calculo 2 Integrais definidas

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Cálculo II 
Profª. Valéria Espíndola Lessa 
 
MATERIAL DIDÁTICO 4 
 
 
INTEGRAL DEFINIDA: DEFINIÇÃO E CÁLCULO 
 
 Integral definida é uma integral que possui um limite inferior (a) e um limite superior (b). 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 
Cálculo da Integral Definida 
Se f(x) for contínua em [a, b] e F(x) for uma antiderivada de f em [a, b], então 
 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 = [𝐹(𝑥)]𝑏
𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
 
 
Observação: A constante C não é utilizada no cálculo da integral definida, por que ela acaba 
desaparecendo. 
 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 = [𝐹(𝑥) + 𝐶]𝑏
𝑎 = [𝐹(𝑏) + 𝐶] − [𝐹(𝑎) + 𝐶] = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
 
 
 
Exemplo 1: Calcule as integrais definidas abaixo 
 
(𝑎) ∫ 𝑥 𝑑𝑥
2
1
 
 
(𝑏) ∫ √𝑥 𝑑𝑥
9
1
 
 
(𝑐) ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥
𝜋/2
0
 
 
(𝑑) ∫ 5𝑒𝑥 𝑑𝑥
𝑙𝑛3
0
 
 
 
CÁLCULO DE ÁREAS A PARTIR DE CURVAS 
 
 Questão motivadora: 
Dada uma função positiva f: [a, b]  R, como calcular a área R debaixo do seu gráfico e 
delimitada pelas retas x = a, x = b e pelo eixo x? 
 
 
 
 Quando a função é constante ou linear, fica fácil calcular a área: 
 
 
A figura é um retângulo e sua fórmula da área é conhecida. 
 
A = base x altura = (𝑏 − 𝑎)ℎ 
 
A figura é um trapézio e sua fórmula da área é conhecida ou 
podemos dividir a figura num retângulo e num triângulo. 
 
𝐴 =
(𝐵 + 𝑏)ℎ
2
 
 
 
 Agora, considerando a função 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥², na figura abaixo, como calcular a área sob a 
curva e entre 𝑥 = 0 𝑒 𝑥 = 1? 
 
 Neste caso, não conseguimos decompor a figura gerada num número exato de triângulos e/ou 
retângulos. No entanto, pode-se aproximar R por regiões retangulares. Escolhendo-se dois 
retângulos, temos: 
 
 
 
 A área sob a curva é uma estimativa, na qual podemos melhorar ao tomarmos mais 
retângulos. Quanto mais retângulos, melhor será a estimativa. 
 
 
 
 Assim, o cálculo da área pode ser interpretado como o limite do somatório das áreas dos 
retângulos. Este somatório é chamado de somas de Riemann. 
 
Outra forma de calcular essa área é usando a INTEGRAL DEFINIDA. 
 
 
CASO I: ÁREA SOB CURVAS 
Se uma função for contínua e positiva num intervalo [a, b], então f será integrável em [a, b] e a área 
entre o gráfico de f e o intervalo [a, b] será 
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
 
Exemplo 2: Calcule a área sob a curva 𝑓(𝑥) = 𝑥2 entre x = 1 e x = 2. 
 
Área sob a Curva 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 
 
 
Curva Integral: 𝑭(𝒙) =
𝒙𝟑
𝟑
 
 
 
𝐴 = ∫ 𝑥2
2
1
 𝑑𝑥 =
𝑥3
3
]
1
2
=
23
3
−
13
3
=
8
3
−
1
3
=
7
3
= 2,333 … 
 
 
Exemplo 3: Calcule a área sob a curva 𝑦 = 9 − 𝑥² entre o intervalo [0, 3]. 
 
 
Caso II: ÁREA NEGATIVA 
Se uma função for contínua num intervalo [a, b] e negativa (imagens y são negativas), então f será 
integrável em [a, b] e a área entre o gráfico de f e o intervalo [a, b] será 
 
𝐴 = ∫ |𝑓(𝑥)|
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 𝑜𝑢 𝐴 = |∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 | 𝑜𝑢 𝐴 = − ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 
 
Exemplo 4: Encontre a área limitada pela curva 𝑦 = 𝑥2 − 4 𝑒 𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 no intervalo [-2, 2]. 
 
 
Caso III: ÁREA POSITIVA E NEGATIVA DENTRO DO MESMO INTERVALO 
Se uma função for contínua num intervalo [a, b], mas apresentar sinais diferentes dentro deste 
intervalo, por exemplo, f(x) > 0 em [a, c] e f(x) < 0 em [c, b]. 
 
ÁREA LÍQUIDA: Considera os valores negativos para o cálculo, assim usa-se a integral definida 
da função dada. 
ÁREA TOTAL: Considera o módulo dos valores negativos para o cálculo, assim será preciso 
dividir o intervalo de integração em subintervalos a fim visualizar as partes positivas e as partes 
negativas. 
 
 
Exemplo 5: Encontre a área líquida e a área total sob a curva 𝑦 = cos 𝑥 no intervalo [0, 𝜋]. 
 
Exemplo 6: Encontre a área total entre a curva 𝑦 = 1 − 𝑥² e o eixo x no intervalo [0, 2]. 
 
 
CASO IV: ÁREA ENTRE DUAS CURVAS 
Se f(x) e g(x) foram funções contínuas no intervalo [a, b] e se 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) em cada x de [a, b], 
então a área da região limitada acima por f(x) e abaixo por g(x), à esquerda por x = a e à direita por 
x = b é 
 
𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 
 
Exemplo 7: Encontre a área da região limitada acima por 𝑦 = 𝑥 + 6, abaixo por 𝑦 = 𝑥2 e nas 
laterais por x = 0 e x = 2. 
 
Exemplo 8: Encontre a área da região limitada pelas curvas 𝑓(𝑥) = 𝑥² e 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 6. 
 
Exemplo 9: Encontre a área total da região limitada pelas curvas 𝑓(𝑥) = 𝑥³ e 𝑔(𝑥) = 𝑥. 
 
Exemplo 10: Encontre a área limitada pelas curvas 𝑦 = 𝑥 + 6, 𝑦 = 𝑥³ e 𝑦 = −
𝑥
2
 , sabendo que as 
funções se interceptam nos pontos (-4, 2), (0,0) e (2, 8) conforme o gráfico. 
 
 
 
 
 
 
CASO V: REVERTENDO OS PAPEIS DE X E Y 
Para o cálculo da área de certas curvas, às vezes, é interessante pensarmos nelas em função da 
variável y e não da variável x na qual estamos acostumados. Dessa forma, se w e v são funções 
contínuas de y no intervalo fechado [c, d] e que 𝑤(𝑦) ≥ 𝑣(𝑦) , ou seja, w está à direita de v, então 
a área limitada à esquerda por 𝑥 = 𝑤(𝑦) e à direita por 𝑥 = 𝑣(𝑦), acima por 𝑦 = 𝑑 e abaixo por 
𝑦 = 𝑐 é 
𝐴 = ∫ [𝑤(𝑦) − 𝑣(𝑦)] 𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
 
 
 
Exemplo 11: Encontre a área da região englobada por 𝑥 = 𝑦² e 𝑦 = 𝑥 − 2, integrando em relação a 
y. 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1) Calcule as integrais definidas abaixo, usando o Teorema Fundamental do Cálculo: 
(𝑎) ∫ 𝑥(1 + 𝑥3) 𝑑𝑥
2
−1
 
(𝑏) ∫ 2𝑡√𝑡 𝑑𝑡
9
4
 
(𝑐) ∫
𝑑𝑥
𝑥6
2
1
 
(𝑑) ∫
𝑑𝑦
√3𝑦 + 1
1
0
 
(𝑒) ∫ sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
3𝜋
4
𝜋
4
 
 
 
2) Calcule a área total e a área líquida da região limitada pela curva 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 2, o eixo x e 
as retas x = 0 e x = 4. 
 
3) Encontre a área da região sombreada em cada figura: 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
 
 
(d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Encontre a área total da região sombreada integrando em relação a y 
 
 
 
5) Encontre a área total da região limitada pelas curvas abaixo: 
(a) 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = √𝑥, 𝑥 =
1
4
, 𝑥 = 1 
(b) 𝑦 = 𝑥3 − 4𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = 2 
(c) 𝑦 = cos 2𝑥 , 𝑦 = 0, 𝑥 =
𝜋
4
, 𝑥 =
𝜋
2
 
(d) 𝑥 = sin 𝑦 , 𝑥 = 0, 𝑦 =
𝜋
4
, 𝑦 =
3𝜋
4
 
(e) 𝑥2 = 𝑦, 𝑥 = 𝑦 − 2 
(f) 𝑦 = 𝑒𝑥, 𝑦 = 𝑒2𝑥, 𝑥 = 0, 𝑥 = ln 2 
 
 
Gabarito: 
1) (a) 81/10; (b) 844/5; (c) 31/160; (d) 2/3; (e) 0. 
2) Área total de 17/3 u.a. e Área líquida de 37/6 u.a. 
3) (a) 9/3 u.a; (b) 22/3 u.a.; (c) 1 u.a.; (d) 10/3 u.a. 
4) 9 u.a. 
5) 49/192 u.a.; (b) 4 u.a.; (c) ½ u.a.; (d) √2 u.a.; (e) 9/2 u.a.; (f) ½ u.a.