Integrais Definidas e Teorema Fundamental do Cálculo

C�alculo Diferencial e Integral 2 - Integrais De�nidas
e Teorema Fundamental do C�alculo
Prof. Dr. Emerson Lima
Escola Polit�ecnica da Universidade de Pernambuco
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 1 / 33
O problema do c�alculo da �area
Queremos calcular a �area
limitada entre o eixo x e a
curva y = f(x)
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 2 / 33
O problema do c�alculo da �area
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 3 / 33
O problema do c�alculo da �area
−6 −4 −2 2 4 6
−1
1
2
∆x
�
Area orientada
A �area acima do eixo x �e
considerada de
orienta�c~ao positiva
enquanto que a �area
abaixo do eixo �e
considerada de
orienta�c~ao negativa. A
�area total (orientada) �e
subtra�c~ao da fra�c~ao
positiva da �area da sua
fra�c~ao negativa. A �area
convencional �e a soma
dessas quantidades.
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Integral de Riemann
Soma de Riemann
Seja f : [a, b]→ IR uma fun�c~ao e P : a = xo < x1 < x2 < · · · < xn = b uma
partic�
~
ao do intervalo [a, b] em n partes e xi−1 ≤ ξi ≤ xi, i = 1, 2, · · · , n
uma escolha arbitra´ria de n pontos, um em cada subintervalo da parti�c~ao.
De�nimos a soma de Riemann associada a escolha dos ξ ′s e da parti�c~ao P por
n∑
i=1
f(ξi) · (xi − xi−1)
Note que a de�ni�c~ao acima aproxima o c�alculo da �area orientada!
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Integral de Riemann
Fun�c~ao Integr�avel segundo Riemann
Nas condi�c~oes anteriores, se o limite
lim
n→∞
n∑
i=1
f(ξi) · (xi − xi−1)
n
~
ao depender nem da parti�c~ao P nem da escolha particular dos ξ ′s
ent~ao diremos que a fun�c~ao f �e integr�avel segundo Riemann e
de�nimos ∫b
a
f(x)dx = lim
n→∞
n∑
i=1
f(ξi) · (xi − xi−1)
Chamamos
∫b
a
f(x)dx, se existir, de Integral Definida de f no
intervalo [a, b]
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Exemplos
Exemplo 1
Mostre que a fun�c~ao constante f(x) = c �e integr�avel em qualquer
intervalo [a, b] real. Encontre
∫b
a
cdx.
Exemplo 2
Assumindo que a fun�c~ao f(x) = x �e integr�avel, encontre
∫b
a
xdx com
[a, b] intervalo real.Nestas condi�c~oes, mostre que g(x) = αx+ β �e
integr�avel para quaisquer valores reais de α e β e encontre
∫b
a
αx+βdx.
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Teorema de Integrabilidade
Teorema
Seja [a, b] intervalo de n�umeros reais e f : [a, b]→ IR fun�c~ao limitada e
cont��nua por partes em [a, b] com uma quantidade �nita de
descontinuidades neste intervalo, ent~ao f �e integr�avel em [a, b].
Demonstra�c~ao:
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Exemplos
Exemplo 1
As fun�c~oes cont��nuas em IR s~ao integr�aveis em qualquer intervalo real.
Exemplo 2
De^ exemplo de fun�c~ao integr�avel em [a, b] mas que n~ao possua
derivada em todos os pontos desse intervalo.
Exemplo 3
Mostre que a fun�c~ao
X
IQ
(x) =

1 Se x ∈ IQ
0 Caso contr�ario
Na˜o �e integr�avel no intervalo [0, 1].
Isso contradiz o Teorema anterior? Por que?
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Propriedades das Integrais De�nidas
Propriedades Elementares
Sejam f : [a, b]→ IR e g : [a, b]→ IR integr�aveis no intervalo real [a, b]
e α e β constantes reais quaisquer ent~ao f(x)g(x) e αf(x) + βg(x) s~ao
fun�c~oes integr�aveis em qualquer subintervalo contido em [a, b], mais
ainda:
1
Dado c ∈ [a, b] ent~ao
∫ c
c
f(x)dx = 0
2
Dado c ∈ [a, b] ent~ao
∫ c
a
f(x)dx+
∫b
c
f(x)dx =
∫b
a
f(x)dx
3
∫b
a
f(x)dx = −
∫a
b
f(x)dx
4
∫
αf(x) + βg(x)dx = α
∫b
a
f(x)dx+ β
∫b
a
g(x)dx
Demonstra�c~ao:
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Propriedades das Integrais De�nidas
Pela �ultima propriedade acima, note que a integral da soma e´ a
soma das integrais e a constante, se houver, pode ser movida
para fora da integral. Desta forma, integrais s~ao operadores
lineares tanto quanto as derivadas.
Observe tamb�em que a vari�avel de integra�c~ao �e irrelevante para o valor
da integral, ou seja,
∫b
a
f(x)dx =
∫b
a
f(t)dt =
∫b
a
f(arroz)darroz
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Propriedades das Integrais De�nidas
Preserva�c~ao do Sinal
1
Sejam f : [a, b]→ IR e g : [a, b]→ IR integr�aveis no intervalo real
[a, b] e tais que f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] ent~ao∫b
a
f(x)dx ≤
∫b
a
g(x)dx.
2
∣∣∣∣∫ f(x)dx∣∣∣∣ ≤ ∫b
a
|f(x)|dx
Demonstra�c~ao:
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Propriedades das Integrais De�nidas
Pela primeira propriedade anterior, note que∫b
a
f(x)dx ≤
∫b
a
|f(x)|dx
ou seja, a �area orientada limitada por uma fun�c~ao - se houver - �e
sempre menor ou igual a �area convencional limitada pela mesma
fun�c~ao.
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Teorema do Valor M�edio para Integrais
Teorema (Primeiro Teorema do Valor M�edio para Integrais)
Se f : [a, b]→ IR �e cont��nua, ent~ao existe c ∈ [a, b] tal que∫b
a
f(x)dx = (b− a) · f(c)
Demonstra�c~ao:
Teorema (Segundo Teorema do Valor M�edio para Integrais)
Sejam f : [a, b]→ IR e g : [a, b]→ IR ambas cont��nuas, ent~ao existe
c ∈ [a, b] tal que ∫b
a
f(x)g(x)dx = f(c)
∫b
a
g(x)dx
Demonstra�c~ao:
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 14 / 33
Teorema do Valor M�edio para Integrais
O valor de f(c) no Primeiro TVMI �e denominado de Valor M�edio para
f(x) no intervalo [a, b].
Note ainda que o primeiro teorema est�a contido como um caso especial
do segundo no qual g(x) �e a fun�c~ao constante igual a 1.
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 15 / 33
A Fun�c~ao F(x) =
∫ x
a
f(t)dt
Teorema Fundamental do C�alculo (Primeira forma)
Dada f(x) fun�c~ao integr�avel em [a, b] ent~ao F(x) =
∫x
a
f(t)dt �e
diferenci�avel para todo x ∈ (a, b). Mais ainda
d
dx
F(x) = F ′(x) = f(x)
Demonstra�c~ao:
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Primitivas
De�ni�c~ao
Se f : (a, b)→ IR e G : (a, b)→ IR s~ao tais que G �e diferenci�avel e
G ′(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b) ent~ao chamamos G(x) de fun�c~ao Primitiva
de f(x) assim como f(x) �e a (fun�c~ao) Derivada de G(x).
Pelo teorema anterior, F(x) =
∫x
a
f(t)dt �e primitiva para f(x).
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Primitivas de uma Fun�c~ao Diferem por uma Constante
Teorema
Se G(x) e H(x) s~ao primitivas de uma mesma fun�c~ao f(x) ent~ao
G(x) −H(x) �e igual a uma constante.
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 18 / 33
Teorema Fundamental do C�alculo (Segunda forma)
Teorema
Dada f(x) fun�c~ao integr�avel em [a, b] ent~ao∫b
a
f(t)dt = G(b) −G(a)
Onde G(x) �e primitiva qualquer de f.
Demonstra�c~ao:
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 19 / 33
Exemplos
Exemplo 1
Encontre uma primitiva para x. Use-a para calcular
∫ 1
0
3x+ 1dx. Qual
o signi�cado geom�etrico desse valor?
Exemplo 2
Encontre a forma geral primitiva para xn. Use-a para calcular∫ 2
−3
4x2 − 6x+ 2. Qual a �area limitada entre as ra��zes de 4x2 − 6x+ 2?
Exemplo 3
Qual a �area limitada entre 0 e 2pi pela fun�c~ao sen(x) e o eixo x?
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 20 / 33
Primitivas Imediatas
Tabela: Fun�c~oes Polinomial, Exponencial e Logar��tmica
d(xn)
dx = nx
n−1
∫
xm dx = x
m+1
m+1 + k, m 6= −1
d(ln(x))
dx =
1
x
∫
1
x dx = ln(x) + k
d(exp(x))
dx = exp(x)
∫
exp(x)dx = exp(x) + k
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Primitivas Imediatas
Tabela: Fun�c~oes Trigonom�etricas
d(senx)
dx = cos x
∫
cos xdx = senx+ k
d(cos x)
dx = −senx
∫
senxdx = − cos x+ k
d(tan x)
dx = sec
2 x
∫
sec
2 xdx = tan x+ k
d(cot x)
dx = − csc
2 x
∫
csc
2 xdx = − cot x+ k
d(sec x)
dx = tan x sec x
∫
tan x sec xdx = sec x+ k
d(csc x)
dx = − cot x csc x
∫
cot x csc xdx = − csc x+ k
Prof. Emerson Lima (POLI-UPE) C�alculo 2 22 / 33
Primitivas Imediatas
Tabela: Fun�c~oes Trigonom�etricas Inversas
d(arcsenx)
dx =
1√
1−x2
∫
1√
1−x2
dx = arcsenx+ k
d(arccos x)
dx = −
1√
1−x2
∫
1√
1−x2
dx = − arccos x+ k
d(arctan x)
dx =
1
1+x2
∫
1
1+x2
dx = arctan x+ k
d(arccotx)
dx = −
1
1+x2
∫
1
1+x2
dx = −arccotx+ k
d(arcsecx)
dx =
1
|x|
√
x2−1
∫
1
|x|
√
x2−1