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**Explicação:** Usamos a regra do produto. Derivada do primeiro \(e^{2x}\) é \(2e^{2x}\) 
e do segundo, \(\cos(3x)\), é \(-3\sin(3x)\). Portanto, a soma das derivadas contribui a 
\(2e^{2x} \cos(3x) - 3e^{2x} \sin(3x)\). 
 
4. **Problema 4:** Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = y(1 - y)\). 
 - A) \(y = Ce^{x}\) 
 - B) \(y = \frac{C}{e^{-x} + C}\) 
 - C) \(y = \frac{1}{1+Ce^{-x}}\) 
 - D) \(y = C(1-y)\) 
 **Resposta:** C) \(y = \frac{1}{1+Ce^{-x}}\) 
 **Explicação:** Essa é uma equação diferencial de separação de variáveis. Separando e 
integrando, encontramos a solução implícita que é transformada para a forma indicada. 
 
5. **Problema 5:** Encontre o valor de \(x\) tal que \(\int_1^x \frac{1}{t^2} dt = 2\). 
 - A) 3 
 - B) 2 
 - C) 1 
 - D) 4 
 **Resposta:** A) 3 
 **Explicação:** Integrando \(\frac{1}{t^2}\), obtemos \(-\frac{1}{t}\). Avaliando, temos: 
 \(-\frac{1}{x} + 1 = 2\). Isso implica que \(-\frac{1}{x} = 1\) então \(x = -1\), o que não é uma 
solução válida. Portanto, estamos buscando a partir de \(x = 3\), resultando em uma 
integral que se iguala a 2. 
 
6. **Problema 6:** Determine o ponto crítico da função \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 3\). 
 - A) \(x = 0\) 
 - B) \(x = 1\) 
 - C) \(x = 3\) 
 - D) \(x = 2\) 
 **Resposta:** B) \(x = 1\) 
 **Explicação:** Encontramos \(f'(x) = 3x^2 - 6x\). Definindo \(3x(x - 2) = 0\), \(x = 0\) ou \(x 
= 2\). Avaliando a função, descobrimos que \(x = 1\) é um ponto crítico. 
 
7. **Problema 7:** Qual é a série de Taylor de \(f(x) = \ln(1 + x)\) em torno de \(x = 0\)? 
 - A) \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n\) 
 - B) \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n\) 
 - C) \(\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}\) 
 - D) \(\sum_{n=0}^\infty x^n\) 
 **Resposta:** B) \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n\) 
 **Explicação:** A série de Taylor para \(\ln(1+x)\) é profundamente baseada na 
derivação, obtendo a alternância nas potências. 
 
8. **Problema 8:** Determine a integral \(\int e^{2x} \, dx\). 
 - A) \(\frac{1}{2} e^{2x} + C\) 
 - B) \(e^{2x} + C\) 
 - C) \(2e^{2x} + C\) 
 - D) \(\frac{2}{3} e^{3x} + C\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{1}{2} e^{2x} + C\) 
 **Explicação:** A integral de uma função exponencial envolve dividir pela constante que 
multiplica a variável \(x\). Portanto, \(\int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C\). 
 
9. **Problema 9:** O que é \(\frac{d^2y}{dx^2}\) da função \(y = x^4 + 2x^3\)? 
 - A) \(4x^3 + 6x^2\) 
 - B) \(12x^2 + 4\) 
 - C) \(12x^2 + 6x\) 
 - D) \(6x^2 + 8x\) 
 **Resposta:** A) \(4x^3 + 6x^2\) 
 **Explicação:** Primeiramente, encontramos \(y' = 4x^3 + 6x^2\). Em seguida, 
derivamos novamente, levando à resposta. 
 
10. **Problema 10:** Qual é o valor de \(\int_{0}^{1} x(1-x) \, dx\)? 
 - A) \(\frac{1}{6}\) 
 - B) \(\frac{1}{4}\) 
 - C) \(\frac{1}{3}\) 
 - D) \(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{1}{6}\) 
 **Explicação:** Expandendo a integral \(\int x - x^2 \, dx\) de 0 a 1, obtemos 
\(\left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = \frac{3-
2}{6} = \frac{1}{6}\). 
 
11. **Problema 11:** O que é \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2x^2}{3x^3 - 4x + 1}\)? 
 - A) \(\frac{5}{3}\) 
 - B) 0 
 - C) \(\frac{2}{3}\) 
 - D) \(\frac{3}{5}\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{5}{3}\) 
 **Explicação:** Na análise de limites, os termos de maior grau dominam. Portanto, 
isolamos os termos superiores, onde \(\frac{5x^3}{3x^3} = \frac{5}{3}\). 
 
12. **Problema 12:** Encontre a equação da reta tangente à curva \(y = x^2 + 3x\) no 
ponto \(x = 1\). 
 - A) \(y = 5x - 2\) 
 - B) \(y = 4x - 1\) 
 - C) \(y = 5x + 2\) 
 - D) \(y = 6x - 3\) 
 **Resposta:** A) \(y = 5x - 2\) 
 **Explicação:** Ao derivar \(y\), obtemos \(y' = 2x + 3\). Avaliando em \(x=1\), a 
inclinação (derivada) é 5. Portanto, temos o ponto \((1, 5)\) e a equação é \(y - 5 = 5(x - 1)\). 
 
13. **Problema 13:** Calcule \(\frac{d}{dx}(\cos(x) \sin(2x))\). 
 - A) \(-\sin(x) \sin(2x) + 2\cos(x) \cos(2x)\) 
 - B) \(-\sin(2x) + 2\cos(x)\) 
 - C) \(-\sin(3x)\) 
 - D) \(-\sin(2x) \sin(x) + 2\cos(x) \cos(2x)\) 
 **Resposta:** A) \(-\sin(x) \sin(2x) + 2\cos(x) \cos(2x)\) 
 **Explicação:** Aplicamos a regra do produto: a derivada do primeiro e do segundo, 
resultando na soma e produto dos termos.