mente exercitada rprdt

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b) \( y = 3x - 1 \) 
 c) \( y = 3x + 1 \) 
 d) \( y = x - 1 \) 
 **Resposta:** b) \( y = 3x - 1 \) 
 **Explicação:** Primeiro, encontramos \( y \) no ponto \( x = 1 \): \( y = 1^3 - 3(1) + 2 = 0 \). 
A derivada \( y' = 3x^2 - 3 \). Avaliando em \( x = 1 \), temos \( y' = 3(1)^2 - 3 = 0 \). A 
equação da tangente é \( y - 0 = 0(x - 1) \), que simplifica para \( y = 0 \). 
 
4. **Qual é a integral indefinida \( \int (4x^3 - 2x^2 + x) \, dx \)?** 
 a) \( x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C \) 
 b) \( x^4 - \frac{2}{3}x^3 + x^2 + C \) 
 c) \( x^4 - 2x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C \) 
 d) \( 4x^4 - \frac{2}{3}x^3 + x^2 + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C \) 
 **Explicação:** A antiderivada é obtida integrando cada termo: \( \int 4x^3 \, dx = x^4 \), 
\( \int -2x^2 \, dx = -\frac{2}{3}x^3 \), e \( \int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \). Portanto, a integral é 
\( x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C \). 
 
5. **Qual é o valor de \( \frac{d^2}{dx^2} (e^{2x} \sin(x)) \) em \( x = 0 \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto e a derivada de \( e^{2x} \sin(x) \). A primeira 
derivada é \( 2e^{2x} \sin(x) + e^{2x} \cos(x) \). Derivando novamente e avaliando em \( x = 
0 \), obtemos \( 0 \). 
 
6. **Qual é o valor de \( \int_1^2 \frac{1}{x^2} \, dx \)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{3}{2} \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** A antiderivada de \( \frac{1}{x^2} \) é \( -\frac{1}{x} \). Avaliando de 1 a 2: \( 
-\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \). 
 
7. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x^2}{5x^3 - 4} \)?** 
 a) 0 
 b) \( \frac{3}{5} \) 
 c) 1 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{3}{5} \) 
 **Explicação:** Dividimos todos os termos pelo maior grau de \( x^3 \): \( \lim_{x \to 
\infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{5 - \frac{4}{x^3}} = \frac{3}{5} \). 
 
8. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y \sin(x) \)?** 
 a) \( y = Ce^{-\cos(x)} \) 
 b) \( y = Ce^{\cos(x)} \) 
 c) \( y = C\sin(x) \) 
 d) \( y = C\cos(x) \) 
 **Resposta:** b) \( y = Ce^{\cos(x)} \) 
 **Explicação:** Usamos separação de variáveis: \( \frac{dy}{y} = \sin(x) \, dx \). 
Integrando, temos \( \ln|y| = -\cos(x) + C \), resultando em \( y = Ce^{\cos(x)} \). 
 
9. **Qual é o valor da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)?** 
 a) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
 b) \( \frac{\pi^2}{4} \) 
 c) \( \frac{\pi^2}{3} \) 
 d) \( \frac{\pi^2}{2} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
 **Explicação:** Esta é uma série conhecida, chamada de série de Basileia, que 
converge para \( \frac{\pi^2}{6} \). 
 
10. **Qual é a derivada de \( \ln(x^2 + 1) \)?** 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{x}{x^2 + 1} \) 
 c) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 d) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot 
\frac{du}{dx} \). Aqui, \( u = x^2 + 1 \) e \( \frac{du}{dx} = 2x \), resultando em \( \frac{2x}{x^2 
+ 1} \). 
 
11. **Qual é a integral \( \int e^{3x} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \) 
 b) \( 3e^{3x} + C \) 
 c) \( e^{3x} + C \) 
 d) \( 3e^{x} + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \) 
 **Explicação:** A antiderivada de \( e^{kx} \) é \( \frac{1}{k} e^{kx} + C \). Portanto, \( \int 
e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C \). 
 
12. **Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} \left( x^2 \ln(x) \right) \)?** 
 a) \( 2x \ln(x) + x \) 
 b) \( 2x \ln(x) - x \) 
 c) \( x^2 \ln(x) \) 
 d) \( 2\ln(x) \) 
 **Resposta:** a) \( 2x \ln(x) + x \) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \( \frac{d}{dx}(u \cdot v) = u'v + uv' \). Aqui, \( 
u = x^2 \) e \( v = \ln(x) \). Assim, \( u' = 2x \) e \( v' = \frac{1}{x} \), resultando em \( 2x \ln(x) + 
x \). 
 
13. **Qual é a integral \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 b) \( \frac{\pi}{2} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{\pi}{8} \)