exercicios diarios AWM

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**Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** O limite é \( \lim_{x \to 0} x \cos(x) = 0 \). 
 
41. **Problema 41:** 
 Calcule a derivada de \( f(x) = \tan(3x) \). 
 a) \( 3\sec^2(3x) \) 
 b) \( \sec^2(3x) \) 
 c) \( 3\tan(3x) \) 
 d) \( 3\sin(3x) \) 
 **Resposta:** a) \( 3\sec^2(3x) \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = 3\sec^2(3x) \). 
 
42. **Problema 42:** 
 Determine a integral \( \int_1^3 (2x - 3) \, dx \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ x^2 - 3x \right]_1^3 = (9 - 9) - (1 - 3) = 2 \). 
 
43. **Problema 43:** 
 Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 2x}{3x^2 + 4} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \frac{5}{3} \) 
 d) \( \frac{2}{3} \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{5}{3} \) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos por \( x^2 \), temos \( \lim_{x \to \infty} \frac{5 
+ \frac{2}{x}}{3 + \frac{4}{x^2}} = \frac{5}{3} \). 
 
44. **Problema 44:** 
 Determine a derivada de \( f(x) = x^2 \sin(x) \). 
 a) \( 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \) 
 b) \( 2x \sin(x) - x^2 \cos(x) \) 
 c) \( x^2 \sin(x) + 2x \) 
 d) \( 2\sin(x) + x^2 \cos(x) \) 
 **Resposta:** a) \( 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, temos \( f'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \). 
 
45. **Problema 45:** 
 Calcule a integral \( \int (4x^3 - 2x) \, dx \). 
 a) \( x^4 - x^2 + C \) 
 b) \( x^4 - x^2 + 2 + C \) 
 c) \( 4x^4 - x^2 + C \) 
 d) \( 4x^4 - 2x + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^4 - x^2 + C \) 
 **Explicação:** A integral é \( \frac{4}{4}x^4 - \frac{2}{2}x^2 + C = x^4 - x^2 + C \). 
 
46. **Problema 46:** 
 Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 4 
 d) 2 
 **Resposta:** c) 4 
 **Explicação:** Usando a regra do limite, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k \), 
onde \( k = 4 \). 
 
47. **Problema 47:** 
 Calcule a derivada de \( f(x) = \ln(\sin(x)) \). 
 a) \( \cot(x) \) 
 b) \( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \) 
 c) \( \frac{1}{\sin(x)} \) 
 d) \( \frac{\sin(x)}{x} \) 
 **Resposta:** a) \( \cot(x) \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{\sin(x)} \cdot \cos(x) = 
\cot(x) \). 
 
48. **Problema 48:** 
 Determine a integral \( \int (3x^2 + 4) \, dx \). 
 a) \( x^3 + 4x + C \) 
 b) \( x^3 + 4 + C \) 
 c) \( 3x^3 + 4x + C \) 
 d) \( 3x^3 + 4 + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^3 + 4x + C \) 
 **Explicação:** A integral é \( x^3 + 4x + C \). 
 
49. **Problema 49:** 
 Calcule o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** O limite é \( \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2 \). 
 
50. **Problema 50:** 
 Determine a derivada de \( f(x) = e^{5x} \). 
 a) \( 5e^{5x} \) 
 b) \( e^{5x} \) 
 c) \( 5xe^{5x} \) 
 d) \( 25e^{5x} \)