folhas do livro acn

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**Resposta:** a) \( \frac{2}{5}x^5 - x^3 + 5x + C \) 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \int 2x^4 \, dx = \frac{2}{5}x^5 \), \( \int -3x^2 \, dx = -
x^3 \), e \( \int 5 \, dx = 5x \). 
 
37. **Problema 37:** Determine o valor de \( \int_{1}^{3} (x^2 - 2) \, dx \). 
 a) \( -1 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( 2 \) 
 **Resposta:** a) \( -1 \) 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \frac{1}{3}x^3 - 2x \). Avaliando de 1 a 3: \( 
\left[\frac{1}{3}(3^3) - 2(3)\right] - \left[\frac{1}{3}(1^3) - 2(1)\right] = \left[9 - 6\right] - 
\left[\frac{1}{3} - 2\right] = 3 + \frac{5}{3} = -1 \). 
 
38. **Problema 38:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\tan(x)} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** a) \( 0 \) 
 **Explicação:** Como \( \tan(x) \) se aproxima de \( x \) quando \( x \) se aproxima de 0, 
temos \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\tan(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0} x = 0 \). 
 
39. **Problema 39:** Encontre a derivada de \( f(x) = \sin(x^2) \). 
 a) \( 2x \cos(x^2) \) 
 b) \( \cos(x^2) \) 
 c) \( 2 \sin(x^2) \) 
 d) \( 2x \sin(x^2) \) 
 **Resposta:** a) \( 2x \cos(x^2) \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2) \). 
 
40. **Problema 40:** Calcule a integral \( \int (5x^3 + 3x^2 - 2) \, dx \). 
 a) \( \frac{5}{4}x^4 + x^3 - 2x + C \) 
 b) \( \frac{5}{4}x^4 + x^3 - x + C \) 
 c) \( \frac{5}{4}x^4 + \frac{3}{3}x^3 - 2x + C \) 
 d) \( 5x^4 + 3x^2 - 2x + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{5}{4}x^4 + x^3 - 2x + C \) 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \int 5x^3 \, dx = \frac{5}{4}x^4 \), \( \int 3x^2 \, dx = x^3 
\), e \( \int -2 \, dx = -2x \). 
 
41. **Problema 41:** Determine o valor de \( \int_{0}^{1} (6x^2 - 4x + 1) \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( 3 \) 
 d) \( 4 \) 
 **Resposta:** a) \( 1 \) 
 **Explicação:** A antiderivada é \( 2x^3 - 2x^2 + x \). Avaliando de 0 a 1: \( [2(1)^3 - 
2(1)^2 + (1)] - [0] = 2 - 2 + 1 = 1 \). 
 
42. **Problema 42:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \). 
 a) \( 5 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** a) \( 5 \) 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, sabemos que \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(kx)}{x} = k \). Portanto, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = 5 \). 
 
43. **Problema 43:** Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(2x + 1) \). 
 a) \( \frac{2}{2x + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{2x + 1} \) 
 c) \( \frac{2x}{2x + 1} \) 
 d) \( \frac{1}{x} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2}{2x + 1} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{2x + 1} \cdot 2 = \frac{2}{2x + 
1} \). 
 
44. **Problema 44:** Calcule a integral \( \int (4x^3 + 2x - 3) \, dx \). 
 a) \( x^4 + x^2 - 3x + C \) 
 b) \( x^4 + x^2 - \frac{3}{2}x + C \) 
 c) \( x^4 + x^2 - 3x^2 + C \) 
 d) \( x^4 + x^2 - 3x^3 + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^4 + x^2 - 3x + C \) 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \int 4x^3 \, dx = x^4 \), \( \int 2x \, dx = x^2 \), e \( \int -3 
\, dx = -3x \). 
 
45. **Problema 45:** Determine o valor de \( \int_{0}^{1} (x^3 - 2x + 1) \, dx \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( 3 \) 
 **Resposta:** a) \( 0 \) 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \frac{1}{4}x^4 - x^2 + x \). Avaliando de 0 a 1: \( 
[\frac{1}{4} - 1 + 1] - [0] = 0 \). 
 
46. **Problema 46:** Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5}{2x^2 + 1} \). 
 a) \( \frac{3}{2} \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3}{2} \) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x^2 \): \( \lim_{x \to 
\infty} \frac{3 + \frac{5}{x^2}}{2 + \frac{1}{x^2}} = \frac{3}{2} \). 
 
47. **Problema 47:** Encontre a derivada de \( f(x) = \cos(x^3) \). 
 a) \( -3x^2 \sin(x^3) \)