o mundo das contas duxv

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b) \( 1 \) 
 c) \( \sqrt{3} \) 
 d) \( 2 \) 
 **Resposta: a) \( \sqrt{2} \)** 
 **Explicação:** Sabemos que \( \sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). 
Portanto, \( \sin(45^\circ) + \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \). 
 
2. O que é \( \tan(60^\circ) \)? 
 a) \( \sqrt{3} \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) 
 d) \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) 
 **Resposta: a) \( \sqrt{3} \)** 
 **Explicação:** A tangente de um ângulo é a razão entre o seno e o cosseno. Assim, \( 
\tan(60^\circ) = \frac{\sin(60^\circ)}{\cos(60^\circ)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 
\sqrt{3} \). 
 
3. Qual é o valor de \( \sin^2(30^\circ) + \cos^2(30^\circ) \)? 
 a) \( 1 \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{3}{4} \) 
 d) \( 0 \) 
 **Resposta: a) \( 1 \)** 
 **Explicação:** Segundo a identidade fundamental da trigonometria, \( \sin^2(x) + 
\cos^2(x) = 1 \) para qualquer ângulo \( x \). Portanto, \( \sin^2(30^\circ) + \cos^2(30^\circ) 
= 1 \). 
 
4. Se \( \tan(\theta) = 3 \), qual é o valor de \( \sin(\theta) \) e \( \cos(\theta) \) se \( \theta \) 
estiver no primeiro quadrante? 
 a) \( \sin(\theta) = \frac{3}{\sqrt{10}}, \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{10}} \) 
 b) \( \sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{10}}, \cos(\theta) = \frac{3}{\sqrt{10}} \) 
 c) \( \sin(\theta) = \frac{3}{5}, \cos(\theta) = \frac{4}{5} \) 
 d) \( \sin(\theta) = \frac{4}{5}, \cos(\theta) = \frac{3}{5} \) 
 **Resposta: a) \( \sin(\theta) = \frac{3}{\sqrt{10}}, \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{10}} \)** 
 **Explicação:** Sabemos que \( \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = 3 \). 
Usando um triângulo retângulo, podemos considerar um triângulo onde a altura é 3 e a 
base é 1. A hipotenusa será \( \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} \). Portanto, \( \sin(\theta) = 
\frac{3}{\sqrt{10}} \) e \( \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{10}} \). 
 
5. Qual é o valor de \( \sin(90^\circ - x) \)? 
 a) \( \sin(x) \) 
 b) \( \cos(x) \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( 0 \) 
 **Resposta: b) \( \cos(x) \)** 
 **Explicação:** Esta é uma das identidades trigonométricas fundamentais. A função 
seno de um ângulo complementa o cosseno do mesmo ângulo, ou seja, \( \sin(90^\circ - 
x) = \cos(x) \). 
 
6. Se \( \sin(x) = \frac{1}{2} \), qual é o valor de \( x \) no intervalo de \( [0^\circ, 360^\circ] 
\)? 
 a) \( 30^\circ \) e \( 150^\circ \) 
 b) \( 30^\circ \) e \( 210^\circ \) 
 c) \( 45^\circ \) e \( 135^\circ \) 
 d) \( 60^\circ \) e \( 120^\circ \) 
 **Resposta: a) \( 30^\circ \) e \( 150^\circ \)** 
 **Explicação:** O seno é positivo no primeiro e no segundo quadrante. Assim, as 
soluções para \( \sin(x) = \frac{1}{2} \) são \( x = 30^\circ \) e \( x = 150^\circ \). 
 
7. Qual é o valor de \( \cos(180^\circ) \)? 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( -1 \) 
 d) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta: c) \( -1 \)** 
 **Explicação:** O cosseno de \( 180^\circ \) é igual a \( -1 \), o que representa o ponto 
mais à esquerda no círculo unitário. 
 
8. Se \( \sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), qual é o valor de \( x \) no intervalo de \( [0^\circ, 
360^\circ] \)? 
 a) \( 60^\circ \) e \( 120^\circ \) 
 b) \( 30^\circ \) e \( 150^\circ \) 
 c) \( 45^\circ \) e \( 135^\circ \) 
 d) \( 90^\circ \) e \( 270^\circ \) 
 **Resposta: a) \( 60^\circ \) e \( 120^\circ \)** 
 **Explicação:** O seno é positivo no primeiro e no segundo quadrante. Portanto, as 
soluções para \( \sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) são \( x = 60^\circ \) e \( x = 120^\circ \). 
 
9. Qual é o valor de \( \tan(45^\circ) \)? 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( \sqrt{3} \) 
 d) \( -1 \) 
 **Resposta: a) \( 1 \)** 
 **Explicação:** A tangente de \( 45^\circ \) é a razão entre o seno e o cosseno, ambos 
iguais a \( \frac{\sqrt{2}}{2} \). Portanto, \( \tan(45^\circ) = 
\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 \). 
 
10. O que é \( \sin(2x) \) em termos de \( \sin(x) \) e \( \cos(x) \)? 
 a) \( \sin^2(x) + \cos^2(x) \) 
 b) \( 2\sin(x)\cos(x) \) 
 c) \( \sin(x) + \cos(x) \) 
 d) \( \sin(x) - \cos(x) \) 
 **Resposta: b) \( 2\sin(x)\cos(x) \)** 
 **Explicação:** A fórmula do ângulo duplo para o seno é \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \). 
 
11. Se \( \cos(x) = \frac{1}{2} \), quais são os valores de \( x \) no intervalo de \( [0^\circ, 
360^\circ] \)? 
 a) \( 60^\circ \) e \( 300^\circ \) 
 b) \( 90^\circ \) e \( 270^\circ \)