Atividade Pratica - Calculo Numerico - Metodos Numericos Aplicados

Prévia do material em texto

ATIVIDADE PRÁTICA 
Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Aplicados 
 
João Martins da Silveira Neto RU 3112537 
 
QUESTÃO 1: Raízes reais de Funções 
 
Determine a raiz da função 𝑓(𝑥)=−3𝑥2+2𝑥+5 contida no intervalo [1; 2]. Utilize 
os métodos: 
 
a. Método da Bissecção com 10 iterações. 
 
Iteração a b xm f(xm) Intervalo 
1 1.000000 2.000000 1.500000 1.250000 1.000000 
2 1.500000 2.000000 1.750000 -0.687500 0.500000 
3 1.500000 1.750000 1.625000 0.328125 0.250000 
4 1.625000 1.750000 1.687500 -0.167969 0.125000 
5 1.625000 1.687500 1.656250 0.083008 0.062500 
6 1.625250 1.687500 1.671875 -0.041748 0.031250 
7 1.625250 1.671875 1.664062 0.020813 0.015625 
8 1.664062 1.671875 1.667969 -0.010422 0.007812 
9 1.664062 1.667969 1.666016 0.005207 0.003906 
10 1.666016 1.667969 1.666992 -0.002604 0.001983 
 
 
b. Método da Posição falsa com 10 iterações. 
 
Iteração a b c (aprox) f(a) f(b) f(c) 
1 1.000000 2.000000 1.571429 4.000000e+00 -3.000000 7.346939e-01 
2 1.574129 2.000000 1.655738 7.346939e-01 -3.000000 8.707337e-02 
3 1.655738 2.000000 1.665448 8.707337e-02 -3.000000 9.745696e-03 
4 1.665448 2.000000 1.666531 9.745696e-03 -3.000000 1.083735e-03 
5 1.666531 2.000000 1.666652 1.083735e-03 -3.000000 1.204259e-04 
6 1.666652 2.000000 1.666665 1.204259e-04 -3.000000 1.338079e-05 
7 1.666665 2.000000 1.666666 1.338079e-05 -3.000000 1.486756e-06 
8 1.666666 2.000000 1.666667 1.486759e-06 -3.000000 1.651952e-07 
9 1.666667 2.000000 1.666667 1.651952e-07 -3.000000 1.835502e-08 
10 1.666667 2.000000 1.666667 1.835502e-08 -3.000000 2.039448e-09 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. Método Iterativo Linear com 10 iterações. 
 
Iteração x0 (valor anterior) x1 (novo valor) Erro 
1 1.000000 2.333333 1.333333 
2 2.333333 3.222222 0.888889 
3 3.222222 3.814815 0.598593 
4 3.814815 4.209877 0.395062 
5 4.209877 4.473251 0.263374 
6 4.473251 4.648834 0.175583 
7 4.648834 4.765889 0.117055 
8 4.765889 4.843926 0.078037 
9 4.843926 4.895951 0.052025 
10 4.895951 4.930634 0.034683 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d. Método de Newton-Raphson com 10 iterações. 
 
Iteração x f(x) f’(x) x (aprox) 
1 1.500000 1.250000e+00 -7.000000 1.678571 
2 1.678571 -9.566327e-02 -8.071429 1.666719 
3 1.666719 -4.214158e-04 -8.000316 1.666667 
4 1.666667 -8.323935e-09 -8.000000 1.666667 
5 1.666667 8.881784e-16 -8.000000 1.666667 
6 1.666667 8.881784e-16 -8.000000 1.666667 
7 1.666667 8.881784e-16 -8.000000 1.666667 
8 1.666667 8.881784e-16 -8.000000 1.666667 
9 1.666667 8.881784e-16 -8.000000 1.666667 
10 1.666667 8.881784e-16 -8.000000 1.666667 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e. Determine a raiz real da função de forma algébrica, e determine o erro 
relativo dos valores estimados pelos diferentes métodos. 
 
 Raiz real determinada: -1.0 
Método Valor aproximado Erro relativo (%) 
Bissecção 1.666992 266.6992 
Posição Falsa 1.666667 266.6667 
Iterativo Linear 4.930634 593.0634 
Newton-Raphson 1.666667 266.6667 
 
1. Solução algébrica: 
 
Formula de Bhaskara onde a = -3, b = 2 e c = 5: resultado x= −2 ± 8 / −6 
 
Assim temos duas soluções: 
x1 = −2+8 / −6 = 6 / -6 = −1 
x2=−2−8 / −6= −10 / −6 = 5 / 3 ≈1.67 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 2: Integração Numérica 
 
Integre a função adotando 12 subintervalos. Utilize os métodos: 
 
a. Método dos Retângulos com a altura tomada pela esquerda. 
 
Iteração x_1 f(x_1) Área 
1 0.00 1.000000 0.250000 
2 0.25 1.321006 0.330252 
3 0.50 1.824361 0.456090 
4 0.75 2.587750 0.646938 
5 1.00 3.718282 0.929570 
6 1.25 5.362929 1.340732 
7 1.50 7.722534 1.930633 
8 1.75 11.070555 2.767639 
9 2.00 15.778112 3.944528 
10 2.25 22.347406 5.586851 
11 2.50 31.456235 7.864059 
12 2.75 44.017238 11.004309 
 ≈ 37,051601 
 
 
b. Método dos Retângulos com a altura tomada pela direita. 
Iteração x_1 (direita) f(x_1) Área 
1 0.25 1.321006 0.330252 
2 0.50 1.824361 0.456090 
3 0.75 2.587750 0.646938 
4 1.00 3.718282 0.929570 
5 1.25 5.362929 1.340732 
6 1.50 7.722534 1.930633 
7 1.75 11.070555 2.767639 
8 2.00 15.778112 3.944528 
9 2.25 22.347406 5.586851 
10 2.50 31.456235 7.864059 
11 2.75 44.017238 11.004309 
12 3.00 61.256611 15.314153 
 
 ≈ 52.115754 
 
 
 
 
 
c. Método dos Trapézios. 
 
Iteração x_1 f(x_1) 
1 0.25 1.321006 
2 0.50 1.824361 
3 0.75 2.587750 
4 1.00 3.718282 
5 1.25 5.362929 
6 1.50 7.722534 
7 1.75 11.070555 
8 2.00 15.778112 
9 2.25 22.347406 
10 2.50 31.456235 
11 2.75 44.017238 
12 3.00 61.256611 
 
≈ 44.58368 
 
 
 
 
d. Regra 1/3 de Simpson. 
 
Iteração x_1 f(x_1) Multiplicador Contribuição 
1 0.25 1.321006 4 5.284025 
2 0.50 1.824361 2 3.648721 
3 0.75 2.587750 4 10.351000 
4 1.00 3.718282 2 7.436564 
5 1.25 5.362929 4 21.451715 
6 1.50 7.722534 2 15.445067 
7 1.75 11.070555 4 44.282219 
8 2.00 15.778112 2 31.556224 
9 2.25 22.347406 4 89.389623 
10 2.50 31.456235 2 62.912470 
11 2.75 44.017238 4 176.068951 
12 3.00 61.256611 2 122.513222 
 
≈ 54.38303 
 
 
e. Regra 3/8 de Simpson. 
 
Iteração x_1 f(x_1) Multiplicador f(x_1) * 
Contribuição 
1 0.25 1.321006 3 3.963019 
2 0.50 1.824361 3 5.473082 
3 0.75 2.587750 2 5.175500 
4 1.00 3.718282 3 11.154845 
5 1.25 5.362929 3 16.088786 
6 1.50 7.722534 2 15.445067 
7 1.75 11.070555 3 33.211664 
8 2.00 15.778112 3 47.334337 
9 2.25 22.347406 2 44.694811 
10 2.50 31.456235 3 94.368705 
11 2.75 44.017238 3 132.051713 
12 3.00 61.256611 1 61.256611 
 
≈ 44.176701 
 
 
QUESTÃO 3: Sistemas Lineares 
 
 Determine a solução do Sistema Linear abaixo pelos métodos: 
 
 
a. Regra de Cramer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Gauss-Jacobi com 10 iterações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. Gauss-Seidel com 10 iterações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 4: Ajuste de curvas 
A taxa de fecundidade corresponde ao número de filhos vivos nascidos por 
mulher na idade reprodutiva. “Na verdade, desde a década de 70, 80, vem 
diminuindo a taxa de fecundidade no território brasileiro de forma significativa. 
Na década de 60, por exemplo, essa taxa estava em torno de seis filhos por 
mulher; na década de 80, eram quatro filhos por mulher; no ano de 2000, essa 
taxa de fecundidade era de 2,2 e, em 2020, uma média de 1,65 filhos. Nós 
temos um comportamento demográfico hoje, principalmente nesse quesito de 
fecundidade, muito semelhante à maior parte dos países ricos. Essa taxa de 
fecundidade vinha diminuindo já por uma série de fatores estruturais, mas 
numa temporalidade diferente”, coloca Contel. 
Fatores como o acesso ao sistema de saúde e à educação são fundamentais 
na promoção da transição demográfica e são, em parte, responsabilidade da 
urbanização. Por isso, é importante valorizar os dados do IBGE […]. Eles são a 
condição básica, a condição fundamental para a gente implementar políticas de 
aposentadoria, de saúde, de educação, de moradia. São a condição 
fundamental para que a gente planeje tudo isso que é tão importante para o 
povo brasileiro”, pontua o professor. 
Fonte: JORNAL DA USP NO AR. IBGE registra queda da taxa de natalidade no 
Brasil. Jornal da USP no Ar 1ª edição. Rádio USP. Publicado em: 22 mar. 
2023. Disponível em: https://jornal.usp.br/radio-usp/ibge-registra-queda-da-
taxa-de-natalidade-no-brasil/. 
Sobre a taxa de natalidade no Brasil, considere os seguintes dados 
disponibilizados pelo IBGE: 
 
https://jornal.usp.br/radio-usp/ibge-registra-queda-da-taxa-de-natalidade-no-brasil/
https://jornal.usp.br/radio-usp/ibge-registra-queda-da-taxa-de-natalidade-no-brasil/
Para tais dados: 
a. Elabore o diagrama de dispersão dos dados. 
 
 
b. Determine o polinômio de 2º grau que melhor se ajusta aos dados utilizando 
os métodos de regressão numérica. 
 
 
 
c. Apresente o gráfico da função determinada sobre o diagrama de dispersão.