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d) \( \frac{1}{x} + C \) 
 **Resposta: a) \( \ln(\ln(x)) + C \)** 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = \ln(x) \), então \( du = \frac{1}{x}dx \). 
 
17. **Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^3 + 1} \)?** 
 a) \( \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 b) \( \frac{3x^2 + 1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 c) \( \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 d) \( \frac{x^2}{\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{g(x)}}g'(x) \). 
 
18. **Qual é o valor de \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \)?** 
 a) \( 1 \) 
 b) \( \ln(e) \) 
 c) \( 1 + \ln(e) \) 
 d) \( \ln(e) - \ln(1) \) 
 **Resposta: d) \( \ln(e) - \ln(1) \)** 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x} \) é \( \ln|x| \), então \( \left[ \ln(x) \right]_1^e = 
\ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1 \). 
 
19. **Qual é a integral de \( \int x \sin(x^2) \, dx \)?** 
 a) \( -\frac{1}{2}\cos(x^2) + C \) 
 b) \( \frac{1}{2}\sin(x^2) + C \) 
 c) \( -\frac{1}{2}\sin(x^2) + C \) 
 d) \( \frac{1}{2}\cos(x^2) + C \) 
 **Resposta: a) \( -\frac{1}{2}\cos(x^2) + C \)** 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), \( du = 2x \, dx \). 
 
20. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( e \) 
 d) \( \ln(e) \) 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** Este é um limite fundamental que resulta na derivada de \( e^x \) em \( x 
= 0 \). 
 
21. **Qual é a integral definida de \( \int_0^1 (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** O integrando é \( (x - 1)^4 \), então a integral é \( \left[ \frac{(x-1)^5}{5} 
\right]_0^1 = 0 - \frac{(-1)^5}{5} = 1 \). 
 
22. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?** 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 c) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 d) \( \frac{2x}{x^2} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{g(x)}g'(x) \). 
 
23. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) \, dx \)?** 
 a) \( 1 \) 
 b) \( \frac{5}{6} \) 
 c) \( \frac{1}{3} \) 
 d) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta: a) \( 1 \)** 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ x^3 - x^2 + x \right]_0^1 = (1 - 1 + 1) - (0) = 1 \). 
 
24. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^4 + 3x^2}{2x^4 + 7} \)?** 
 a) 0 
 b) \( \frac{5}{2} \) 
 c) \( \frac{5}{7} \) 
 d) \( \frac{3}{2} \) 
 **Resposta: b) \( \frac{5}{2} \)** 
 **Explicação:** Dividimos o numerador e denominador pelo termo de maior grau, \( x^4 
\). 
 
25. **Qual é o valor de \( \int_1^3 (2x + 1) \, dx \)?** 
 a) 8 
 b) 10 
 c) 9 
 d) 7 
 **Resposta: a) 8** 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ x^2 + x \right]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10 \). 
 
26. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(\sin(x)) \)?** 
 a) \( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \) 
 b) \( \cot(x) \) 
 c) \( \frac{1}{\sin(x)} \) 
 d) \( \sin(x) \) 
 **Resposta: a) \( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{\sin(x)} \cdot \cos(x) = \cot(x) 
\). 
 
27. **Qual é o valor de \( \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2(x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{\pi}{4} \) 
 b) \( \frac{\pi}{2} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{\pi}{8} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{\pi}{4} \)**