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Inversão de Matrizes APRESENTAÇÃO Os sistemas de equações lineares são conjuntos de equações lineares que envolvem várias incógnitas simultaneamente. Como tais sistemas são muito utilizados para organizar e processar informações, estão presentes em áreas como Matemática, Física, Química, Computação, Engenharia e Economia. Por isso, torna-se necessário o desenvolvimento de técnicas que possam fornecer as soluções dos sistemas de equações lineares. Uma delas envolve escrever as equações do sistema como uma equação matricial, e a partir disso obter a matriz inversa dos coeficientes do sistema. Para que você possa acompanhar adequadamente esta unidade, é necessário que você saiba os conceitos de matrizes, sistemas de equações lineares e os métodos de eliminação de Gauss e de Gauss-Jordan. Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai aprender a encontrar a matriz inversa, e depois usar esse conhecimento para resolver um sistema de equações lineares. Bons estudos. Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados: Calcular a inversa de uma matriz utilizando operações elementares com suas linhas. • Utilizar o produto de matrizes para escrever um sistema de equações lineares em forma de uma única equação matricial. • Resolver um sistema linear com o uso da matriz inversa. • DESAFIO Você deverá montar um sistema de equações lineares e representá-lo na forma matricial utilizando a técnica de calcular a matriz inversa para resolver um sistema de equações lineares associado a um circuito elétrico. Abaixo, saiba mais sobre esse circuito elétrico. INFOGRÁFICO Os sistemas lineares são conjuntos de equações lineares envolvendo variáveis que se desconhece. Quando se pensa em solucionar um tal sistema, o que se quer de fato é encontrar os valores dessas variáveis que satisfaçam simultaneamente todas as equações. Uma característica importante de um sistema linear é que ele possui naturalmente uma estrutura matricial, o que permite resolvê-lo, desde que, nesse caso, você conheça a matriz inversa dos coeficientes do sistema. No Infográfico a seguir, você verá a construção da solução de um sistema de equações lineares a partir de sua representação matricial por meio do cálculo da matriz inversa dos coeficientes. CONTEÚDO DO LIVRO Os sistemas de equações lineares surgem naturalmente em muitas áreas das Ciências, como a Física, a Matemática e a Economia. Eles são conjuntos de equações lineares que envolvem muitas variáveis, e por isso a obtenção da solução de tais sistemas pode ser muito complicada. Contudo, o fato de tais sistemas possuírem uma estrutura natural de matrizes permite que seja possível resolvê-los desde que se saiba calcular a matriz inversa dos coeficientes do sistema. No capítulo Inversão de matrizes, da obra Álgebra Linear, que fornece o apoio conceitual necessário para esta Unidade de Aprendizagem, você entenderá como um sistema de equações lineares pode ser representado como uma equação matricial, e como resolvê-lo a partir do cálculo da matriz inversa. Boa leitura. ÁLGEBRA LINEAR André Ricardo Rocha da Silva Inversão de matrizes Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados: � Calcular a inversa de uma matriz utilizando operações elementares com suas linhas. � Utilizar o produto de matrizes para escrever um sistema de equações lineares em forma de uma única equação matricial. � Resolver um sistema linear com o uso da matriz inversa. Introdução Os sistemas de equações lineares são conjuntos de equações lineares que envolvem várias incógnitas simultaneamente e que podem ser represen- tados por uma equação matricial. Essa representação matricial permite obterá obtenção da solução de um sistema linear de equações por meio do cálculo da matriz inversa dos coeficientes do sistema. Neste capítulo, você aprenderá a calcular a matriz inversa e a escrever um sistema de equações lineares como uma equação matricial e, a partir daí, a resolver esse sistema de equações lineares usando o método da matriz inversa. Inversa de uma matriz Uma operação simples na álgebra de escalares é a divisão de um número por ele mesmo, cujo resultado é igual à unidade. Assim, se N é um número qualquer e , então: Por exemplo, para N = 3: Aqui, o número N–1 representa o inverso do número N, de modo que qualquer número multiplicado por seu inverso será igual à unidade. Esse conceito também pode ser estendido para as matrizes com a devida adaptação. Com efeito, se A for uma matriz quadrada, e B for outra matriz quadrada de mesmo tamanho, então, a verificação de uma relação do tipo: AB = BA = I onde I é a matriz identidade, implica necessariamente que B é a matriz inversa de A. Desse modo, você pode fazer a seguinte identificação: B = A–1. Logo: AA–1 = A–1A = I No entanto, vale a pena fazer a seguinte ressalva: diferentemente dos escalares, não existe a relação para matrizes, ou seja, não é possível dividir algo (um escalar ou mesmo uma matriz) por uma matriz. Para exemplificar como o conceito de matriz inversa pode ser visto, con- sidere a matriz A dada por: cuja matriz inversa é a B: pois: Inversão de matrizes2 Para o caso de uma matriz quadrada do tipo 2 × 2, é possível desenvolver uma solução geral para se determinar sua inversa. Sejam a, b, c e d os ele- mentos de uma matriz A: e sejam x, y, z e t os elementos da matriz inversa de A: que são, em princípio, desconhecidos. A fim de se determinar os elementos dessa matriz inversa, a partir do conhecimento dos elementos de A, é necessário que a seguinte relação seja verificada: A relação anterior conduz a um conjunto de quatro equações a quatro variáveis, x, y, z e t, pois os elementos a, b, c e d são supostamente conhecidos a partir de uma dada matriz A. Logo: ax + cy = 1 bx + dy = 0 az + ct = 0 bz + dt = 1 A partir das duas primeiras equações, determina-se x e y (por exemplo, basta isolar a variável x na primeira equação, e substituir na segunda, , obtendo-se a variável y, que, depois, pode ser substituída na primeira equação, a fim de se obter x). Desse modo: A partir das duas últimas equações, determinam-se z e t (por exemplo, basta isolar a variável z na terceira equação, z = (–ct)/a, e substituir na quarta, (–bct/a) + dt = 1, obtendo-se a variável t, que, depois, pode ser substituída na terceira equação, a fim de se obter z). Desse modo: 3Inversão de matrizes Como o fator é comum a todos os elementos da matriz inversa, você pode fatorá-lo na montagem da matriz inversa, de maneira que: No exemplo inicial proposto, os elementos da matriz A eram a = 3, b = 5, c = 1 e d = 2, e, portanto, pelo resultado anterior, a matriz inversa ficaria: que é exatamente a matriz B, inicialmente considerada como sendo a matriz inversa de A. Uma consequência direta desse resultado para uma matriz do tipo 2 × 2 é que a matriz inversa existe somente se o denominador (ad – bc) for diferente de 0. Observe que a quantidade (ad – bc) nada mais é que o determinante da matriz A. Caso contrário, se (ad – bc) = 0, a matriz inversa não existe, pois todos os elementos da matriz inversa estariam divididos por 0. Nesse sentido, diz-se que a matriz é invertível. Se uma matriz A admite a existência de uma matriz inversa A–1, então, A–1 é única, não havendo outra matriz inversa para A. Existem algumas propriedades envolvendo as matrizes inversas que valem a pena ser conhecidas. Propriedade 1 Se uma matriz A contém uma inversa A–1, então, a inversa da matriz inversa é a própria matriz A: (A–1)–1 = A Inversão de matrizes4 No exemplo apresentado, você viu que: Então, calculando a inversa dessa matriz A–1: que é exatamente a matriz A. Propriedade 2 Considere duas matrizes A e B, ambas invertíveis, então, a inversa do produto entre elas, AB, será igual ao produto das inversas de B e A, B–1A–1: (AB)–1 = B–1A–1 Por exemplo, para as matrizes: as respectivasmatrizes inversas são: Já o produto entre as matrizes A e B é: Então, a matriz inversa desse produto é: 5Inversão de matrizes Mas o produto da matriz inversa de B, B–1, com a matriz inversa de A, A–1, também resulta em: Logo, nesse exemplo, verifica-se a validade da expressão (AB)–1 = B–1A–1. Propriedade 3 Se A é uma matriz quadrada, então, o produto de n vezes ela mesma, , será igual a An. Além disso, se a matriz inversa de A existe, então, a matriz An também contém uma inversa, que é dada por: (An)–1 = (A–1)n Por exemplo, para n = 2 e a matriz: cuja inversa é: você tem que o quadrado de A é: e a inversa dessa matriz é dada por: No entanto, o quadrado da matriz A–1 é: que é exatamente igual a (A2)–1. Logo, verifica-se explicitamente que (A2)–1 = (A–1)2. Inversão de matrizes6 Matriz ortogonal Uma matriz A é dita ortogonal se sua matriz transposta é igual à sua matriz inversa: AT = A–1 Assim como A–1A = AA–1 = I, para uma matriz ortogonal, vale também: ATA = AAT = I Um bom exemplo de matriz ortogonal surge na física, envolvendo a rotação de corpos rígidos ou sistemas de referência no plano. Nesse caso, a matriz de rotação é dada por: A matriz transposta de R (obtida trocando a primeira linha pela primeira coluna, e a segunda linha pela segunda coluna) é: Então, efetuando o produto entre R e RT, você tem: em que se empregou a identidade trigonométrica sen2θ + cos2θ = 1. Similarmente: Embora o resultado obtido para encontrar a matriz inversa de uma matriz do tipo 2 × 2: 7Inversão de matrizes seja muito útil e relativamente fácil de ser construído, desenvolver o mesmo procedimento que conduziu a esse resultado para obter a matriz inversa de matrizes de tamanhos maiores pode ser algo extremamente trabalhoso. Outro método que você pode utilizar para encontrar a matriz inversa de matrizes de qualquer tamanho envolve apenas operações elementares sobre linhas. A ideia básica é perfilar, lado a lado, uma matriz A que se quer determinar a inversa, e a matriz identidade I, ambas de mesmo tamanho, da seguinte maneira: [A|I] Se você multiplicar essa relação por A–1 pela esquerda, você tem: Observe atentamente que essa operação fez com que, no lado esquerdo, aparecesse a matriz identidade, mas, principalmente, do lado direito, surge a matriz inversa de A. Portanto, se você executar operações elementares entre linhas, tal como multiplicar uma linha por uma constante ou somar uma linha com outra linha, de modo a transformar a matriz A do lado esquerdo em uma matriz identidade, então, a matriz resultante que aparece no lado direito após esse processo é essencialmente a matriz inversa de A: [I|A–1] Como um primeiro exemplo sobre esse método, considere novamente a matriz A dada no exemplo inicial deste capítulo: Fazendo o perfilamento entre A e I, você tem: Agora, você deve efetuar algumas operações elementares sobre essa "matriz 2 × 4", a fim de transformar o bloco 2 × 2 do lado esquerdo em uma matriz identidade. Inversão de matrizes8 Para isso, multiplique toda a segunda linha por –3: –3 ∙ [1 2|0 1] = [–3 –6|0 –3] E a nova segunda linha fica: Então, some os elementos da primeira linha com os da segunda, um a um, mantendo a mesma ordem: [3 5|1 0] + [–3 –6|0 –3] = [0 –1|1 –3] Esses resultados vão compor a nova segunda linha: Multiplique a segunda linha por –1: –1 ∙ [0 –1|1 –3] = [0 1|–1 3] E a nova segunda linha fica: Note que a segunda linha do lado esquerdo já tem a aparência da segunda linha de uma matriz identidade. Agora, multiplique a segunda linha por –5 e, depois, some com a primeira linha: –5 ∙ [0 1|–1 3] + [3 5|1 0] = [3 0|6 –15] E a nova primeira linha fica: Por fim, divida toda a primeira linha por: 9Inversão de matrizes E a nova primeira linha fica: Observe que, do lado esquerdo, apareceu a matriz identidade. Portanto, do lado direito dessa relação, você tem exatamente a matriz inversa de A: Esse resultado para a matriz inversa de certamente já era esperado, pois ele já foi obtido de outra maneira no início desta seção. No entanto, exatamente por já ser um resultado conhecido, você pode desenvolver a aplicação desse método de obtenção da matriz inversa com mais segurança. A partir deste ponto, você já tem condições de empregar o método de inversão de matrizes para matrizes maiores que uma do tipo 2 × 2. Essa é a grande vantagem desse método. Então, para um segundo exemplo de uso do método, considere a seguinte matriz quadrada do tipo 3 × 3: Para você encontrar C–1, é necessário perfilar a matriz C com a matriz identidade de mesmo tamanho: Multiplique a primeira linha por –1 e some com a última linha: –1 ∙ [1 2 3|1 0 0] + [1 0 8|0 0 1] = [0 –2 5|–1 0 1] E a nova terceira linha fica: Inversão de matrizes10 Agora, multiplique a primeira linha por –2 e some com a segunda linha: –2 ∙ [1 2 3|1 0 0] + [2 5 3|0 1 0] = [0 1 –3|–2 1 0] E a nova segunda linha fica: Multiplique a segunda linha por 2 e some com a terceira linha: 2 ∙ [0 1 –3|–2 1 0] + [0 –2 5|–1 0 1] = [0 0 –1|–5 2 1] E a nova terceira linha fica: Multiplique a última linha por –1: –1 ∙ [0 0 –1|–5 2 1] = [0 0 1|5 –2 –1] E a nova terceira linha fica: Aqui, você já conseguiu obter a última linha de uma matriz identidade do tipo 3 × 3 do lado esquerdo. Agora, o próximo passo é transformar a segunda linha do lado esquerdo na segunda linha de uma matriz identidade. Então, multiplique a terceira linha por 3 e some com a segunda linha: 3 ∙ [0 0 1|5 –2 –1] + [0 1 –3|–2 1 0] = [0 1 0|13 –5 –3] 11Inversão de matrizes E a nova segunda linha fica: que, no lado esquerdo, já corresponde à segunda linha da matriz identidade do tipo 3 × 3. Agora, resta transformar apenas a primeira linha. Para isso, multiplique a última linha por –3 e some com a primeira linha: –3 ∙ [0 0 1|5 –2 –1] + [1 2 3|1 0 0] = [1 2 0|–14 6 3] E a nova primeira linha fica: Por fim, multiplique a segunda linha por –2 e some com a primeira linha: –2 ∙ [0 1 0|13 –5 –3] + [1 2 0|–14 6 3] = [1 0 0|–40 16 9] E a nova primeira linha fica: Observe que, finalmente, a matriz que aparece do lado esquerdo é a matriz identidade do tipo 3 × 3. Portanto, a matriz inversa de C é dada por: Em princípio, você pode obter a matriz inversa, desde que ela exista de uma dada matriz quadrada de qualquer tamanho, por meio desse método. Inversão de matrizes12 Sistemas lineares com uma equação matricial Todo sistema de equações lineares contém naturalmente uma estrutura matri- cial. Para que você perceba isso, considere um sistema do tipo 2 × 2 qualquer: A estrutura do lado esquerdo dessas duas equações lineares é tipicamente igual àquela que envolveria o produto entre duas matrizes: uma matriz qua- drada do tipo 2 × 2 para os coeficientes aij, em que i, j = 1, 2; e outra matriz coluna do tipo 2 × 1 para as variáveis xj, em que j = 1, 2. Dessa forma, você pode escrever: Similarmente, as constantes bi, em que i = 1, 2, que aparecem do lado direito das equações lineares anteriores, também podem ser postas em um formato matricial — mais especificamente, como uma matriz coluna do tipo 2 × 1: Com efeito, o sistema de equações lineares pode ser substituído por uma representação em forma de equação matricial do tipo: AX = B em que a matriz A: é denominada de matriz dos coeficientes, a matriz X: é a matriz das variáveis, e a matriz B: é a matriz das constantes. 13Inversão de matrizes Uma vez estabelecida a relação entre sistemas de equações lineares e ma- triciais, você pode encontrar a solução de tais sistemas por meio das matrizes. Veja como isso é possível: se a matriz dos coeficientes A é quadrada e admite a existência de uma inversa, A–1, então, você pode determinar a matriz das variáveis por multiplicar a equação matricial do sistema por A–1 pela esquerda: em que I é a matriz identidade. Portanto,a solução do sistema será dada pela matriz das variáveis X , calculada por meio da relação: X = A–1B Assim, torna-se necessário saber calcular a matriz inversa associada à matriz dos coeficientes, a fim de se obter a solução do sistema. Um sistema de equações lineares contém uma única solução quando a matriz dos coeficientes do sistema for invertível. Sistemas lineares com matriz inversa Para que você coloque em prática os resultados da seção anterior e, portanto, consiga resolver um sistema de equações lineares por meio da matriz inversa dos coeficientes, considere o seguinte sistema do tipo 2 × 2: Nesse caso, é fácil reconhecer a matriz dos coeficientes: Inversão de matrizes14 enquanto que a matriz das variáveis é: e a matriz das constantes é: A fim de se determinar X por meio da equação matricial X = A–1B, é necessário calcular a matriz inversa de A. Então, perfilando a matriz A e a matriz identidade do tipo 2 × 2, você obtém: Primeiro, multiplique a primeira linha por 3 e some com a segunda linha: 3 ∙ [–1 1|1 0] + [3 2|0 1] = [0 5|3 1] E a nova segunda linha fica: Divida a segunda linha por 5: E a nova segunda linha fica: Agora, multiplique a segunda linha por –1 e some com a primeira linha: –1 ∙ [0 1|3/5 1/5] + [–1 1|1 0] = [–1 0|2/5 –1/5] E a nova primeira linha fica: 15Inversão de matrizes Multiplique a primeira linha por –1: –1 ∙ [–1 0|2/5 –1/5] = [1 0|–2/5 1/5] E a nova primeira linha fica: Observe que você já tem, do lado esquerdo, uma matriz identidade do tipo 2 × 2. Logo, a matriz inversa de A é dada por: Por fim, para você determinar a matriz X, basta calcular o produto matricial A–1B: Logo, a solução desse sistema é dada por: em que x = –1 e y = 5. ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. Porto Alegre: Bookman, 2006. 612 p. ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012. 786 p. Leitura recomendada CRISPINO, M. L. 320 questões resolvidas de álgebra linear. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2012. 352 p. Inversão de matrizes16 DICA DO PROFESSOR A representação matricial de um sistema de equações lineares pode ser muito útil para a obtenção de sua solução. De fato, a solução pode ser obtida calculando a matriz inversa dos coeficientes do sistema. Nesta Dica do Professor, você verá um exemplo de como resolver um sistema a partir do cálculo da matriz inversa dos coeficientes por meio de operações elementares sobre linhas. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! EXERCÍCIOS 1) Dadas as matrizes abaixo: , encontre a matriz inversa do produto entre A e B, isto é, (AB)-1. A) B) C) D) E) 2) Considerando a matriz , encontre sua inversa. A) B) C) D) E) Dado o sistema de equações lineares abaixo , 3) a matriz inversa dos coeficientes e a matriz representativa da solução do sistema são, respectivamente: A) B) C) D) E) 4) Determine a matriz inversa dos coeficientes e a matriz solução do seguinte sistema de equações lineares: A) B) C) D) E) 5) Para o sistema de equações lineares abaixo: a matriz inversa dos coeficientes e a matriz solução do sistema são, respectivamente: A) B) C) D) E) NA PRÁTICA Uma situação prática em que você pode utilizar o cálculo da matriz inversa para resolver um sistema de equações lineares é na análise de circuitos elétricos. Neste Na Prática, você verá como é feito o cálculo das correntes elétricas que passam por um circuito elétrico de um brinquedo utilizando o cálculo da matriz inversa. SAIBA MAIS Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor: Sistemas de equações lineares e matrizes No Capítulo 1 do livro de H. Anton, você aprenderá mais sobre Matrizes. Matriz inversa Para aprofundar seus conhecimentos, acesse este conteúdo, que contém alguns exemplos adicionais, bem como a inversão de uma matriz 4 X 4. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! Matriz inversa (Aula 21) Neste vídeo, você pode ver como aplicar o método de eliminação de Gauss para obter a matriz inversa. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! Lista de Exercícios Para aprender sobre Inversão de Matrizes, é importante que você treine fazendo diversos exercícios. Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
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