mente exercitada qupfu

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b) \( \frac{1}{2} e^{x^2} - C \) 
 c) \( \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} + C \) 
 d) \( \frac{1}{4} e^{x^2} + C \) 
 **Resposta:** d) \( \frac{1}{4} e^{x^2} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), então \( du = 2x \, dx \). A integral se 
torna \( \frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \). 
 
57. **Qual é a derivada de \( \ln(\sin(x)) \)?** 
 a) \( \cot(x) \) 
 b) \( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \) 
 c) \( \frac{1}{\sin(x)} \) 
 d) \( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot u' \). 
Aqui, \( u = \sin(x) \) e \( u' = \cos(x) \). 
 
58. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 2) \, dx \)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** c) 3 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \frac{x^3}{3} + 2x \). Avaliando de 0 a 1, temos \( \left( 
\frac{1}{3} + 2 \right) - 0 = 3 \). 
 
59. **Qual é o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 + 3}{2x^3 + 5} \)?** 
 a) 0 
 b) \( \frac{4}{2} \) 
 c) 1 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{4}{2} \) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x^3 \), obtemos \( 
\lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{3}{x^3}}{2 + \frac{5}{x^3}} = \frac{4}{2} = 2 \). 
 
60. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 2y \)?** 
 a) \( y = Ce^{2x} \) 
 b) \( y = Ce^{-2x} \) 
 c) \( y = 2x + C \) 
 d) \( y = x^2 + C \) 
 **Resposta:** a) \( y = Ce^{2x} \) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear. A solução geral é \( y = Ce^{2x} \). 
 
61. **Qual é a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \) 
 b) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \) 
 d) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x^2 + a^2} \) é \( \frac{1}{a} \tan^{-
1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \). Aqui, \( a = 2 \). 
 
62. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (2x^2 - 3x + 1) \, dx \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x \). Avaliando de 0 a 1, 
temos \( \left( \frac{2}{3} - \frac{3}{2} + 1 \right) = 0 \). 
 
63. **Qual é a derivada de \( \cos(x^2) \)?** 
 a) \( -2x\sin(x^2) \) 
 b) \( -\sin(x^2) \) 
 c) \( 2x\sin(x^2) \) 
 d) \( \sin(x^2) \) 
 **Resposta:** a) \( -2x\sin(x^2) \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( \frac{d}{dx} \cos(u) = -\sin(u) \cdot u' \). 
Aqui, \( u = x^2 \) e \( u' = 2x \). 
 
64. **Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{1} = 
2e^0 = 2 \). 
 
65. **Qual é a integral \( \int \sec^2(x) \, dx \)?** 
 a) \( \tan(x) + C \) 
 b) \( \sec(x) + C \) 
 c) \( \sin(x) + C \) 
 d) \( \cos(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \tan(x) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \sec^2(x) \) é uma integral padrão que resulta em \( 
\tan(x) + C \). 
 
66. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^3 + x^2) \, dx \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} \). Avaliando de 0 a 1, 
temos \( \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \right) = \frac{3 + 4}{12} = 1 \).