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C�alculo Diferencial e Integral 2 - Integrais De�nidas e Teorema Fundamental do C�alculo Prof. Dr. Emerson Lima Escola Polit�ecnica da Universidade de Pernambuco Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 1 / 33 O problema do c�alculo da �area Queremos calcular a �area limitada entre o eixo x e a curva y = f(x) Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 2 / 33 O problema do c�alculo da �area Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 3 / 33 O problema do c�alculo da �area −6 −4 −2 2 4 6 −1 1 2 ∆x � Area orientada A �area acima do eixo x �e considerada de orienta�c~ao positiva enquanto que a �area abaixo do eixo �e considerada de orienta�c~ao negativa. A �area total (orientada) �e subtra�c~ao da fra�c~ao positiva da �area da sua fra�c~ao negativa. A �area convencional �e a soma dessas quantidades. Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 4 / 33 Integral de Riemann Soma de Riemann Seja f : [a, b]→ IR uma fun�c~ao e P : a = xo < x1 < x2 < · · · < xn = b uma partic� ~ ao do intervalo [a, b] em n partes e xi−1 ≤ ξi ≤ xi, i = 1, 2, · · · , n uma escolha arbitra´ria de n pontos, um em cada subintervalo da parti�c~ao. De�nimos a soma de Riemann associada a escolha dos ξ ′s e da parti�c~ao P por n∑ i=1 f(ξi) · (xi − xi−1) Note que a de�ni�c~ao acima aproxima o c�alculo da �area orientada! Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 5 / 33 Integral de Riemann Fun�c~ao Integr�avel segundo Riemann Nas condi�c~oes anteriores, se o limite lim n→∞ n∑ i=1 f(ξi) · (xi − xi−1) n ~ ao depender nem da parti�c~ao P nem da escolha particular dos ξ ′s ent~ao diremos que a fun�c~ao f �e integr�avel segundo Riemann e de�nimos ∫b a f(x)dx = lim n→∞ n∑ i=1 f(ξi) · (xi − xi−1) Chamamos ∫b a f(x)dx, se existir, de Integral Definida de f no intervalo [a, b] Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 6 / 33 Exemplos Exemplo 1 Mostre que a fun�c~ao constante f(x) = c �e integr�avel em qualquer intervalo [a, b] real. Encontre ∫b a cdx. Exemplo 2 Assumindo que a fun�c~ao f(x) = x �e integr�avel, encontre ∫b a xdx com [a, b] intervalo real.Nestas condi�c~oes, mostre que g(x) = αx+ β �e integr�avel para quaisquer valores reais de α e β e encontre ∫b a αx+βdx. Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 7 / 33 Teorema de Integrabilidade Teorema Seja [a, b] intervalo de n�umeros reais e f : [a, b]→ IR fun�c~ao limitada e cont��nua por partes em [a, b] com uma quantidade �nita de descontinuidades neste intervalo, ent~ao f �e integr�avel em [a, b]. Demonstra�c~ao: Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 8 / 33 Exemplos Exemplo 1 As fun�c~oes cont��nuas em IR s~ao integr�aveis em qualquer intervalo real. Exemplo 2 De^ exemplo de fun�c~ao integr�avel em [a, b] mas que n~ao possua derivada em todos os pontos desse intervalo. Exemplo 3 Mostre que a fun�c~ao X IQ (x) = 1 Se x ∈ IQ 0 Caso contr�ario Na˜o �e integr�avel no intervalo [0, 1]. Isso contradiz o Teorema anterior? Por que? Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 9 / 33 Propriedades das Integrais De�nidas Propriedades Elementares Sejam f : [a, b]→ IR e g : [a, b]→ IR integr�aveis no intervalo real [a, b] e α e β constantes reais quaisquer ent~ao f(x)g(x) e αf(x) + βg(x) s~ao fun�c~oes integr�aveis em qualquer subintervalo contido em [a, b], mais ainda: 1 Dado c ∈ [a, b] ent~ao ∫ c c f(x)dx = 0 2 Dado c ∈ [a, b] ent~ao ∫ c a f(x)dx+ ∫b c f(x)dx = ∫b a f(x)dx 3 ∫b a f(x)dx = − ∫a b f(x)dx 4 ∫ αf(x) + βg(x)dx = α ∫b a f(x)dx+ β ∫b a g(x)dx Demonstra�c~ao: Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 10 / 33 Propriedades das Integrais De�nidas Pela �ultima propriedade acima, note que a integral da soma e´ a soma das integrais e a constante, se houver, pode ser movida para fora da integral. Desta forma, integrais s~ao operadores lineares tanto quanto as derivadas. Observe tamb�em que a vari�avel de integra�c~ao �e irrelevante para o valor da integral, ou seja, ∫b a f(x)dx = ∫b a f(t)dt = ∫b a f(arroz)darroz Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 11 / 33 Propriedades das Integrais De�nidas Preserva�c~ao do Sinal 1 Sejam f : [a, b]→ IR e g : [a, b]→ IR integr�aveis no intervalo real [a, b] e tais que f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] ent~ao∫b a f(x)dx ≤ ∫b a g(x)dx. 2 ∣∣∣∣∫ f(x)dx∣∣∣∣ ≤ ∫b a |f(x)|dx Demonstra�c~ao: Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 12 / 33 Propriedades das Integrais De�nidas Pela primeira propriedade anterior, note que∫b a f(x)dx ≤ ∫b a |f(x)|dx ou seja, a �area orientada limitada por uma fun�c~ao - se houver - �e sempre menor ou igual a �area convencional limitada pela mesma fun�c~ao. Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 13 / 33 Teorema do Valor M�edio para Integrais Teorema (Primeiro Teorema do Valor M�edio para Integrais) Se f : [a, b]→ IR �e cont��nua, ent~ao existe c ∈ [a, b] tal que∫b a f(x)dx = (b− a) · f(c) Demonstra�c~ao: Teorema (Segundo Teorema do Valor M�edio para Integrais) Sejam f : [a, b]→ IR e g : [a, b]→ IR ambas cont��nuas, ent~ao existe c ∈ [a, b] tal que ∫b a f(x)g(x)dx = f(c) ∫b a g(x)dx Demonstra�c~ao: Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 14 / 33 Teorema do Valor M�edio para Integrais O valor de f(c) no Primeiro TVMI �e denominado de Valor M�edio para f(x) no intervalo [a, b]. Note ainda que o primeiro teorema est�a contido como um caso especial do segundo no qual g(x) �e a fun�c~ao constante igual a 1. Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 15 / 33 A Fun�c~ao F(x) = ∫ x a f(t)dt Teorema Fundamental do C�alculo (Primeira forma) Dada f(x) fun�c~ao integr�avel em [a, b] ent~ao F(x) = ∫x a f(t)dt �e diferenci�avel para todo x ∈ (a, b). Mais ainda d dx F(x) = F ′(x) = f(x) Demonstra�c~ao: Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 16 / 33 Primitivas De�ni�c~ao Se f : (a, b)→ IR e G : (a, b)→ IR s~ao tais que G �e diferenci�avel e G ′(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b) ent~ao chamamos G(x) de fun�c~ao Primitiva de f(x) assim como f(x) �e a (fun�c~ao) Derivada de G(x). Pelo teorema anterior, F(x) = ∫x a f(t)dt �e primitiva para f(x). Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 17 / 33 Primitivas de uma Fun�c~ao Diferem por uma Constante Teorema Se G(x) e H(x) s~ao primitivas de uma mesma fun�c~ao f(x) ent~ao G(x) −H(x) �e igual a uma constante. Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 18 / 33 Teorema Fundamental do C�alculo (Segunda forma) Teorema Dada f(x) fun�c~ao integr�avel em [a, b] ent~ao∫b a f(t)dt = G(b) −G(a) Onde G(x) �e primitiva qualquer de f. Demonstra�c~ao: Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 19 / 33 Exemplos Exemplo 1 Encontre uma primitiva para x. Use-a para calcular ∫ 1 0 3x+ 1dx. Qual o signi�cado geom�etrico desse valor? Exemplo 2 Encontre a forma geral primitiva para xn. Use-a para calcular∫ 2 −3 4x2 − 6x+ 2. Qual a �area limitada entre as ra��zes de 4x2 − 6x+ 2? Exemplo 3 Qual a �area limitada entre 0 e 2pi pela fun�c~ao sen(x) e o eixo x? Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 20 / 33 Primitivas Imediatas Tabela: Fun�c~oes Polinomial, Exponencial e Logar��tmica d(xn) dx = nx n−1 ∫ xm dx = x m+1 m+1 + k, m 6= −1 d(ln(x)) dx = 1 x ∫ 1 x dx = ln(x) + k d(exp(x)) dx = exp(x) ∫ exp(x)dx = exp(x) + k Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 21 / 33 Primitivas Imediatas Tabela: Fun�c~oes Trigonom�etricas d(senx) dx = cos x ∫ cos xdx = senx+ k d(cos x) dx = −senx ∫ senxdx = − cos x+ k d(tan x) dx = sec 2 x ∫ sec 2 xdx = tan x+ k d(cot x) dx = − csc 2 x ∫ csc 2 xdx = − cot x+ k d(sec x) dx = tan x sec x ∫ tan x sec xdx = sec x+ k d(csc x) dx = − cot x csc x ∫ cot x csc xdx = − csc x+ k Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 22 / 33 Primitivas Imediatas Tabela: Fun�c~oes Trigonom�etricas Inversas d(arcsenx) dx = 1√ 1−x2 ∫ 1√ 1−x2 dx = arcsenx+ k d(arccos x) dx = − 1√ 1−x2 ∫ 1√ 1−x2 dx = − arccos x+ k d(arctan x) dx = 1 1+x2 ∫ 1 1+x2 dx = arctan x+ k d(arccotx) dx = − 1 1+x2 ∫ 1 1+x2 dx = −arccotx+ k d(arcsecx) dx = 1 |x| √ x2−1 ∫ 1 |x| √ x2−1dx = arcsecx+ k d(arccscx) dx = − 1 |x| √ x2−1 ∫ 1 |x| √ x2−1 dx = −arccscx+ k Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 23 / 33 Primitivas Imediatas Tabela: Fun�c~oes Hiperb�olicas d(senhx) dx = cosh x ∫ cosh xdx = senhx+ k d(cosh x) dx = senhx ∫ senhxdx = cosh x+ k d(tanh x) dx = sech 2x ∫ sech 2xdx = tanh x+ k d(coth x) dx = −csch 2x ∫ csch 2xdx = − coth+k d(sechx) dx = − tanh x sechx ∫ tanh x sechxdx = −sechx+ k d(cschx) dx = − coth x cschx ∫ coth x cschxdx = −cschx+ k Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 24 / 33 Primitivas Imediatas Tabela: Fun�c~oes Hiperb�olicas Inversas d(arcsenhx) dx = 1√ 1+x2 ∫ 1√ 1+x2 dx = arcsenhx+ k d(arccoshx) dx = 1√ x2−1 ∫ 1√ x2−1 dx = arccoshx+ k d(arctanhx) dx = 1 1−x2 ∫ 1 1−x2 dx = arctanhx+ k d(arccothx) dx = − 1 1−x2 ∫ 1 1−x2 dx = −arccothx+ k d(arcsechx) dx = − 1 x √ 1−x2 ∫ 1 x √ 1−x2 dx = −arcsechx+ k d(arccschx) dx = − 1 |x| √ x2+1 ∫ 1 |x| √ x2+1 dx = −arccschx+ k Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 25 / 33 Exemplos Exemplo 1 Calcule as primitivas das seguintes fun�c~oes 1 ∫ x3 − 4x+ 8dx 2 ∫ (3x+ 1)2dx. Use a primitiva encontrada para calcular∫ 1 0 (3x+ 1)2dx e ∫ 2 −3 (3x+ 1)2dx 3 ∫ 2sen(x) − 5 cos(x)dx. Use a primitiva encontrada para calcular∫ pi 4 pi 2 2sen(x) − 5 cos(x)dx Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 26 / 33 Exemplos Exemplo 2 Mostre que a fun�c~ao arcsen(x) + arccos(x) �e constante. Qual o valor dessa constante? Exemplo 3 Repita o exerc��cio anterior para a fun�c~ao arctan(x) + arccot(x). Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 27 / 33 T�ecnicas de Integra�c~ao Nem toda fun�c~ao elementar possui uma primitiva imediata. S~ao exemplos de fun�c~oes elementares que N ~ ao Possuem Primitivas Imediatas: tan(x), cot(x), sec(x), csc(x) e ln(x) al�em de seus equivalentes hiperb�olicos e fun�c~oes inversas e inversas hiperb�olicas. Para tais fun�c~oes - e muitas outras - existem t�ecnicas que permitem reduzi-las a casos elementares tais como substitui�c~ao simples, integra�c~ao por partes, substitui�c~ao trigonom�etrica, fra�c~oes parciais e substitui�c~oes racionalizante, dentre outras. Mais ainda, a maior parte das fun�c~oes nem sequer possuem primitivas que podem ser escritas em termos de fun�c~oes elementares. Nestes casos, recorremos a Me´todos Nume´ricos para aproximar as integrais de�nidas correspondentes (eg. ∫ exp(−x2)dx). Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 28 / 33 T�ecnicas de Integra�c~ao: Substitui�c~ao Simples Teorema∫ f(g(x))g ′(x)dx = ∫ f(u)du com u = g(x) Demonstra�c~ao: Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 29 / 33 Exemplos Exemplo 1 Encontre uma substitui�c~ao apropriada para calcular cada uma das seguintes integrais: 1 ∫ (3x+ 1)2dx 2 ∫ xe3x 2 dx 3 ∫ 2 0 x(x2 − 1)dx Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 30 / 33 Exemplos Exemplo 2 Use a substitui�c~ao indicada para calcular cada uma das seguintes integrais: 1 ∫ sen 4(x) cos3(x)dx (fa�ca u = sen(x)) 2 ∫ 6 x2 + 9 dx (fa�ca u = x 3 ) Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 31 / 33 T�ecnicas de Integra�c~ao A escolha da substitui�c~ao adequada a cada caso ser�a estudada mais profundamente adiante assim como outras t�ecnicas de integra�c~ao. O uso combinado das diferentes t�ecnicas �e necess�ario para resolu�c~ao de integrais mais complexas. Exemplos tamb�em ser~ao estudados adiante. Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 32 / 33 Fim do M�odulo 1 Pr�oximo M�odulo Aplica�c~oes da Integra�c~ao 1 Aplica�c~oes de Integrais De�nidas 1 C�alculos de �areas limitadas por fun�c~oes 2 Volumes de s�olidos com sec�c~ao transversal conhecida. 3 Volumes de s�olidos de revolu�c~ao. Teorema de Pappus. Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 33 / 33
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