exercicios feitos a mao FEURP

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a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( 3 \) 
 **Resposta**: a) \( 0 \) 
 **Explicação**: A função integranda é \( (x - 1)^5 \), e a integral de \( (x - 1)^5 \) de 0 a 1 é 
0. 
 
77. **Problema 77**: Determine a integral \( \int_0^1 (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) \, dx \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( 3 \) 
 **Resposta**: b) \( 1 \) 
 **Explicação**: A função integranda é \( (x + 1)^4 \). A integral de \( (x + 1)^4 \) de 0 a 1 é 
\( 1 \). 
 
78. **Problema 78**: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 3 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta**: c) \( 3 \) 
 **Explicação**: Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(kx)}{x} = k \). Portanto, \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = 3 \). 
 
79. **Problema 79**: Determine a derivada de \( f(x) = e^{x^3} \). 
 a) \( 3x^2 e^{x^3} \) 
 b) \( e^{x^3} \) 
 c) \( 3e^{x^3} \) 
 d) \( 9x^2 e^{x^3} \) 
 **Resposta**: a) \( 3x^2 e^{x^3} \) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = e^{x^3} \cdot 3x^2 = 3x^2 
e^{x^3} \). 
 
80. **Problema 80**: Calcule a integral \( \int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( \frac{5}{6} \) 
 c) \( \frac{2}{3} \) 
 d) \( 0 \) 
 **Resposta**: a) \( 1 \) 
 **Explicação**: A antiderivada é \( x^3 - x^2 + x \). Avaliando de 0 a 1, temos \( 1 \). 
 
81. **Problema 81**: Determine a integral \( \int_0^1 (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) \, dx \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( 3 \) 
 **Resposta**: b) \( 1 \) 
 **Explicação**: A função integranda é \( (x + 1)^4 \). A integral de \( (x + 1)^4 \) de 0 a 1 é 
\( 1 \). 
 
82. **Problema 82**: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(6x)}{x} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 6 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta**: c) \( 6 \) 
 **Explicação**: Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(kx)}{x} = k \). Portanto, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(6x)}{x} = 6 \). 
 
83. **Problema 83**: Determine a derivada de \( f(x) = \ln(x^3 + 1) \). 
 a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^3 + 1} \) 
 c) \( \frac{3}{x^3 + 1} \) 
 d) \( 3x^2 \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot 3x^2 = 
\frac{3x^2}{x^3 + 1} \). 
 
84. **Problema 84**: Calcule a integral \( \int_0^1 (x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1) \, dx 
\). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( 3 \) 
 **Resposta**: a) \( 0 \) 
 **Explicação**: A função integranda é \( (x - 1)^5 \), e a integral de \( (x - 1)^5 \) de 0 a 1 é 
0. 
 
85. **Problema 85**: Determine a integral \( \int_0^1 (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) \, dx \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( 3 \) 
 **Resposta**: b) \( 1 \) 
 **Explicação**: A função integranda é \( (x + 1)^4 \). A integral de \( (x + 1)^4 \) de 0 a 1 é 
\( 1 \). 
 
86. **Problema 86**: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(7x)}{x} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 7 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta**: c) \( 7 \) 
 **Explicação**: Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(kx)}{x} = k \). Portanto, \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(7x)}{x} = 7 \).