05d82b17-877b-44fe-a4c1-28b8b405453b

Prévia do material em texto

ÁLGEBRA LINEAR
André Ricardo Rocha da Silva
Inversão de matrizes
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Calcular a inversa de uma matriz utilizando operações elementares 
com suas linhas.
 � Utilizar o produto de matrizes para escrever um sistema de equações 
lineares em forma de uma única equação matricial.
 � Resolver um sistema linear com o uso da matriz inversa.
Introdução
Os sistemas de equações lineares são conjuntos de equações lineares que 
envolvem várias incógnitas simultaneamente e que podem ser represen-
tados por uma equação matricial. Essa representação matricial permite 
obterá obtenção da solução de um sistema linear de equações por meio 
do cálculo da matriz inversa dos coeficientes do sistema.
Neste capítulo, você aprenderá a calcular a matriz inversa e a escrever 
um sistema de equações lineares como uma equação matricial e, a partir 
daí, a resolver esse sistema de equações lineares usando o método da 
matriz inversa.
Inversa de uma matriz
Uma operação simples na álgebra de escalares é a divisão de um número 
por ele mesmo, cujo resultado é igual à unidade. Assim, se N é um número 
qualquer e , então:
Por exemplo, para N = 3:
Aqui, o número N–1 representa o inverso do número N, de modo que qualquer 
número multiplicado por seu inverso será igual à unidade. 
Esse conceito também pode ser estendido para as matrizes com a devida 
adaptação. Com efeito, se A for uma matriz quadrada, e B for outra matriz 
quadrada de mesmo tamanho, então, a verificação de uma relação do tipo:
AB = BA = I
onde I é a matriz identidade, implica necessariamente que B é a matriz 
inversa de A. Desse modo, você pode fazer a seguinte identificação: B = A–1.
Logo:
AA–1 = A–1A = I
No entanto, vale a pena fazer a seguinte ressalva: diferentemente dos 
escalares, não existe a relação para matrizes, ou seja, não é possível 
dividir algo (um escalar ou mesmo uma matriz) por uma matriz.
 Para exemplificar como o conceito de matriz inversa pode ser visto, con-
sidere a matriz A dada por:
cuja matriz inversa é a B:
pois:
Inversão de matrizes2
Para o caso de uma matriz quadrada do tipo 2 × 2, é possível desenvolver 
uma solução geral para se determinar sua inversa. Sejam a, b, c e d os ele-
mentos de uma matriz A:
e sejam x, y, z e t os elementos da matriz inversa de A:
que são, em princípio, desconhecidos. A fim de se determinar os elementos 
dessa matriz inversa, a partir do conhecimento dos elementos de A, é necessário 
que a seguinte relação seja verificada: 
A relação anterior conduz a um conjunto de quatro equações a quatro 
variáveis, x, y, z e t, pois os elementos a, b, c e d são supostamente conhecidos 
a partir de uma dada matriz A. Logo:
ax + cy = 1
bx + dy = 0
az + ct = 0
bz + dt = 1
A partir das duas primeiras equações, determina-se x e y (por exemplo, 
basta isolar a variável x na primeira equação, e substituir na segunda, 
, obtendo-se a variável y, que, depois, pode ser substituída 
na primeira equação, a fim de se obter x). Desse modo:
A partir das duas últimas equações, determinam-se z e t (por exemplo, 
basta isolar a variável z na terceira equação, z = (–ct)/a, e substituir na quarta, 
(–bct/a) + dt = 1, obtendo-se a variável t, que, depois, pode ser substituída na 
terceira equação, a fim de se obter z). Desse modo:
3Inversão de matrizes
Como o fator é comum a todos os elementos da matriz inversa, 
você pode fatorá-lo na montagem da matriz inversa, de maneira que:
No exemplo inicial proposto, os elementos da matriz A eram a = 3, b = 
5, c = 1 e d = 2, e, portanto, pelo resultado anterior, a matriz inversa ficaria:
que é exatamente a matriz B, inicialmente considerada como sendo a 
matriz inversa de A. 
Uma consequência direta desse resultado para uma matriz do tipo 2 × 2 é 
que a matriz inversa existe somente se o denominador (ad – bc) for diferente 
de 0. Observe que a quantidade (ad – bc) nada mais é que o determinante da 
matriz A. Caso contrário, se (ad – bc) = 0, a matriz inversa não existe, pois 
todos os elementos da matriz inversa estariam divididos por 0. Nesse sentido, 
diz-se que a matriz é invertível. 
Se uma matriz A admite a existência de uma matriz inversa A–1, então, A–1 é única, não 
havendo outra matriz inversa para A. 
Existem algumas propriedades envolvendo as matrizes inversas que valem 
a pena ser conhecidas.
Propriedade 1
Se uma matriz A contém uma inversa A–1, então, a inversa da matriz inversa 
é a própria matriz A:
(A–1)–1 = A 
Inversão de matrizes4
No exemplo apresentado, você viu que:
Então, calculando a inversa dessa matriz A–1:
que é exatamente a matriz A.
Propriedade 2
Considere duas matrizes A e B, ambas invertíveis, então, a inversa do produto 
entre elas, AB, será igual ao produto das inversas de B e A, B–1A–1:
(AB)–1 = B–1A–1
Por exemplo, para as matrizes:
as respectivas matrizes inversas são:
Já o produto entre as matrizes A e B é:
Então, a matriz inversa desse produto é:
5Inversão de matrizes
Mas o produto da matriz inversa de B, B–1, com a matriz inversa de A, A–1, 
também resulta em:
Logo, nesse exemplo, verifica-se a validade da expressão (AB)–1 = B–1A–1.
Propriedade 3
Se A é uma matriz quadrada, então, o produto de n vezes ela mesma, , 
será igual a An. Além disso, se a matriz inversa de A existe, então, a matriz An 
também contém uma inversa, que é dada por:
(An)–1 = (A–1)n 
Por exemplo, para n = 2 e a matriz:
cuja inversa é:
você tem que o quadrado de A é:
e a inversa dessa matriz é dada por:
No entanto, o quadrado da matriz A–1 é:
que é exatamente igual a (A2)–1. Logo, verifica-se explicitamente que 
(A2)–1 = (A–1)2.
Inversão de matrizes6
Matriz ortogonal
Uma matriz A é dita ortogonal se sua matriz transposta é igual à sua matriz 
inversa: 
AT = A–1 
Assim como A–1A = AA–1 = I, para uma matriz ortogonal, vale também:
ATA = AAT = I
Um bom exemplo de matriz ortogonal surge na física, envolvendo a rotação 
de corpos rígidos ou sistemas de referência no plano. Nesse caso, a matriz de 
rotação é dada por:
A matriz transposta de R (obtida trocando a primeira linha pela primeira 
coluna, e a segunda linha pela segunda coluna) é:
Então, efetuando o produto entre R e RT, você tem:
em que se empregou a identidade trigonométrica sen2θ + cos2θ = 1. 
Similarmente:
Embora o resultado obtido para encontrar a matriz inversa de uma matriz 
do tipo 2 × 2:
7Inversão de matrizes
seja muito útil e relativamente fácil de ser construído, desenvolver o mesmo 
procedimento que conduziu a esse resultado para obter a matriz inversa de 
matrizes de tamanhos maiores pode ser algo extremamente trabalhoso. 
Outro método que você pode utilizar para encontrar a matriz inversa de 
matrizes de qualquer tamanho envolve apenas operações elementares sobre 
linhas. 
A ideia básica é perfilar, lado a lado, uma matriz A que se quer determinar a 
inversa, e a matriz identidade I, ambas de mesmo tamanho, da seguinte maneira:
[A|I]
Se você multiplicar essa relação por A–1 pela esquerda, você tem:
Observe atentamente que essa operação fez com que, no lado esquerdo, 
aparecesse a matriz identidade, mas, principalmente, do lado direito, surge 
a matriz inversa de A.
Portanto, se você executar operações elementares entre linhas, tal como 
multiplicar uma linha por uma constante ou somar uma linha com outra linha, 
de modo a transformar a matriz A do lado esquerdo em uma matriz identidade, 
então, a matriz resultante que aparece no lado direito após esse processo é 
essencialmente a matriz inversa de A:
[I|A–1]
Como um primeiro exemplo sobre esse método, considere novamente a 
matriz A dada no exemplo inicial deste capítulo:
Fazendo o perfilamento entre A e I, você tem:
Agora, você deve efetuar algumas operações elementares sobre essa "matriz 
2 × 4", a fim de transformar o bloco 2 × 2 do lado esquerdo em uma matriz 
identidade. 
Inversão de matrizes8
Para isso, multiplique toda a segunda linha por –3:
–3 ∙ [1 2|0 1] = [–3 –6|0–3]
E a nova segunda linha fica:
Então, some os elementos da primeira linha com os da segunda, um a um, 
mantendo a mesma ordem:
[3 5|1 0] + [–3 –6|0 –3] = [0 –1|1 –3]
Esses resultados vão compor a nova segunda linha:
Multiplique a segunda linha por –1:
–1 ∙ [0 –1|1 –3] = [0 1|–1 3]
E a nova segunda linha fica:
Note que a segunda linha do lado esquerdo já tem a aparência da segunda 
linha de uma matriz identidade. Agora, multiplique a segunda linha por –5 e, 
depois, some com a primeira linha:
–5 ∙ [0 1|–1 3] + [3 5|1 0] = [3 0|6 –15]
E a nova primeira linha fica:
Por fim, divida toda a primeira linha por:
9Inversão de matrizes
E a nova primeira linha fica:
Observe que, do lado esquerdo, apareceu a matriz identidade. Portanto, 
do lado direito dessa relação, você tem exatamente a matriz inversa de A:
Esse resultado para a matriz inversa de certamente já era esperado, pois ele 
já foi obtido de outra maneira no início desta seção. No entanto, exatamente 
por já ser um resultado conhecido, você pode desenvolver a aplicação desse 
método de obtenção da matriz inversa com mais segurança. 
A partir deste ponto, você já tem condições de empregar o método de 
inversão de matrizes para matrizes maiores que uma do tipo 2 × 2. Essa é a 
grande vantagem desse método.
Então, para um segundo exemplo de uso do método, considere a seguinte 
matriz quadrada do tipo 3 × 3:
Para você encontrar C–1, é necessário perfilar a matriz C com a matriz 
identidade de mesmo tamanho:
Multiplique a primeira linha por –1 e some com a última linha:
–1 ∙ [1 2 3|1 0 0] + [1 0 8|0 0 1] = [0 –2 5|–1 0 1]
E a nova terceira linha fica:
Inversão de matrizes10
Agora, multiplique a primeira linha por –2 e some com a segunda linha:
–2 ∙ [1 2 3|1 0 0] + [2 5 3|0 1 0] = [0 1 –3|–2 1 0]
E a nova segunda linha fica:
Multiplique a segunda linha por 2 e some com a terceira linha:
2 ∙ [0 1 –3|–2 1 0] + [0 –2 5|–1 0 1] = [0 0 –1|–5 2 1]
E a nova terceira linha fica:
Multiplique a última linha por –1:
–1 ∙ [0 0 –1|–5 2 1] = [0 0 1|5 –2 –1]
E a nova terceira linha fica:
Aqui, você já conseguiu obter a última linha de uma matriz identidade do 
tipo 3 × 3 do lado esquerdo. Agora, o próximo passo é transformar a segunda 
linha do lado esquerdo na segunda linha de uma matriz identidade. Então, 
multiplique a terceira linha por 3 e some com a segunda linha:
3 ∙ [0 0 1|5 –2 –1] + [0 1 –3|–2 1 0] = [0 1 0|13 –5 –3]
11Inversão de matrizes
E a nova segunda linha fica:
que, no lado esquerdo, já corresponde à segunda linha da matriz identidade 
do tipo 3 × 3. Agora, resta transformar apenas a primeira linha. Para isso, 
multiplique a última linha por –3 e some com a primeira linha:
–3 ∙ [0 0 1|5 –2 –1] + [1 2 3|1 0 0] = [1 2 0|–14 6 3]
E a nova primeira linha fica:
Por fim, multiplique a segunda linha por –2 e some com a primeira linha:
–2 ∙ [0 1 0|13 –5 –3] + [1 2 0|–14 6 3] = [1 0 0|–40 16 9]
E a nova primeira linha fica:
Observe que, finalmente, a matriz que aparece do lado esquerdo é a matriz 
identidade do tipo 3 × 3. Portanto, a matriz inversa de C é dada por:
Em princípio, você pode obter a matriz inversa, desde que ela exista de 
uma dada matriz quadrada de qualquer tamanho, por meio desse método.
Inversão de matrizes12
Sistemas lineares com uma equação matricial
Todo sistema de equações lineares contém naturalmente uma estrutura matri-
cial. Para que você perceba isso, considere um sistema do tipo 2 × 2 qualquer:
A estrutura do lado esquerdo dessas duas equações lineares é tipicamente 
igual àquela que envolveria o produto entre duas matrizes: uma matriz qua-
drada do tipo 2 × 2 para os coeficientes aij, em que i, j = 1, 2; e outra matriz 
coluna do tipo 2 × 1 para as variáveis xj, em que j = 1, 2. Dessa forma, você 
pode escrever:
Similarmente, as constantes bi, em que i = 1, 2, que aparecem do lado direito 
das equações lineares anteriores, também podem ser postas em um formato 
matricial — mais especificamente, como uma matriz coluna do tipo 2 × 1:
Com efeito, o sistema de equações lineares pode ser substituído por uma 
representação em forma de equação matricial do tipo:
AX = B
em que a matriz A:
é denominada de matriz dos coeficientes, a matriz X:
é a matriz das variáveis, e a matriz B:
é a matriz das constantes. 
13Inversão de matrizes
Uma vez estabelecida a relação entre sistemas de equações lineares e ma-
triciais, você pode encontrar a solução de tais sistemas por meio das matrizes. 
Veja como isso é possível: se a matriz dos coeficientes A é quadrada e admite 
a existência de uma inversa, A–1, então, você pode determinar a matriz das 
variáveis por multiplicar a equação matricial do sistema por A–1 pela esquerda: 
em que I é a matriz identidade.
Portanto, a solução do sistema será dada pela matriz das variáveis X , 
calculada por meio da relação:
X = A–1B
Assim, torna-se necessário saber calcular a matriz inversa associada à 
matriz dos coeficientes, a fim de se obter a solução do sistema.
Um sistema de equações lineares contém uma única solução quando a matriz dos 
coeficientes do sistema for invertível. 
Sistemas lineares com matriz inversa
Para que você coloque em prática os resultados da seção anterior e, portanto, 
consiga resolver um sistema de equações lineares por meio da matriz inversa 
dos coeficientes, considere o seguinte sistema do tipo 2 × 2:
Nesse caso, é fácil reconhecer a matriz dos coeficientes:
Inversão de matrizes14
enquanto que a matriz das variáveis é:
e a matriz das constantes é:
A fim de se determinar X por meio da equação matricial X = A–1B, é 
necessário calcular a matriz inversa de A. Então, perfilando a matriz A e a 
matriz identidade do tipo 2 × 2, você obtém: 
Primeiro, multiplique a primeira linha por 3 e some com a segunda linha:
3 ∙ [–1 1|1 0] + [3 2|0 1] = [0 5|3 1]
E a nova segunda linha fica:
Divida a segunda linha por 5:
E a nova segunda linha fica:
Agora, multiplique a segunda linha por –1 e some com a primeira linha:
–1 ∙ [0 1|3/5 1/5] + [–1 1|1 0] = [–1 0|2/5 –1/5]
E a nova primeira linha fica:
15Inversão de matrizes
Multiplique a primeira linha por –1:
–1 ∙ [–1 0|2/5 –1/5] = [1 0|–2/5 1/5]
E a nova primeira linha fica:
Observe que você já tem, do lado esquerdo, uma matriz identidade do tipo 
2 × 2. Logo, a matriz inversa de A é dada por:
Por fim, para você determinar a matriz X, basta calcular o produto matricial 
A–1B:
Logo, a solução desse sistema é dada por:
em que x = –1 e y = 5.
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. Porto Alegre: Bookman, 2006. 
612 p.
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 
2012. 786 p.
Leitura recomendada
CRISPINO, M. L. 320 questões resolvidas de álgebra linear. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 
2012. 352 p.
Inversão de matrizes16