resolução de diversos problemas. Em alguns, não diretamente e, em outros, mais
diretamente, porém é muito comum o uso de integrais para a resolução de problemas, em
especial, problemas oriundos de pesquisas. Dessa