geometria com argumento 31M2I

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d) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 
Resposta: c) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\), utilizamos a regra 
da cadeia. Primeiramente, derivamos o logaritmo natural \(\ln(u)\), onde \(u\) é a função 
\(x^2 + 1\), o que resulta em \(\frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}\). Assim, temos que a 
derivada de \(f(x)\) é igual a: 
 
\(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot \frac{d(x^2 + 1)}{dx}\) 
 
Calculamos a derivada de \(x^2 + 1\) em relação a \(x\), que é \(2x\), e substituímos na 
fórmula acima, obtendo: 
 
\(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 
Portanto, a resposta correta é a alternativa c). 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = x^2 + 3x - 1? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 2x + 3 
b) f'(x) = 3x^2 + 3 
c) f'(x) = 2x + 3 
d) f'(x) = x^2 + 3 
 
Resposta: a) f'(x) = 2x + 3 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x) = x^2 + 3x - 1, devemos aplicar a regra 
da derivada para cada termo da função separadamente. 
 
Para o termo x^2, a derivada será dada por 2x, pois ao derivar x^2 em relação a x, obtemos 
2x. 
Para o termo 3x, a derivada será 3, pois o termo independente de x é derivado para zero. 
Para o termo -1, a derivada será zero, pois é uma constante. 
 
Assim, a derivada da função f(x) = x^2 + 3x - 1 será f'(x) = 2x + 3, que corresponde à 
alternativa a. 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = 3x² + 5x - 2? 
Alternativas: 
a) f'(x) = 6x + 5 
b) f'(x) = 6x - 5 
c) f'(x) = 3x² + 5x - 2 
d) f'(x) = 6x + 2 
Resposta: a) f'(x) = 6x + 5 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x), utilizamos a regra de derivadas de 
potências e a regra da soma. 
f'(x) = d/dx (3x²) + d/dx (5x) - d/dx (2) 
f'(x) = 2 * 3x^(2-1) + 1 * 5x^(1-1) - 0 
f'(x) = 6x + 5 
Portanto, a derivada da função f(x) = 3x² + 5x - 2 é f'(x) = 6x + 5. 
 
Questão: Qual é o resultado da integral definida de f(x) = 2x^2 + 4x + 3 no intervalo [1, 3]? 
 
Alternativas: 
a) 36 
b) 25 
c) 20 
d) 18 
 
Resposta: b) 25 
 
Explicação: Para encontrar o resultado da integral definida de f(x) no intervalo [1, 3], 
primeiro é necessário calcular a integral indefinida de f(x). Então, a integral indefinida de 
f(x) = 2x^2 + 4x + 3 é dada por F(x) = (2/3)x^3 + 2x^2 + 3x + C, onde C é a constante de 
integração. 
 
Para encontrar a integral definida de f(x) no intervalo [1, 3], basta calcular F(3) - F(1). 
Substituindo os valores de x obtemos: 
 
F(3) = (2/3)*(3)^3 + 2*(3)^2 + 3*(3) + C = 18 + 18 + 9 + C = 45 + C 
F(1) = (2/3)*(1)^3 + 2*(1)^2 + 3*(1) + C = 2/3 + 2 + 3 + C = 11/3 + C 
 
Portanto, a integral definida de f(x) no intervalo [1, 3] é F(3) - F(1) = (45 + C) - (11/3 + C) = 
25. 
 
Questão: Qual é a integral indefinida da função f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x + 7? 
 
Alternativas: 
a) 6x^4 - 2x^3 + 5x^2 + 7x + C 
b) x^4 - x^3 + 5x^2 + 7x + C