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D) \( n \) 
 Resposta: A 
 Explicação: A integral resulta em \( \frac{x^{n+1}}{n+1} \) avaliada nos limites de \( 0 \) a \( 
1 \). 
 
52. Calcule \( e^{2x} \) no ponto \( x = 0 \). 
 A) \( e^{2 \cdot 0} \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( 0 \) 
 D) \( 2 \) 
 Resposta: B 
 Explicação: A avaliação da função resulta em \( e^0 = 1 \). 
 
53. Encontre \(\int \cos^2(x) \, dx\). 
 A) \( \frac{x + \sin(2x)}{2} + C \) 
 B) \( \frac{x}{2} + C \) 
 C) \( \frac{1}{2} + \cos(2x) + C \) 
 D) \( \frac{3}{2}x + C \) 
 Resposta: A 
 Explicação: A fórmula de redução da integral e o uso de identidades trigonométricas são 
utilizados para calcular a integral. 
 
54. Calcule \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} \). 
 A) \( \frac{\pi^3}{6} \) 
 B) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
 C) \( 1 \) 
 D) \( 2 \) 
 Resposta: A 
 Explicação: A soma é uma conhecida constante "A soma de Basel" em uma dimensão 
diferente. 
 
55. Determine a convergência de \( 0.5 + 0.5^2 + 0.5^3 + \ldots \). 
 A) Converge para \( 1 \) 
 B) Diverge 
 C) Converge para \( 2 \) 
 D) Converge para \( 3 \) 
 Resposta: A 
 Explicação: Essa é uma série geométrica com razão menor que 1 e converge para \( 
\frac{a}{1-r} \). 
 
56. Encontre a derivada de uma função implícita dada por \( x^2 + y^2 = 1 \). 
 A) \( \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \) 
 B) \( \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} \) 
 C) \( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \) 
 D) \( \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} \) 
 Resposta: A 
 Explicação: Usamos a diferenciação implícita para encontrar a inclinação. 
 
57. Calcule a primitiva de \( e^{-3x} \) com a variável \( dx \). 
 A) \( -\frac{1}{3}e^{-3x} + C \) 
 B) \( -3e^{-3x} + C \) 
 C) \( e^{-3x} + C \) 
 D) \( -\frac{1}{x} + C \) 
 Resposta: A 
 Explicação: Isso se baseia na propriedade da integral exponencial. 
 
58. Calcule \( \oint_C \frac{1}{z} \, dz \) onde \( C \) é uma curva fechada ao redor da 
origem. 
 A) \( 2\pi i \) 
 B) \( 0 \) 
 C) \( 1 \) 
 D) \( -2\pi i \) 
 Resposta: A 
 Explicação: Conforme o teorema de Cauchy, o integral é \( 2\pi i \) para um integrador ao 
redor de um polo simples. 
 
59. Encontre o valor de \(\int_0^1 (1 - x^2)^{10} \, dx\). 
 A) \( \frac{1}{20} \) 
 B) \( \frac{11}{20} \) 
 C) \( \frac{1}{10} \) 
 D) \( \frac{1}{21} \) 
 Resposta: A 
 Explicação: A integral pode ser encontrada através da aplicação da fórmula de Beta. 
 
60. Determine a identidade trigonométrica \(\sin^2(x) + \cos^2(x)\). 
 A) \( 1 \) 
 B) \( x \) 
 C) \( 0 \) 
 D) \( 2 \) 
 Resposta: A 
 Explicação: Esta é uma identidade fundamental que é válida em todo \( x \). 
 
61. Calcule o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\). 
 A) \( 3 \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( 0 \) 
 D) \( \infty \) 
 Resposta: A 
 Explicação: Aplicamos a regra de L'Hôpital ou fatoramos para resolver a indeterminação. 
 
62. Resolva a série \( e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \). 
 A) Converge para \( e \) para \( x=1 \) 
 B) Converge para \( 2e \) 
 C) Converge para \( xe \)