Vamos analisar passo a passo. Dada a função: \[ y = x^2 + x + 3 \] Calculamos as derivadas: \[ y' = 2x + 1 \] \[ y'' = 2 \] Agora, vamos verificar qual equação diferencial entre as alternativas é satisfeita por essa função. Testando cada alternativa: A) \( y'' - 2y = 8 \) Substituindo: \( y'' = 2 \) \( y = x^2 + x + 3 \) \( 2 - 2(x^2 + x + 3) = 2 - 2x^2 - 2x - 6 = -2x^2 - 2x - 4 \neq 8 \) Não é verdadeira. B) \( y'' - 4xy' + 2y = 0 \) Substituindo: \( y'' = 2 \) \( y' = 2x + 1 \) \( y = x^2 + x + 3 \) Calculando: \( 2 - 4x(2x + 1) + 2(x^2 + x + 3) = 2 - 8x^2 - 4x + 2x^2 + 2x + 6 = (2 - 8x^2 + 2x^2) + (-4x + 2x) + 6 = (2 - 6x^2) + (-2x) + 6 = 8 - 6x^2 - 2x \neq 0 \) Não é verdadeira. C) \( 2xy' + 2y = 0 \) Substituindo: \( y' = 2x + 1 \) \( y = x^2 + x + 3 \) Calculando: \( 2x(2x + 1) + 2(x^2 + x + 3) = 4x^2 + 2x + 2x^2 + 2x + 6 = 6x^2 + 4x + 6 \neq 0 \) Não é verdadeira. D) \( x^2 y'' - 2xy' + 2y = 6 \) Substituindo: \( y'' = 2 \) \( y' = 2x + 1 \) \( y = x^2 + x + 3 \) Calculando: \( x^2 \cdot 2 - 2x (2x + 1) + 2(x^2 + x + 3) = 2x^2 - 4x^2 - 2x + 2x^2 + 2x + 6 = (2x^2 - 4x^2 + 2x^2) + (-2x + 2x) + 6 = 0 + 0 + 6 = 6 \) Igual a 6, portanto a equação é satisfeita. E) \( y'' - 2y' = 12 \) Substituindo: \( y'' = 2 \) \( y' = 2x + 1 \) Calculando: \( 2 - 2(2x + 1) = 2 - 4x - 2 = -4x \neq 12 \) Não é verdadeira. Resposta correta: D) \( x^2 y'' - 2xy' + 2y = 6 \).