Aula 01 - 03

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Momento de Inércia para corpos em 
rotação (distribuição de massa)
Apresentação
O momento de inércia é uma característica associada à rotação de um corpo em torno de um eixo. 
Imagine uma bailarina ou patinadora girando em torno do próprio eixo: ao movimentar os braços 
enquanto gira, ela irá mudar as propriedades do seu movimento. Da mesma forma, alterando o eixo 
em relação ao qual o corpo gira, seu momento de inércia será alterado por consequência.
Nesta Unidade de Aprendizagem, vamos descrever um corpo rígido em rotação e conheceremos o 
significado do momento de inércia neste contexto, além das diferentes maneiras de calculá-lo. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Identificar as características do momento de inércia de uma determinada superfície.•
Expressar as funções que definem o momento de inércia de diversas formas geométricas que 
giram em torno do seu centro de massa.
•
Aplicar o teorema de eixos paralelos no caso de um eixo de rotação que não passa pelo centro 
de massa do corpo.
•
Desafio
Em um centro de distribuição, os produtos são transportados por uma esteira e separados por sua 
massa. Os de menor massa seguem pelo caminho da esquerda e os de maior pela direita. A 
separação é feita por uma barra que gira em torno de um eixo na sua extremidade, abrindo e 
fechando um dos caminhos após a leitura do código. Portanto, determine o momento de inércia 
dessa barra fina de massa M e comprimento L, que gira em torno de um eixo localizado na 
extremidade, como mostra a figura.
Infográfico
Consulte no infográfico a seguir alguns resultados para o momento de inércia de corpos rígidos de 
formas diversas.
Aponte a câmera para o 
código e acesse o link do 
conteúdo ou clique no 
código para acessar.
https://statics-marketplace.plataforma.grupoa.education/sagah/de31ef00-da4d-4768-b48d-8e8d455d711e/c481cf88-dfb0-417e-8351-fc7251b96ff6.jpg
Conteúdo do livro
O capítulo Momento de inércia para corpos em rotação, do livro Física: Energia, aborda os conceitos 
de corpo rídigo e momento de inércia exemplificando as diferentes maneiras de calculá-lo, 
considerando as densidades volumétrica, superficial e linear.
Boa leitura!
FÍSICA 
ENERGIA 
Ricardo Lauxen 
Momento de inércia para 
corpos em rotação
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Identificar características do momento de inércia de uma determinada 
superfície.
 � Expressar as funções que definem o momento de inércia de diversas 
formas geométricas que giram em torno do seu centro de massa.
 � Aplicar o teorema de eixos paralelos no caso de um eixo de rotação
que não passa pelo centro de massa do corpo.
Introdução
Neste capítulo, prosseguindo no estudo de rotações, aprenderemos a 
descrever um corpo rígido em rotação. Nesse contexto, surgirá o mo-
mento de inércia, sobre o qual aprenderemos o significado e as diferentes 
maneiras de calculá-lo.
Momento de inércia 
A descrição de um corpo de n partículas pode ser uma tarefa difícil. A posição 
de cada uma das partículas possui três coordenadas, de modo que, para o 
sistema todo, teremos 3n coordenadas para trabalhar. Cada coordenada cor-
responde a uma maneira distinta de mover o sistema, e a isso damos o nome 
grau de liberdade. Assim o nosso sistema de n partículas possui 3n graus 
de liberdade. Embora isso seja verdade, as partículas do sistema podem estar 
vinculadas entre si, o que diminui o número de graus de liberdade do sistema. 
O corpo rígido vinculado idealizado será utilizado ao longo deste capítulo. 
O corpo rígido é, por definição, indeformável. Isso só é possível se, e somente 
se, a distância entre duas partículas quaisquer do corpo rígido não mudar ao 
longo do tempo. Como cada partícula do corpo rígido se move com velocidade 
linear de módulo υi, podemos determinar a energia cinética do corpo rígido 
em rotação. Como o corpo é um sistema de n partículas, temos:
Como o sistema está girando em torno de um eixo e todas as partículas 
giram com a mesma velocidade angular, ω, podemos utilizar υi = ωri para 
determinar a energia cinética do corpo, dada por:
Analisando essa equação e comparando com a energia cinética, K = ½mυ2, 
podemos ver que o termo entre parênteses faz o papel análogo ao da massa 
na translação. Entretanto, essa é uma propriedade do corpo associada ao 
eixo de rotação. Desse modo, ela recebe o nome de momento de inércia ou 
inércia rotacional e é denotada por I, de modo que a equação (2) pode ser 
reescrita como:
K = ½Iω2 (3)
Cálculo de momento de inércia
O momento de inércia de um corpo é uma propriedade fixa do corpo em 
relação ao eixo de rotação. Ele desempenha um papel análogo ao da massa 
na translação, mas recebe uma notação específica: 
I ≡ momento de inércia
Momento de inércia para corpos em rotação2
Se o corpo é composto de poucas partículas, podemos determinar o seu 
momento de inércia utilizando:
em que n é o número de partículas. Caso n seja muito grande, de partículas 
próximas umas das outras, a maneira apropriada de realizar a conta é integrando 
sobre os elementos de massa do corpo:
O elemento de massa pode ser obtido a partir da densidade do corpo rígido. 
A partir da densidade volumétrica:
dm = λdV (6)
ou da densidade superficial:
dm = σdA (7)
ou, ainda, da densidade linear:
dm = ρdx (8)
Utilizamos cada uma das expressões de acordo com o corpo rígido. Por 
exemplo, para uma esfera maciça, utilizamos (6); para uma placa fina; uti-
lizamos (7); por fim, para uma barra fina, utilizamos (8). O resultado dessa 
integração para uma série de corpos rígidos girando em torno de algum eixo 
é mostrado na Figura 1.
3Momento de inércia para corpos em rotação
Figura 1. Alguns resultados para o momento de inércia de alguns corpos em relação a 
determinados eixos.
Fonte: Adaptado de Halliday, Resnick e Walker (2016).
Entretanto, existem maneiras de evitar a integração em alguns casos. Se 
queremos calcular o momento de inércia de um corpo em relação a um dado 
eixo e já conhecemos o momento de inércia, ICM, do corpo em relação a um 
eixo paralelo, podemos utilizar o teorema dos eixos paralelos:
I = ICM + Mh2 (9)
Em que podemos dizer que h é a distância perpendicular entre o eixo dado 
e o eixo que passa pelo centro de massa.
Momento de inércia para corpos em rotação4
Exemplo 1. Sistema de duas partículas.
A) Qual é o momento de inércia de um corpo rígido ICM composto por duas partículas 
em um eixo passando pelo centro de massa do corpo? B) Qual é o momento de inércia 
em relação a um eixo que passa pela extremidade esquerda da barra e paralelo ao
primeiro eixo, como mostrado na figura abaixo, que mostra o corpo rígido em rotação 
em torno de dois eixos paralelos?
Fonte: Adaptado de Halliday, Resnick e Walker (2016).
A) Como temos apenas duas partículas no corpo rígido, podemos calcular o mo-
mento de inércia em relação ao eixo que passa no centro de massa do corpo usando 
a equação (1). Para n = 2, temos
B) Utilizando o teorema dos eixos paralelos, com h = L/2 e massa do corpo rígido
M = 2m, temos:
5Momento de inércia para corpos em rotação
Exemplo 2. Barra fina.
Veja a figura a seguir. Calcule o momento de inércia de uma barra em relação a um 
eixo perpendicular a ela que passa pelo seu centro. A Figura (A) mostra a barra cujo 
momento de inércia queremos calcular. Em (B), temos o posicionamento das extre-
midades ao longo do eixo x.
a
b
Fonte: Adaptado de Halliday, Resnick e Walker (2016).
A barra é um sistema com um número muito grande de partículas, de modo que 
precisaremos utilizar a integração para calcular o seu centro de massa. Tomando o 
centro da barra como a origem do eixo de coordendas x, podemos definir que o 
tamanho a barra vai de xi = −L/2 até xi = L/2. O elemento de massa pode ser obtido a 
partir da densidade linear, com λ = M/L:
Assim, a integração que deve ser realizada é:
Momento de inércia para corpos em rotação6
7Momentode inércia para corpos em rotação
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: mecânica. 10. ed. Rio 
de Janeiro: LTC, 2016.
Leituras recomendadas
CHAVES, A.; SAMPAIO, J. F. Física básica: mecânica. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
HEWITT, P. G. Física conceitual. 12. ed. Porto Alegre: Bookman, 2015.
NUSSENZVEIG, M. H. Curso de física básica 1: mecânica. 4. ed. São Paulo: Blucher, 2002.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: mecânica. 6. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2017.
Dica do professor
Veja na Dica do Professor o conceito de corpo rígido e o teorema dos eixos paralelos. Confira 
também como calcular o momento de inércia no exemplo ilustrado.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/90c6130b0e225b0e95512b950e741e1a
Exercícios
1) Supondo que dois corpos maciços esféricos A e B, considere que a massa de A é igual a 
massa de B, estão em rotação em torno de um eixo que passa, na vertical, pelo seu centro de 
massa, a relação entre o raio do corpo A e o raio do corpo B é:
Selecione a alternativa correta referente à relação entre seus momentos de inércia.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2) Tratando a Terra como um corpo rígido esférico, com massa mTerra = 5,98 X 1024 kg e raio 
rTerra = 6,32 X 106 m, determine o momento de inércia em torno de um eixo que passa pelo 
seu centro de massa. 
A) 9,55 X 1037kg.m2
B) 1,51 X 1031kg.m2
C) 2,39 X 1038kg.m2
D) 3,78 X 1031kg.m2
E) 4,82 X 1031kg.m2
Uma esfera oca de 4 kg, com raio de 13 cm, gira em torno de um eixo que passa pelo seu 
centro de massa com velocidade angular ω=2 rev/s. Determine a energia cinética dessa 
3) 
esfera.
A) 0,4 J
B) 0,134 J
C) 3,1 J
D) 3,6 J
E) 1,5 J
4) Dois discos homogêneos de massas iguais a 2 kg giram em torno dos respectivos eixos 
centrais (longitudinais) com uma velocidade angular de 120 rad/s. O raio do cilindro menor é 
0,3 m. Se o cilindro maior tem o triplo do raio do cilindro menor, a energia cinética de 
rotação dos cilindros maior e menor são respectivamente: 
A) 648 J e 648 J
B) 5832 J e 324 J
C) 11664 J e 648 J
D) 11624 J e 5832 J
E) 5832 J e 648 J
5) Um disco gira em torno de um eixo perpendicular à face que está a 15 cm do seu centro. O 
eixo que o disco gira é paralelo ao eixo de rotação que passa pelo centro do disco. Sabendo 
que ICM = 0,050 kg · m2 e Idisco = 0,150 kg · m2. Qual é a massa do disco? 
A) 44,4 kg
B) 22,5 kg
C) 2,25 kg
D) 0,225 kg
E) 4,44 kg
Na prática
O volante do motor, ou volante de inércia, é um disco que gira em torno de um eixo e é capaz de 
armazenar energia cinética, liberando-a quando necessário. Ele ajuda a controlar a variação de 
velocidade e rotação de um motor. Em um carro, ele é acoplado ao virabrequim.
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Veja mais sobre o Teorema de Steiner ou Teorema dos eixos 
paralelos:
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Saiba mais sobre a energia cinética na rotação e o momento de 
inércia:
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Veja como calcular o momento de inércia para uma barra fina:
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