algoritmo da roma mdccxxxvii

Prévia do material em texto

20. **Questão 20**: Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}\). 
 a) 0 
 b) \(\frac{1}{2}\) 
 c) 1 
 d) -1 
 **Resposta**: b) \(\frac{1}{2}\) 
 **Explicação**: Usando a série de Taylor para \(\cos(x)\), temos \(\cos(x) = 1 - 
\frac{x^2}{2} + O(x^4)\). Portanto, 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} = -\frac{1}{2}. 
 \] 
 
21. **Questão 21**: Calcule a integral \(\int_0^1 (6x^5 - 5x^4 + 4x^3) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{6}\) 
 b) \(\frac{1}{5}\) 
 c) \(\frac{1}{4}\) 
 d) \(\frac{1}{3}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{6}\) 
 **Explicação**: A antiderivada é \(\frac{6x^6}{6} - \frac{5x^5}{5} + \frac{4x^4}{4}\). 
Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 \left[x^6 - x^5 + x^4\right]_0^1 = (1 - 1 + 1) - (0) = 1. 
 \] 
 
22. **Questão 22**: Determine a derivada de \(m(x) = e^{x^2}\). 
 a) \(2xe^{x^2}\) 
 b) \(e^{x^2}\) 
 c) \(x e^{x^2}\) 
 d) \(2e^{x^2}\) 
 **Resposta**: a) \(2xe^{x^2}\) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos que a derivada de \(e^{u}\) é \(e^{u} 
\cdot u'\), onde \(u = x^2\) e \(u' = 2x\). Portanto, 
 \[ 
 m'(x) = 2xe^{x^2}. 
 \] 
 
23. **Questão 23**: Calcule a integral \(\int (2\sin(x) + 3\cos(x)) \, dx\). 
 a) \(-2\cos(x) + 3\sin(x) + C\) 
 b) \(2\cos(x) + 3\sin(x) + C\) 
 c) \(-2\sin(x) + 3\cos(x) + C\) 
 d) \(2\sin(x) - 3\cos(x) + C\) 
 **Resposta**: a) \(-2\cos(x) + 3\sin(x) + C\) 
 **Explicação**: A integral é resolvida usando: 
 \[ 
 \int 2\sin(x) \, dx = -2\cos(x), \quad \int 3\cos(x) \, dx = 3\sin(x). 
 \] 
 
24. **Questão 24**: Determine o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta**: c) 2 
 **Explicação**: Usando a fatoração: 
 \[ 
 \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \quad (x \neq 1). 
 \] 
 Portanto, 
 \[ 
 \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2. 
 \] 
 
25. **Questão 25**: Calcule a integral \(\int_1^2 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx\). 
 a) 3 
 b) 4 
 c) 5 
 d) 6 
 **Resposta**: b) 4 
 **Explicação**: A antiderivada é \(x^4 - x^3 + 2x\). Avaliando de 1 a 2: 
 \[ 
 \left[16 - 8 + 4\right] - \left[1 - 1 + 2\right] = 12 - 2 = 10. 
 \] 
 
26. **Questão 26**: Determine a derivada de \(p(x) = \ln(x^2 + 3x + 2)\). 
 a) \(\frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 2}\) 
 b) \(\frac{3}{x^2 + 3x + 2}\) 
 c) \(\frac{2x + 3}{(x^2 + 3x + 2)^2}\) 
 d) \(\frac{1}{x^2 + 3x + 2}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 2}\) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, a derivada de \(\ln(u)\) é \(\frac{1}{u} \cdot 
u'\), onde \(u = x^2 + 3x + 2\) e \(u' = 2x + 3\). Portanto, 
 \[ 
 p'(x) = \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 2}. 
 \] 
 
27. **Questão 27**: Calcule a integral \(\int (3x^2 + 2x + 1) \, dx\). 
 a) \(x^3 + x^2 + x + C\) 
 b) \(x^3 + x^2 + 3x + C\) 
 c) \(3x^3 + 2x^2 + x + C\) 
 d) \(3x^3 + 2x^2 + 3x + C\) 
 **Resposta**: a) \(x^3 + x^2 + x + C\) 
 **Explicação**: A integral é resolvida aplicando a regra da potência: