Matemática Financeira - Módulo de Estudo 2

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Matemática 
 Financeira 
 Módulo de Estudo 2 
AULA 5
Capitalização 
composta
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Capitalização composta é aquela em que a taxa 
de juros incide sobre o capital inicial, acrescido 
dos juros acumulados até o período anterior. 
Neste regime de capitalização a taxa varia 
exponencialmente em função do tempo.
 O conceito de montante é o mesmo definido 
para capitalização simples, ou seja, é a soma do 
capital aplicado ou devido mais o valor dos juros 
correspondentes ao prazo da aplicação ou da 
dívida.
 A simbologia usada será VF para valor futuro 
ou montante, VP para valor presente ou capital 
inicial, n para o prazo ou período de capitalização 
e i para a taxa.
A dedução da equação para calcular o montante 
para um único pagamento é pouco mais complexa 
que a capitalização simples. A capitalização 
composta faz parte de todas as operações 
financeiras do seu cotidiano, desde o financiamento 
de um veículo até um empréstimo ou investimento.
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Com os juros compostos nos investimentos, 
o tempo é o seu maior amigo: quanto mais 
tempo seu dinheiro ficar aplicado, maior será o 
rendimento. Mas também pode ser o seu maior 
inimigo no caso de empréstimos e financiamentos.
Capitalização simples versus 
capitalização composta
A diferença da capitalização simples e da 
capitalização composta é a incidência dos juros. Na 
simples, os juros são calculados utilizando 
como base o capital inicial e crescem de forma 
linear. Na composta, as taxas de juros são aplicadas 
sobre o montante inicial e acrescidos dos juros 
acumulados. Na prática, todo o mercado financeiro 
utiliza a capitalização composta. E isso significa que 
você deve utilizar os juros a seu favor, isto é, fazer o 
dinheiro trabalhar pelo seu futuro.
Exemplos de capitalização 
composta na prática
Veja dois exemplos que ilustram o poder da 
capitalização composta, tanto nos investimentos 
quanto nos empréstimos.
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Investimento
Suponha que você tenha investido R$ 10.000,00 
em um título de renda fixa com prazo de seis meses 
e uma taxa de juros de 3% ao mês (esse retorno 
hipotético é apenas para facilitar a visualização).
Perceba como, neste caso, os juros compostos 
estão trabalhando a seu favor.
 ● 1º mês: rendimento de R$ 300,00 
(total = R$ 10.300,00)
 ● 2º mês: rendimento de R$ 309,00 
(total = R$ 10.609,00)
 ● 3º mês: rendimento de R$ 318,27 
(total = R$ 10.927,27)
 ● 4º mês: rendimento de R$ 327,82 
(total = R$ 11.255,09)
 ● 5º mês: rendimento de R$ 337,65 
(total = R$ 11.592,74)
 ● 6º mês: rendimento de R$ 347,78 
(total = R$ 11.940,52)
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Empréstimo
Confira agora um exemplo de um empresário que, 
para cobrir as dívidas da empresa, usa o cheque 
especial de R$ 50 mil por um período de seis meses 
a juros de 10% ao mês.
 ● 1º mês: juros de R$ 5.000,00 
(saldo devedor = R$ 55.000,00)
 ● 2º mês: juros de R$ 5.500,00 
(saldo devedor = R$ 60.500,00)
 ● 3º mês: juros de R$ 6.050,00 
(saldo devedor = R$ 66.550,00)
 ● 4º mês: juros de R$ 6.655,00 
(saldo devedor = R$ 73.205,00)
 ● 5º mês: juros de R$ 7.320,50 
(saldo devedor = R$ 80.525,50)
 ● 6º mês: juros de R$ 8.052,55 
(saldo devedor = R$ 88.578,05)
Veja que, pelo lado da aplicação, quanto mais 
tempo o seu dinheiro estiver investido em títulos de 
capitalização composta, maior será o ganho real ao 
final do período. Já quando se trata de empréstimo, 
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todo cuidado é pouco ao contrair uma dívida com 
juros compostos. Na tentativa de resolver um 
problema, o tomador de empréstimo poderá estar 
criando outro ainda maior. Ou seja, a capitalização 
composta é uma ferramenta formidável de criação 
ou destruição de valor, dependendo de como ela é 
usada.
Por isso, a conscientização a respeito do tema é 
essencial.
Na capitalização composta os juros são cobrados 
sobre o capital e sobre os juros incorporados a cada 
período de tempo corrido.
Exemplo 3
Um empréstimo a 10% capitalizado no esquema de 
capitalização composta rende, em dois anos, 21% 
de juros sobre o capital emprestado.
A capitalização composta relaciona o valor futuro 
ao valor presente por meio da fórmula abaixo:
VF = VP x (1 + i)n
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em que
VF = Valor Futuro 
VP = Valor Presente 
i = taxa de juros 
n = período da aplicação
Exemplo 4
Um investimento de 2.000,00 aplicado por três 
meses capitalizado de maneira composta a juros 
de 5% ao mês retorna um valor futuro de 2.315,25, 
pois, substituindo na fórmula:
2.315,25 = 2.000,00 X (1 + 0,05)3
Por meio da inversão da fórmula, é possível 
desenvolver outros tipos de problemas, buscando 
encontrar, por exemplo, o valor presente de um 
valor futuro:
VP =
VF
(1 + i)n
Este tipo de abordagem pode ser particularmente 
útil quando se deseja avaliar o valor de um 
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investimento a ser feito tendo por base apenas seu 
fluxo futuro e o retorno em função do risco corrido.
Vamos a um exemplo prático. Uma determinada 
loja financia a venda de uma mercadoria no valor 
de $ 1.299,99, sem entrada, para pagamento em 
uma única prestação de $ 2.151,48 no final de 8 
meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?
Dados:
VF = 2.151,48;
VP = 1.299,99;
n = 8 meses;
i = ?.
Solução do exemplo 4
Isolando a taxa (i) na equação VP = VF / (1 + i)n, 
temos i = (VF/VP)1/n – 1.
Substituindo os termos, temos:
i = (2151,48 /1299,99)1/8 – 1 = 0,065  6,5% ao mês
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A maioria das operações envolvendo dinheiro 
utiliza juros compostos. Estão incluídas: as 
compras a médio e longo prazo, compras com 
cartão de crédito, empréstimos bancários, as 
aplicações financeiras usuais, como caderneta 
de poupança, e aplicações em fundos de 
renda fixa. Raramente encontramos uso 
para o regime de juros simples: é o caso das 
operações de curtíssimo prazo e dos cálculos 
dos juros mora, como o acréscimo por atraso 
em pagamentos de contas.
FIQUE ATENTO!
AULA 6
Taxas de 
juros
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Definimos a taxa de juros como a razão entre 
os juros, cobrável ou pagável, no fim de um período 
de tempo e o dinheiro devido no início do período. 
Utilizamos o conceito de taxa de juros quando se 
paga por um empréstimo, e taxa de retorno quando 
se recebe pelo capital emprestado.
Uma taxa de juros, ou taxa de crescimento do 
capital, é a taxa de lucratividade recebida num 
investimento. De uma forma geral, é apresentada 
em bases anuais, podendo também ser utilizada em 
bases semestrais, trimestrais, mensais ou diárias, 
e representa o percentual de ganho realizado na 
aplicação do capital em algum empreendimento.
Por exemplo, uma taxa de juros de 20% ao ano 
indica que, para cada unidade monetária aplicada, 
um adicional de R$ 0,20 deve ser retornado após 
um ano, como remuneração pelo uso daquele 
capital.
A taxa de juros, simbolicamente representada pela 
letra i, pode ser também apresentada sob a forma 
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unitária, ou seja, 0,20, que significa que, para cada 
unidade de capital, são pagos doze centésimos de 
unidades de juros. Esta é a forma utilizada em todas 
as expressões de cálculo.
Portanto, pode-se definir o juro como o preço pago 
pela utilização temporária do capital alheio, ou seja, 
é o aluguel pago pela obtenção de um dinheiro 
emprestado ou, mais amplamente, é o retorno 
obtido pelo investimento produtivo do capital.
Genericamente, todas as formas de remuneração 
do capital, sejam elas lucros, dividendos ou 
quaisquer outras, podem ser consideradas juro.
Quando uma instituição financeira decide 
emprestar dinheiro, existe, obviamente, uma 
expectativa de retorno do capital emprestado 
acrescido de uma parcela de juro.
Existe mais de um tipo de taxa, como as taxas pré-
fixadas, pós-fixadas, efetiva e nominal. A escolha 
dos tipos de taxa leva em conta o perfil da operação 
ou práticas de mercado. Por exemplo, os contratos 
de crédito imobiliário frequentemente aplicam 
taxas nominais pré-fixadas (definidas no momento 
do contrato) e taxas pós-fixadas referenciadas pela 
taxa referencial (TR).
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Taxa efetiva ou real
É a taxa cuja unidade de referência de tempo 
coincide coma unidade de tempo do prazo de 
capitalização.
Exemplo 5
Suponha que você tem um investimento de 
R$ 10.000,00 com i = 3% a.m. capitalizados 
mensalmente. Assim, há coincidência entre a 
dimensão da taxa (3%a.m.) e a dimensão do 
tempo de empréstimo (também a.m.), logo, esse 
investimento possui taxa efetiva de 3% a.m.
Exemplo 6
Para empréstimos a clientes comuns, uma 
financeira cobra taxa nominal de juros de 84% ao 
ano com capitalização mensal. Para um empréstimo 
de dois meses, qual será a taxa efetiva de juros?
Sabendo que a taxa nominal é de 84% a.a., a taxa 
mensal será de:
84/12 = 7% = 0,07.
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Calculando a taxa efetiva para um período de 2 
meses:
Tc= (1 + i)n – 1
Tc= (1 + 0,07)2 – 1
Tc= (1,07)2 – 1
Tc= 1,145 – 1
Tc= 0,145
0,145 = 14,5%
Resposta: será de 14,5%.
Taxa nominal
Na taxa nominal não há coincidência entre a sua 
unidade de tempo e a unidade de tempo dos 
períodos de capitalização. Em geral, é fornecida em 
termo anual, enquanto os períodos de capitalização 
são mensais. Para se calcular os juros, deve-se 
sempre converter a taxa nominal em taxa efetiva, 
pois a taxa nominal acordada serve apenas para 
demonstrar os efeitos dos juros durante o seu 
período.
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Exemplo 7
Suponha que você tenha um financiamento 
R$ 10.000,00 com i = 12% a.a. capitalizados 
mensalmente. Um está em forma anual e o outro, 
mensal. Isso significa que a taxa efetiva será de 
12% / 12 meses, portanto, 1% a.a. E esta taxa de 
12% a.a. será a taxa nominal.
Taxa Selic
A taxa Selic também é conhecida como a taxa 
básica de juros do nosso país. Não à toa, você 
frequentemente ouve comentários sobre ela nos 
jornais.
Como é de se imaginar, ela tem uma enorme 
importância na economia brasileira porque exerce 
impacto em outros juros, além de ser um dos 
principais indicadores utilizados em títulos de renda 
fixa.
O valor da Selic é definido pelo próprio Banco 
Central a partir da reunião do Comitê de Política 
Monetária (Copom), que acontece a cada 45 dias. 
É com base nessa taxa que os bancos definem 
os juros que serão cobrados de seus clientes em 
empréstimos, por exemplo.
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Taxas de juros equivalentes e 
proporcionais
As taxas podem ser divididas em duas categorias: 
taxas proporcionais (ou lineares) e taxas 
equivalentes.
No que se refere à taxa proporcional, trata-se de 
um tipo de taxa característico dos juros simples, 
formada proporcionalmente. Grande parte da 
taxação de juros empregada pelo mercado é feita 
utilizando as taxas proporcionais.
Quanto à taxa equivalente, a sua aplicação e a sua 
relevância estão conectadas com o regime de juros 
compostos. Ademais, outra característica desse tipo 
de taxa é o seu comportamento exponencial.
As taxas proporcionais devem atender à seguinte 
fórmula:
n2 x i1 = n1 x i2
Fórmula para o cálculo das taxas proporcionais, em 
que:
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n1 = prazo da taxa 1;
n2 = prazo da taxa 2;
i1 = percentual da taxa 1;
i2 = percentual da taxa 2.
Vamos a um exercício prático para compreender 
melhor. Considerando uma taxa de juros simples 
de 5,0% a.m., desejamos saber qual seria a taxa 
proporcional para um ano.
Primeiramente, devemos fazer uma 
compatibilização entre as unidades de período. Ou 
seja, se o primeiro período é dado em meses, o 
segundo também deverá ser utilizado em meses.
Conforme a fórmula dada acima, segue que:
n2 x i1 = n1 x i2
12 x 5,0 % = 1 x i2
∴ I2 = 60% a.a.
As taxas de juros proporcionais possuem um 
comportamento linear no tempo, justificando, 
assim, o fato desse tipo de taxa ser chamado, 
também, de linear.
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Temos a seguinte fórmula para as taxas 
equivalentes:
Iq= (1 + it)
q
t – 1
em que:
Iq = taxa equivalente para a periodicidade q;
It = taxa equivalente para a periodicidade t;
q = número de períodos para capitalização;
t = número de períodos base.
Vale pontuar que, por se tratar de um crescimento 
exponencial, a conversão de taxas é um pouco mais 
complexa.
Com o propósito de facilitar a compreensão, 
vejamos um exemplo similar ao fornecido no 
tópico anterior: consideremos uma taxa de juros 
compostos de 5,0% a.m. e que desejamos saber 
qual seria a taxa equivalente para um ano.
Assim como foi feito no exercício anterior, devemos 
fazer uma compatibilização entre as unidades de 
período. Isto é, se o primeiro período é dado em 
meses, o segundo também deverá ser utilizado em 
meses.
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Conforme a fórmula dada acima, segue que:
Iq= (1 + it)
q
t – 1
I12= (1 + it)
12
1 – 1
I12= (1 + 5,0%)
12
1 – 1
I12= (1,05)12 – 1 = 1,796 – 1
∴ I12= 79,6% a.a.
AULA 7
Série de 
pagamento 
uniforme
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Pode-se definir uma série uniforme de pagamentos 
como uma sucessão de recebimentos, desembolsos 
ou prestações de mesmo valor, representados 
por R, divididos regularmente num período de 
tempo. O somatório do valor acumulado de vários 
pagamentos, montanteEste somatório é deduzido 
a partir da equação da capitalização composta 
VF = VP (1 + i)n para o cálculo do montante de cada 
pagamento R. Trata-se, portanto, do cálculo da 
soma dos termos de uma progressão geométrica 
limitada de razão q = 1 + i.
Em geral, essas séries estão sujeitas a uma taxa de 
juros específica e fixa, mas pode haver variação na 
taxa, de acordo com a série.
As séries uniformes são as séries em que os 
pagamentos ocorrem periodicamente (a cada 
período fixo) e estão sujeitas à mesma taxa de 
juros. Elas podem ser antecipadas, ou seja, são 
séries em que o depósito ou a retirada é feito 
no início de cada período (mês, ano, semana, 
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quinzena etc.). Por outro lado, as séries podem ser 
postecipadas, quer dizer, as operações podem ser 
realizadas no final do período (mês, ano, semana, 
quinzena etc.).
Definição
O valor futuro de uma série uniforme de 
pagamentos é o resultado final, após entradas, 
retiradas e capitalizações, do montante obtido. Se 
for uma dívida, objetiva-se que o valor futuro seja 
nulo, ou seja, objetiva-se que a dívida seja paga.
Exemplo 8
Calcule o montante (valor futuro) de um 
investimento após duas aplicações consecutivas e 
mensais, de R$ 800,00, numa poupança com taxa 
de rentabilidade igual a 1,5% ao mês. As operações 
são realizadas no início do mês.
Solução do exemplo 8
Início do primeiro mês: depósito de R$ 800,00
Montante no final do primeiro mês: 
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M = 800 × (1 + 1,5%) = R$ 812,00
Montante no início do segundo mês: 
812,00 + 800,00 = R$ 1.612,00
Montante no final do segundo mês: 
M = 1612 × (1 + 1,5%) = R$ 1.636,18
Exemplo 9
Pedro deposita no final de cada mês, durante 7 
meses, a quantia de R$ 4.500,00 em um fundo 
que paga juros a uma taxa de 2,5% a.m. Qual 
o montante no instante do último depósito?
Solução do exemplo 9
A sequência é postecipada, além disso, i = 2,5%, 
PMT = 4.500 e n = 7. Basta aplicarmos a fórmula.
VF = 4.500 R$ 33.963,44= =
(1 + 2,5%)7 – 1
2,5%
AULA 8
Série de 
pagamentos 
gradiente
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É um sistema derivado da Tabela Price, no qual o 
valor da prestação é reduzido em um percentual 
combinado entre as partes, e para compensar o 
descompasso que tal redução causa, paga-se em 
cada prestação um pequeno acréscimo cumulativo 
sobre as prestações ou seja, ainda que não haja 
correção monetária ou reajuste da prestação, a 
mesma subiria assim mesmo.
Um exemplo de aplicação comum é para estimar 
despesas com manutenção, em especial em 
equipamentos mecânicos, que com o tempo irão 
requerer maior desembolso em manutenção para 
funcionamento adequado.
O esquema da série gradiente pode ser entendido 
com o auxílio da Figura 1.
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FIGURA 1 – Série Gradiente
G
2G
3G (n – 1) x G
Fonte: Elaborado pela autora
Para encontrar uma relação de equivalência, pode-
se utilizar as fórmulas abaixo, por meio da consulta 
das tabelas financeiras. Para relacionar a série 
gradiente com valor presente, parcelas ou valor 
futuro podemos fazer:
P = G (P/G, i%, n)
A = G (A/G, i%, n)
F = G (F/G, i%, n)
Porém, para poder aplicar as equações, o fluxo 
de caixa deve apresentar comportamentoigual 
ao apresentado na Figura 1. Caso isso não 
ocorra, porém fique claro que o fluxo de caixa 
apresenta característica semelhante, pode-se fazer 
adequações para obter tal comportamento.