Algoritmo da matematica bm

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a) \(4x^3 - 8x\) 
 b) \(4x^3 - 4\) 
 c) \(8x^3 - 4\) 
 d) \(8x^3 - 8x\) 
 **Resposta:** a) \(4x^3 - 8x\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da potência: \(f'(x) = 4x^3 - 8x\). 
 
57. **Questão 57:** Determine a integral \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4(x) \, dx\). 
 a) \(\frac{3\pi}{16}\) 
 b) \(\frac{\pi}{8}\) 
 c) \(\frac{2\pi}{16}\) 
 d) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{3\pi}{16}\) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \(\sin^4(x) = \left(\sin^2(x)\right)^2 = \frac{1 - 
\cos(2x)}{2}\) e a fórmula para a integral de \(\sin^2(x)\). 
 
58. **Questão 58:** Calcule a integral \(\int (3x^2 - 4) \, dx\). 
 a) \(x^3 - 4x + C\) 
 b) \(x^3 - 2x + C\) 
 c) \(x^3 - 4x^2 + C\) 
 d) \(3x^3 - 4x + C\) 
 **Resposta:** a) \(x^3 - 4x + C\) 
 **Explicação:** A integral é \(\int 3x^2 \, dx - \int 4 \, dx = x^3 - 4x + C\). 
 
59. **Questão 59:** Qual é a derivada de \(f(x) = e^{x^2}\)? 
 a) \(2xe^{x^2}\) 
 b) \(e^{x^2}\) 
 c) \(x e^{x^2}\) 
 d) \(2e^{x^2}\) 
 **Resposta:** a) \(2xe^{x^2}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x\). 
 
60. **Questão 60:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}\). 
 a) 0 
 b) \(-\frac{1}{2}\) 
 c) 1 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) \(-\frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** Usamos a série de Taylor para \(\cos(x)\): \(\cos(x) \approx 1 - 
\frac{x^2}{2} + O(x^4)\). Portanto, o limite é \(-\frac{1}{2}\). 
 
61. **Questão 61:** Determine a integral \(\int_0^1 (6x^5 - 4x^3 + 2) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3}\) 
 b) \(\frac{2}{3}\) 
 c) \(\frac{5}{6}\) 
 d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{3}\) 
 **Explicação:** A integral é \(\left[x^6 - x^4 + 2x\right]_0^1 = 1 - 1 + 2 = 2\). 
 
62. **Questão 62:** Calcule a integral \(\int x^2 e^{3x} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3}e^{3x}(x^2 - 2x + 2) + C\) 
 b) \(\frac{1}{3}e^{3x}(x^2 + 2x + 2) + C\) 
 c) \(\frac{1}{3}e^{3x}(x^2 - 3x + 3) + C\) 
 d) \(\frac{1}{3}e^{3x}(x^2 + 3x + 3) + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{3}e^{3x}(x^2 - 2x + 2) + C\) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes duas vezes. 
 
63. **Questão 63:** Determine o valor de \(\int_0^1 (x^4 + 2x^3) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{5}\) 
 b) \(\frac{1}{4}\) 
 c) \(\frac{3}{5}\) 
 d) \(\frac{5}{6}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{5}\) 
 **Explicação:** A integral é \(\left[\frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{2}\right]_0^1 = 
\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{2}\right) = \frac{3}{10}\). 
 
64. **Questão 64:** Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 + 2)\). 
 a) \(\frac{3}{x^3 + 2}\) 
 b) \(\frac{3x^2}{x^3 + 2}\) 
 c) \(\frac{1}{x^3 + 2}\) 
 d) \(\frac{2}{x^3 + 2}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{3x^2}{x^3 + 2}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{x^3 + 2} \cdot 3x^2\). 
 
65. **Questão 65:** Qual é o valor de \(\int_0^1 (2x - 3) \, dx\)? 
 a) \(-\frac{1}{2}\) 
 b) \(-1\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) 0 
 **Resposta:** a) \(-\frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** A integral é \(\left[x^2 - 3x\right]_0^1 = (1 - 3) - (0 - 0) = -2\). 
 
66. **Questão 66:** Calcule a integral \(\int_1^2 (x^2 - 2) \, dx\). 
 a) 0 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) 1 
 d) \(\frac{2}{3}\) 
 **Resposta:** c) 1 
 **Explicação:** A integral é \(\left[\frac{x^3}{3} - 2x\right]_1^2 = \left(\frac{8}{3} - 4\right) 
- \left(\frac{1}{3} - 2\right) = \frac{8}{3} - 4 + 2 - \frac{1}{3} = 1\). 
 
67. **Questão 67:** Determine a integral \(\int (5x^4 - 3x^2 + 2) \, dx\). 
 a) \(x^5 - x^3 + 2x + C\) 
 b) \(x^5 - x^3 + 2 + C\)